CC BY
19
УДК 624.042.12
Г.И. ТАЮКИН, канд. техн. наук, доцент
ОПТИМИЗАЦИЯ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БИСТАЛЬНЫХ ИЗГИБАЕМЫХ БАЛОК
В статье приведен алгоритм нахождения оптимальных параметров статически неопределимых бистальных изгибаемых балок несимметричного поперечного сечения. На конкретном численном примере показано, как происходит перераспределение внутренних усилий по длине статически неопределимого элемента при возникновении на его наиболее нагруженных участках упругопластических деформаций.
Известно, что изменение изгибной жёсткости Е/ на отдельных участках статически неопределимого изгибаемого элемента, при прочих неизменных условиях, сопровождается перераспределением усилий М и Q по длине этого элемента. Данное обстоятельство вносит определённые сложности в расчёты статически неопределимых бистальных изгибаемых балок, так как возникновение пластических зон на её наиболее напряжённых участках влечёт за собой и изменение на этих участках изгибной жёсткости Е/, а значит и соответствующее изменение эпюр М и Q. Следовательно, в алгоритм поиска эффективного варианта статически неопределимого бистального изгибаемого элемента ступенчато-переменного сечения необходимо включить итерационный процесс, который бы увязывал распределение усилий М и Q по длине этого элемента (при известной нагрузке и заданных генеральных размерах элемента) и поиск оптимальных вариантов бистальных поперечных сечений на каждой его ступени.
Алгоритм поиска оптимальной бистальной статически неопределимой балки несимметричного поперечного сечения приведен на рис. 1.
Нахождение оптимальной массы бистальной статически неопределимой балки рассмотрим на следующем примере.
Пример
Дано. Однопролетная балка с жестким защемлением концов, загруженная равномерно распределенной нагрузкой g (расчётная схема статически неопределимой балки приведена на рис. 2).
Требуется. Определить оптимальную (по массе) компоновку бисталь-ной балки постоянного двутаврового сечения при следующих исходных данных:
Ь = 18 м - расчётный пролёт балки;
Н = 130 см - высота балки; 5 = 12 мм - толщина стенки балки;
М1, М2, М3 - марки сталей №1, №2 и №3 (условно), которые возможно использовать для компоновки отдельных элементов бистальной балки;
= 200 МПа; Я2 = 450 МПа; Я3 = 500 МПа - расчетные сопротивления сталей марок М1, М2, и М3.
gвp = 100 кН/м - интенсивность равномерно распределённой временной нагрузки, действующей на балку.
Если НЕТ
Ввод исходных данных
1. Выбор марки стали (из числа заданных) для компоновки стенки бистальной балки
2. Построение эпюр М и Q без учета собственного веса бистальной балки. Развитие зон упругопластических деформаций (УПД) в расчетных сечениях бистальной балки не учитывается
3. Определение (корректировка) размеров отдельных элементов по известным усилиям в расчетных сечениях бистальной балки
4. Определение (корректировка) величины нагрузки от собственного
веса бистальной балки (по выявленным размерам в расчетных сечениях балки) /
I
5. Построение эпюр М и Q с учетом собственного веса бистальной
балки. Развитие упругопластических деформаций (УПД) в расчетных сечениях бистальной балки не учитывается_____________/
6. Определение (корректировка) размеров отдельных элементов по известным усилиям в расчетных сечениях с учетом УПД бистальной балки
7. Определение (корректировка) зон УПД на наиболее нагруженных участках бистальной балки
8. Разбивка зон УПД на отдельные участки. Определение изгибной жесткости КЗ на каждом упругопластическом участке бистальной ; балки
9. Построение эпюр М\+1 и 0+1 с учетом скорректированной изгибной жесткости КЗ на отдельных упругопластических участках бистальной балки
I
Если | Мі+1 - Мі | <= Ддм
10. Выбор стали для компоновки поясов балки. Проверочные расчеты балки (жесткость, устойчивость и т.д.)
^Если ДА Конец расчета
Рис. 1. Блок-схема поиска оптимальной бистальной статически неопределимой балки
Решение данной задачи будем реализовывать согласно блок-схеме, представленной на рис. 1.
