CC BY
12
центрация вещества в растворе, вытекающем из откачной скважины, становится небольшой (с = Сг), когда процесс растворения начинается в зоне с пониженным значением рН. Если прекратить процесс прокачки растворов, то, когда извлечение станет небольшим, в пласте могут остаться более или менее значимые запасы полезного ископаемого. В рассматриваемом модельном примере их остается более 60%, если произвести отключение в момент времени 800.
Если зона с пониженной кислотностью расположена близко к закачной скважине, то процесс вторичного отложения в ней идет недолго и растворение начинается намного раньше, чем в рассматриваемом выше примере. В этом случае за время отработки пласта в зоне с пониженным значением рН может остаться незначительное количество полезного минерала. В общем случае влияние зоны с пониженным значением кислотности на процесс извлечения зависит от объема этой зоны и близости ее к откачной скважине.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коржинский Д. С. Теория метаеоматичеекой зональности. М.: Наука, 1969.
2. Толстое Е. А., Толстое Д. Е. Физико-химические геотехнологии. Освоения месторождений урана и золота в Кызылкумском регионе. М.: Геоинформцентр, 2002.
3. Белецкий В.И., Богатков Л.К., Волков Н. И. и др. Справочник по геотехнологии урана / Под ред. Д.И. Скороварова. М.: Энергоатомиздат, 1997.
4. Демин Ю. И., Дмитриев В. И., Жариков В. А. Математическая модель диффузионного метасоматоза с взаимодействием зон // Проблемы физико-химической петрологии. Т. 2. М.: Наука, 1979. С. 97-117.
Поступила в редакцию 15.04.08
УДК 519.6:533.951.7
Д.В. Ковалев1, А.П. Смирнов2, Я.С. Димант3
О ВЛИЯНИИ ИЗМЕНЕНИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ МАССЫ В ЧИСЛЕННЫХ РАСЧЕТАХ ФАРЛЕЙ-БУНЕМАНОВСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
Фарлей-бунемановская неустойчивость — это неустойчивость плазмы в Е-области ионосферы Земли. Многие работы по моделированию неустойчивости используют алгоритмы на основе метода частиц, который имеет ряд недостатков. В частности, получаемое решение содержит численные шумы, вызванные конечным числом частиц; для уменьшения вычислительной сложности алгоритма увеличивается электронная масса. В этой работе рассматривается влияние увеличения электронной массы на количественные и качественные параметры развития неустойчивости. Для этой цели используется программный комплекс, созданный на основе математической модели, состоящей из уравнения Пуассона для электрического потенциала, жидкостного уравнения для электронов и кинетического уравнения для ионов. Решение уравнений основано на численных методах, что позволяет избежать проблем, присущих методу частиц. Важным результатом, полученным в рамках статьи, является то, что даже небольшое увеличение массы электронов приводит к сильному изменению параметров развития неустойчивости, которое выражается в увеличении длин волн колебаний плазмы и уменьшении значений турбулентного электрического поля.
Ключевые слова: ионосфера, неустойчивость плазмы, моделирование плазмы.
Введение. Фарлей-бунемановская неустойчивость в Е-области ионосферы Земли возникает в слабоионизированной плазме при наличии довольно сильного электрического поля Ео, перпендикулярного магнитному полю Во, и обусловлена наличием намагниченных электронов и незамагничен-ных из-за частых столкновений с нейтральными частицами ионов. Электрическое поле превосходит необходимый порог в экваториальных и приполярных электроструях. При этом возникают колебания плотности плазмы с длиной волн, лежащей в метровом диапазоне.
хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-maihdmitry.kovalevQmail.ru
2Факультет ВМиК МГУ, к.ф.-м.н., доц., е-таП^арбсв.msu.su
3Центр космической физики, Бостонский ун-т, США, к.ф.-м.н., с.н.с., e-maihdimantQbu.edu
Фарлей-бунемановская неустойчивость изучалась как в теоретических работах, использовавших линейную [1, 2] и нелинейную [3-5] теории, так и с помощью моделирований на ЭВМ. Первые расчеты производились на основе гидродинамической модели [6], которая не может описать фазу насыщения неустойчивости. Далее для моделирования неустойчивости применялись либо полностью кинетические [7—Ю], либо комбинированные гидродинамическо-кинетические [11-13] модели. Во всех этих моделях кинетическое поведение моделировалось с помощью метода частиц. Однако моделирование легких и подвижных электронов с помощью частиц очень дорогостояще с вычислительной точки зрения, так как необходимо эффективно разрешать величины, обратные гирочастоте электронов и плазменной частоте (первый параметр важнее), чтобы на период гировращения электрона приходилось около 10 шагов по времени. Поэтому для увеличения периода гировращения в расчетах электронная масса искусственно завышалась. Такой подход имеет ряд недостатков. Во-первых, увеличение электронной массы влияет на физические параметры, отвечающие за развитие и насыщение неустойчивости. Во-вторых, метод частиц из-за конечного числа частиц сам по себе привносит в результаты вычислений численные шумы, которые могут быть сравнимы по амплитуде с исследуемыми колебаниями. Далее будет предпринята попытка оценить влияние увеличения электронной массы на основные характеристики неустойчивости (темпы роста, длину волн после насыщения и т.п.).
В этой работе используется комбинированная модель с жидкостными электронами и кинетическими ионами. Жидкостное описание электронов позволяет проводить расчеты с реальной электронной массой, но при этом учитывать все основные нелинейные составляющие поведения электронов. Кинетические эффекты, в частности эффект затухания Ландау, более важны при описании поведения ионов, поэтому для них используется кинетическое уравнение. Особенностью нашего метода решения является то, что решение кинетического уравнения находится с помощью численно-аналитических методов, а не методом частиц. Это позволяет избежать численных шумов в решении.
1. Математическая модель неустойчивости
1.1. Условия возникновения. Важным условием возникновения фарлей-бунемановской неустойчивости в верхнем D- и нижнем Е-слое ионосферы Земли является замагниченность электронов и незамагниченность ионов:
^ < 1 ^ > 1 (1)
Qe ^ ' Qi ' 1 J
ven и щп — это средние частоты столкновений электронов и ионов с нейтральными частицами, а Qe>i = eBQ/meд — гирочастоты электронов и ионов, тед — масса электронов и ионов соответственно. В Е-области ионосферы соотношение частот столкновений ионов и электронов с нейтральными частицами близко к постоянному и равно ven ~ 1{)щп.
Исходя из предположения низкочастотности процессов в плазме можно считать, что геомагнитное поле остается постоянным и поэтому возмущенное электрическое поле описывается с помощью электростатического потенциала Ф.
1.2. Жидкостная модель электронов. Основные нелинейные составляющие поведения электронов и ионов лежат в плоскости, перпендикулярной магнитному полю (в плоскости, образованной векторами Е0 и Е0 х В0), поэтому в работе рассматривается двумерная модель неустойчивости [14]. Из стандартного набора жидкостных уравнений, пренебрегая инерцией электронов, можно получить соотношение
дПр V • ге = О,
dt
где
ПеУе =
^е^еп
теЩ
Vne
f (V#
Ео)
«eV0
епе ТП\ Q;
b x \7Ф,
(2)
(3)
уе — эт0 скорость электронов; Ф — возмущенный электрический потенциал; Е0 — постоянное электрическое поле, которое перпендикулярно геомагнитному полю В0; У0 = сЕ0 х Ь/Ва — дрейфовая скорость (Ь — единичный вектор, совпадающий по направлению с В0); оператор V соответствует координатам, перпендикулярным В0; Те — температура электронов.
Исходя из физических соображений характеристические время и масштабы длины для развившейся неустойчивости плазмы можно ввести так: г = г/Г1 и 1ХуУ = vtJv\п, где vt¡ = (Tí/mi)1//2, T¡ — температура ионов [14], тогда нормализованные время и координаты преобразуются следующим образом: tv\n t; x,y/lx^y ж,у, где х и у задают координаты вдоль V0 и Е0 соответственно. Температура нейтральных частиц и электронов принимается равной ионной Ч] Ч], ']],. Потенциал для удобства нормализуется таким образом: ф = еФ/Т\. Для упрощения дальнейших вычислений стоит ввести следующие параметры обезразмеривания:
/ \ 1/2 ф _ ^en^in q _ / 'Tienen \
(см. [15, 16]). Параметр ф экспоненциально убывает с увеличением высоты и достигает единичного значения на высоте от 94 до 97 км [14]. Параметр в практически неизменен и равен в и 1,35 х Ю-2.
