CC BY
7
УДК 532.5
О ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
С. С. Воронков
ON THE TURBULENCE IN LIQUIDS AND GASES
S.S. Voronkov
Аннотация. Анализируется турбулентность в жидкостях и газах. Приводятся уравнения, описывающие турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса. Отмечается, что при рассмотрении турбулентности в жидкостях, так же как и в газах, необходимо учитывать сжимаемость среды. Показано, что давление в турбулентном потоке в зонах распада когерентных вихревых структур асимптотически возрастает и претерпевает разрыв. Дается определение турбулентности в жидкостях и газах.
Ключевые слова: турбулентность; газ Ван-дер-Ваальса; векторное волновое уравнение; уравнение Навье-Стокса.
Abstract. The turbulence in liquids and gases is analyzed. Equations describing turbulence in Van der Waals gas are given. It is noted that when considering turbulence in liquids, as well as in gases, it is necessary to take into account the compressibility of the medium. It is shown that the pressure in a turbulent flow in the zones of decay of coherent vortex structures asymptotically increases and undergoes a discontinuity. The definition of turbulence in liquids and gases is given.
Key words: turbulence; Van der Waals gas; vector wave equation; Navier-Stokes equation.
Введение
Традиционно считается, что турбулентность в жидкостях и газах описывается системой уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемой среды [1]
+ (V -У)У = Е - — Vp + уУV, (1)
\У = divV = 0, (2)
где V - вектор скорости с проекциями u, v, w на оси декартовой системы координат x, у, z, соответственно; Е - гравитационные силы; р - плотность; р - давление; V -
д д д
коэффициент кинематической вязкости; t - время; V = i--+}--+ к— - оператор
дх ду &
д2 д2 д2 набла; V2 =—- +--- +--2— оператор Лапласа.
дх ду2 дz
Уравнение (1) представляет собой уравнение Навье-Стокса. Уравнение (2) выражает условие несжимаемости среды.
Допущение о несжимаемости среды существенно упрощает математическую постановку задачи. Система уравнений (1-2) - это система из четырех уравнений (первое векторное уравнение представляет собой три скалярных) с четырьмя неизвестными - и, V, w и р.
Но, как показано в работе [2], при рассмотрении турбулентности в вязком теплопроводном газе необходимо учитывать сжимаемость среды и для описания физических процессов привлекать полную систему уравнений: уравнения Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния. В [2] показано, что турбулентность в вязком
Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2021, Т.7, №3
- http://vestmk-nauki.ru -^ 2413_д858
теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением
д2 со 4
—2 = (а2 + — (к - 1)кИу V^гаё&уо, (3)
д1 3
где о - вектор круговой частоты вихревой трубки; . - время; а8 - адиабатное значение
скорости звука совершенного газа; V - вектор скорости газа с проекциями и, V, w на оси декартовой системы координат х, у, 2 соответственно; V - коэффициент кинематической вязкости; к - показатель адиабаты.
Распад вихревых структур сопровождается взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления
2.2
Ар = 4(к (4)
где р - давление; л - коэффициент динамической вязкости; к - показатель адиабаты; <а0 - круговая частота вихревой трубки до начала распада, ¿0 - полное время распада вихревой трубки; I - время.
Взрывной характер роста пульсации давления порождает высокочастотные пульсации скорости и запускает новый цикл генерации турбулентности.
В качестве примера когерентных вихревых структур приведем вихревые трубки,
Рисунок 1 - Появление двумерных вихрей и их распад на трехмерные структуры в естественном переходе. Рисунок из работы [3]. Цитируется по [4]
По мере развития турбулентного течения структура вихревых трубок усложняется. Приведем результаты работы [5], в которой были количественно исследованы когерентные структуры турбулентного течения в открытом канале в пристеночной области - рисунок 2.
(О
продольный НИ\]П ппднггасмюрячньгй ЕИКрк^^^-Ч^Л---
I liLI I |K1IS_ l(J I [HI
течения
(S)
продольный вичиь направление ЩДЩВД^ИИЙ В1К|» \
уровень ссчсния 23 S
Рисунок 2 - Схематическая модель. (а) образование и развитие до стадии подковообразного вихря; (б) общий взгляд на структуру вблизи стенки на стадии
полного развития; (в) вид сбоку. Рисунок из работы [5]. Цитируется по [6]
С точки зрения физики процесса возникновение турбулентности и явление турбулентности в жидкостях ничем не отличается от турбулентности в газах. Обычно, результаты, полученные для жидкостей, например, опыты Рейнольдса по переходу к турбулентности потока воды в трубе, экстраполируются на переход в газовой среде при совпадении числа Рейнольдса.
