О влиянии заполнителя на критические параметры импульса давления при динамической потере устойчивости цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

2005 НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА № 84(2)

серия Аэромеханика, прочность, поддержание летной годности ВС

УДК 539.3: 534.1

О ВЛИЯНИИ ЗАПОЛНИТЕЛЯ НА КРИТИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ИМПУЛЬСА ДАВЛЕНИЯ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОТЕРЕ УСТОЙЧИВОСТИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

В.В. БЕНДЮКОВ, В.В. ДЕРЮШЕВ, М.М. ЛУРЬЕ, П.Н. ОВЧАРОВ

С учетом акустического сопротивления конструкции оценены величина и параметры импульса давления, приводящего к динамической потере устойчивости цилиндрической оболочки. Получены необходимые и достаточные условия потери устойчивости наполненных оболочек под действием импульса давления.

При изучении динамического выпучивания оболочек в работах теоретического характера рассматривается главным образом случай монотонного роста нагрузки. Такой закон нагружения предопределяет неизбежность потери устойчивости и исчерпание несущей способности конструкций. Однако с прикладной точки зрения представляет интерес другой характер нагружения, когда нагрузка резко возрастает и, достигнув некоторого максимального значения, столь же резко (или, во всяком случае, достаточно быстро) падает. При определенных условиях нагрузку такого рода можно моделировать кратковременным импульсом внешнего давления. Задача о воздействии такой нагрузки на оболочку сводится к вопросу о величине импульса, способного вызывать выпучивание.

Именно в такой постановке в настоящей статье решается задача о выпучивании цилиндрической ортотропной оболочки с упругим полубесконечным заполнителем под действием импульса внешнего давления.

1. Уравнение динамической устойчивости тонкостенной цилиндрической оболочки с учетом реакции среды внутри конструкции

В качестве расчетной модели рассмотрим ортотропную цилиндрическую оболочку с полубесконечным упругим заполнителем, находящуюся под действием осевых сжимающих усилий Т, внутреннего давления Рв и подверженную действию кратковременного импульса внешнего давления q (рис. 1).

Форма импульса прямоугольная. Время действия импульса х ограничено интервалом: ^ < t < ^2, причем

Ь 2H

tk1 =—, t k2 =—, H т < 2 • R - ^, ao a

где ^ - толщина оболочки;

ао - скорость продольной волны в материале оболочки;

Н - характерный размер среды внутри оболочки;

а - скорость продольной волны в среде;

R - радиус срединной поверхности оболочки.

Иначе говоря, в рассматриваемой задаче время действия импульса должно быть меньше времени прохождения упругой волной в среде расстояния до границы отражения и обратно, т. е. рассматривается случай "неограниченной среды" внутри оболочки. Докритическое напряженное состояние в оболочке считаем безмоментным, характеризующимся равномерно распределенными в продольных сечениях напряжениями, изменяющимися по заданному закону. Если напряжения будут сжимающими, то возможна потеря устойчивости в зоне воздействия.

Для решения вопроса о том, как выбрать допустимую границу устойчивости при решении практических задач, следует исходить из характера работы конструкции и требований, предъявляемых к ней по условиям эксплуатации. Чаще всего таким критерием является достижение прогибом некоторой величины, принимаемой за критическую [1], например, £0) = аЬ0, либо превышение напряжением предела упругости материала отах = ов, где оЕ - предел упругости материала оболочки.

В настоящей статье в качестве критерия потери устойчивости принято достижение прогибом величины, сравнимой с толщиной оболочки. Процесс потери устойчивости оболочки определяется ее отклонением от безмоментного докритического состояния, а его описание на основании известных приемов может быть сведено к рассмотрению обыкновенного дифференциального уравнения относительно функции времени, соответствующей определенной форме выпучивания. Так, для шарнирно опертой по торцам цилиндрической оболочки прогиб при потере устойчивости описывается выражением [2]:

= С тпСОзт-^зш-^р (1)

Ь К

где £тп - амплитуда прогиба оболочки; Ь - длина оболочки; х, у - координаты в меридиональном и окружном направлениях; т, п - число полуволн в меридиональном и число волн в окружном направлениях.