1. Выбор марки стали (из числа заданных) для компоновки стенки бис-тальной балки. Для компоновки стенки двутавровой бистальной балки принимаем сталь М1 с расчетным сопротивлением Я1 = Лст = 200 МПа. Коэффициент упрочнения стали Мі, используемой для компоновки стенки, принимаем равным п = Е' / Е = 0. Для компоновки менее нагруженного нижнего пояса также будем использовать сталь М1.
2. Построение эпюр М и Q от заданной нагрузки без учета собственного веса бистальной балки. Развитие зон упругопластических деформаций (УПД) в расчетных сечениях балки не учитывается (а значит изменение Ш на упругопластических участках балки на данном этапе расчетов также не учитываем). Распределение усилий М по длине балки приведено на рис. 2. В данном примере построение эпюры Q было опущено.
gщ> = 100 кН/м
Ь = 18 м
Рис. 2. Эпюра изгибающих моментов М от заданной нагрузки g вр
3. Определение размеров отдельных элементов в расчетных сечениях бистальной балки. Размеры, а также геометрические характеристики поперечных сечений бистальной балки будем определять с использованием единичных безразмерных параметров изгиба [1].
3.1. При заданных Н = 130 см, 5 = 12 мм, Лст = 200 МПа (см. исходные
данные), а также Мтях = 2700 кНм (см. эпюру изгибающих моментов на
рис. 2) единичная высота Н определится как
Н = Н/^Мтях/(5-Яст) = 130/^/2700-104/(1,2• 200-10) = 1, 2257.
Единичная площадь сечения - f
3.2. Определение при h = const оптимальных единичных параметров f(h), /сж , /р(£ и т (h) для наиболее нагруженного сечения бистальной балки. Так, при h = 1,2257 , а также при тсж = Яст / Ясж = 1,00 и n = E'/ E = 0
1 1 сж ст сж
при решении аналитическим способом были получены следующие значения перечисленных параметров: /()= 2,21107, fW= 0,79929, = 0,18608 и
m(h) = 0,490. Для наглядности отдельные результаты проведённых исследований по данному пункту представлены графически на рис. 3.
Рис. 3. Определение оптимальных параметров f(h), /и m(h) при h = 1,2257 , а также при тсж = Яст / Ясж = 1,00 и n = E /E = 0
сж ст сж
3.3. Определение фактических площадей Л, Лсж и Лраст и высоты Н
для наиболее нагруженного сечения бистальной балки с использованием единичных параметров изгиба. Так, фактические площади отдельных элементов бистального сечения балки с использованием соответствующих формул перехода, определятся как [1]:
А = 7М -5/Яст • / = ^2700-104-1,2/(200-10) • 2,21107 = 281,42 (см2) ; Асж =у]М -5 / Яс1 - /сж =^12700 -104 -1,2/(200 -10) • 0,79929 = 101,73 (см2);
Араст =4М '5 /^ст • /раст = д/2700 • 104-1,2/(200-10)• 0,18608 = 23,68 (см2);
Н = у/ М / (5-Яст )-И = ^2700 • 104 / (1,2 • 200 -10) • 1,2257 = 130,00 (см) . Проверка: А = Асж + Араст + Н • 5 = 101,73 + 23,68 +130,00 -1,2 = 281,42(см2) - верно.
4. Определение величины нагрузки от собственного веса бистальной балки (по выявленным размерам отдельных элементов в расчетных сечениях балки). Учитывая, что проектируемая балка имеет постоянное по всей длине сечение (см. исходные данные), находим:
£пост = А-Р-У/ = 281,42-10-4 -78,5-1,05 = 2,32 кН/м, где А = 281,42 см2 - площадь поперечного сечения в наиболее нагруженном расчетном сечении балки из п. 3.3; р = 78,5 кН/м3 - плотность стали; у / = 1,05 - коэффициент надежности по нагрузке.
