О ТУРБУЛЕНТНОСТИ В ЖИДКОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

КУСТИКА

ШЗЯЕГ

Электронный журнал «Техническая акустика» http://www.ejta.org

2021, 4

С. С. Воронков

Псковский государственный университет

Россия, 180000, г. Псков, пл. Ленина, 2, e-mail: voronkovss@yandex.ru

О турбулентности в жидкости

Получена 31.08.2021, опубликована 08.10.2021

Анализируется турбулентность в жидкостях и газах. Приводятся уравнения, описывающие турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса. Отмечается, что при рассмотрении турбулентности в жидкостях, так же как и в газах, необходимо учитывать сжимаемость среды. Дается определение турбулентности в жидкостях и газах. Рассматривается существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса. Показано, что разрывное поведение давления в турбулентном потоке жидкости и газа следует не из решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды, а из решений более общей системы уравнений, учитывающей сжимаемость и диссипацию энергии.

Ключевые слова: турбулентность, газ Ван-дер-Ваальса, векторное волновое уравнение, уравнение Навье-Стокса.

ВВЕДЕНИЕ

Традиционно считается, что возникновение турбулентности и явление турбулентности в целом в жидкостях и газах описывается системой уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды [1].

Но как показано в работе [2], при рассмотрении турбулентности в вязком теплопроводном газе необходимо учитывать сжимаемость среды и для описания физических процессов привлекать полную систему уравнений: уравнения Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния. В [2] показано, что турбулентность в вязком теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением

где т — вектор круговой частоты вихревой трубки; t — время; а — адиабатное значение скорости звука совершенного газа; V — вектор скорости газа с проекциями и, V, w на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно; V — коэффициент кинематической вязкости; k — показатель адиабаты.

Распад вихревых структур сопровождается взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления

(1)

Ap = 4(k-1)^

t0

t0 -t

(2)

где р — давление; л — коэффициент динамической вязкости; к — показатель адиабаты; а>0 — круговая частота вихревой трубки до начала распада, ^ — полное время распада вихревой трубки; ^ — время.

Взрывной характер роста пульсации давления порождает высокочастотные пульсации скорости и запускает новый цикл генерации турбулентности.

С точки зрения физики процесса возникновение турбулентности и явление турбулентности в жидкостях ничем не отличается от турбулентности в газах. Обычно, результаты, полученные для жидкостей, например, опыты Рейнольдса по переходу к турбулентности потока воды в трубе, экстраполируются на переход в газовой среде при совпадении числа Рейнольдса.

В качестве примера приведем результаты экспериментов по визуализации турбулентных пятен Эммонса для газа и жидкости в пограничном слое на пластине.

а) в воздухе; визуализация осуществляется при помощи дыма в воздухе, освещаемого вспышкой; фото R. E. Falco; рисунок из работы [3]

б) в воде; визуализация при помощи суспензии алюминиевых хлопьев в воде; рисунок из работы [4]; цитируется по [3]

Рис. 1. Турбулентное пятно Эммонса. Число Рейнольдса Re=200000

Сравнение рисунков показывает, что турбулентные пятна, как в газе, так и в жидкости сохраняют характерную стреловидную форму и в целом идентичны.

Но раз рассмотрение турбулентности в вязком теплопроводном газе требует учета сжимаемости среды, то возникает вопрос о необходимости учета сжимаемости среды при рассмотрении турбулентности в жидкости.

1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ГАЗЕ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА

Особенность жидкости по сравнению с газами заключается в том, что для жидкости нет точного уравнения состояния и полная система уравнений, включающая уравнения Навье-Стокса, энергии и неразрывности не является замкнутой.

Для начала рассмотрим турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса, который занимает промежуточное положение между совершенным газом и жидкостью. Уравнение Ван-дер-Ваальса учитывает реальные свойства газа: наличие межмолекулярного

взаимодействия в газе и собственный объем молекул. Оно качественно описывает переход в жидкое состояние и критические явления. Если удастся показать, что в газе Ван-дер-Ваальса полученные уравнения для совершенного газа (1) и (2) сохраняют свое значение, то это позволит экстраполировать их и на жидкости для описания турбулентности.

