Оптимизация бистальных двутавровых балок с учетом действия продольных сил Текст научной статьи по специальности «Физика»

СТРОИТЕЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ

УДК 624.042.12./.072.2.014.001.5

П. С. ИВАНОВ, канд. техн. наук, доцент

ОПТИМИЗАЦИЯ БИСТАЛЬНЫХ ДВУТАВРОВЫХ БАЛОК С УЧЕТОМ ДЕЙСТВИЯ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ

Предлагается аналитическое решение задачи оптимизации комбинированного стального сечения двутавровых балок, работающих в упругопластической стадии при одновременном воздействии изгибающего момента, и продольных сил, которое является самостоятельной частью общего расчета, связанного с оптимальным проектированием балки в целом. Решение основано на преобразовании уравнений упругопластического изгиба в уравнения и расчетные формулы по определению геометрических параметров сечения. Функция цели при этом приводится к функции двух независимых переменных, представляющих собой «обобщенные» параметры оптимальности.

Решение, рассматриваемое ниже, является дальнейшим развитием метода оптимизации бистальных балочных конструкций за пределом упругости, разработанного автором [1]. В этом методе используется двухкритериальная оценка эффективности конструкции: по массе и по стоимости, на основе чего может быть принято компромиссное рациональное решение.

Задача оптимального проектирования, в данном случае, разделяется на две самостоятельные задачи:

1) минимизация площади комбинированного стального сечения;

2) проектирование балки минимальной массы и стоимости.

Решение первой задачи сводится к оптимизации параметров сечения бистальной балки при обеспечении упругой работы поясов из высокопрочной стали и прочности стенки, в которой допускается развитие ограниченных по величине упругопластических деформаций.

Решение второй задачи сводится к определению массы и стоимости проектируемой балки из различных марок сталей, удовлетворяющей заданным условиям, выбору «эталонной» балки и оценке эффективности по отношению к принятому эталону.

Вводятся следующие предпосылки, допущения и ограничения:

- физически нелинейные условия задачи учитываются с помощью расчетных диаграмм о-е, показанных на рис. 1;

- выполняется линейный закон распределения относительных продольных деформаций по высоте сечения;

- равенство модулей упругости материалов, входящих в состав комбинированного стального сечения при его работе в упругой стадии;

- расчетная высота балки и стенки одинаковы;

- величина сжимающей продольной силы должна составлять не более 3% от критической силы.

При аналитическом решении первой задачи функция цели представляет собой сложную функцию, зависящую от многих переменных. Учитывая принятые допущения, а также обозначения, показанные на рис. 2, функцию цели можно записать в виде:

А = Ф{Н, а, X, ес,М, N, Е, X, вт, С) . (1)

Здесь Н - высота двутавра, которая одновременно является высотой стенки; а = zн/zв = £мах/£Т1 - величина асимметрии сечения (рис. 2), относительно нейтральной оси уз, положение которой смещается при развитии упругопластических деформаций в стенке; X - толщина стенки; ес - эксцентриситет продольной силы относительно оси ус, разделяющей высоту сечения на две равные части; Ми N - соответственно, внутренний изгибающий момент и продольная сила в рассматриваемом сечении; Е - модуль упругости; X = 1 - Ё/Е - параметр разупрочнения; гТ - величина предела упругих деформаций в стенке; С, = ет /£Т1 = zТ ^в - параметр, регулирующий развитие упругопластических деформаций в сжатой зоне стенки; ось уо - главная центральная ось комбинированного сечения (рис. 2) при его работе в упругой стадии; у - то же при его работе в упругопластической стадии; у$ - нейтральная ось (ось нулевых напряжений) при изгибе с растяжением-сжатием; - величи-

на сдвижки нейтральной оси относительно оси ус; Лг - то же относительно главной центральной оси сечения при его работе в упругой стадии; Лгз - то же относительно оси у.