Тогда уравнение, определяющее характер возможного движения рассматриваемой оболочки с учетом реакции среды, имеет вид [3]:

d2 Z mn + 2e dZ 2

—1— + 28 T— + Wm dt2 dt

(1 _ _L _ q-Рв ^

t* *

V mn q mn J

где введены следующие обозначения: для квадрата частоты собственных колебаний оболочки по заданной форме

w2 k'mn Фmn + kШп ФШп

Wmn =------—t-----------; (3)

C p k mn

для критических усилий статической потери устойчивости при осевом сжатии и внешнем давлении

_wLCp * _wLcp (4)

mn 1 , q mn 1 ' ( )

Ф m fn

Коэффициенты, входящие в (3) и (4), определяются следующими выражениями: f'mn _DM1'm + 2(DP_ + 2D66)1!„mn + D22m4, k'„ _ A2,1’m + 2(Ai6 + 2Ap_)immn + A„mn

* — 2 + 2D66)12mmn + D ■■4 ■■' — 1* — — "2 m2 - ■■4

1 „ч * i (mp \ _ n“ „ mp n

22

22

R

k _ф _—12 , ф _12 _ -I , ф _ Rm _ —, 1 _-------------------------------, m _ —.

mn Tmn m’ тш m T ’ Yn r^n ^ ’ m T ’ r^n

V

L J R L R

Значения коэффициентов жесткости А;, В;, С;, Б; и приведенной плотности Ср при осесимметрично собранной ортотропной оболочке определяются известными зависимостями [3]. В уравнение (2) входит коэффициент ет, учитывающий противодавление среды при динамическом нагружении. Для определения реакции среды при нагружении оболочки импульсом давления рассмотрим взаимодействие оболочки с упругим заполнителем.

Предположим, что каждый элемент заполнителя испытывает простое сжатие, отвечающее осевой деформации. Тогда уравнение движения заполнителя имеет вид [4]:

2 Э2иг Э2иг

С2-----L =----L. (5)

Эг2 Э12

Общее решение уравнения для случая прямой и отраженной волны можно представить в виде [4] иг = Г (г + С!) + Г (г - С1), а граничные условия при жестком соединении оболочки и запол-

Эиг

нителя в виде г = 0, иг = ', г0 = Нт, Е---= от.

Эг

Если в уравнении (5) удерживать лишь функцию, учитывающую распространение прямой

Н т И

волны, что характерно для моделирования заполнителя полупространством, когда ----------->> —,

а ао

то реакция заполнителя определяется выражением [4] о т = -р • С • W, где р С - акустический импеданс среды.

Величина ет, определяемая из условия пропорциональности заполнителя от и скорости пе-

• Р С

ремещения оболочки W в данной точке, задается уравнением е т =-------------, где р0 - плотность

2И0 Р 0

материала оболочки.

2. Определение критических параметров импульса внешнего давления

Из уравнения (2) видно, что пока q < qmin движение оболочки в соответствии с начальными условиями имеет колебательный характер: когда сжимающие напряжения q станут больше дтщ, изменение перемещений, соответствующих рассматриваемой форме выпучивания, будет носить монотонный характер.

С точки зрения изучения устойчивости представляет интерес анализ именно этого монотонного процесса развития перемещений. Поэтому ниже рассматривается решение уравнения (2) только для тех форм выпучивания на интервале времени 1к1 < т < !к2, для которых дт;п меньше максимальных сжимающих напряжений.

Решение уравнения (2) будем искать в виде:

С тп(!) = 2 • ехр(-е Т • 0. (6)

Подставляя (6) в (2), получим следующее уравнение:

2-кп(Р -1) + е т ]• 2 = 0, (7)

т д + Рв

где Р

гр * 2

Ттп д

тп

Разрешим (7) относительно переменной ъ:

ъ = А • ехр(1^) + В • ехр(12!), (8)

где 112 =±1 = ±юп

1

е 2т

(Р - 1) +------— ; А, В - произвольные постоянные.

ю2

тп

Подставляя (8) в (6), получим выражение для определения динамического прогиба оболочки с заполнителем: С тп(!) = А • ехр[(1 + е т) • 1;]+ В • ех р[- (-1-е т) •1 ].

Произвольные постоянные найдем из начальных условий: Стп(0) = С0, Стп(0) = 0. Тогда

. 1 + ет /"0 . ту 1 ет >"0

АС • вС.