Но раз рассмотрение турбулентности в вязком теплопроводном газе требует учета сжимаемости среды, то возникает вопрос о необходимости учета сжимаемости среды при рассмотрении турбулентности в жидкости.
Уравнения, описывающие турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса
Особенность жидкости по сравнению с газами заключается в том, что для жидкости нет точного уравнения состояния и полная система уравнений, включающая уравнения Навье-Стокса, энергии и неразрывности не является замкнутой.
Для начала рассмотрим турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса, который занимает промежуточное положение между совершенным газом и жидкостью. Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает реальные свойства газа: наличие межмолекулярного взаимодействия в газе и собственный объем молекул. Оно качественно описывает переход в жидкое состояние и критические явления. Если удастся показать, что в газе Ван-дер-Ваальса полученные уравнения для совершенного газа (3) и (4) сохраняют свое значение, то это позволит экстраполировать их и на жидкости для описания турбулентности.
Выпишем систему уравнений, описывающих турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса:
1. Уравнение Навье-Стокса - закон сохранения количества движения, в предположении постоянства коэффициента динамической вязкости ^ = const и при отсутствии гравитационных сил [7]
dV
--+ rotV х V + grad
dt
( V2 >
v 2 у
= -—gradp+—V 2V+—graddivV. P P 3P
(5)
2. Уравнение состояния для газа Ван-дер-Ваальса [8]
a
(p + -т)(и- b) = RT,
и
(6)
где и - удельный объем газа; T - температура газа; R - газовая постоянная; a и b -константы газа Ван-дер-Ваальса, характеризующие индивидуальные свойства вещества; константа b характеризует объем, занимаемый молекулами; величина а/и2 учитывает взаимодействие молекул газа и представляет собой внутреннее давление.
3. Уравнение для пульсаций давления - закон сохранения энергии, в предположении постоянства коэффициента теплопроводности Я = const, полученное для газа Ван-дер-Ваальса в работе[9]
dp + V • gradp - a2sb^~ = (k - 1)ф
dp
и
dt
dt
и-b
(7)
где p, p - давление и плотность газа; a2, = kRT
и
(и- b)2 и
2a _
- - квадрат адиабатного
значения скорости звука для газа Ван-дер-Ваальса; Ф - функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен:
Ф = Л
д27~ д2Т д2Т дх2 ду2 dz2
-|J
д£Л (дьЛ (диЛ
дд —+—
дд
-^у)
^Зу дг) дх ) 3х '
Т - температура газа; V - вектор скорости газа с проекциями и, V, w на оси декартовой системы координат х, у, 2 соответственно; X - коэффициент теплопроводности; л - коэффициент динамической вязкости; I - время; к - показатель адиабаты.
4. Уравнение неразрывности - закон сохранения массы [1]
dP + pdivV = 0. dt
(8)
В этой системе из 6-ти уравнений (первое векторное уравнение представляет собой три скалярных) неизвестных 6 величин: и, V, w, р, р или и, Т.
Для получения векторного волнового уравнения, описывающего когерентные вихревые структуры в газе Ван-дер-Ваальса, проделаем выкладки, аналогичные для получения уравнения в совершенном газе [10]. В результате получим
д 2w dt2
2 4 = (aSb + -(k -1)
и
3
и-b
vdivV )graddivw.
(9)
Формула для пульсаций давления (4), генерирующих образование турбулентных пятен Эммонса в газе Ван-дер-Ваальса после преобразований запишется
+
2,2
Ар = 4(к
и-Ь t0 -1
(10)
Анализ полученных уравнений (9) и (10) в сравнении с уравнениями (3) и (4) для совершенного газа показывает, что учет реальности газа приводит к усилению нелинейных эффектов в уравнениях (9) и (10), так как член и/(и-Ь) всегда больше единицы.