После нормализации переменных и преобразования координат от уравнений (2), (3) можно перейти к следующему уравнению:
1 дпе д2пе д2пе Íд2ф д2ф\ дпе ÍеЕ0Ут{ 1 дф дф\ ф dt дх2 ду2 е \дх2 ду2) ду \ Т[Щп в^/ф дх ду)
дПе í Vq дх \ vt¡ ф
уЧ) ду дх
1.3. Кинетическая модель ионов. Поведение ионов можно описать с помощью кинетического уравнения со столкновительным членом вида ВСК (ВЬа1;1Щ^аг-Сго88-Кгоок) [17]:
, е(Е0 — УФ) д/
—- + (V • V / +--— = -Ип (/ - /о .
ОТ ТП\ от
Здесь V — это скорость ионов, /(г, V, — функция распределения ионов, вектор г задает координатное пространство х, у,
( т1 \3/2 ( тIV2
— максвелловская функция распределения.
Плотность ионов щ = щ(г, связана с функцией распределения таким соотношением:
щ( = ! (5)
Столкновительный член вида ВСК применяется в случаях, когда доли потерянных энергии и момента в результате соударений у частицы одинаковы. В плазме ионы сталкиваются с равными по массе нейтральными частицами, поэтому это условие выполнено [18, 19].
В двумерном случае нормализованное уравнение выглядит следующим образом:
дР дР дР дфдР (еЕ0т дф\ дР /Т1 от дх ду дх дух хт-^т^ ду / дуу
где
оо оо
F(vx,vy,x,y) = j f{v,x, у) dvz, Fq= J fo(v)dvz= exp
—сю —сю
и, согласно уравнению (5),
сю
щ(х,у) = J F(vx,vy,x,y)dvxdvy.
—сю
щ I v2+ v2
т* \
1.4. Электростатический потенциал. Плазма в Е-области квазинейтральна, однако для описания более общего случая можно использовать уравнение Пуассона
e0V2# = щ- пе,
или в нормализованном виде
д2ф ^ д2ф _ 4пе2т2 дх2 ду2 те
2. Постановка задачи и методы моделирования. Для моделирования фарлей-бунемановской неустойчивости необходимо решить нелинейную систему уравнений (4), (6), (7) в прямоугольной двумерной области. В качестве начальных условий использовался численный шум для плотностей ионов и электронов, такой, что создаваемое разностью зарядов электрическое поле было меньше, чем пороговое значение Е0, необходимое для развития неустойчивости. На границе области моделирования задавались периодические граничные условия.
Нелинейная система уравнений решалась с помощью численных методов. Уравнение для электронов представляет собой диффузионно-конвекционное уравнение с преобладанием конвекции. Оно решалось с помощью последовательного вычисления диффузионной и конвекционной части. Диффузионная часть решалась с помощью схемы Дугласа [20], которая в двумерном случае не уступает по точности аппроксимации схеме Писмена-Рекфорда, но допускает простое обобщение на трехмерный случай. Конвекционая часть находилась с помощью интерполяции по характеристикам.
Уравнение Пуассона решалось с помощью метода быстрого дискретного преобразования Фурье [21].
Наиболее сложно с вычислительной точки зрения получить решение кинетического уравнения для ионов (6), так как в пространстве (х,у,ух,уу) оно представляет собой четырехмерное уравнение. Для применения численных методов двумерная сетка в пространстве координат дополняется двумерной сеткой в пространстве скоростей. Сетка вводится в прямоугольной области —утах < ух>у < г>тах; итах задается так, чтобы уменьшить ошибку подсчета интеграла от функции распределения ионов по области моделирования и, с другой стороны, так, чтобы шаг по сетке в пространстве не был сильно большим. Опытным путем было установлено, что г>тах ~ бесчисленный алгоритм решения кинетического уравнения основан на методе расщепления, который заключается в том, что основное уравнение расщепляется на два более простых для решения уравнения, например, следующим образом:
8Р 8Р 8Р дЬ х дх у ду
vx— + vy— = 0, (8)
д1^дфдР^+ ГеЕрт Ы дх дух \miVTi ду) дуу
Решение на одном шаге по времени находится так: сначала решается перенос в пространстве координат (8) с использованием в качестве начальных условий значений функции распределения с предыдущего шага по времени, затем полученное решение используется в качестве начального условия для решения переноса в пространстве скоростей (9). Довольно очевидно, что оба из расщепленных уравнений представляют собой набор из двумерных уравнений переноса, которые позволяют использовать быстрые и эффективные методы для нахождения решения. В данной работе используется интерполяция по характеристикам.
