CC BY
13КУСТИКА
ШШУ
Электронный журнал «Техническая акустика» http://www.ejta.org
2021, 1
С. С. Воронков
Псковский государственный университет
Россия, 180000, г. Псков, пл. Ленина, 2, e-mail: voronkovss@yandex.ru
О возникновении и распаде когерентных вихревых структур в вязком газе
Получена 20.12.2020, опубликована 23.01.2021
Рассматривается механизм возникновения и распада когерентных вихревых структур в пограничном слое на пластине и в круглой осесимметричной струе вязкого газа. Отмечается, что когерентные вихревые структуры присутствуют не только на стадии перехода, но и в развитом турбулентном течении вязкого газа. Установлено, что турбулентность в вязком теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением. Распад вихревых структур сопровождается взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления, запускающим новый цикл генерации турбулентности.
Ключевые слова: когерентные вихревые структуры, векторное волновое уравнение, пограничный слой, круглая струя, вязкий газ.
ВВЕДЕНИЕ
Как показывает проведенный анализ, полученное в работе [1] векторное волновое уравнение для круговой частоты вихревой трубки в вязком теплопроводном газе описывает не только изменение и распад вихревой трубки, но и возникновение вихревой трубки, возникновение и распад когерентных вихревых структур. Покажем это.
1. КОГЕРЕНТНЫЕ ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛАСТИНЕ
Приведем векторное волновое уравнение для круговой частоты вихревой трубки в вязком теплопроводном газе, полученное в работе [1]
где ы — круговая частота; а — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; V— вектор пульсационной скорости газа с проекциями и, V, w на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно; V — коэффициент кинематической вязкости; k — показатель адиабаты; t — время.
(1)
Рассмотрим возникновение вихревых трубок в естественном переходе на пластине рис. 1
Рис. 1. Появление двумерных вихрей и их распад на трехмерные структуры в естественном переходе. Рисунок из работы [2]. Цитируется по [3]
Круговая частота связана с циркуляцией скорости: 1
ы = — rotV. 2
Учитывая, что [4] divrot V = 0,
подставляя (2) и (3) в (1), получим
д 2ы
dt2
■ = 0.
(2)
(3)
(4)
Запишем векторное уравнение (4) в проекциях на оси декартовой системы координат х,
У, к д V
dt2 д Ч
_У
dt2
д 2ч
- 0,
= 0,
= 0.
dt2
Решения уравнений (5-7) запишутся:
Ч = Q + C2, чу = C3t + C4,
4 = C 5t + C6,
где C, C, C, C4, C5, C6 — константы.
(5)
(6)
(7)
(8) (9)
(10)
В естественном переходе возникают вихревые трубки - двумерные вихри ф2 -рис. 1, перпендикулярные основному направлению потока. Следовательно
С15 С2, С3, С4 -0. (11)
Рассмотрим частный случай решения, когда начальное значение круговой частоты вихревой трубки не зависит от времени и С5 - 0. Тогда начальное значение вихревой
трубки будет определяться константой С6, которая найдется как
г
С6 - ~ ( ~ - Л
2 дх ду
(12)
то есть начальное значение круговой частоты вихревой трубки определяется производными пульсационных составляющих скоростей u и v
1 ,ду ди.
Ф2 =— (---).
2 дх ду
(13)
Дальнейшее изменение круговой частоты вихревой трубки ф2 описывается векторным волновым уравнением (1). Запишем его в проекциях на оси декартовой системы координат x, у, z:
дЧ
дх2
9 4
- (а,2 + -(к - 1)к11ук)
дф дЧ д2ч
дх дудх дгдх
(14)
д чу , 4
у. - (а2 + -(к-1>1ук)
дх2
3
дЧх д Чу д2ч
х■ +-Г1 + " 2
дхду ду2 дгду
(15)
д V
дх2 4 ' 3
4
- (а2 + ~ (к - 1)кНуК)
д2чх д Чу д2ч
-х +-- +-г2
дхд2 дуд2 д2
(16)
Анализ уравнений (14-16) показывает, что возникшая в пограничном слое вихревая трубка с круговой частотой ф2 будет порождать когерентные вихревые структуры с частотами фх и ф и сама будет деформироваться под действием этих вихревых
структур. Действительно, в уравнениях (14) и (15) в правой части появились пространственные производные от частоты аг, которые будут порождать вихревые трубки с частотами фх и ф . Также, согласно уравнению (16), первоначально двумерная вихревая трубка и ее круговая частота ф2 будут деформироваться и изменяться, что отражено на рис. 1.
