CC BY
33
Механика деформируемого твердого тела 1394 Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1394-1395
УДК 539.3
ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ РАВНОВЕСИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ БАЛКИ СИММЕТРИЧНОГО ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОДОЛЬНОЙ ОСИ СЕЧЕНИЯ ИЗ МАТЕРИАЛА С ПАДАЮЩЕЙ ДИАГРАММОЙ
© 2011 г. Е.А. Бахарева
Уральский госуниверситет им. А.М. Горького, Екатеринбург
bahareva.e.a@mail.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Предложен численный метод расчета положений равновесия балки произвольного поперечного сечения, выполненной из упругопластического материала, обладающего эффектом деформационного разупрочнения. Исследована сходимость итерационного процесса. Проведены расчеты для балок с различными сечениями.
Ключевые слова: чистый изгиб, упрочнение, разупрочнение, итерационная процедура, сходимость.
Рассматриваем балку высотой 2Н и длиной Ь, поперечное сечение которой ограничивает контур Г(у), симметричный относительно продольной оси. К балке прикладываем постепенно возрастающий изгибающий моментМ (рис. 1). Свойства материала определяет полная диаграмма деформирования о(е), характеризующаяся функцией касательного модуля Е = ёо/ёе. На восходящем участке диаграммы значение касательного модуля больше нуля (упрочнение материала), на падающем — меньше нуля (разупрочнение). Свойства материала при сжатии и растяжении одинаковы. Поэтому диаграмма симметрична относительно начала координат.
м
С
7 a I :(
/ 0 h
M /
- У
м
Рис. 1
Полагаем, что полная деформация разбивается на сумму е = ер + £е, где ее и ер — упругая и пластическая ее составляющие.
Разгрузка происходит по модулю Юнга Е. Уравнения равновесия и условия совместности деформаций удовлетворяются тождественно. Гра -ничные условия, а именно равенства нулю главного вектора и главного момента, находим, интегрируя напряжения по всему поперечному сечению Р. Имеем
Цс(у + а)ёР = 0, Цс( у + а) уй¥ = М. (Р) (F)
Преобразуем эти соотношения по теореме о криволинейной трапеции в силу симметричности граничного контура Г(у) относительно продольной оси. После преобразований получаем уравнения
н
2 |с(к( у + а ))Г( у )ёу = 0,
-н (1)
н
2 |а(к(у + а))Г(у)уёу -М = 0 (в = к(у + а)).
-н
Второе соотношение представим в виде разности
н
М = 2 |Е(в - вр )Г(у)ус1у = к1 -Мф, -н
где
н
I = 2Е |Г(у)(у + а)уйу
-н
— жесткость при изгибе упругой балки,
н
Мф = 2Е |врГ(у)уйу
-н
— фиктивный изгибающий момент. Переменной а здесь обозначено расстояние от нейтральной оси, где нулевые напряжения и деформации, до средней линии. Эта величина из соотношения (1) и закона Гука О = Е(е — £р) может быть представлена в виде
Я ф\\ Г(у)уёу - Мф ¡-Нн Г(у)у 2 ёу
a = -
у_н
ГФ
M ф{_н Г( y) ydy - R ф\_ь Г( y )dy
(2)
Итерационный метод расчета параметров равновесия при чистом изгибе балки
1395
Здесь
Rф = 2E jep(к(y + а))Г(y)dy
-к
— фиктивное растягивающее усилие. Исходя из разбиения изгибающего момента, решение исходной задачи составляется из суммы решений основной и корректирующей задач. Основная задача является задачей об изгибе упругой балки с модулями Е под действием изгибающего момента М. Ее решение имеет вид
к'= М /1, в' = к'( у + а), а' = Ее'. (3)
Корректирующая задача — это задача о нахождении остаточных напряжений, возникающих в балке из-за появления в ней пластических деформаций; при этом балка свободна от внешних усилий. В этом случае напряженно-деформированное состояние определяют равенства
к ''=М ф /I, е'=к ''(у+а), а'=Е(е'-ер), (4)
где пластические деформации определяет закон пластичности [1]:
(y) = j (1 - Ep / E )de.
Итерационный процесс
Пусть на некотором этапе нагружения при моменте М0 балка находится в равновесии. При этом известны кривизна к0, расстояние а0 и функции £0, с0, £р(£0). Возмутим положение равновесия, увеличив изгибающий момент на малую величину АМ. Тогда параметры возмущения с^ , е'А, кА , а'А находим из решения основной задачи (3) и формулы (2), где вместо М используем АМ и а заменяем на а0. Тогда параметры балки в возмущенном состоянии (М = М0 + АМ) равны
МУ) =с0( У)+ с А (У), е1(у) = е0(у) + е'А (у),
к1 =к 0 +кД = М /10, а1 = а0 + аД. Данные величины соответствуют равновесию при неизменившихся ер. Отсюда с1 и £1 уже не удовлетворяют диаграмме деформирования с(£). Следовательно, параметры балки должны поменять-
ся и отвечать £. Поэтому касательные модули станут равными Ep = Ep(£j) и пластические деформации достигнут sp. Найденное равновесие нарушается, и балка под действием момента M должна перейти в другое равновесное состояние с параметрами, равными сумме решений основной и корректирующей задач. Подставляя в формулы (2)-(4) новые величины I1 = Дк1; a1) и Mx = = Mф (к1, a1), находим К , £ , а^ , a^ и к"', £", а", a". Тогда скорректированное напряженно-деформированное состояние определяется выражениями а2 = а^ + а", £2 = £ + г'х, к2 = к^ + к"', a2 = = al + a". Если снова а2 и £2 не удовлетворяют диаграмме деформирования а(£), то их считаем первым приближением к решению задачи и проводим следующую корректировку, пересчитывая функции Sp иЕр. Корректировки продолжаем до тех пор, пока параметры равновесия балки не бу -дут удовлетворять диаграмме деформирования. Ранее установлено [2], что алгоритм сходится не всегда. В результате итераций получаем числовой ряд к = к^ + к + к" + к2 + к" + ..., который начинает расходиться при условии h
2 J Ер (к( y + a))r( y)(y + a) yh dy = 0,
- h
которое совместно с уравнениями (1) позволяет определить предельную несущую способность балки.
По предложенной методике проведены расчеты положений равновесия балок прямоугольного, треугольного, трапециевидного и двутаврового сечений.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-08-96018).
Список литературы
1. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. Екатеринбург: УрО РАН, 1995. 190 с.
2. Стружанов В.В., Бахарева Е.А. Итерационные процедуры расчета параметров равновесия и устойчивость процесса чистого изгиба балок из пластичных и хрупких разупрочняющихся материалов // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. 2010. №1(20). С. 84-95.
AN ITERATIVE METHOD OF ESTIMATION OF EQUILIBRIUM PARAMETERS FOR PURE BENDING OF BEAMS OF SYMMETRICAL CROSS-SECTION RELATIVE TO THE LONGITUDINAL AXIS OF MATERIAL IN POSSESSION OF DESCENDING BRANCH
E.A. Bakhareva
The article is concerned with an iterative method of estimating the equilibrium parameters of beam with arbitrary cross-sections which made of elastoplastic material. The beam exhibits the strain weakening effect. The convergence of the iterative method is studied; calculations are performed for beams of various cross-sections.
Keywords: pure bending, hardening, weakening, iterative procedure, convergence.
Б