В итоге имеем следующее выражение для перемещения оболочки:

1 -є_

z ”(t)z0<t)' e“-""

+ •

21

■z 0<t) • e

<1+BT )t

(9)

Из (28) легко получить зависимость времени действия импульсной нагрузки от максимальной величины сжимающих напряжений и коэффициент учитывающего противодавление заполнителя, отвечающие критерию динамической неустойчивости. Критическое время, по истечении которого перемещения достигают предельных значений, определяется по формуле:

t = ■

кр

k.

U„

Umn1

S„

V

G„

ß-a-an

(10)

ß-a-an

V

1 +

v q

p„

T

*

mn

T

mn J

Є

--2; ß w

w;

s

q • R

G„

*

l mn

R

Коэффициент кд вводится в уравнение (10) для учета критической величины прогиба при

потере устойчивости и определяется выражением k д = ln-

С LW

z0

Если в качестве предельного состояния принять прогиб оболочки, соизмеримый с толщиной (т.е. ^ 0) = 1), а начальное возмущение для существующих технологий изготовления обо-

лочек ^° = 10-2, то теоретическое значение кд = 7. Эти данные хорошо согласуются с экспериментальными результатами [5].

Величина прямоугольного (оптимального по энергетическим затратам) импульса давления вычисляется по формуле:

s • k д 3=------

s

u„

і-A.

V

s

-2

(11)

Параметры волнообразования m, n для заданных максимальных сжимающих напряжений определяются из условия 3 = min. При заданной форме волнообразования и ет = 0 легко пока-

зать, что минимальное значение импульса достигается при s = 2 •

s„

1-

T

T

+ -

mn J

h

а его

величина определяется по формуле 3 min = ■

2k

s

1 -■

T

T

+

mn J

Рв • R h

В работе [1] показано, что параметры устойчивости упругих систем, подвергшихся действию кратковременных нагрузок, существенно зависят от закона изменения импульса во времени (формы импульса). Рассматривая решения для треугольного импульса, возрастающей, убывающей нагрузки и нагрузки параболического очертания по методу [2], величину импульса давления при оценке динамической неустойчивости оболочечной конструкции можем найти по формулам:

для треугольного импульса возрастающей нагрузки:

u

s

ß s-s г

e

1

т

h

h

*

*

для треугольного импульса убывающей нагрузки:

з=2 ^

3 и V

тп |

для параболического импульса:

Smn • (13)

mn)2

^ S max V2 b S mn S max (14)

3U mn ' (S max — Smn )

Итак, если величина приложенного к оболочке импульса давления достигнет некоторого критического значения, определяемого выражениями (11) - (14), это приведет к потере динамической устойчивости. Однако эта неустойчивость (в классическом понимании) совсем не означает, что непременно произойдет выпучивание оболочки: ведь выпучивание - это возникновение достаточно больших перемещений. Для появления после разгрузки оболочки остаточных вмятин (или разрушений) необходимо, чтобы уровень напряжений в оболочке превысил либо предел упругости sW, либо предел прочности ав (для композитных оболочек). В работе [6], например, установлено, что для стеклопластиковых оболочек разрушение наступало при переходе осесимметричных колебаний, возникающих после действия импульса внешнего давления, и изгибных колебаний с амплитудой более четырех толщин. С учетом вышеизложенного представляет интерес определение максимальных напряжений, возникающих в процессе неустойчивого движения оболочки. Легко показать, что в случае, когда влияние акустического сопротивления заполнителя и внешних нагрузок (внутреннего давления и продольных сил) на критическую величину импульса давления (прямоугольной формы) несущественно, максимальные напряжения, возникающие в оболочке, определяются следующей формулой:

2 w

mn кр

2- s- C2 rn„_ t

2

где Со - скорость звука в материале оболочки.

Предложенное решение, по-видимому, должно давать несколько заниженное значение критического импульса, так как оно не учитывает возможность перераспределения энергии сразу по нескольким формам изгибных колебаний. Совершенно очевидно поэтому, что правомерность используемого подхода должна проверяться сопоставлением с экспериментальными данными.

3. Влияние акустического сопротивления заполнителя на критические

параметры импульса давления

Как отмечено выше, динамическая реакция заполнителя при нагружении оболочки кратковременным импульсом давления определяется его акустическим сопротивлением £г. Рассмотрим результаты численного исследования влияния акустического сопротивления заполнителя на критическую величину одиночного импульса давления прямоугольной формы.

Расчеты проводились для оболочек из ортотропного материала со следующими геометрическими и физико-механическими характеристиками: — = 3.33; — = 330; —— = —— = 1.5, где Е1

И И —1 Е1

и —1, Е2 и —2 - модули Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки, соответственно, в меридиональном и окружном направлениях.

