CC BY
23
УДК 621.757
О ВОЗМОЖНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ДЕТАЛЕЙ И СБОРОК С УЧЕТОМ ДОПУСТИМЫХ 3D ОТКЛОНЕНИЙ В САПР
М.А.Гаер1, Д.А.Журавлёв2
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Статья является обобщением полученных нами результатов при решении проблемы моделирования деталей и сборок с учетом допустимых 3D отклонений в САПР. Тем самым она представляет новую теорию моделирования деталей и сборок с учетом их пространственных допустимых отклонений, а также с возможностью анализа собираемости деталей на стадии их геометрического проектирования в САПР. Библиогр. 5 назв.
Ключевые слова: пространственные допуски деталей и сборок; сборка с учетом трехмерных отклонений.
ON THE POSSIBILITY OF PARTS AND ASSEMBLIES MODELING WITH REGARD TO 3D ADMISSIBLE DEFLECTIONS IN CAD SYSTEM M.A. Gaer, D.A. Zhuravlev
National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
This paper is the generalization of our results obtained in solving the problem of parts and assemblies modeling with regard to the admissible 3D deflections in CAD. Thus, it presents a new theory of parts and assemblies modeling in accordance with both their spatial admissible deflections and the possibility to analyze the part "assemblibility" at the stage of their geometric designing in CAD. 5 sources.
Key words: spatial tolerances of parts and assemblies; assembly with regard to three-dimensional deflections.
В последние годы всё более активно ведутся исследования в области создания полноценных CAD систем, позволяющих моделировать детали и сборки с трехмерными допусками, а также производить анализ собираемости изделий с учетом трехмерных допустимых отклонений еще на стадии геометрического проектирования. Однако серьезных прорывов в этом направлении пока не получается. Не в последнюю очередь это связано с применяемыми в САПР традиционными способами задания и описания поверхностей.
Целью данной статьи является обобщение полученных нами результатов при решении данной проблемы и представление тем самым новой теории моделирования деталей и сборок с учетом допустимых пространственных отклонений, а также с возможностью анализа собираемости деталей на стадии их геометрического проектирования в САПР.
Первые попытки комплексного описания отклонений были сделаны еще в конце 50-х годов XX в. Ю.Н. Ляндоном. Но его разработки опережали время, поэтому применения не нашли. Новый импульс исследования по этой теме получили в 70-е годы, когда стало возможным автоматизировать расчёты на ЭВМ. С тех пор было предложено большое количество методов и математических подходов к решению этой проблемы. Среди них работы таких ученых, как А. Реквич, А. Вирц, Н.Т. Йоу и др.
Однако у всех этих методов есть общий недостаток: они описывают отдельно взятые отклонения, поэтому не удаётся создать единую теорию описания трёхмерных допусков, что позволило бы моделировать их в CAD-системах.
Первым важным результатом наших исследований в этом направлении была работа [2], в которой описан новый дифференциально-геометрический подход к решению рассматриваемой проблемы. Мы все допуски распределили в три группы:
допуски, связанные со взаимным положением составляющих поверхностей;
допуски, связанные с изгибанием; допуски, связанные с искажением метрики. Исходя из этого, нами была разработана новая теория, которая позволила создать и реализовать алгоритмы CAD системы с моделированием деталей и сборок с допусками. Основным математическим аппаратом в нашей теории является представление поверхностей через квадратичные формы. Было полностью смоделировано создание и анализ сборок с пространственными допусками первой группы, то есть с допусками, связанными со взаимным положением составляющих поверхностей. Здесь каждому допуску ставится в соответствие определённое конфигурационное пространство. Тогда каждой точке конфигурационного пространства соответствует некоторое по-
'Гаер Максим Александрович, кандидат технических наук, доцент кафедры технологии машиностроения, тел.: 89021709580, e-mail: magaer@mail.ru
Gaer Maxim, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Mechanical Engineering Technologies, tel.: 89021709580, e-mail: magaer@mail.ru
2Журавлев Диомид Алексеевич, доктор технических наук, профессор кафедры технологии машиностроения. Zhuravlev Diomid, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Mechanical Engineering Technologies.
ложение данной поверхности в трёхмерном пространстве, а именно положение её отмеченного репера. Вращение этого репера до нужного положения производится с помощью кватернионов.