Уравнения, описывающие турбулентность в жидкости
В качестве уравнения состояния для жидкостей используется эмпирическое уравнение состояния Тэта [11]
Р = Р* ((Р) к* -1), Ро
(11)
где р* и к* - эмпирические константы; р* - внутреннее давление, для воды « 3,2 -108 Па; к, - аналог показателя адиабаты, для воды « 7.
Учитывая уравнение состояния (11), адиабатный модуль объемной упругости Е. найдется
др
Е = / ' )
Ев = Ро ' ^ _ ).,р=р0
к* р*.
(12)
Адиабатное значение скорости звука для жидкости определится
Е
а =
р0 V
к * р *
р0
(13)
Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно описывает переход в жидкое состояние и критические явления. Поэтому полученные уравнения (9) и (10) справедливы и для жидкостей с необходимостью количественной корректировки констант, входящих в эти уравнения. Запишем эти уравнения в следующем общем виде
д 2ш д12
= (а2+ С^иНуК ^гаёёгуш,
ар = С2^
22 ®0 t0
tо - ^
(14)
(15)
где а.. - адиабатное значение скорости звука для совершенного газа, газа Ван-дер-Ваальса, жидкости; С1 и С2 - константы, имеющие различные значения для совершенного газа, газа Ван-дер-Ваальса и жидкости.
Сведем значения этих констант в таблицу.
№ п/п Среда а.г С, С2
1. Совершенный газ а. 4 3(к - 1 4(к -1)
2. Газ Ван-дер-Ваальса а.ь -" Ь 3 и-Ь 4(к -1) и о-Ь
3. Жидкость а 4п п ° —(к* -1)--первое 3 и- Ь приближение, требует экспериментального уточнения 4(к* -1)—---первое о- Ь приближение, требует экспериментального уточнения
Вестник науки и образования Северо-Запада России, 2021, Т.7, №3
ТБШ^ТЗ-ШББ
Приведем график изменения пульсации давления в зонах распада когерентных вихревых структур в жидкости, рассчитанный по формуле (15) - рисунок 3.
с
Лр1 Лр2
>4 &
С
10
2 10
4 10
6 10
8 10
0.001
Время, с
Рисунок 3 - Пульсации давления в воде, вычисленные по формуле (15). Лр1 - вода ?=200С; Лр 2 - вода ?=1000С. При расчете принималось: ю0 = 10л рад/с; ?0 = 0,001 с; Ъ = 0,0009 м3/кг; к. = 7 ; для воды при ?=20 0С л = 1003 -10-6 Па • с; при 1=100 0С
Л = 282-10-6 Па • с
Полученное выражение для пульсации давления (15) свидетельствует о том, что давление в турбулентном потоке жидкости и газа в зонах распада когерентных вихревых структур асимптотически возрастает и претерпевает разрыв.
Проведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение турбулентности в жидкостях и газах:
Турбулентность в жидкостях и газах представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур,
д 2 О
описываемых векторным волновым уравнением —— = (а2 + С^ЫУ^гаёёгуо. Распад
д?
вихревых структур сопровождается взрывным, асимптотическим ростом пульсации
2
давления Ар = С2р 0 0 , запускающим новый цикл генерации турбулентности. ?0 - ?
Заключение
1. Отмечается, что при рассмотрении турбулентности в жидкостях, так же как и в газах, необходимо учитывать сжимаемость среды.
2. Показано, что давление в турбулентном потоке жидкости и газа в зонах распада когерентных вихревых структур асимптотически возрастает и претерпевает разрыв.
3. Дается определение турбулентности: Турбулентность в жидкостях и газах представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением д2( 2
—— = (а2+ С^иНуУ^гаё&уо. Распад вихревых структур сопровождается взрывным, д?
асимптотическим ростом пульсации давления Ар = С2р генерации турбулентности.
запускающим новый цикл
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Москва: Наука, 1978. 736 с.
2. Воронков С.С. О турбулентности в вязком газе. Техническая акустика: электронный журнал. 2021. № 3. URL: http://www.ejta.org.
3. Davidson, P. A. Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford, UK: Oxford University Press, 2004. 680 p.
4. Гарбарук А. В. Переход к турбулентности. Лекция 2. Санкт-Петербург: СПбГПУ, 2019. - 35 с. URL: https://cfd.spbstu.ru/agarbaruk/turb_models/Term8_Lec02_transition.pdf (дата обращения: 01.09.2921).
