О влиянии сдвиговых нагрузок на поперечные деформации изгибных элементов Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК 624.07:534.1

ТАТЬЯНЧЕНКО А.Г., д.т.н., профессор (Донецкий национальный технический

университет)

О влиянии сдвиговых нагрузок на поперечные деформации изгибных элементов

Tatyanchenko A.G., Dr.Tech.Sc, professor (DONNTU)

On the influence of shear loads on transverse deformations of bending elements

Введение

Особенностью всех методов расчета в курсе сопротивления материалов является их практическая, инженерная направленность. Такой подход предусматривает научно обоснованное игнорирование

малозначимых факторов, снижающих точность расчета, но существенно упрощающих расчетные зависимости. Под точностью расчета в сопротивлении материалов обычно подразумевается точность определения расчетных или максимальных напряжений, а для компенсации сделанных допущений в расчетных схемах и методах расчета используются коэффициенты запаса. Минимальное значение коэффициента запаса прочности составляет 1,5, то есть позволяет перекрыть 50% погрешность вычисления напряжений. Для ответственных деталей и элементов конструкций коэффициент запаса может достигать 3,5 (для деталей машин) и даже 20 (для канатов). Такой подход обеспечивает прочность расчетных элементов с достаточной степенью надежности.

Расчет на жесткость элементов конструкций обычно является вспомогательным и призван

предотвратить появление больших деформаций упругих систем. При таком расчете на первый план выходят абсолютные показатели и поэтому к вопросам упрощения расчетных схем подходят более осторожно, что требует дальнейших исследований.

Анализ последних исследований и публикаций

Проблема влияния сдвиговых нагрузок сама по себе не является новой, существует достаточное количество источников, касающихся данной тематики [1-3]. Однако, вопрос влияния сдвиговых нагрузок на поперечные деформации изгибных элементов в данных источниках освещен недостаточно. По этой причине решение о необходимости учета сдвиговых усилий при определении поперечных перемещений необходимо каждый раз принимать с учетом факторов, влияющих на величину сдвиговых деформаций, и требует применения дополнительных методов.

Цель работы

Целью исследования является разработка методов расчета сдвиговых усилий при определении поперечных перемещений с учетом факторов, влияющих на величину сдвиговых деформаций изгибных элементов.

Основной материал

При определении перемещений точек элементов упругих изгибных систем (балок, рам) одним из факторов, которым традиционно пренебрегают в инженерных расчетах, является деформации, вызванные действием поперечной силы О (так называемые сдвиговые деформации - от сдвиговой поперечной силы). Такое допущение традиционно оценивается в 1-3% [1,2]. На этом основании сдвиговые деформации при определении поперечных перемещений (прогибов) при изгибе обычно не учитываются.

Однако, очевидно, что доля сдвиговых деформаций в суммарном прогибе не может быть одинаковой, поскольку зависит от многих факторов, основные из которых:

- геометрические параметры и условия закрепления балки;

- форма и размеры поперечного сечения балки;

- вид и значение приложенной внешней нагрузки.

Определим влияние этих факторов на долю Л^ = Уд / ум прогиба от действия поперечной силы, представив общий прогиб как у = ум + Уд.

Сравнение будем производить в точках с максимальным прогибом.

Рассмотрим три варианта традиционных расчетных схем:

консольная балка с сосредоточенной силой на конце (рис. 1);

двухопорная балка с шарнирными закреплениями на краях, загруженная посредине

сосредоточенной силой (рис. 2);

- двухопорная балка с жесткими защемлениями на краях, загруженная равномерно распределенной нагрузкой (рис. 3).

1 Р1

О ©

ТШТТТТТПтттттттттг^

м

V —

✓ шах

Р13

ЪЕЗ

М = Р1

1У1 та\ '

Рис. 1. Расчетная схема для определения перемещений консольной балки

Р

\

И2

е^щщ

//2 ШШ

рр^

М-

РИ4

РГ

. 1 Р1

V =-, м = —

/шах ,шх 4

Рис. 2. Расчетная схема для определения перемещений двухопорной балки

ч

®

С114

Утах Ш1и

Чпах =

с£ 12

Рис. 3. Расчетная схема для определения перемещений дважды защемленной балки

Для определения поперечных смещений

Максимальные прогибы от действия изгибающих моментов и эпюры изгибающих моментов для всех этих балок известны и приведены на рис. 1-3.

