О вращении материальной точки в поле ньютоновой силы притяжения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №1_

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

УДК 521.11: 531.32: 531.35

Академик АН Республики Таджикистан З.Д.Усманов

О ВРАЩЕНИИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ПОЛЕ НЬЮТОНОВОЙ СИЛЫ

ПРИТЯЖЕНИЯ

Институт математики им. АДжураева АН Республики Таджикистан

Предложена и изучена математическая модель для описания как поступательного, так и вращательного движений тела под действием центральной ньютоновой силы притяжения. Установлено, в частности, существование такого режима вращения, при котором период обращения тела вокруг центра притяжения в точности равен периоду обращения тела вокруг собственной оси.

Ключевые слова: материальная точка — гравитация — математическая модель — поступательное движение — вращение.

1. Введение. Известно, что под действием центральной силы траектория движения материальной точки является плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Если расположить в этой плоскости прямоугольную систему координат Оху с началом в центре силы, то уравнение движения точки в векторной записи для случая, когда в качестве центральной силы рассматривается ньютонова сила притяжения, можно представить следующим образом, см. например, [1]:

ё2 г тпт г

Здесь ^ - время, т и т0 - массы точки и центрального тела, Г = (х, у) — радиус-вектор, прове-

^ 2 2 I 2

денный из начала координат в материальную точку, г = х + у и и — гравитационная постоянная.

Уравнение (1.1) — ньютонова математическая модель для описания поступательного движения небесных тел в солнечной системе. Она позволяет по начальным условиям однозначно определять положение и скорость центра инерции тела в любой момент времени. Вместе с тем рассматриваемая математическая модель оказывается не приспособленной к изучению собственного вращения точки, то есть процесса, имеющего место в природе с реальными телами.

2. Математическая модель с учётом вращения тела. В настоящей статье предлагается иная, по существу модифицированная ньютонова модель, которая, с одной стороны, содержит уравнение (1.1) и, следовательно, все извлекаемые из него результаты, с другой стороны, предоставляет возможность исследования характера вращения тела в поле тяготения. Эта модель основывается на двух положениях:

— интерпретации тела в виде материальной точки переменной массы;

— описании динамики материальной точки посредством вариационной задачи Лагранжа на условный экстремум.

Адрес для корреспонденции: Усманов Зафар Джураевич. 734063, Республика Таджикистан, г. Душанбе, пр. Айни, 299/1. Институт математики АН РТ. E-mail: zafar-usmanov@rambler.ru

Первое положение (переменность массы тела, m = m(t)) обуславливает необходимость учёта дополнительной возмущающей (реактивной) силы

- dm ^

г =--о ,

* dt отн

в которой иотн - относительная скорость истечения частиц по отношению к телу. Внося эту силу в правую часть уравнения (1.1) и совершая необходимые преобразования, получим

d2f иг dV _ ,ч

■УТ= " з + (2Л)

dt r dt

В этом уравнении приняты следующие обозначения: ju = G m ,

, v = (cos9, sin9) — единичный вектор направления реактивной

dV 1 *

— F„ =

dt p m

1 dm --i>„

7 у отн

m dt

силы (он противоположен относительной скорости йотн отделяющихся частиц) и р — угол, измеряемый против часовой стрелки от положительного направления оси x к вектору v . Предполагается, что вектор v жёстко связан с телом и потому угол р будет характеризовать собственное вращение тела даже в отсутствии возмущающей силы.

Разъяснение второго положения связано, прежде всего, с представлением векторного уравнения (2.1) в виде системы из четырех дифференциальных уравнений первого порядка:

х - и = О, у - о = О,

(2.2)

й - V cos ср + f = О, о - Fsin ср + g =0,

где для сокращения письма точкой над переменными обозначается дифференцирование по времени t; г _ /ИХ jy

кроме того, j — —г- и g — —г-. Эти соотношения в дальнейшем интерпретируются как диффе-r r

ренциальные связи.

