CC BY
19^Ж i Wi 11111 >
J Щ КУСТИКА
Электронный журнал «Техническая акустика» http://www.ejta.org
2021, 3
С. С. Воронков
Псковский государственный университет
Россия, 180000, г. Псков, пл. Ленина, 2, e-mail: voronkovss@yandex.ru
О турбулентности в вязком газе
Получена 14.04.2021, опубликована 18.05.2021
Приводятся уравнения, описывающие турбулентность. Дается определение турбулентности в вязком теплопроводном газе. Рассматривается существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса. Отмечается, что с точки зрения физики при рассмотрении существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в вязком теплопроводном газе необходимо учитывать сжимаемость среды. Показано, что разрывное поведение давления в турбулентном потоке вязкого теплопроводного газа следует не из решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды, а из решений более общей системы уравнений, учитывающей сжимаемость и диссипацию энергии: уравнений Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния.
Ключевые слова: турбулентность, вязкий теплопроводный газ, закон возникновения турбулентности, уравнение Навье-Стокса.
ВВЕДЕНИЕ
Традиционно считается, что турбулентность в жидкостях и газах описывается системой уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды [ 1]
ЛТ7 1
— + (V -У)К = ¥--Ур + vУ2V, (1)
УК = йыК = 0, (2)
где V — вектор скорости с проекциями и, V, на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно; ¥ — гравитационные силы; р — плотность; р — давление;
3 3 3
V — коэффициент кинематической вязкости; t — время; У = [--ь)--ь к— —
3х 3у 3г
оператор набла; V2 = -^у + -^у + -^у — оператор Лапласа.
д22 д2 д2 -7 +-7 +-2
дх ду dz
Уравнение (1) представляет собой уравнение Навье-Стокса. Уравнение (2) выражает условие несжимаемости среды.
При решении системы уравнений (1 -2) необходимо задавать начальные и граничные условия.
Допущение о несжимаемости среды существенно упрощает математическую постановку задачи. Система уравнений (1-2) - это система из четырех уравнений (первое
векторное уравнение представляет собой три скалярных) с четырьмя неизвестными - и, V, w и р. Допущение о несжимаемости среды является приемлемым для жидкостей. Газы в первом приближении при умеренных скоростях также рассматривают как несжимаемые. Это следует из того, что изменение плотности в газах зависит от числа Маха (М = и/ а ) [1]:
Р = 1 -1M2 +....
Ро
2
(3)
Оценки показывают [1], что если допустить относительную ошибку за счет не учета сжимаемости газа, равную 1%, то это приводит к ограничению скорости для воздуха и<50 м/с.
Но эти оценки относятся к установившемуся движению газов, и они необоснованно экстраполируются на область возникновения турбулентности. Как показано в работе [2], на передней кромке пластины - рис. 1, при возникновении турбулентности происходит резкий скачок термодинамических параметров: давления, плотности, и температуры, а также дивергенции скорости.
Рис. 1. Схема основных стадий процесса перехода в пограничном слое. Рисунок из
работы [3]
На рис. 2 приведены графики изменения давления и плотности вдоль пластины [2]. Передняя кромка пластины располагается в узле г = 6 .
а)давление p
б) плотность р
Рис. 2. Изменение давления и плотности воздуха в пограничном слое вдоль пластины в момент времени п=20. Рисунок из работы [2]
На рис. 3 приведен график изменения дивергенции скорости вдоль пластины. На передней кромке пластины происходит резкий скачок этой величины с отрицательным знаком.
200
divVi.;
- -200
divV^t
^i.' -400 divVi.s
dwViiU
-soo -1000
V 7
10 20 30 40
i
Ндмвр узт m cot x
Рис. 3. Изменение дивергенции скорости divK воздуха в пограничном слое вдоль пластины в момент времени n=20. Рисунок из работы [2]
Полученные результаты ставят под сомнение правомерность допущения о несжимаемости среды при анализе возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе, которое предполагает, что
divV = 0. (4)
На передней кромке пластины дивергенция скорости принимает значение порядка divV = -800 (смотри рис. 3).
Как показано в работе [4], при анализе возникновения турбулентности в пограничном слое вязкого теплопроводного газа необходимо учитывать сжимаемость среды и диссипацию энергии в потоке.
Возникает вопрос о необходимости учета сжимаемости среды при рассмотрении существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в вязком теплопроводном газе.
1. УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ВЯЗКОМ ТЕПЛОПРОВОДНОМ ГАЗЕ
Выпишем систему уравнений, описывающих турбулентность в вязком теплопроводном газе:
1. Уравнение Навье-Стокса — закон сохранения количества движения, в предположении постоянства коэффициента динамической вязкости — = const и при отсутствии гравитационных сил [5]
SV
--ъ rot V х V + grad
dt
iV 2Л V"2 у
= -—gradp +—V 2V + — graddivV. (5)
P P 3P ( )
2. Уравнение для пульсаций давления — закон сохранения энергии, в предположении постоянства коэффициента теплопроводности Л = const [6]
^ + V ■ gradp - а2 dP = (k - ф dt
2 dp dt
(6)
где р, р — давление и плотность газа; а — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен:
Ф = Л
(d2T д2Т д2ТЛ
■ + -
- + -
V
д^2 ду dz2
+
(du > 2 (dv ] 2 (dw) 2 (dv duЛ 2
— + + — + — + — +
Vdx J ldy J Vdz J Vdx dy J
+
dw dv — + —
V ду dz
2
+
du dw Vdz dx J
2
- f (divV )2
Т — температура газа; V — вектор скорости газа с проекциями и, V, ^ на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно; Л — коэффициент теплопроводности; л — коэффициент динамической вязкости; t — время; k — показатель адиабаты.
3. Уравнение неразрывности — закон сохранения массы [ 1 ]
— + pdivV = 0. dt
(7)
4. Уравнение состояния для совершенного газа
р = Р*Т, (8)
где R — газовая постоянная.
В этой системе из 6-ти уравнений (первое векторное уравнение представляет собой три скалярных) неизвестных 6 величин: u, v, w, p, р, T.
Важную роль в понимании механизма возникновения и поддержания турбулентности в вязком теплопроводном газе играет, помимо уравнения Навье-Стокса (5), являющегося нелинейным, уравнение для пульсаций давления (6), полученное в работе [6]. Уравнение для пульсаций давления (6) также является нелинейным. Эта нелинейность проявляется при возникновении турбулентности.
Традиционно считается, что сжимаемость газов достаточно точно описывается линейным приближением, согласно которому изменение давления связано с относительной объемной деформацией законом Гука [7]
ар = -Е^ = - Е^ = К^Р, V и р
где p — давление, E — модуль объемной упругости газа, V, и, р объем, плотность газа соответственно.
(9)
объем, удельный
2
Модуль объемной упругости E представляет собой коэффициент пропорциональности.
Помимо модуля упругости газа, для характеристики сжимаемости используют также коэффициент сжимаемости и скорость звука, которые следующим образом связаны между собой [7]
о 1 2 Е
3 = -. а2 = (10)
Е р
где: 3 — коэффициент сжимаемости, a — скорость звука, р — плотность.
Линейная зависимость между изменением давления и изменением объема справедлива при постоянстве модуля упругости газа. Модуль упругости покоящихся газов зависит от их давления, и при постоянстве этого параметра является постоянной величиной. Поэтому для покоящихся газов линейный закон Гука достаточно точно описывает связь между изменением давления и изменением объема.
Но для движущегося потока вязкого теплопроводного газа с поперечным сдвигом эта линейная зависимость между изменением давления и изменением объема нарушается, так как модуль упругости зависит от процессов, происходящих в этой среде (скорости потока, частоты и интенсивности возмущения, градиентов скорости и температуры и др.).
Учитывая формулу для скорости звука, полученную в [6]
2 _ 2 V' (а2 ягайр — %гас/р)+ (к - 1ф
а =а + др , (11)
дг
найдем модуль объемной упругости
„2___2 , р\у ■ (а, ягайр — ягайр)+ (к — 1)ф]
- = ра2 = ра] + р \а^'айр—^айр)+ Vk — . (12)
"дГ
Анализ выражения (12) показывает, что модуль объемной упругости можно представить в виде
Е = Е,я + АЕ, (13)
где: Ея = ра2 — адиабатный модуль объемной упругости,
АЕ = рр ■ (а2&айр — &айр)+ (к — 1)ф] — амплитуда модуля объемной упругости —
др
'дг
нелинейная добавка, обусловленная диссипацией энергии и теплообменом в потоке вязкого теплопроводного газа с поперечным сдвигом.
Приведем на рисунке 4 характерный закон изменения модуля объемной упругости в фиксированный момент времени (п=59) вдоль канала вблизи стенки 0=3) при наличии гармонического возмущения плотности [8]
Рис. 4. Е159 — модуль объемной упругости с учетом диссипации энергии и теплообмена, Па; Е^д — адиабатный модуль объемной упругости, Па; 1 — номер узла конечно-разностной сетки по оси х. Рисунок из работы [8]
Подставляя выражение для модуля объемной упругости (12) в формулу (9), получим закон возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе, найденный в работе [4]
dp = dps + dpn = a]dp + (f • (a2gradp - gradp)+ (k - 1)0)dt,
(14)
где dps = a2s dp — линейная составляющая изменения давления; dpn = (v "(a2 gradp- gradp)+(k - 1)ф)й — нелинейная составляющая изменения давления; as — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; p, p — давление и плотность газа; Ф — функция, учитывающая диссипацию энергии и теплообмен.