Механические характеристики (модуль упругости Е, модуль сдвига С, коэффициент Пуассона |Ы и допускаемое напряжение [а]) для всех вариантов будем считать одинаковыми. В качестве варьируемых параметров будем рассматривать форму

поперечного сечения и величину внешней нагрузки. Рассмотрим три традиционные формы поперечного сечения балки: двутавровое,

прямоугольное (И/Ь = 2) и круглое, (прогибов) используем метод Мора:

У =

II

Мр(х)М](х)ск Ы

Л*

ОР

(1)

где Мр(х) и <2Р(х) - уравнения изменения изгибающих моментов и поперечных сил для каждого участка заданной схемы от действия внешней нагрузки;

Мх(х) и (¿^х) - то же самое от действия единичной нагрузки, приложенной в точке максимального прогиба;

к - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения

касательных напряжений по площади поперечного сечения при изгибе;

Ы - изгибная жесткость балки;

01' - сдвиговая жесткость.

Используя метод Мора (1), получаем максимальные прогибы для консольной балки (максимальный прогиб - на свободном конце балки), рис. 1:

Р13 ЪкЫ

у =-

✓ шах 1

ЪКГ \ (И'Г

] = ^(1 + Ае1), (2)

для двухопорной балки (максимальный прогиб посредине пролета), рис. 2:

У шах

Р13 ( 12 кЫ

-I 1 +

48 Ш{ (¡/•'I

= ^(1 + А0з),( 3)

и для дважды защемленной балки (максимальный прогиб посредине пролета), рис. 3:

Л

5с//4 (, ШШ —--! I +-

384Е/1 5СЯ'

= ЛД1 + А02).(4)

Учитывая, что множители перед скобками в выражениях (2)-(4) представляют собой максимальные прогибы от действия изгибающих моментов, сравнения будем проводить только по параметрам Д0 :

3 кЫ л =-

61 СИ2' _ 12 кЫ

_ ШКГ " " 1(й¥ ■

(5)

(6) (7)

Уже из зависимостей (5)-(6) видно, что доля сдвиговых деформаций для различных расчетных схем существенно отличается.

Представим выражения (5)-(7) в виде единой расчетной зависимости:

Ад=а-к-кмкР.

(8)

где а - коэффициент расчетной схемы (для схемы рис. 1 а = 3, для схемы рис. 2 а = 12, для схемы рис. 3 а = 9,4. Очевидно, что можно получить аналогичные коэффициенты для других схем нагружения);

к - коэффициент формы сечения;

- коэффициент материала;

(9)

к р —

л2

'Л2

V < у

(10)

- коэффициент внешней нагрузки.

Для учета формы сечения воспользуемся точным решением данных задач методами теории упругости [3]. Так, для прямоугольного поперечного сечения:

к =

12 + 11// 10(1 + //)

(П)

для круглого поперечного сечения:

к =

7 + 6// 6(1 + //)'

(12)

для двутаврового поперечного сечения (как и для других тонкостенных профилей):

с1к

(13)

где Р, й и Ь - табличные значения площади поперечного сечения, ширины и высоты стойки двутавра.

Для учета внешней нагрузки необходимо определить радиус инерции сечения. Для прямоугольного

к

поперечного сечения это / =

VI2

где

при к/Ъ = 2 А = ;¡/,2Л/™»

1<г]

, для круглого

. б/ , 1з

сечения / = —, где а= з-

4 ]1 тг[а]

■ Для

двутаврового сечения 1 выбирается из

таблицы для сечения с Ж > Сравним значение

М„

м

А,

для

следующих ц = 0,25.

Для расчета нагружения

общих условий: / = 4м,

иллюстрации методики рассмотрим варианты консольной балки с прямоугольным сечением, двухопорной балки с круглым сечением и дважды защемленной балки с двутавровым сечением.

Рассмотрим нагружение

консольной балки (рис. 1) с прямоугольным поперечным сечением при Р = 50 кН.

Согласно (11) коэффициент формы сечения:

^12 + 11л=12 + 11-0,25 = |18_

поперечным сечением балки при Р = =50кН.

Согласно (12) коэффициент формы сечения:

6(1 + //) 6(1 + 0,25)

10(1 + //) 10(1 + 0,25)

Коэффициент материала:

Коэффициент материала: км= 2(1 + //)=2(1+0,25)=2,5.

км= 2(1 + //)=2(1+0,25)=2,5. Максимальный изгибающий

Максимальный изгибающий момент:

момент М = Р1= 50 • 4 = 200 кНм. д . Р1 50-4 „ М = — =-= 50 кНм.

Высота поперечного сечения из

условия прочности: 4 4 Диаметр балки из условия

|12/М 3 [12-200-103 И = з тах л = 0,246 м. V [а] V 160-Ю6 прочности:

Радиус инерции: '32 М 1 32-50-10' с1=А = з =0,147 \ л"[<т] V ЗЛ4159-160-106

к 0,246 / = = ' = 0,0751м. л/12 л/12 Радиус инерции:

Коэффициент внешней нагрузки: . 0,147 ,= = ' =0,0368. 4 4

-.00035, Коэффициент внешней нагрузки:

Доля сдвиговых деформаций согласно (8):

Ае =3-1,18-2,5 • 0,0003 52 = 0,00311,

или 0,311%.