Рис. 1. Расчетные диаграммы а-е:

а - диаграмма с линейным упрочнением; б - диаграмма Прандтля

Рис. 2. Упругопластическая стадия работы комбинированного сечения: а - тристальное сечение; б - эпюра относительных деформаций; в - эпюра нормальных напряжений при N = ^ас; ВП1 - высокопрочная сталь верхней полки; ВП2 - то же нижней полки; еТ1 и еТ2 - величина предела упругих деформаций, соответственно, для высокопрочной стали верхней и нижней полок двутавра

Данную функцию цели, как и в указанной выше работе, приводим к функции от двух независимых переменных Н и а, которые представляют собой обобщенные параметры оптимальности. Остальные переменные при этом рассматриваются в качестве свободных коэффициентов.

Используя аналогичный подход к решению первой задачи, т.е. выражая все расчетные характеристики оптимизируемого сечения, работающего в упругопластической стадии через эти два обобщенных параметра, преобразуем затем уравнения упругопластического изгиба с учетом растяжения-сжатия, полученные в работе [1], в расчетные формулы по определению площади рассматриваемого комбинированного сечения и его отдельных частей:

X• Н [....... , Х-С-[3(а-1)2-2(2-С2)]|

С

2вт • Е

2 М' Н

Ан =-

С

2е„, • Е •а

- (± N) '2М_

Н

(1 -X) • (2-а)--

(а -

(± N)

г • Н

6 •а

(1 -X) • (2 •а-1) + Х^'

3 -

1)2

2(3 + С2) (а +1)2

(2)

С(а-1) 2ет • Е•а

2М '• (а+1)

Н • (а-1)

(± N)

г• Н а3 • (1 -X) + а0 •а2 -Ь0 • а + с0 6а (а+1)

Здесь М' = М + [± N • (±ес)] - базисная часть суммарного изгибающего момента, действующего в расчетном сечении, величина которой не изменяется в процессе его оптимизации; (+N) = N; (-N) = Nсж; (+ес) - если линия (ось)

действия продольной силы расположена ниже оси ус; (-ес) - если она выше этой оси (см. рис. 2);

а0 = 3[(1 + 0 + 1]; Ь0 = 3(4ХС-1 -X); с0 =1 -Х + Х-^(3 + 2^2).

Обобщенные параметры Н и а, удовлетворяющие минимуму площади рассматриваемого комбинированного стального сечения, определяются из условий экстремума:

1) дА(Н, а)/дН = 0; 2) дА(Н, а)/да = 0 . (3)

Из первого условия (3), получаем:

6М'•^ а3(1 -X) + а0 •а2 -Ь0 ^а + с0

(а +1)2

откуда

Н = Иор, =

6М ’•С(а + 1)

вТ• Е• X[а3 (1 - X) + а0 •а2 -Ь0 • а + с0]

Из второго условия, соответственно, находим:

6М' •С = а4 • (1 -X) + 2 а3 • (1 -X) + а •а2 - Ь •а-с0 3(±^ •£

вТ • Е • X•Н

вТ • Е • X•Н

(5)

(6)

(а +1)2 где а = ; Ь = 2с0.

На основании формул (4) и (6) получаем следующее уравнение, связывающее усилие N с обобщенными параметрами Н и а:

3(±№) •С

а (1 - Я) + а (1 - Я) + Р0 •а - Р1 •а - 2 с0

вТ • Е-т-Н

(а +1)2 = 0. (7)

Здесь Ь1 = 5 + X- 2X^1; • (3 - 2^2).

Подставляя сюда выражение для Н = Норг из формулы (5), после некоторых преобразований, получаем уравнение для определения а = аорг:

а8 • (1 - Я )2 + 2 а7 • (1 - Я)2 + к • (1 - Я) •а6 + п • (1 - Я) •а5 + т •а4 - 2 а2 • а3 -

-Ь2 •а2 + с2 • а + = 0,

где к = 6Я^ (4£-1) - 5; п = 4Я[^ • (9 - 2£) - 2]-16-п;

т

= Ь2 -2• (1 -Я)• (Ь + 2с0)-^К + 2(1 -Я)]; л = 3^)2 ^ ;

, (1 -Я)-Ь/

2 М'•вТ • Е • X

а2 = Ь1 • Ь0 + 2с0(1 - Я) - п

; л2 = с0 • (4с0-п);

Ь2 = 4Ь0 • с0 - Ь1 + П • (а0 + с0 - 2Ь0) ; с2 = 4Ь1 • с0 - П • (2с0 - Ь0).