Далее нами была исследована возможность задания допустимых отклонений второй и третьей групп. Допуски, связанные с изгибанием поверхности, мы характеризуем изменением коэффициентов второй квадратичной формы при сохранении неизменной первой квадратичной формы. В свою очередь, допуски, связанные с искажением метрики, характеризуем исключительно в терминах вариаций коэффициентов первой квадратичной формы.
В современных системах автоматизированного проектирования используется множество способов задания поверхностей. Это связано с тем, что для большинства тел, встречающихся на практике, невозможно найти универсальную явную или параметрическую формулу, которая может описать соответствующую поверхность глобально или, как принято говорить, в целом.
Кроме описания поверхностей явными и параметрическими функциями в современных САПР применяются и другие, более прогрессивные, методы. Так, например, неявная форма задания поверхностей органично приспособлена для использования в методе твердотельного описания объектов и при методе трассировки лучей, так как существуют простые приемы определения взаимного положения точки и поверхности такого типа, определение точки пересечения прямой и поверхности. Однако все эти способы описания подходят лишь для очень ограниченного множества поверхностей.
Применяемое поточечное описание поверхностей заключается в представлении поверхности множеством отдельных принадлежащих ей точек. Для восстановления поверхностей, заданных точечным базисом по результатам измерения, используют разные методы, например, метод треугольных и прямоугольных сеток. Наиболее распространено восстановление и конструирование поверхности с помощью двух семейств гладких линий, называемых сплайнами. Самые применяемые типы сплайнов - это кривые Безье и В-сплайны. Обобщение методов Безье и B-сплайнов позволило получить одно из мощнейших и универсальных средств геометрического моделирования криволинейных обводов - NURBS-технологию. Из-за своей гибкости и точности NURBS-модели могут использоваться в любом процессе иллюстрации, анимации и промышленного дизайна. Многие ведущие производители CAD систем для судостроения также поддерживают этот стандарт для представления судовой поверхности. Недостатком метода является отсутствие аналитически непрерывной (по касательным и кривизне) поверхности. Кроме того, как правило, NURBS-поверхность визуализируется в виде набора линий равного параметра, которые мало что говорят пользователю о форме данной поверхности [5].
Нами предлагается новый, более универсальный способ задания поверхности и расчета координат любой её точки. Он основан на дифференциально-
геометрическом подходе. Так, согласно основной теореме теории поверхностей (теорема Бонне) всякая поверхность определяется однозначно заданием пары квадратичных форм в области и на плоскости (связанных структурными уравнениями) при условии задания начальных условий для решения системы уравнений в частных производных (деривационных формул). Эти начальные условия определяют точку М трехмерного пространства и ортонормированный репер
{в!,в2,ез}, в которые переходят отмеченная точка и0
области и на чертеже и отмеченный двумерный репер в этой точке.
Такое задание поверхности в нашем случае очень удобно, так как варьируя коэффициентами квадратичных форм и отмеченными реперами, можно получать реальное положение поверхности детали при каждом значении заданных на нее допусков.
Кроме того, этот подход позволил разработать алгоритмы сборки с учётом пространственных допустимых отклонений. Так, например, для получения нового положения поверхности при некотором значении допуска достаточно отклонить её отмеченный репер, векторы которого являются начальными условиями при решении системы дифференциальных уравнений, приведенных выше.
Универсальность этого метода заключается и в том, что описание поверхности, а также алгоритмы расчёта её положения, пересечения с другими поверхностями и т.д. остаются неизменными независимо от типа поверхности, её вида, рассчитываемого отклонения от номинальных размеров и форм.
По сути, мы предлагаем новый подход к геометрическому моделированию изделий в системах автоматизированного проектирования, основным преимуществом которого является возможность моделировать трёхмерные допустимые отклонения поверхностей деталей и проводить анализ сборок с учётом допусков еще на стадии геометрического проектирования изделий.
Итак, пусть нам известны функции коэффициентов Е (и, V), ^ (и, V), О (и, V) первой квадратичной формы и функции коэффициентов Ь{и, V), М (и, V), N (и, V) второй квадратичной формы искомой поверхности. Эти функции должны удовлетворять уравнениям Га-усса-Петерсона-Кодацци [11].