Выпишем систему уравнений, описывающих турбулентность в газе Ван-дер-Ваальса:

1. Уравнение Навье-Стокса — закон сохранения количества движения, в предположении постоянства коэффициента динамической вязкости — = const и при отсутствии гравитационных сил [5]

dV

--ъ rotV xV + grad

dt

iy 2 Л V"2 у

= -—gradp +—V2 V +—graddiv V. P P 3P

(3)

2. Уравнение состояния для газа Ван-дер-Ваальса [6]

(p + -,)(b-b) = RT,

v

(4)

где v — удельный объем газа; T — температура газа; R — газовая постоянная; a и b — константы газа Ван-дер-Ваальса, характеризующие индивидуальные свойства вещества; константа b характеризует объем, занимаемый молекулами; величина а/v2 учитывает взаимодействие молекул газа и представляет собой внутреннее давление.

3. Уравнение для пульсаций давления — закон сохранения энергии, в предположении постоянства коэффициента теплопроводности Л = const, полученное для газа Ван-дер-Ваальса в работе [7]

dp + V • gradp - a2^dP = {k-1ф V

dt

dt

v-b

где p, p — давление и плотность газа; a2 = kRT

2a

(v- b)2 v

(5)

— квадрат адиабатного

значения скорости звука для газа Ван-дер-Ваальса; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен:

Ф = Л

( д 2T д 2T д 2T Л

- + ■

- + ■

dx2 dy2 dz2

+

+ —

du dx

22

+

dv

vdy у

+

dw

+

(dv duЛ dx dy

+

+

^ dw dv^

+- +dwY -2 (divV)2

dy dz у \dz dx у 3

Т — температура газа; V — вектор скорости газа с проекциями u, v, w на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно; Л — коэффициент теплопроводности; / — коэффициент динамической вязкости; t — время; k — показатель адиабаты.

2

2

2

2

>

4. Уравнение неразрывности — закон сохранения массы [1]

^^рсИуК = 0. (6)

йг

В этой системе из 6-ти уравнений (первое векторное уравнение представляет собой три скалярных) неизвестных 6 величин: и, V, w, р, р, Т.

Для получения векторного волнового уравнения, описывающего когерентные вихревые структуры в газе Ван-дер-Ваальса, проделаем выкладки, аналогичные для получения уравнения в совершенном газе [8]. В результате получим

= + 4(к - 1) "Иу V ^аёСуш. (7)

от 3 о- Ь

Формула для пульсаций давления (2), генерирующих образование турбулентных

пятен Эммонса в газе Ван-дер-Ваальса, после преобразований запишется

2.2

Ар — 4(к-1)-0;Л—. (8)

о-Ь г0 - г

Анализ полученных уравнений (7) и (8) в сравнении с уравнениями (1) и (2) для совершенного газа показывает, что учет реальности газа приводит к усилению нелинейных эффектов в уравнениях (7) и (8), так как член о/(о-Ь) всегда больше единицы.

2. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ЖИДКОСТИ

В качестве уравнения состояния для жидкостей используется эмпирическое уравнение состояния Тэта [9]

р—р* «А)к* -1),

Ро

(9)

где р* и к* — эмпирические константы; р* — внутреннее давление, для воды « 3,2 • 108 Па ; к* — аналог показателя адиабаты, для воды « 7.

Учитывая уравнение состояния (9), адиабатный модуль объемной упругости Е&

найдется

(

Е =Ро

др

— к* р*.

Адиабатное значение скорости звука для жидкости определится

Е

а —

Ро V

к* р*

Ро

(10)

(11)

Уравнение Ван-дер-Ваальса качественно описывает переход в жидкое состояние и критические явления. Поэтому полученные уравнения (7) и (8) справедливы и для жидкостей с необходимостью количественной корректировки констант, входящих в эти уравнения. Запишем эти уравнения в следующем общем виде

Ы2

- (а2 + СиИу V)§гаМую, (12)

2,2

Ар = , (13)

t0 t

где ая. — адиабатное значение скорости звука для совершенного газа, газа Ван-дер-Ваальса, жидкости; С и С2 — константы, имеющие различные значения для совершенного газа, газа Ван-дер-Ваальса и жидкости. Сведем значения этих констант в таблицу.

№ п/п Среда С2

1. Совершенный газ 4 ^ -1) 4^ -1)

2. Газ Ван-дер-Ваальса азЬ 3 V-Ь 4(k-1)-^ V-Ь

3. Жидкость 3 V-Ь первое приближение, требует экспериментального уточнения 4(& 1) V V-Ь первое приближение, требует экспериментального уточнения

Приведем график изменения пульсации давления в зонах распада когерентных вихревых структур в жидкости, рассчитанный по формуле (13) - рис. 2.