Существование оптимальной «упругопластической» асимметрии комбинированного сечения непосредственным образом связано с изменением положения нейтральной оси, т.е. с существованием такого положения этой оси, при котором площадь расчетного сечения принимает свое минимальное значение. При работе комбинированного сечения в упругой стадии этот феномен исчезает, так как положение нейтральной оси и параметры упругости в данном случае не изменяются в процессе нагружения-деформирования.

Необходимо отметить, что уравнения (4) и (6) будут удовлетворять локальному оптимуму рассматриваемого тристального двутаврового сечения при любом заданном значении Н. Если использовать уравнение (8), то мы найдем глобальный оптимум для данного сечения, при котором сразу оба параметра Н и а будут оптимальными.

Далее покажем, что приведенные выше расчетные формулы и уравнения существенно упрощаются при использовании диаграммы Прандтля.

Так, полагая, что X = 1, на основании (5) получаем следующую формулу для определения оптимальной высоты сечения:

Н = Н , =

орг

6М Ч-(а + 1)2 (9)

• Е• г• (а* •а2 -Ь*0 •а2 + с*)

где а0 = 3• (2 + £); Ь* = 6• (2£-1); с* =£-(3 + 2^2).

Величина а в формуле (9) либо может быть принята произвольно в допустимом интервале, либо из уравнения (8), которое при X = 1 преобразуется к виду

т* •а4 -2а* •а3 -Ь2* •а2 + с* •а + а?2* = 0 , (10)

где т* = 3{12• (1 -202-п(2 + 0]; < = ^(3 + 2^2){4^(3 + 2^2)-п] ;

а* = 3•[4• (2^-1)• (3-3^ + 2^3) + п(3-С)];

Ь* = 4•[6^(2^-1)• (3 + 2^2)-(3-3^ + 2^3)2] + П• [18• (1 -О + 2^3] ; с* = 2• (3-3^ + 2С3){4£ • (3 + 2^2)-п].

При заданной высоте двутавра оптимальное значение параметра а находится из уравнения (4), которое в данном случае запишется

а3(1 -X) + а2(а0 -Р)-а(Ь0 + 2Р) + (с0 -Р) = 0, (11)

6 • М '•£

где р =

вТ • Е • г •Н

Формулы (2) здесь, соответственно, приводятся к виду:

А =-

2 •вТ •Е

2М'

Н

- (± N)

X• Н С{3(а-1)2-2(3-С2){

(а +1)2

А =■

А =

2•вТ -Е•а

^•(а-1) ^

2•вТ-Е •а

2М'

■(± N)

_ Н

2М' • (а +1) Н • (а -1)

X • Н

6а - (± N)

3 -

2 • (3 + С2)

(а + 1)2

2

X Н а0 •а -Ь0 •а + с0 6а

(а + 1)

(12)

Необходимо также отметить, что приведенные выше формулы и уравнения позволяют учитывать трансформацию комбинированного сечения.

Так, например, при ^ = 1 рассматриваемое тристальное двутавровое несимметричное сечение трансформируется в бистальное сечение данного типа, для которого оптимальные параметры определяются формулами:

А„ =■

1

2 •вТ •Е

2М'

Н

- (± N)

[...... , Я{3(а-Ц2-4Ц

•-і(1 -Я) •(2-а) ———2—- \; 6 І (а + 1)2 I

А =■

А =-

2•вТ •Е•а

(а-1)

2М'

+ (± N)

2•вТ •Е•а

_ Н

2М '-(а + 1) Н • (а -1)

X • Н

6а - (± N)

(1 -Я) • (2а-1) + Я'

3--

(а + 1)2

X Н а3 • (1 -Я) + а0 •а2 -Ь0 ^а + с0 6а (а +1)

Н = Нор, =

6М '•^•(а + 1)2

вТ • Е• X{а3 • (1 -Я) + а0 •а2 -Ь0 ^а + с0)^

(13)

Здесь а0 = 3• (1 + 2X); Ь0 = 3• (3X-1); с0 = 4X +1.