5. Построение эпюр М и Q с учетом собственного веса бистальной балки. Развитие упругопластических деформаций (УПД) в расчетных сечениях бистальной балки на данном этапе не учитывается. Общая нагрузка на балку составит I g = ^вр + ^пост = 100 + 2,32 = 102,32 ( кН/м). Эпюра изгибающих
моментов от найденной нагрузки приведена на рис. 4. Построение эпюры Q здесь опущено.
g = 102,32 кН/м
Ь = 18 м
Рис. 4. Эпюра изгибающих моментов М с учетом собственного веса балки
Определяем погрешность Ai = [| М1+1 -М1 |/Mi+1 ] -100= 12763 - 27001/2763 = = 2,3%. Величину предельно допустимой погрешности примем в размере 1 % (Aдоп = 1%). Так как A1 = 2,3 % > Aдоп = 1%, то, следовательно, возвращаемся (согласно алгоритму расчета - см. блок-схему на рис. 1) на 3 этап расчетов.
3. (итерация №2). Определение (корректировка) размеров отдельных элементов по известным усилиям в расчетных сечениях бистальной балки.
3.1. (итерация №2). При заданных H = 130 см , 8 = 12 мм,
Яст = 200 МПа (см. исходные данные), а также Мших = 2763 кН - м (см. эпю-
с! Шил
ру изгибающих моментов на рис. 4) единичная высота h определится как h = Н^Мшах/(8- Яс|) = 130/^2763-104/(1,2-200-10) = 1,21160.
3.2. (итерация №2). Определение при h = const оптимальных единич-
ных параметров f(h), /с(Ж), /р^т и т(h) для наиболее нагруженного сечения бистальной балки. Так, при h = 1,21160, а также при тсж = Яст / Ясж = 1,00 и
1 1 сж ст сж
n = E' / E = 0 при решении аналитическим способом были получены следующие значения перечисленных параметров: f(h) = 2,21371, f^ = 0,81268,
И*) = 0,18944 и m(h) = 0,484 .
*■' раст 7 7
3.3. (итерация №2). Определение фактических площадей А, Асж и
Араст и высоты H для наиболее нагруженного сечения бистальной балки с
учетом ее собственного веса (см. рис. 4) с использованием единичных параметров изгиба:
А = ^М -8 / Яст - / = д/2763-104 -1,2/(200-10) 2,21371 = 285,03 ( см2);
Асж =^JМ -8/Яст -/сж = ^2763-104-1,2/(200-10) 0,81268 = 104,64 (см2);
АраСт = у]М - 8 /Яст - /раст = V2763 -104 -1,2/(200 -10) • 0,18944 = 24,39 (см2);
Н = ^М / (8-Яст )■ h = ^2763 -104 / (1,2 - 200 -10) 1,21160 = 130,00 (см). Проверка:
А = Асж + Араст + H - 8 = 104,64 + 24,39 +130,00 -1,2 = 285,03 (см2) - верно.
4. (итерация №2). Определение (корректировка) величины нагрузки от собственного веса бистальной балки (по вновь выявленным размерам отдельных элементов бистальной балки):
£пост = А-P-Yf = 285,03-10^-78,5-1,05 = 2,35 кН/м,
где А = 285,03 см2 - площадь поперечного сечения в наиболее нагруженном расчетном сечении балки из п. 3.3.
5. (итерация №2). Построение эпюр М и Q с учетом собственного веса бистальной балки. Общая нагрузка на балку составит:
I g = g вр + g-с, = 100 + 2,32 = 102,35 ( кН/м ).
Так как интенсивность равномерно распределенной нагрузки по сравнению с предыдущим этапом (см. п. 5) отличается менее, чем на 0,03%, то в этой связи процесс итерации по определению нагрузки от собственного веса бистальной балки считаем завершенным. Так, расчеты показали, что максимальное усилие в бистальной балке от нагрузки g = 102,35 кН/м составит
Мmax = 2763,5 кН/ м , что отличается от аналогичного усилия, найденного на предыдущем этапе (см. п. 5) менее, чем на 0,02%.
Согласно блок-схеме (см. рис. 1) после этапа №5 далее «уходим» на этап №7.
7. Определение зон упругопластических деформаций (УПД) на наиболее нагруженных участках бистальной балки.
7.1. При известной компоновке бистальной балки определяем величину предельно-упругого изгибающего момента My^. Согласно выполненным
расчетам Mупр = 1585 кНм .