Этот закон следует непосредственно из уравнения для пульсаций давления (6) и используется для описания турбулентности в вязком теплопроводном газе. Он демонстрирует необходимость учета сжимаемости среды при рассмотрении турбулентности в вязком газе.
2. ЧТО ТАКОЕ ТУРБУЛЕНТНОСТЬ?
Важную роль в понимании турбулентности в вязком теплопроводном газе играют когерентные вихревые структуры, первоначально возникающие на передней кромке пластины (рисунок 5).
Рис. 5. Появление двумерных вихрей и их распад на трехмерные структуры в естественном переходе. Рисунок из работы [9]. Цитируется по [10]
Приведем формулу для пульсации давления (15), под действием которого происходит генерация вихревых трубок на передней кромке пластины. Формула получена из закона возникновения турбулентности (14) при гармоническом возмущении в [11]. Приведем также векторное волновое уравнение (16), описывающее связь волн Толлмина-Шлихтинга с акустическими волнами [2], векторное волновое уравнение для круговых частот когерентных вихревых структур (17), описывающее их возникновение и распад [12], формулу для пульсаций давления (18), генерирующих образование турбулентных пятен Эммонса [13]
Ар = ¡(к — 1)
д V
Аг + ^-^ 5 52 ю
дг2 д 2ю дг2
= (а2 + - (к — ^аё&уК,
4
= (а2 + — (к — 1)и1гуК )§гаёёгую,
Ар = 4 ¡(к — 1)
юого
г0 — г
(15)
(16)
(17)
(18)
где иш — скорость набегающего потока: и'т — амплитуда пульсационной составляющей скорости; ю — круговая частота возмущения; Аг — интервал интегрирования по времени; 5 — толщина пограничного слоя; t — время; а — адиабатное и изоэнтропное значение скорости звука; V — вектор пульсационной скорости газа с проекциями и, V, w на оси декартовой системы координат x, у, z соответственно; V — коэффициент кинематической вязкости; k — показатель адиабаты; ю — вектор круговой частоты вихревой трубки; ю0 — круговая частота вихревой трубки до начала распада, г0 — полное время распада вихревой трубки, ¡л — коэффициент динамической вязкости.
Когерентные вихревые структуры присутствуют в пограничном слое не только на стадии перехода, но и в развитом турбулентном течении [14]. Когерентные вихревые структуры распадаясь, генерируют образование турбулентных пятен. Генерация турбулентных пятен происходит под действием пульсации давления (18).
Приведем на рисунке 6 мгновенные снимки вихревых структур в пограничном слое, полученные прямым численным моделированием перехода к турбулентности при решении уравнений Навье-Стокса с учетом сжимаемости среды [15]
Рис.6. Мгновенные снимки вихревых структур внутри пограничного слоя. Рисунок из
работы [15]
Проведенное рассмотрение позволяет дать следующее определение турбулентности в вязком теплопроводном газе [14]:
Турбулентность в вязком теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур,
д 2ю 4
—- = (а2 + -
дг 2 1 4 3
Распад вихревых структур сопровождается взрывным, асимптотическим ростом
а)2{2
пульсации давления Ар = 4р(к -1) 00 , запускающим новый цикл генерации
описываемых векторным волновым уравнением —— = (аж н— (к - 1)к1гуК
го - г
турбулентности.
3. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ГЛАДКОСТЬ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
Задача существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса [16] сформулирована Математическим институтом Клэя [17] как одна из семи математических задач тысячелетия. Уравнения Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды являются нелинейными и их аналитические решения на сегодня найдены только для узкого круга задач [18, 19]. Поэтому считается, что доказательство существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса позволит глубже понять
свойства уравнений и разобраться в проблеме турбулентности, которая остается одной из важнейших нерешенных проблем в физике [20].
В постановке задачи о существовании и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды требуется доказать одно из двух утверждений [16], что решения уравнений Навье-Стокса, вектор скорости хЛ) и поле давления р( х,г), существуют и они гладкие или же, что решения 6( х,1) и р( х,1) не существуют или они негладкие.
Но как показано в этой статье, турбулентность, по крайней мере, в вязком теплопроводном газе, связана со сжимаемостью среды.
Поэтому задача существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды представляет интерес лишь с точки зрения математики и лишена физического содержания.
С точки зрения физики при рассмотрении существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в вязком теплопроводном газе необходимо учитывать сжимаемость среды.
Полученное выражение для пульсации давления [13], выпишем его еще раз: 2.2
Ар = 4р(к-1)^, (19)
*о -1
свидетельствует о том, что давление в турбулентном потоке вязкого теплопроводного газа в зонах распада когерентных вихревых структур асимптотически возрастает и претерпевает разрыв.