Оптимальное значение а в формулах (13) определяется из уравнения (8), которое в данном случае преобразовывается к виду:

а8 • (1 -X)2 + 2а7 • (1 -X)2 + к • (1 -X)•а6 + й• (1 -X)•а5 + т•а4 -2а2 •а3 -(14)

-Ь2 •а + с2 • а + Л2 = 0,

где к = 18Я-5; п = 20Я-16-п; п = 3

(± N )2

2 М' •вТ • Е • X

т = X-(95X^4)-5-п-(5 + 4X);

а2 = 54X-17X2 -13 + п (5 + X); с2 = (5-X)-[4 ^(1 + 4X)-п]; Ь2 = 143X•2 +2X-37 + п(10-8X); 12 = (1 + 4X)•[4• (1 + 4X)-п].

Если при решении задачи используется диаграмма Прандтля, то Я = 1 и, соответственно, расчетные формулы (13) принимают вид:

А =-

2•вТ • Е

2М' ~Н~

- (± N)

г • Н

3(а-1)2 - 4 (а +1)2

А =■

А = -

2•вТ • Е•а (а-1)

2М'

+ (± N)

2•вТ • Е•а

_ Н

2М' • (а +1) Н •( а -1)

г • Н Гз 8 1

6а ^ (а + 1)2

- (± N)

г •Н 9а2 -6а + 5

6 а

(а +1)

Н =

6М '• (а +1)2

(15)

вт • Е • г • (9а - 6а + 5)

В данном случае оптимальное значение а на основании (14) находится т•а4 -2а2* •а3 -Ь2* •а2 + с2* •а + ^2* = 0 , (16)

где т = 9 • (4 - п) ; а2* = 6 • (4 + п);

Ь2* = 2 • (52 + п); с2* = 4 • (20 - п); ^2* = 5 • (20 - п).

При заданной высоте бистального сечения а = аорг находится из уравнения (11), которое в данном случае принимает вид:

а2 • (9-Р)-а • (6 + 2Р) + (5-Р) = 0. (17)

Таким образом, задаваясь конкретными значениями величин, входящих в приведенные выше расчетные формулы и уравнения, можно получить необходимое для сравнения количество различных компоновок комбинированного сечения, удовлетворяющих минимуму площади при заданных условиях и ограничениях. Выбор условий и ограничений и их количество может меняться в зависимости от конкретных конструктивных или других требований, но вид расчетных формул при этом не изменяется, так как они непосредственным образом вытекают из самих уравнений упругопластического изгиба.

Решение второй самостоятельной части задачи оптимизации комбинированной балки, т.е. проектирование балки минимальной массы и стоимости, ничем не отличается от рассматриваемого в работе [1], поэтому оно здесь не приводится.

Для иллюстрации вышеизложенного, ниже, в табл. 1 и 2, приведены численные данные результатов оптимизации бистального двутаврового несимметричного сечения при одновременном действии в нем изгибающего момента и продольной силы К, которые показывают степень влияния данной силы в зависимости от ее направления и месторасположения по отношению к оси ус.

В данных таблицах все основные расчетные параметры оптимального сечения можно разделить на следующие 4 группы:

1. Параметры, учитывающие собой геометрию сечения и его частей, а также размеры зон сжатия, растяжения и упругопластических деформаций.