7.2. Определяем граничные сечения, в которых величина изгибающего момента Mі равна предельно-упругой величине Mупр = 1585 кНм . Так, для
нашего случая такие граничные сечения удалены от опорных сечений бис-тальной балки на 150 см. Таким образом, количество упругопластических зон будет равно двум, а протяженность каждой Liin = 150 см .
8. Разбивка зон УПД на отдельные участки. Определение изгибной жесткости EJ на каждом упругопластическом участке бистальной балки. Зону упруго-пластических деформаций L^ разбиваем на несколько равных участков и на каждом участке определяем значения изгибающего момента M и момента инерции J бс, после чего находим соотношение упругопластического
момента инерции к его упругому значению - Jбc / Jy^ . Зона упругопластических деформаций, равная L = 150 см , для нашей задачи была разбита на
пять равных участков по 30 см. Затем для каждого участка аналитическим способом было найдено соотношение Jбc / Jупр, позволяющее в дальнейшем
скорректировать изгибную жёсткость на каждом упругопластическом участке бистальной балки. Результаты проведённых на этом этапе расчётов приведены на рис. 5.
9. Построение эпюр M и Q с учетом скорректированной изгибной жесткости EJ на отдельных упругопластических участках бистальной балки. Эпюра изгибающих моментов с учетом развития упругопластических деформаций (УПД) в наиболее нагруженных сечениях бистальной балки приведена на рис. 6. Сопоставление значений изгибающих моментов в наиболее нагруженных сечениях балки (см. рис. 4 - Mmax = 2763 кНм и рис. 6 -
Mmax = 2730 кНм ).
а также соотношения моментов инерций /бс/упр на отдельных упругопластических участках бистальной балки
g = 102,32 кН/м
/I И I I I I I I I I I I I
Ь = 1800 см
/
/
/
Рис. 6. Эпюра изгибающих моментов М с учетом развития УПД
Определяем погрешность Ai = [| М1+1 -М-х |/М1+1 ] -100 =| 2730 - 27631/2730 = 1,21%. Так как A1 = 1,21% > A доп = 1% , то, следовательно, возвращаемся (согласно алгоритму расчета - см. блок-схему на рис. 1) на 6 этап расчетов.
6. (итерация №2). Определение (корректировка) размеров отдельных элементов по известным усилиям в расчетных сечениях с учетом упругопластических деформаций бистальной балки.
6.1. (итерация №2). При заданных H = 130 см, 8 = 12 мм,
Яст = 200 МПа (см. исходные данные), а также Мшах = 2730 кНм (см. эпюру изгибающих моментов на рис. 6) единичная высота h определится как h = Н /д/Мшах /(8 • Яст) = 130/д/2730 -104 /(1,2 - 200 -10) = 1,21890.
6.2. (итерация №2). Определение при h = const оптимальных единичных параметров f(h), fj^, /щСт и т(h) для наиболее нагруженного сечения бистальной балки. Так, при h = 1,21890, а также при тсж = Яст / Ясж = 1,00 и
сж ст сж
n = E'/ E = 0 при решении аналитическим способом были получены следующие значения перечисленных параметров: f(h) = 2,21232, f^ = 0,80579,
fjh) = 0,18763 и т(h) = 0,487 .
раст
6.3. (итерация №2). Определение фактических площадей А, Асж и Араст и высоты H для наиболее нагруженного сечения бистальной балки с использованием единичных параметров изгиба:
А = д/М -8/Яст - f = yj2730 -104 -1,2/(200-10) 2,21232 = 283,14 (см2) ; Асж =yjМ -8/Яст -/сж =д/2730-104-1,2/(200-10)• 0,80579 = 103,13 (см2);
Араст =>/М-8/Яст -/Щст =л12730-104-1,2/(200-10)• 0,18763 = 24,01 (см2);
Н = ^М/(8-Яст) • h = у]2730-104/(1,2-200-10) • 1,21890 = 130,00(см). Проверка: А = Асж + Араст + H-8 = 103,13 + 24,01 +130,00-1,2 = 283,14 ( см2) - верно.
7. (итерация №2). Определение зон упругопластических деформаций (УПД) на наиболее нагруженных участках бистальной балки.