Реальная картина взаимодействия когерентных вихревых структур в пограничном слое является более сложной. Приведем результаты работы [5], в которой были количественно исследованы когерентные структуры турбулентного течения в открытом канале в пристеночной области - рис. 2.
гкшювоооратый
вихревые миги
продольный нихрь по.тковооорачный вихрь
о
МЛМрЛВ КЛИП
течения
(б)
продольный нихрь направление подковообразный вихрь 1 течения \ V „
Я ^ ^
уровень ссчсния 235
Рис. 2. Схематическая модель. (а) образование и развитие до стадии подковообразного вихря; (б) общий взгляд на структуру вблизи стенки на стадии полного развития; (в) вид сбоку. Рисунок из работы [5]. Цитируется по [6]
Вихревые трубки переплетаются сложным образом. Причем когерентные вихревые структуры присутствуют в пограничном слое не только на стадии перехода, но и в развитом турбулентном течении. Когерентные вихревые структуры распадаясь, генерируют турбулентные пятна. Генерация турбулентных пятен происходит под действием пульсации давления [7]
Ар = 4/(к -1)
¿0 -1'
(17)
где щ — круговая частота вихревой трубки до начала распада, ^ — полное время распада вихревой трубки, / — коэффициент динамической вязкости.
Возникает вопрос об универсальности механизма возникновения и распада когерентных вихревых структур в вязком газе?
2. КОГЕРЕНТЫЕ ВИХРЕВЫЕ СТРУКТУРЫ В КРУГЛОЙ СТРУЕ
Рассмотрим возникновение и распад когерентных вихревых структур в круглой струе. При естественном переходе в круглой струе возникают кольцевые вихри -вихревые кольца Кельвина-Гельмгольца и полосчатые структуры, представляющие собой продольные вихри - рис. 3.
#
Рис. 3. Естественный переход в круглой струе. Рисунок из «Альбома течений жидкости и газа» М. Ван-Дайка. Фото R. Wille, A. Michalke. Цитируется по [3]
»ь ä
Полосчатые структуры, как отмечается в работе [8], возникают в струях непосредственно на выходе из плоских и круглых сопел.
Физические процессы для круглой осесимметричной струи удобнее рассматривать в цилиндрических координатах г, а, 2. Ось z совместим с осью струи. Запишем векторное уравнение (4) в проекциях на оси цилиндрической системы координат
д V
dt2
d V
dt2
d V
- 0,
- 0,
- 0.
dt2
Решения уравнений (5-7) запишутся vr - Cjt + C2,
(18)
(19)
(20)
V - C3t + C4
(21) (22)
фг - С5Х + Сб, (23)
где С, С, С, С, С, С — константы.
В естественном переходе круглой струи на срезе сопла возникают кольцевые вихри - фе и полосчатые структуры - продольные вихри - фг . Следовательно
С1, С2 - 0. (24)
Рассмотрим частный случай решений, когда начальные значения круговых частот вихревых трубок не зависят от времени и С3, С5 - 0. Тогда начальные значения
вихревых трубок будут определяться константами С4, С, которые найдутся как
1 dV dV C4 --dV-),
2 dz dr
(25)
_ 1 АУ) аг^л
- о ( я я ^
2т дт дг
(26)
V, V, V —проекции пульсационных скоростей газа на оси цилиндрической системы координат т, г, г соответственно,
то есть начальные значения круговых частот вихревых трубок определяются производными пульсационных составляющих скоростей
„ 1( дуг дГ
2 дг дт
1 гд(тУЕ) д¥гл 2т дт дг
(27)
(28)
Дальнейшее изменение круговых частот описывается векторным волновым уравнением (1). Запишем его в проекциях на оси цилиндрической системы координат
т, г, г :
д 2ш„
дг2 4 4 3
9 4
- (а2 + — (к "1)иЛуК)
д ,1 д(тч У д ,1 д2шг — (—-——) + — (---) + ■ г
дт т дт
дт т дг дгдт
(29)
д Ч
дг2
9 4
= (а2 + — (к " 1)к11уК)
1 д .1 д(чт У 1 д2чг 1 дЧ
т дг ^ т дт
-) +
т2 дг2
т дгдг
(30)
■^^Ч = (а.2 + — (к " 1)кНуК ) дг 3
д Л д(чг) 1 д2чг дЧ
дг ^ т дт
') +
+ ■
т дгдг дг2
(31)
Система волновых уравнений (29-31) описывает взаимодействие когерентных вихревых структур в круглой струе.