Рассмотрим нагружение

двухопорной балки (рис. 2) с круглым

кр —

'0 2 ' 0,0368^1

3, 1 4 J

= 0,0000845.

Доля сдвиговых деформаций согласно (8):

Де = 12 • 1,13 • 2,5 • 0,0000845 = 0,00286 или 0,286%.

Рассмотрим нагружение дважды защемленной балки (рис. 3) с двутавровым поперечным сечением балки при при q = 50кН/м.

Коэффициент материала:

Рассмотрим нагружение

двухопорной балки (рис. 2) с двутавровым поперечным сечением балки при Р = ЮОкН.

Коэффициент материала:

км= 2(1 + //)=2(1+0,25)=2,5.

кы = 2(1 + ¡л) =2(1+0,25)=2,5.

Максимальный момент:

изгибающий

Максимальный момент:

изгибающий

д. ф2 50-42 __ „

М = =-= 66,66 кНм.

12 12

д . Р1 100-4 „

М = — =-= 100 кНм.

4 4

Момент сопротивления балки:

Момент сопротивления балки:

Ж >

М....... 66,66-103

шах __?

[а] 160-Ю6

= 416,625 см .

№>_М^= 100001 = 625см3

[а] 160-Ю6

Из условия прочности выбираем двутавр №30 с характеристиками: / = 0,123 м, Р = 46,5 см2, к = 30 см, ё = 0,65 см.

Коэффициент формы сечения согласно (13):

Из условия прочности выбираем двутавр №36 с характеристиками: /' = 0,147 м, ^ = 61,9 см2, к = 36 см, ё = 0,75 см.

Коэффициент формы сечения согласно (13):

ёк 0,65-3

А ' «Ь» 2,293 ¿й 0,75 • 36

Коэффициент внешней нагрузки:

¿„=|-1 = 0,000945.

' К1) I 4 )

Доля сдвиговых деформаций:

Де = 9,4 • 2,3 85 • 2,5 • 0,000945 = 0,0529,

Коэффициент внешней нагрузки:

*.=Г1Т=М= 0,00135.

' V/; V 4 )

Доля сдвиговых деформаций согласно (8):

или 5,29%.

Определим также долю сдвиговых деформаций для случая, который представляется наиболее опасным.

Ау = 12-2,293 • 2,5 • 0,00135 = 0,0929,

или 9,29%.

Аналогично была оценена степень влияния сдвиговых усилий на величину поперечных смещений точек для других вариантов расчетных схем, внешних загрузок и поперечных сечений.

Выводы

Проведенные исследования

влияния сдвиговых усилий на поперечные смещения позволили сделать следующие выводы:

1) Сдвиговые усилия могут оказывать существенное (до 11,5% ) влияние на суммарные поперечные смещения балок и рам.

2) Наиболее опасными факторами, влияющими на величину сдвиговых деформаций, являются схемы нагружения с большим коэффициентом внешней нагрузки а и поперечные сечения с большим радиусом инерции

3) Наиболее плохо воспринимают сдвиговые деформации двутавровые сечения и другие тонкостенные профили, хорошо противостоящие нормальным напряжениям при изгибе, то есть изгибающему моменту.

4) Решение о необходимости учета сдвиговых усилий при определении поперечных перемещений необходимо каждый раз принимать с учетом указанных выше факторов.

Список литературы:

1. Тимошенко, С.П. Механика материалов / С.П. Тимошенко, Дж. Гере -М.: Мир, 1976. - 670 с.

2. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев. - Киев: Наукова думка, 1988.-736 с.

3. Тимошенко, С.П. Теория упругости / С.П. Тимошенко, Дж. Н. Гудьер. - М.: Наука, 1975. -575 с.

Аннотации:

Исследовано влияние поперечной силы О на величину поперечных деформаций балок с различными условиями закрепления. Выявлены основные факторы, оказывающие влияние на поперечные смещения от действия сдвиговых нагрузок и определена их доля в суммарных перемещениях.

Ключевые слова: поперечная сила, деформация балок, факторы, смещение, сдвиговые нагрузки, условия закрепления

The degree of influence of the transverse force O on the total value of transverse defonnations for beams with different fastening conditions is studied. The main factors affecting the defonnation from shear forces are detennined and their share in the total deformation of elastic elements is detennined.

Keywords: transverse force, defonnation of beams, factors, displacement, shear loads, fastening conditions.