Стоит отметить также, что вся нелинейная система (4), (6), (7) решается с помощью двух шагов по времени и /гто<1 = где N ~ 10-30. На более длинном шаге находится решение ионного ки-
нетического уравнения. На более коротком шаге /гто<1 находятся решения уравнения для электронов и уравнения Пуассона. Два различных шага используются потому, что нахождение решения четырехмерного кинетического уравнения требует достаточно много вычислительного времени (около 80% времени от решения полной системы). Решать такое уравнение имеет смысл с близким к максимально возможному по условию Куранта шагом. Условие Куранта для электронов в силу их большей по сравнению с ионами подвижности накладывает более серьезные ограничения на шаг по времени, поэтому уравнение для электронов решается с меньшим шагом. Поскольку перемещение электронов меняет электрическое поле, то уравнение Пуассона пересчитывается одновременно с движением электронов.
В силу четырехмерности кинетического уравнения программный код был распараллелен с помощью технологии ОрепМР для проведения расчетов на мощных вычислительных системах. В этой работе использовался кластер на базе процессоров семейства Intel Itanium, установленный на факультете ВМиК МГУ.
3. Обсуждение результатов. В работе [10] рассматривался метод частиц для электронов и ионов при моделировании фарлей-бунемановской неустойчивости. Чтобы уменьшить вычислительную сложность алгоритма, авторы модифицировали параметры электронов. Так, они увеличили значение те в 44 раза, те = 4 • Ю-29 кг. Для соблюдения условий квазинейтральности и замагниченности (1) была модифицирована частота столкновений электронов и нейтральных частиц. Если в обычных предположениях она равна ven = 10z^n (и следуя [10] ven = 10 • 1800 с-1), то модифицированная частота иеп = 2800 с-1. Учитывая формулу (4), описывающую движение электронов, оценить влияние увеличения электронной массы и уменьшения частоты столкновения можно через параметры "ф и в. Нетрудно увидеть, что "ф ~ теь>еп, в ~ л/теиеп. Произведение теиеп в результате преобразований уВеЛИЧИВа-
Т^т™
ется в те = 6,8444 раза. Увеличение параметра в в нашей модели уменьшает влияние основной
нелинейной составляющей х ф]. Увеличение *ф отвечает за меньшую высоту, большую частоту
столкновений и из теоретических ожиданий — за более медленное развитие неустойчивости.
Для проведения сравнительного моделирования были выбраны параметры, соответствующие значениям дневной ионосферы и высоты: « 98-105 км. Было проведено два моделирования: одно с реальными параметрами и второе с модифицированными. Значения параметров моделирования были установлены следующим образом (в скобках указаны модифицированные за счет изменения электронной массы значения): Т{ = Те = 300 К, Е0 = 0,05 В/м, В0 = 0,5 Гс, V = 0,1 (0,684), в = 0,01347 (0,03528), плотность плазмы Ю10 м-3, шаг по времени ht = 2,6681 • Ю-7 (1,0673 • 10_6) с. Значения характеристической длины lx = ly = vtJvin получились равными 0,0767 м. Количество точек сетки вдоль направлений х и у — 256, вдоль направлений vx и vy — 31. Длина области моделирования вдоль направлений х и у была установлена равной 60/ж, скорости vx, vy моделировались от —5vt{ до бг^-
Проанализируем полученные данные. Основной интерес представляют различие темпов роста неустойчивости, длина волн до и после насыщения и сама динамика развития неустойчивости. Как было указано ранее, увеличение параметра "ф на реальных данных означает уменьшение высоты в Е-области ионосферы и увеличение числа столкновений. Исходя из этого неустойчивость будет развиваться медленнее, амплитуды колебаний плотности уменьшатся, насыщение произойдет при меньших значениях возмущенного электрического поля.