Что касается второго положения, то в качестве целевого функционала в вариационной задаче Лагранжа рассматривается

T

J *(у) = J у*dt,

где [0, T] - какой-либо временной интервал и интегрант V* имеет вид

V * — V + \ (V cos р - и — f) + Я2 (V sin р — v — g) + Хъ (x — и) + Л4 (у — о), в котором \ (t) (к — 1,2,3,4) являются неопределёнными множителями Лагранжа.

о

Полная система уравнений для определения десяти неизвестных функций x, у, u, и, V, р, Аь А2, Л3, А4 формируется из 4-х уравнений (2.2) и 6-и уравнений Эйлера вида

дУ*

до d t

удсо j

которые для переменных о: = x,y, u, и, V, (выписываются следующим образом:

х: -А,— -Л, = 0,

д х д х

y: -Ai d-f -Л2 ^ -Л 4 = 0, д y д y

u : - Л3 + А 1 = 0,

и: - Я4 + Л 2 = 0,

р: (-А sinp + Л2 cosp) V = 0,

V : —— (i + Л1 cosp + Л2 sinp) = 0. d t

Исключая из этой системы неопределённые множители Л 3 и Л 4, а из (2.2) переменные u и и, получим следующую систему уравнений:

X + f = V cos р, У + g = V sin р ,

А1 + Лхд- + = 0,

д х д х

д - д g А 2 + Л- + Л 2 — = 0,

д У д y

(- Л1 sinp + Л2 cos р) V = 0, (*)

d

dt

(Л cos р + Л2 sinp) = 0.

В дальнейшем нас будет интересовать невозмущённое движение, то есть Fp= 0,и потому

V = 0. В таком случае система уравнений запишется в виде:

х + f = 0, (2.3)

у + g = 0,

(2.4)

Ъ + Лх ^ + ^ = 0, (2.5)

о x о x

Л2 + Яг ^ + Л2 |g = 0, (2.6) о у о у

d (л соб р + Л2 Б1пр) = 0. (2.7) ^ t

Именно эта система рассматривается в качестве математической модели, описывающей в поле ньютоновой силы притяжения поступательное движение тела на основе уравнений (2.3), (2.4) и вращательное - на основе (2.5), (2.6), (2.7).

3. Результаты интегрирования уравнений (2.5), (2.6). Известно, что поступательное движение тела, характеризуемое уравнениями (2.3), (2.4), всесторонне изучено, см., например, [2], [3]. Из результатов интегрирования этих уравнений для изучения вращательного движения тела используется формула орбиты

г = -P--(3.1)

1 + e собЗ

(коническое сечение с параметром p и эксцентриситетом e; 3 — истинная аномалия и г - расстояние от фокуса, расположенного в начале координат, до точки на орбите), а также формула

= $ = ^р

г

= 3 = У^- (3.2)

для определения положения тела на орбите. В предположении, что орбита (3.1) эллиптическая ^<1)^ результат интегрирования уравнений (2.5), (2.6) представляется в виде:

. . A соб (3 + /) + В .

Л = A б1п/----—-б1пЗ + C

1 + е собЗ

, . A соб(З+/) + B

л = A соб/ +---—-собЗ + C

1 + е собЗ

/, 2\ л ^ б1п2З 3еб1пЗ ^

- (1 + е2) + 2 е собЗ--+-—у Е

1 > 1 + е собЗ (1 - е )

б1пЗ (собЗ + е3) . . 3е (е + собЗ) „

-ь-+ 2 е б1пЗ--ь-^^ Е

1 + е собЗ (1 - е )

(3.3)

В полученных выражениях A, B, C и /- произвольные константы интегрирования, E - эксцентрическая аномалия, связанная с истинной аномалией, в частности, следующими зависимостями:

(1 - е ) 1 - е

ё3= ^-^ ёЕ, 1 + есобЗ = -. (3.4)

1 - е соб Е 1 - е соб Е

1 Для параболической (е=1) и гиперболической (е>1) орбит формулы (3.3) не имеют места.