Сопоставление критической величины импульса и ого параметров осуществлялось для конкретных форм выпучивания оболочки при различных &г.

На рис. 2 и 3 представлены зависимости 3 кр и tкр от параметров волнообразования при e

учитывающем противодавление жидкого e2 и твердого e3 топлива, газа ei при давлении Р =

e т e 2

т _0 011 2 _0 34

60-10 па и без учета реакции заполнителя e0 причем e ~ ~ ' '

2 Ь3

Рис. 2.

Рис. 3.

Из приведенных зависимостей (см. рис. 2, 3) видно, что акустическое сопротивление оказывает существенное влияние как на величину импульса давления, так и на его критические параметры, например длительность (при фиксированной амплитуде давления). Кроме того, полученные результаты позволяют предположить о том, что при одинаковых условиях нагружения и параметрах импульса давления учет влияния акустического сопротивления приводит к ограничению “снизу” форм потери устойчивости оболочки.

Иначе говоря, оболочка может потерять устойчивость лишь при образовании некоторого критического числа волн как по окружности пкр, так и по меридиану ткр. Следовательно, с увеличением критической величины импульса давления "низшие" формы потери устойчивости не реализуются.

Так, например, часть кривых, обозначенная пунктиром на рис. 2, 3, соответствует значениям импульса Зкр и длительности ткр, которые не могут обеспечить потерю устойчивости оболочки по заданной форме. Таким образом, необходимыми и достаточными условиями выпучивания оболочек с заполнителем при действии импульса внешнего, давления являются:

s < s

mn

Рв - R

h

Wmn > T

Рв - R

1 + —2--------

h-s

T

Y

T

mn J

Суммируя вышеизложенное, можно заключить, что учет реакции заполнителя при нагружении кратковременным импульсом внешнего давления приводит к увеличению запаса устойчивости оболочечных конструкций.

2

e

т

ЛИТЕРАТУРА

1. Методы динамических расчетов и испытаний тонкостенных конструкций/ А.В. Карми-шин, А.М. Жуков, В.Г. Колосов др.; Под ред. А.В. Кармишина. - М.: Машиностроение, 1990. -288 с.

2. Амиро И.Я. О влиянии формы импульса на критические значения параметров кратковременного внешнего давления для цилиндрической оболочки // Прикладная механика. - М., 1985. - 21, № 4.- С. 12 - 18.

3. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек. - М.: Наука, 1978. - 298 с.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1979. - 560 с.

5. Баскаков В.Н., Костоглотов А.И., Шевцова Л.А. Исследование динамической устойчивости гладких цилиндрических оболочек // Проблемы прочности. - М.,1982. - № 5. - С. 31 - 33.

6. Филипов Е.В., Якушев Р.С. Выпучивание цилиндрической оболочки под действием импульса внешнего давления. - Казань, Казанский гос. ун-т, 1986. - 9 с.

ABOUT INFLUENCE OF FILLER ON CRITICAL PARAMETERS OF A ,IMPULSE OF PRESSURE AT DYNAMIC LOSS OF STABILITY OF A CYLINDRICAL ENVELOPE

Bendukov W.W., Derushev W.W., Lurie M.M., Owcharov P.N.

The parameters values of the pressure pulse causing the dynamic stability loss of the cylindrical shell are estimated with allowance for the acoustic resistance of the construction. The required and sufficient conditions for the stability loss of the sandwich shells under the action of the pressure pulse are obtained.

Сведения об авторах

Бендюков Вячеслав Валентинович, 1960 г.р., окончил РВВКИУРВ (1983), кандидат технических наук, старший научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории динамики и прочности машин РВВКИУРВ, автор более 90 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.

Дерюшев Виктор Владимирович, 1952 г.р., окончил ВИКИ им. Можайского (1974), доктор технических наук, профессор, начальник кафедры наземного оборудования РВИ РВ, автор более 190 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.

Лурье Михаил Маркович, 1953 г.р., окончил РГУ (1976), заместитель директора по учебной работе Ростовского филиала МГТУ ГА, автор более 20 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.

Овчаров Петр Николаевич, 1955 г.р., окончил РВВКИУРВ (1978), кандидат технических наук, старший научный сотрудник научно-исследовательской лаборатории динамики и прочности машин РВВКИУРВ, автор более 100 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.