Как отмечается в работе [8]: «Важный аспект, касающийся полосчатых структур, это их роль в процессе турбулизации осесимметричных течений, например, в круглой струе. Такие структуры возникают в струях непосредственно на выходе из плоских и круглых сопел. При взаимодействии двумерных вихревых колец Кельвина-Гельмгольца с полосчатыми структурами происходит их трехмерное искажение с образованием характерных азимутальных Л — или О — образных выбросов (рис. 4)».
Рис. 4. Визуализация поперечного сечения круглой струи в процессе взаимодействия кольцевого вихря с полосчатыми структурами и образованием при этом азимутальных Л — структур. Рисунок из работы [8]
г
г
Взаимодействие полосчатых структур с кольцевыми вихрями приводит к их распаду с образованием турбулентных пятен.
Когерентные вихревые структуры возникают как в ламинарных, так и в турбулентных струях.
В работе [9] исследован механизм возникновения и развития когерентных вихревых структур в ламинарной и турбулентной круглых струях. Авторы работы [9] пришли к следующим выводам: «Показано, что механизм возникновения и развития когерентных структур в ламинарной и турбулентной струях идентичен в общих чертах и связан с возникновением и развитием когерентных структур типа кольцевых вихрей Кельвина -Гельмгольца, полосчатых структур и их взаимодействием в обоих типах течения».
3. ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ВЯЗКОМ ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕ
Когерентные вихревые структуры присутствуют не только на стадии перехода, но и в развитом турбулентном течении вязкого газа. Проведенное рассмотрение механизма возникновения и распада когерентных вихревых структур в пограничном слое на плоской пластине и в круглой осесимметричной струе позволяет дать следующее определение турбулентности в вязком теплопроводном газе: турбулентность в вязком теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным
д 2ю 4
волновым уравнением —— - (а2 + — (к — 1)кНуК)§гаё&уш. Распад вихревых структур
дХ 3
сопровождается взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления
Ар - 4^(к — 1)—, запускающим новый цикл генерации турбулентности.
Х0 — Х
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Показано, что полученное векторное волновое уравнение для круговой частоты вихревой трубки описывает возникновение и распад когерентных вихревых структур в пограничном слое на пластине и в круглой осесимметричной струе.
2. Отмечается, что когерентные вихревые структуры присутствуют не только на стадии перехода, но и в развитом турбулентном течении вязкого газа.
3. Установлено, что турбулентность в вязком теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением
- (а2 + — (к — 1)кНу V)§гаё&уш. Распад вихревых структур сопровождается дХ 3
22
взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления Ар - 4^(к — 1) 00 , запускающим новый цикл генерации турбулентности.
ЛИТЕРАТУРА
1. Воронков С. С. О механизме генерации вихревых трубок в пограничном слое вязкого газа. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2020, 2.
2. Davidson, P. A. Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford, UK: Oxford University Press, 2004. - 680 p.
3. Гарбарук А. В. Переход к турбулентности. Лекция 2. - С-П.: СПбГПУ, 2019. - 35 с. Режим доступа: https://cfd.spbstu.ru/agarbaruk/turb_models/Term8_Lec02_transition.pdf
4. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. - М.: Наука, 1978. - 736 с.
5. Tadashi Utami, Tetsuo Ueno. Experimental study on the coherent structure of turbulent open-chanel flow using visualization and picture processing // J. Fluid Mech. 1987. V. 174. P. 399-440.
6. Хлопков Ю. И., Жаров В. А., Горелов С. Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое. - М.: МФТИ, 2002. 267 с.
7. Воронков С. С. О механизме возникновения турбулентных пятен Эммонса. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2020, 1.
8. Бойко А. В., Горев В. Н., Козлов В. В. Переход к турбулентности в пограничных слоях: Успехи и перспективы. Вестник НГУ. Серия: Физика. 2006. Том 1, выпуск 2. С. 21-28.
9. Козлов Г. В., Литвиненко Ю. А., Грек Г. Р., Сорокин А. М. О механизме возникновения и развития когерентных структур в ламинарной и турбулентной круглых струях. Вестник НГУ. Серия: Физика. 2008. Том 3, выпуск 1. С. 12-22.