Из формул (3.3) видно, что А к = А к (3, А, В, С,/), к = 1,2, то есть неопределённые множители Лагранжа вычисляются через значения истинной аномалии и зависят от выбора конкретных значений четырех произвольных констант. Отметим также, что оба множителя (помимо периодических по переменной 3 с периодом 2п слагаемых) содержат вековые члены - произведения периодической функции по 3 на саму переменную (в нашем случае Е), которые определяют их асимптотическое поведение при увеличении до бесконечности числа оборотов тела по эллиптической орбите вокруг центра притяжения:

Зв_

(i -eо

Л i = --^IFE sin$ + O(1),

(3.5)

A = - n _%2 E(e + cos$) + O(1) (1 e )

при $ ^ x (E ^ <x) . Здесь 0(1) - ограниченная функция.

По причине того, что вывод формул (3.3) сопровождается громоздкими вычислениями, в п.5 мы ограничиваемся описанием основных этапов вычислений и указываем, каким образом можно убедиться в достоверности представленных результатов.

4. Формулы собственного вращения тела. Интегрируя (2.7), получим

A:cos p+A2sinp = D, (4.1)

где D - дополнительная произвольная константа. Разрешая это уравнение относительно cos р и sin р, получим

A. D + А? А . A?D ± А. А cos^ = 1 , ,2 , sm<P = 1 , ,2 (4-2)

I Л | | A |

Здесь использованы обозначения: |Л |2 = Л \ + Л 2 и А2 = |А |2 - D2. Следует также потребовать выполнение неравенства | Л |2 > D2, поскольку cosp и sinp - вещественные функции. Очевидно, что это можно достигнуть за счёт определённых ограничений, налагаемых на константы A, B, C. Например, при любых значениях константы D и C Ф 0 в силу асимптотик (3.5) неравенство выполняется, по крайней мере, для достаточно больших значений истинной (эксцентрической) аномалии.

Формулы (4.2) содержат два решения уравнения (4.1), которые удобно представлять в виде двух единичных векторов:

^ = TTjA D - Л2 А, Л2 D + А А), i?2 = -^(А D + А2 А, Л2 D - А А).

1 Л 1 1 Л 1

Вычисляя их скалярное произведение, устанавливаем, что = - 1 ■ Это значит, что век-

торы коллинеарны и противоположно направлены. Следовательно, они характеризуют одну и ту же,

единственную прямую, образующую с положительным направлением оси x угол р, значение которого вычисляется по формулам (4.2).

5. Доказательство формул (3.3) производится в три этапа:

понижение порядка уравнений (2.5), (2.6) за счёт получения из них двух первых интегралов; переход в этих интегралах от независимой переменной t (времени) к новой независимой переменной 3 (истинной аномалии);

- описание процедуры проверки достоверности формул (3.3). 5.1. Первый этап. Поскольку

О / ц{, 0х2 ^ 0 g ц( у2 ^ 0 / 0 g и ху

0 х г3

1 - 3 2

V г У

1-3

= - 3

О у г V г У 0 у 0 х г

то уравнения (2.5), (2.6) запишем в форме

Л + Л^ = 3 х (Лх +Л2у), г3 г5

Л 2 + Л2 "4 = 3 ^ у (Л1х + Л 2 у ).

г3 г5

Умножив первое уравнение на у, второе уравнение на — x и сложив выражения, получим

у Л - хЛ2 + ^ (Л у -Л х) = 0. г3

Далее, умножая (2.3) на Л 2 и (2.4) на — Л 1 и складывая результаты, получим

Л х - Л у + ^ (Лх-Лу) = 0.

г3

Сложив два последних уравнения и проинтегрировав по времени, находим первый интеграл

у Л - у Л1 - хЛ2 + хЛ2 = С1. (5

Для нахождения ещё одного первого интеграла, а именно

хЛ1 + у Л 2 + / Л1 + £Л 2 = С2.