Рис. 2. Пульсации давления в воде, вычисленные по формуле (13). Лp1 — вода ^20°С; Лp2 — вода ^100°С. При расчете принималось: = 10 п рад/с; ^ = 0,001 с; Ь = 0,0009 м3/кг; = 7 ; для воды при ^20°С / = 1003 • 10 -6 Па • с; при 1=100°С

/ = 282-10 6 Па • с

Проведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение турбулентности в жидкостях и газах:

Турбулентность в жидкостях и газах представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур,

д2(о

описываемых векторным волновым уравнением —— — (а2 + С^сЦуУ)§гаёСу«. Распад

дг *

вихревых структур сопровождается взрывным, асимптотическим ростом пульсации

давления Ар — С2/ 00 , запускающим новый цикл генерации турбулентности.

го - г

3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА

Задача существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса [10] сформулирована Математическим институтом Клэя [11] как одна из семи математических задач тысячелетия. Уравнения Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды являются нелинейными и их аналитические решения на сегодня найдены только для узкого круга задач [12, 13]. Поэтому считается, что доказательство существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса позволит глубже понять свойства уравнений и разобраться в проблеме турбулентности, которая остается одной из важнейших нерешенных проблем в физике [14].

В постановке задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды требуется доказать одно из двух утверждений [10], что решения уравнений Навье-Стокса, вектор скорости о(х,г) и поле давления р( х,г), существуют и они гладкие или же, что решения о( х,г) и р( х,г) не существуют или они негладкие.

Но как показано в этой статье, турбулентность в жидкостях и газах связана со сжимаемостью среды.

Поэтому задача существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды представляет интерес лишь с точки зрения математики и лишена физического содержания.

С точки зрения физики при рассмотрении существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в жидкостях и газах необходимо учитывать сжимаемость среды.

Полученное выражение для пульсации давления (13) свидетельствует о том, что давление в турбулентном потоке жидкости и газа в зонах распада когерентных вихревых структур асимптотически возрастает и претерпевает разрыв.

Но такое разрывное поведение давления в турбулентном потоке жидкости и газа следует не из решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды, а из решений более общей системы уравнений, учитывающей сжимаемость и диссипацию энергии: уравнений Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Дается определение турбулентности: Турбулентность в жидкостях и газах представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением

сГы

dt2

= (a2 + C1vdivV )graddrvm Распад вихревых структур сопровождается

со2/2

взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления Ар — С2/ 00 ,

го - г

запускающим новый цикл генерации турбулентности.

2. Отмечается, что с точки зрения физики при рассмотрении существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в жидкостях и газах необходимо учитывать сжимаемость среды.

3. Показано, что разрывное поведение давления в турбулентном потоке жидкости и газа следует не из решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды, а из решений более общей системы уравнений, учитывающей сжимаемость и диссипацию энергии: уравнений Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. - М.: Наука, 1978. - 736 с.

2. Воронков С.С. О турбулентности в вязком газе. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www. ejta. org, 2021, 3.

3. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. - М.: Мир, 1986. - 184 с.

4. Cantwell B., Coles D., Dimotakis P. - J. Fluid Mech., 1978, 87, p. 641-672.

5. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть вторая. -М-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. - 612 с.

6. Вукалович М.П. и Новиков И.И. Техническая термодинамика. - М.: Энергия, 1968. -496 с.

7. Воронков С.С. Обобщение формулы для скорости звука в вязком совершенном газе на газ Ван-дер-Ваальса. Вестник Псковского государственного университета. Серия: Технические науки. 2015. № 1. С. 111-115.

8. Воронков С.С. О механизме генерации вихревых трубок в пограничном слое вязкого газа. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2020, 2.

9. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984. - 400 с.

10. Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса. - Википедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/Существование_и_гладкость_решений_уравнений_Навье

— Стокса

11. The Clay Mathematics Institute. https://claymath.org/

12. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - 2-е изд. - М.: Наука, 1970. - 288 с.

13. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981. - 408 с.

14. Нерешенные проблемы современной физики. - Википедия.

https://ш.wikipedia.org/wikiШерешённые_проблемы_современной_физики