2. Параметры, учитывающие собой смещения (сдвижки) координатных осей за счет нарушения симметрии сечения, дополнительного влияния осевых

Таблица 1

Данные результатов оптимизируемого бистального двутаврового сечения с учетом влияния продольной силы N=14рас

Исходные параметры представленные в виде констант шш постоянных величин

То же .в

переменных

величин

Варианты

№ 1

-Си 0.5 м М'=1450 г| =0.12315

№2 ес=0.00 М=М г| =0.14881

№3 -ес=0.5 М1 =950 г|^,188

/;• 1 С=1

М=1200 кНм л 5і!і:кЧ

£т—0.001 Єосі—0.002

Е =210000 МПа. і і см

{.: Г.: +ЄоіЛ !%.—0. 003 СЬ=Єе./Єт =3

Основные расчетные параметры оптимального сечения

а 1.4- Ае=29.7167

Н=128.1357 Ли '21 1248 11=23.1064 А =178.9772

Е'Х =39.989 А =175.0199

гв=Э=52;514б гн=75.6211 Лгс=11.5532 ;Дж=8.4776

Д/й -7.144

250 1уо=384982 I =368114

Е'&Н28.568 ,Е’£е=210.О Е'Єтах =302.4 М7 =1472.046

а 1.4207 Н=117.1418

Ь=20.3569 Е- х =43.3952

Ав=25.317 Ан=20.251 А =162.710 А =159.345

а=а=48.3925

гн=68.7493

Д2с=10.1784

Дг=8.3547

7.23І '8 ДМ =0.00 Туо=291033 Т. =279925

Е-Єн=31.378 Е'Ев=21.0.0 Е'Ётах=298.34 М¥ =1214.738

а=1.3949 77=117.9183 I=19.4447 Е- % =42.651

Ав =24.4523 Ан=20.6585 А =163.0291 А =159.9723

2в=гт=49.2368 гн= 68.6815 Дгс=9.7224 Дг=8.3504

Дгв =7.3.282 ДМ= -250 ^=235725 X =225545

М.

Е’£и=31.255

Е‘Єв=210.0

Е"£тах=292.93 961.971

Накпадьтаемые ограничения (условия)

виде

6в — Єт"

ви,

Єтах ^ Єе < Єт

І ' а ■' «-І! Т| ' 2

Эпюра напряжений

Примечания: І. Вертикальная ось сечения і направлена вниз. 2. + ес. если сила N приложена ниже оси хс; - Єе, есщМ выше осихс.

Оптимизация бистальных балок

Таблш^ 2

Данные результатов оптимизируемого бистального двутаврового сечения с учетом влияния продольной силы N=N0»:

-й-

К>

Исходные параметры представленные в віще констант или постоянных величин

То же в

переменных

величин

Варианты

к 1

1=1

М=1200 и ОЛ ЩгШЩ

К=500кН Е-210000 МПа 1=1 см

Ед=Єт+йізстД—0.003 ар=Еї./ет =3

Основные расчетные параметры оптимального сечения

№ 1 +е,р=#.5 м М'=950 •ц.=0.188 а=1.3949 Н=104.918 11=17.3011 Е-1 =47.9356 Ав =44,2537 Ан=2.2532 А =151.425 А =148.7056 гв=»г=43.8087 гн=61.1098 Д2з=8.б5 Дг—5.90 -7:('143 ДМ =-250 1у,#=189243 У =181843 ** У Е-£ы=-33.623 Е-£в=-210.0 Е'£тах=292.934 Му =871.676

№2 а=1.42066 Ав =49.1268 гв=гт=48.3925 Дгг=-6.9245 Е-Єм=-30.049

ес=0.00 Ж=117.1418 Ан=3.491б гянЙ3.7493 ДМ=0.00 Е-£в =-210.0

м=м 11=20.3569 А =169.7603 А/с- 10.1 /84 1уе=270814 Е'£тах —298.34

Г) =0.14881 Е-х =43.3952 А =16:6.3952 Дг=-5.5667 Ї, =256822 Му =1114.485

№3 -ес= 0.5 м М= 1450 №=1.44 Ав=53.5262 2в=гт=52.5146 Айз—6.859 Е'£N=-27.428

Л =0.1232 Н=128.136 Ан=4.5904 2й=75.621 ДМ= 250 Е-£в =-210.0

11=23.1064 А =186.252 Ш=] 1.55-32 1уо=359120 Е‘£т ах =302.4

О II М А =182.295 Д2=.5,28 т =3395.79 У Му =1357.94

Накладываемые ограничения (условия)

виде

£в — £т

ВІТ

£тах<£н.< £т I (I О'

0 <т) <2

Эпюра напряжений

&£е~(7т

Примечания: 1.Вертикальная ось сечения г направлена вниз. 2. + ес, если сила N приложена ниже оси хс.; - вс, если N выше оси хс.