(5.2)

уравнения (2.3), (2.4), (2.5), (2.6) умножаются соответственно на Л , Л , X , у , затем складываются

и интегрируются по времени. В (5.1) и (5.2) C1 и ^ — произвольные константы.

5.2. Второй этап. Дальнейшее интегрирование уравнений (5.1) и (5.2) связывается с их преобразованием к независимой переменной 3. Прежде всего, имеем

р собЗ . _ р Б1ПЗ

х = г собЗ = —-, у = г б1пЗ = —-. (5.3)

1 + е собЗ 1 + е СОБЗ

Кроме того, с учётом (3.2) вычисляем

X = -

V

^sin3, y = J^(cos3 + e), Л, = Л',^, (k = 1,2) . (5.4)

P

P

Отметим, что штрихом над Л к обозначается производная по 3. В дополнении к этим соотношениям вместо констант Сь С2 (и ещё одной, которая появляется при интегрировании (5.1), (5.2)), используются их представления через новые произвольные константы А, С и у

С = -

И ■ г, г, e (1 - e2)2 И — sin/ и С = С -5-

Р Р

Сделано это для того, чтобы в последующем придти к выражениям (3.3). Применяя предыдущие формулы, преобразуем (5.1) и (5.2) к виду

— (sin3 Л[ - cos3 Л2) - (cos3 + e) Лг - sin3 Л2 = - Aesin/, Г -2 (5.5)

- sin3 Л\ + (cos3 + e) Л'2 + cos3 Л1 + sin3 Л2 = С —(—-—— r2.

5.3. Третий этап. Переходя в системе (5.5) к новым искомым функциям 2(3) и ^(3) по фор-

мулам

Л = — (- Z sin3 + w cos3), —

r

Л 2 = — (zcos3 + w sin3),

(5.6)

получим

z' + 2 w = Ae sin/

r r z' + w' -e sin3--+ w —

2 + e (cos3 + e) — — _

= С e (1 - e2)2 , 2.

Из этой системы путём исключения z' извлекается уравнение для w: e sin 3

1 + e cos3

w +

e2 - ecos3 -2e2cos23 . ^e (1 - e2)2 2

(1 + e cos3)2

-w = - Ae sin/ + С

(5.7)

Полученное линейное уравнение первого порядка интегрируется методом вариации произвольной постоянной. Решение, зависящее от произвольной константы, подстанавливается вместо ^ в (5.7). После чего интегрируется уравнение для 2. Найденные решения, содержащие две дополнительные произвольные постоянные, вносятся в правые части формул (5.6). Этим завершается доказательство формул (3.3).

Однако следует отметить, что процедуры интегрирования вначале уравнения для w, а затем и для 2, оказываются достаточно громоздкими, потому в достоверности формул (3.3) проще убедиться

непосредственной подстановкой их в систему (5.5). В связи с тем, что в (3.3) содержатся четыре независимые произвольные константы, процедура проверки может быть значительно облегчена рассмотрением четырёх отдельных частных случаев, а именно, когда одна из констант полагается равной единице, а все другие приравниваются нулю.

6. Некоторые выводы. В этом пункте мы ограничиваемся рассмотрением двух наглядных примеров собственного вращения тела, извлекаемых из формул (3.3), (4.1) без каких-либо серьёзных вычислений.

6.1. Частный случай, когда в формулах (3.3) A = C =0, B Ф 0 и в (4.1) D = 0 сводится к тому, что

B sin S _ B cos S

Ai - — :-ñ , A2 -

1 + e cosS 1 + e cosS

Ax cos p + A2 sinp — 0.

С другой стороны, с учётом формул (5.3) выражения для A 1, A 2 принимают вид

3 _ By _ Bx A — — - и А2 — -,

Р Р

вследствие чего из (6.1) получаем

—y cos p + x sinp — 0,

то есть условие ортогональности вектора v — (cosp, sin p) вектору (— y, x). Из этого, в свою очередь, следует, что v коллинеарен вектору r — (x, y) и потому лежит на прямой, проходящей через центр силы.