7.1. (итерация №2). При известной компоновке бистальной балки определяем (корректируем) величину предельно-упругого изгибающего момента Мупр . Согласно выполненным расчетам на данном этапе Мупр = 1585 кНм .
7.2. (итерация №2). Определяем граничные сечения, в которых величина изгибающего момента М] равна предельно-упругой величине М упр = 1585 кНм. Так, для нашего случая такие граничные сечения удалены
от опорных сечений бистальной балки на 147 см. Таким образом, количество
упругопластических зон будет равно двум, а протяженность каждой из них будет равна Ьия _ 147 см .
8. (итерация №2). Разбивка зон УПД на отдельные участки. Определение изгибной жесткости Ш на каждом упругопластическом участке бисталь-ной балки. Зона упругопластических деформаций, равная Ьпл _ 147 см , была
разбита на четыре участка по 30 см и один участок, равный 27 см. Затем для каждого участка было найдено соотношение Jбс / Jупр, дающее возможность
скорректировать изгибную жёсткость на каждом упругопластическом участке бистальной балки.
9. (итерация №2). Построение эпюр М и Q с учетом скорректированной изгибной жесткости EJ на отдельных упругопластических участках бис-тальной балки. Результаты проведённых на данном этапе расчётов показали, что значения изгибающих моментов М и соотношения жесткостей Jбс / Jупр
на одноимённых упругопластических участках изменились менее чем на 1%, в связи с чем дальнейший процесс итерации не имеет смысла. Следовательно окончательные параметры бистальной балки будут следующими (см. п. 6.3. (итерация №2): А _ 283,14 см2; Л _1лт п * _тлт„.,2.
Н _ 130,00 см; 8 _ 12 мм; т _ 0,487 .
Асж = 103,13 см2
А = 24,01 см2
раст ’
Н = 130 см
Л, = 450 МПа
Ян = 200 МПа ------------------
Ан = 103,13см2
В наиболее нагруженных сечениях (на уровне жёсткой заделки) напряжённое состояние бистальной балки будет следующим:
в нижнем сжатом поясе - стн = Ян = 200 МПа; в крайнем нижнем сжатом волокне стенки -
стн = ^ст = 200 МПа; в крайнем верхнем растянутом волокне стенки -
стст = ^ст =200 МПа; в верхнем растянутом поясе -
ств = Яст/т = 200/0,487 = 411 МПа. Для компоновки верхнего растянутого пояса используем сталь марки М 2 с расчетным сопротивлением изгибу Я2 _ 450 МПа .
Яст = 200 МПа
Следует также отметить, что в сечении Ы2 бистальной балки её напряжённое состояние останется упругим, так как предельно-упругий момент в этом сечении оказался больше расчетного момента в этом же сечении (см. рис. 6).
10. Выбор стали для поясов балки. Проверочные расчеты бистальной балки. Для сжатого нижнего пояса принята сталь марки М\ расчетное
сопротивление изгибу - ^2 = 200 МПа); для верхнего растянутого пояса сталь марки М2 расчетное сопротивление изгибу - R2 = 450 МПа).
В рамках данной статьи вопросы жесткости и устойчивости бистальных балок не рассматриваются.
Выводы
1. Приведён алгоритм поиска оптимальных по массе бистальных изгибаемых статически неопределимых балок ступенчато-переменного сечения постоянной высоты.
2. Составлена программа, позволяющая определять оптимальные по массе варианты бистальных изгибаемых статически неопределимых балок.
3. На конкретном примере рассмотрена оптимизация массы статически неопределимой бистальной балки.
Библиографический список
1. Таюкин Г.И. Оптимизация массы комбинированного стального упругопластического поперечного несимметричного сечения при поперечном изгибе. Депонирована в ВНИИНТПИ, №11236 от 15.04.1992, 55 с.
Материал поступил в редакцию 01.06.04.
G.I. TAYUKIN
OPTIMIZATION OF STATICALLY UNDETERMINED BISTEEL CAMBER BEAMS
Algorithm of findig the optimal parameters of statically undetermined bisteel camber beams with asymmetric cross-section is given in the paper. Redistribution of internal forces on the length of statically undetermined element at arising the plastic deformations on its more loaded parts is shown on concrete numeral example.