П.С. Иванов

сил при изгибе и изменений параметров упругости в зонах упругопластических деформаций.

3. Упругогеометрические или переменные приведенные геометрические характеристики комбинированного сечения, учитывающие собой изменение сопротивляемости тела изгибу в расчетном сечении при его работе в упругопластической стадии.

4. Параметры, характеризующие собой внутреннюю статику и кинематику бистальной балки с учетом физически нелинейной работы материала.

Основные параметры, относящиеся к 1 группе, кроме найденных выше для рассматриваемого случая, определяются формулами:

г_ Н •—^-; = Н-----—; Ин _ Н • ■(а-1). (18)

(а + 1) (а +1) (а +1)

Параметры, учитывающие собой соответствующие сдвижки координатных осей определяются:

Лг _ Н • (а-1) ; Л = +(±М) •= (±^) • . (19)

с 2• (а +1) 2А Е•ег • А Е•8Г • А

Переменные приведенные геометрические характеристики бистального двутаврового сечения, которые использовались при сравнительном анализе, находились по формулам:

_2

3 _ 3 -1 ^н • Гз • (гн-Аг) - Нн 1; А _ А - Г Н •[а-(1 + 1п а) ]. (20) у уо 6 1 н н ^ (а + 1) 1 ]

где - приведенный момент инерции относительно главной центральной

оси сечения, работающего в упругопластической стадии; А - приведенная площадь расчетного сечения.

Основные параметры, относящиеся к 4 группе, в рассматриваемом случае находятся:

8 _8 а 8 _ (±^).

тах 1 ’и а

Е• А

(а + 1) . _\/Г> х Г л

X _ 8Т

(а +1) ; м _м' + (±Я>(Агс-Лг,). (21)

Н

Сравнительный анализ данных, приведенных в вышеуказанных таблицах показывает, что характер оптимального распределения массы (площади) в полках двутавра главным образом зависит от величины и направления действия продольной силы и почти не зависит от ее месторасположения. Также можно указать, что разгружающее действие на балку сжимающей продольной силы более эффективно (табл. 1, п. 3 и табл. 2, п. 1), так как в этом случае параметры Н и А принимают свои минимальные значения.

При N = 0, все расчетные параметры оптимального бистального сечения, полученные с использованием вышеприведенных формул и уравнений, полностью совпадают с данными, полученными в работе [1].

В заключение необходимо отметить, что предложенный автором метод оптимизации комбинированных изгибаемых стержней, с учетом развития в них ограниченных по величине упругопластических деформаций, является более эффективным по отношению к известным решениям задач данного класса, так как здесь каждое решение задачи оптимизации находится в области допустимых оптимальных решений, и нет необходимости рассматривать все решения, лежащие в области допустимых решений. Кроме того, решение первой части задачи оптимизации в аналитическом виде позволяет проводить качественную оценку влияния каждого из учитываемых в расчете факторов в отдельности на характер формирования оптимального расчетного сечения, а следовательно и комбинированной балки в целом.

Библиографический список

1. Иванов П.С. Аналитическое решение некоторых упругопластических задач технической теории изгиба и оптимизации стержней // Дисс. ... канд. техн. наук. Томск, 1996. - 141 с.

Материал поступил в редакцию 16.06.03.

P.S. IVANOV

OPTIMIZATION OF BISTEEL FLANGED BEAMS TAKING INTO ACCOUNT THE ACTION OF LONGITUDINAL FORCES

The analytical decision of optimization task of the combined steel section of flanged beams working in resilience stage at simultaneous influence of the bending moment and longitudinal forces is offered in the paper. This decision is an independent part of general calculation in optimum designing of beam as a whole. The decision is based on transformation of the equations of resilience bend into the equations and formulas for definition of geometrical parameters of section. The function of the purpose thus is resulted in function of two independent variables, representing the "generalized" parameters of an optimum effect.