Тогда система дифференциальных уравнений в частных производных
ru = f (u, v); r v = g (u, v);
lv = gu ;
fu =rn(u, v) f (u, v) + Г2 (u, v) g(u, v) + L(u, v) n(u, v); fv = Г (u, v) f (u, v) + Г (u, v) g(u, v) +M (u, v) n(u, v); gv = Г (u, v) f (u, v) + Г (u, v) g (u, v) + N (u, v) n(u, v); nu = Al(u, v) f (u, v) + Bl(u, v) g(u, v); nv = A2(u, v) f (u, v) + B2(u, v) g(u, v),
(1)
> vo) = ei;
> vo) = e2;
(2)
полученная из деривационных формул с заданными начальными условиями,
г (и0, у0) = ё0;
_ г(ио,vo) = 1(ио Г(ио,У>) = ё("о п(ио, Уо) = ё3,
будет иметь единственное решение в виде четверки вектор-функций {г, 1,ё,п}, которая представляет
собой подвижный репер искомой поверхности. Здесь коэффициенты Л1,Б 1 и символы Кристоффеля Г*
вычисляются через коэффициенты первой квадратичной формы и их производные.
Таким образом, зная функции коэффициентов квадратичных форм поверхности, мы можем найти значение радиус-вектора любой ее точки в номинале или с допуском.
Библиографический список
В случае допусков, связанных со взаимным положением составляющих частей деталей и сборок, при решении системы (1) будут меняться начальные условия (2). Если же допуск связан с изгибанием поверхности, то варьироваться будут значения коэффициентов второй квадратичной формы при неизменной первой квадратичной форме. И, наконец, моделируя допустимые отклонения, связанные с искажением метрики, будем изменять значения коэффициентов первой квадратичной формы при неизменной второй квадратичной форме.
Кроме вышеизложенного, разработанные математические модели деталей и сборок с пространственными допустимыми отклонениями позволяют существенно расширить понятие «параметризация». А именно, применяя нашу теорию, можно создавать параметрические модели деталей и сборок с учетом назначаемых на них допусков.
1. Журавлёв Д.А., Гаер М.А. Пространственная геометрическая характеристика допусков // Вестник ИрГТУ. 2005. № 1. С. 116-125.
2. Журавлёв Д.А., Грушко П.Я., Яценко О.В. О новых дифференциально-геометрических подходах к автоматизированному проектированию сборок с учётом допусков // Вестник ИрГТУ. 2002. № 12. С. 82-92.
3. Гаер М.А., Шабалин А.В.. Геометрическая классификация деталей при анализе сборок с пространственными допусками // Известия МГТУ "МАМИ. М.: МГТУ "МАМИ", 2008. №
2(6). С. 355-361.
4. Гаер М.А., Шабалин А.В., Журавлёв Д.А., Яценко О.В. Представление допустимых отклонений при параметрическом проектировании изделий // Прогрессивные технологии и оборудование механосборочного производства: сборник материалов научно-технического семинара. М.: МГТУ "МАМИ", 2009. С. 103-107.
5. Завьялов Ю.С., Леус В.А., Скороспелов В.А. Сплайны в инженерной геометрии. М.: Машиностроение, 1985. 224 с.
УДК 621: 534; 833
ВЛИЯНИЕ УПРАВЛЯЮЩЕЙ СИЛЫ В СТРУКТУРЕ ВНЕШНИХ ВОЗМУЩЕНИЙ
С.В.Елисеев1, П.А.Лонцих2
1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
Национальный исследовательский Иркутский государственный технический университет, 664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.
Рассматривается зависимость приведенной жесткости системы от выбора координат точек приложения силового возмущения и наблюдения за смещением. Определяются условия одновременного динамического гашения колебаний по нескольким координатам. Предлагается методика оценки свойств на основе использования передаточных функций. Ил. 4. Табл. 2. Библиогр. 11 назв.
Ключевые слова: статическая устойчивость; приведенная жесткость системы; динамическое гашение колебаний.
EFFECT OF CONTROLLING FORCE IN THE STRUCTURE OF EXTERNAL DISTURBANCES S.V. Eliseev, P.A. Lontsih
Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074. National Research Irkutsk State Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074.
1Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, профессор, директор НИИ современных технологий, системного анализа и моделирования, тел./факс: (3952) 598428, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
Eliseev Sergei, Doctor of technical sciences, Professor, Director of the Scientific-Research Institute of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, tel. / fax: (3952) 598428, e-mail: eliseev_s@inbox.ru
2Лонцих Павел Абрамович, доктор технических наук, профессор, зав. кафедрой управления качеством и механики, тел./факс: 83952405179.
Lontsih Pavel, Doctor of technical sciences, Professor, Head of the Department of Quality Management and Mechanics, tel. / fax: 83952405179.