Приведем график изменения пульсации давления в зонах распада когерентных вихревых структур - рис. 7.
2 -П
С
° 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
1
Время, с
Рис. 7. Пульсации давления, вычисленные по формуле (19). При расчете принималось: / = 1,82 -10-5Па • с ; к = 1,4; = 10п рад/с; = 1 с . Рисунок из работы
[13]
Полученное аналитическое выражение для пульсаций давления (19) объясняет катастрофический, взрывной механизм возникновения турбулентных пятен Эммонса в пограничном слое и перехода в целом. Давление в определенных точках пограничного
слоя, где произошел распад когерентных вихревых структур, нарастает быстро, асимптотически, что порождает шипы и высокочастотные пульсации скорости.
Но такое разрывное поведение давления в турбулентном потоке вязкого теплопроводного газа следует не из решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды, а из решений более общей системы уравнений (5-8), учитывающей сжимаемость и диссипацию энергии: уравнений Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Дается определение турбулентности: Турбулентность в вязком теплопроводном газе представляет собой циклически повторяющийся процесс возникновения и распада когерентных вихревых структур, описываемых векторным волновым уравнением
= (а2 + — (к — 1)кНуК)§гад&у«. Распад вихревых структур сопровождается
дг2 3
взрывным, асимптотическим ростом пульсации давления Ар = —¡(к — 1) 00 ,
го — г
запускающим новый цикл генерации турбулентности.
2. Закон возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе играет важную роль в понимании турбулентности. Он демонстрирует необходимость учета сжимаемости среды при рассмотрении турбулентности в вязком газе.
3. Отмечается, что с точки зрения физики при рассмотрении существования и гладкости решений уравнений Навье-Стокса в вязком теплопроводном газе необходимо учитывать сжимаемость среды.
4. Показано, что разрывное поведение давления в турбулентном потоке вязкого теплопроводного газа следует не из решений уравнений Навье-Стокса в приближении несжимаемости среды, а из решений более общей системы уравнений (5-8), учитывающей сжимаемость и диссипацию энергии: уравнений Навье-Стокса, сохранения энергии, неразрывности и состояния.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. Изд. 5-е. - М.: Наука, 1978. - 736 с.
2. Воронков С.С. О связи волн Толлмина-Шлихтинга с акустическими волнами. Научный Журнал "Noise Theory and Practice" Том 6, № 4 (IV, 2020). С.42-48. Режим доступа: http://www.noisetp.com/ru/issues/
3. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. - Новосибирск: Наука, 1982. - 151 с.
4. Воронков С.С. О законе возникновения турбулентности в вязком теплопроводном газе. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2016, 6 .
5. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть вторая. -М-Л.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1948. - 612 с.
6. Воронков С.С. О скорости звука в потоке вязкого газа с поперечным сдвигом. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2004, 5.
7. Фабрикант Н.Я. Аэродинамика. - М.: Наука, 1964. - 814 с.
8. Воронков С.С. О модуле упругости вязкого теплопроводного газа. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2010, 4.
9. Davidson P.A. Turbulence: an introduction for scientists and engineers. Oxford, UK: Oxford University Press, 2004. - 680 p.
10. Гарбарук А.В. Переход к турбулентности. Лекция 2. - С-П.: СПбГПУ, 2019. - 35 с. Режим доступа:
https://cfd.spbstu.ru/agarbaruk/turb_models/Term8_Lec02_transition.pdf
11. Воронков С.С. О генерации волн Толлмина-Шлихтинга в пограничном слое вязкого теплопроводного газа. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2018, 5.
12. Воронков С.С. О механизме генерации вихревых трубок в пограничном слое вязкого газа. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2020, 2.
13. Воронков С.С. О механизме возникновения турбулентных пятен Эммонса. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2020, 1.
14. Воронков С.С. О возникновении и распаде когерентных вихревых структур в вязком газе. Электронный журнал «Техническая акустика», http://www.ejta.org, 2021, 1.
15. Sayadi T., Hamman C.W., Moin P. Direct numerical simulation of H-type and K-type transition to turbulence. Center for Turbulence Research. Annual Research Briefs. 2011, p. 109-121. https://web.stanford.edu/group/ctr/ResBriefs/2011/10_sayadi-color.pdf
16. Существование и гладкость решений уравнений Навье-Стокса. - Википедия. https://ru.wikipedia.org/wiki/Существование_и_гладкость_решений_уравнений_Навье
— Стокса
17. The Clay Mathematics Institute. https://claymath.org/
18. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. - 2-е изд. - М.: Наука, 1970. - 288 с.
19. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. - М.: Мир, 1981. - 408 с.
20. Нерешенные проблемы современной физики. - Википедия. https://ш.wikipedia.org/wiki/Нерешённые_проблемы_современной_физики