В этом случае тело при движении по эллиптической орбите всегда обращено "одной стороной" к центру притяжения.

6.2. Асимптотическое поведение v при S ^ ж (E ^ ж). Подставим A 1 и A 2 из (3.5) в

(4.1) и поделим полученное выражение на 3e (1 — e2) (12)E . Формула (4.1) примет следующий вид: sinScos p — (e + cos S) sinp — O(E —*) при E ^ ж.

Если воспользоваться формулами (5.3) для компонент x и y вектора-скорости материальной точки при движении по эллиптической орбите, то предыдущее соотношение можно записать в иной форме:

r-V — x cos p + y sinp — O(E —*) при E ^ ж.

Из этого соотношения следует, что при увеличении до бесконечности числа оборотов тела вокруг центра ньютоновой силы притяжения направление единичного вектора v , неизменно свя-

и

занного с телом, в любой точке орбиты стремится занять положение, ортогональное к вектору скорости. Иными словами, это значит, что период обращения тела вокруг центра притяжения в точности равен периоду обращения тела вокруг собственной оси. В таком случае для орбит, "близких" к окружности, тело представляется всегда повернутым "одной стороной" к центру притяжения.

Интересно отметить, что этот эффект не имеет место для орбит-окружностей, поскольку при e = 0 вековые члены для Л 1, Л 2 в формулах (3.3) исчезают.

Поступило 03.11.2014 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аппель П. Теоретическая механика — М.: Физматгиз, 1960, т.1, 516 с.

2. Дубошин Г.Н. Небесная механика, — М.: Госиздат. физ.-мат. литературы, 1963, 588 с.

3. Рой А. Движение по орбитам. - М.: Издат: Мир, 1981, 544 с.

3.Ч,.Усмонов

ОИДИ ЧАРХЗАНИИ НУЦТАИ МАТЕРИАЛЫ ДАР МАЙДОНИ ЦУВВАИ

ЧОЗИБАИ НЮТОН

Институтиматематика ба номи А.Цураев, Академияи илмх;ои Цум^урии Тоцикистон

Модели математикии тасвири харакати пешраванда ва хам чархзанандаи чисм дар зери кувваи марказии чозибаи нютони , пешниход карда шудааст. Дар полати хусусй мавчудияти чунин речаи чархзанй мукаррар карда шудааст, ки даври чархзании чисм дар атрофи маркази чозиба ба даври чархзании чисм дар атрофи мехвари хусусй аник баробар аст.

Калима^ои калиди: нуцтаи материалы - цозиба - модели математики - уаракати пешраванда -чархзанй.

Z.D.Usmanov

ABOUT A ROTATION OF THE MASS POINT UNDER AFFECTING NEWTONIAN

FORCE OF ATTRACTION

A.Juraev Institute of Mathematics, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan In the planar case the translational and rotational motion of the rigid body in the gravitational field is modeled. The simulation is based on interpretation of the body as a point of a variable mass and on the description of dynamics of the point through the Lagrange variational problem of conditional extremum. When the mass of the point remains to be invariable and is exposed only to action of the gravity, the mathematical model is divided into two systems of equations. One of them is Newtonian system of equations, describing the body translational movement. Therefore, it contains all the results with respect to that type of the motion. The other one connects Lagrange undetermined multipliers with an angular variable characterizing a rotation of the body around an axis perpendicular to the orbital plane. The integration of the second system of equations by integrals describing the translational motion of the body in case of the elliptical orbit allows to get

an explicit expression of the angular variable through the true anomaly and four arbitrary constants of integration. For certain values of the constants some of simplest types of rotational movements are established, particularly those in which the period of rotation of the body around the center of gravity is exactly equal to the period of rotation of the body around its own axis.

Key words: mass point - gravity - mathematical model - translational motion - rotation.