5. Tadashi Utami, Tetsuo Ueno. Experimental study on the coherent structure of turbulent open-chanel flow using visualization and picture processing // J. Fluid Mech. 1987. V. 174. P. 399-440.
6. Хлопков Ю. И., Жаров В. А., Горелов С. Л. Когерентные структуры в турбулентном пограничном слое. Москва: Изд-во МФТИ, 2002. 267 с.
7. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть вторая. Москва-Ленинград: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. 612 с.
8. Вукалович М.П., Новиков И.И. Техническая термодинамика. Москва: Энергия, 1968. 496 с.
9. Воронков С. С. Обобщение формулы для скорости звука в вязком совершенном газе на газ Ван-дер-Ваальса // Вестник Псковского государственного университета. Серия: Технические науки. 2015. № 1. С. 111-115.
10. Воронков С.С. О механизме генерации вихревых трубок в пограничном слое вязкого газа // Техническая акустика: электронный журнал. 2020. № 2. URL: http://www.ejta.org.
11. Красильников В. А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. Москва: Наука, 1984. 400 с.
REFERENCES
1. Lojcyanskij L.G. Mekhanika zhidkosti i gaza [Mechanics of liquid and gas]. Moscow: Nauka, 1978. 736 p.
2. Voronkov S.S. O turbulentnosti v vyazkom gaze [On the turbulence in a viscous gas]. Tekhnicheskaya akustika: Elektronnyj zhurnal. 2021. No. 3. URL: http://www.ejta.org.
3. Davidson, P. A. Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford, UK: Oxford University Press, 2004. 680 p.
4. Garbaruk A. V. Perehod k turbelentnosti. Lekcia 2 [Transition to turbulence. Lecture 2]. -Sankt-Peterburg: SPbSPU, 2019. 35 p. URL: https://cfd.spbstu.ru/agarbaruk/turb_models/Term8_Lec02_transition.pdf (дата обращения: 01.09.2921). (accessed: 01.09.2921).
5. Tadashi Utami, Tetsuo Ueno. Experimental study on the coherent structure of turbulent open-chanel flow using visualization and picture processing. J. Fluid Mech. 1987. V. 174, pp. 399440.
6. Khlopkov Yu.I., Zharov V.A., Gorelov S.L. Kogerentnye struktury v turbulentnom pogranichnom sloe [Coherent structures in a turbulent boundary layer]. Moscow: Izdatelstvo MFTI, 2002. 267 p.
7. Kochin N.E., Kibel I.A., Rose N.V. Teoreticheskaja gidromechanica. Chast vtoraja [Theoretical hydromechanics. Part 2]. Moscow-Leningrad: Gos. Izdatelstvo technico-teoretichtskoy literature, 1948. 612 p.
8. Vukalovich M.P., Novikov I.I. Technicheskaja termodinamika [Technical thermodynamics]. Moscow: Energiya, 1968. 496 p.
9. Voronkov S.S. Obobschenie for mule dlja skorosti zvuka v vjazkom sovershonnom gaze na gaz Van der Waalsa [Generalization of the formula for the speed of sound in a viscous perfect gas to a Van der Waals gas]. Vestnik Pskovskogo gosudarstvennogo universiteta. Seria: Technicheskie nauki. 2015. No. 1, pp. 111-115.
10. Voronkov S.S. O mechanizme generatsee vichrevich trubok v pogranichnom sloe vjaskogo gaza [On the mechanism of generation of vortex tubes in the boundary layer of a viscous gas]. Tekhnicheskaya akustika: Elektronnyj zhurnal. 2020. No. 2. URL: http://www.ejta.org.
11. Krasilnikov V.A., Krylov V.V. Vvedenie v fizicheskuu akustiku [Introduction to Physical Acoustics]. Moscow: Nauka, 1984. 400 p.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Воронков Сергей Семенович Псковский государственный университет, г. Псков, Россия, кандидат технических наук, доцент кафедры архитектуры и строительства E-mail: vorss60@yandex.ru
Voronkov Sergey Semenovich Pskov State University, Pskov, Russia, Candidate of Technical Science, Docent of the Department of Architecture and Construction E-mail: vorss60@yandex.ru