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 0 1 2 3 4 5 6
t, Ю-1 с t, Ю-1 с
Рис. 1. Среднеквадратическое значение возмущенного электрического поля: а — моделирование с реальной электронной массой; б — моделирование с модифицированной электронной массой. Пунктирная линия на обоих графиках соответствует значению движущего электрического поля Ео
Графики среднеквадратического значения возмущенного электрического поля во время моделирования изображены на рис. 1, а, б. Время насыщения в модифицированном расчете на порядок больше,
чем в расчете с реальными данными (примерно ОД с и 0,015 с). При этом среднеквадратическое значение электрического поля в 2 раза выше в расчетах с реальными параметрами до и после насыщения. Сравнивая результаты двух моделирований, можно отметить, что на рис. 1, а в момент насыщения значение поля равно ОД В/м, а после насыщения оно колеблется около 0,05 В/м, соответствующие величины для рис. 1, б равны 0,25 и ОД В/м. Количественные характеристики различаются довольно существенно, однако качественно характер развития неустойчивости не меняется. Сначала наблюдается стадия экспоненциального роста, далее происходит насыщение и после него наблюдается квазистационарное состояние.
Ео х Во, м Ео х Во, м
Рис. 2. Возмущения плотности электронов в момент насыщения неустойчивости: а — моделирование с реальной электронной массой; б — моделирование с модифицированной электронной массой.
Ось ординат соответствует направлению Ео, абсцисс — дрейфовой скорости электронов
Обратимся теперь к изображениям плотности плазмы для более детального качественного анализа развития неустойчивости. В силу малого разделения зарядов плотность ионов мало отличается от плотности электронов, поэтому ее графики не приводятся. Из рис. 2 видно, что в период насыщения в обоих моделированиях наблюдается присутствие квазистационарных волн в плазме, волновой вектор которых по направлению практически совпадает с направлением дрейфовой скорости электронов. Однако значения длины волн различаются (0,33 ми 1 м). Теперь рассмотрим ситуацию после насыщения. Здесь трудно сравнивать оба моделирования, так как система выходит на квазистационарное состояние и наблюдаются колебания электрического поля. Тем не менее после насыщения в обоих случаях длина волн увеличивается по сравнению с моментом насыщения и остается примерно постоянной (рис. 3). Кроме того, наблюдается довольно сильная турбулентность, особенно четко выраженная в расчете с реальной электронной массой. Одна из важных особенностей фарлей-бунемановской неустойчивости — отклонение волнового вектора после насыщения от направления дрейфовой скорости электронов — наблюдается в результатах. Особенно хорошо это видно при анализе спектральных характеристик развившейся неустойчивости (рис. 4), который показывает сосредоточение спектра в одном квадранте для обоих моделирований. Угол отклонения волнового вектора в расчетах с реальной электронной массой больше, чем с модифицированной, что связано с большим значением возмущенного поля, а значит, большим влиянием на динамику развития волн.
Итак, моделирования показывают, что расчеты с увеличенной электронной массой дают качественно схожие результаты с расчетами на реальных данных. Однако количественные результаты существенно различаются уже при увеличении значения теиеп всего в 7 раз. Кроме того, расчеты с увеличенной электронной массой довольно слабо отражают турбулентные процессы, происходящие в плазме. Эти результаты необходимо учитывать при сравнении экспериментальных данных с данными моделирования, как, например, в [13]. Также из результатов моделирований следует, что значения возмущенного электрического поля, близкие к пороговому значению, могут наблюдаться на низких высотах, в то время как с уменьшением количества столкновений электрические возмущения становятся больше.
Рис. 3. Возмущения плотности электронов после насыщения неустойчивости (по состоянию на конец моделирования): а — моделирование с реальной электронной массой; б — моделирование с модифицированной электронной массой. Ось ординат соответствует направлению Ео, абсцисс —
дрейфовой скорости электронов
Рис. 4. Спектр квадрата возмущенного электрического поля, построенный для того же момента времени, что и на рис. 3: а — моделирование с реальной электронной массой; б — моделирование с модифицированной электронной массой. Темные участки соответствуют большим значениям спектральных частот. Максимальные значения фурье-гармоник: а —
7,2 • Ю-5; б — 3,4-КГ5
Заключение. В этой работе было рассмотрено влияние увеличения электронной массы на результаты моделирования фарлей-бунемановской неустойчивости. Для анализа на основе комбинированной жидкостно-кинетической модели был создан программный комплекс, позволяющий проводить моделирование нелинейного поведения частиц в плазме Е-области ионосферы Земли. Основной особенностью симулятора является численный подход к решению кинетического уравнения, отличный от метода частиц, использовавшегося в предыдущих моделированиях. Преимущество подхода состоит в том, что решение не содержит численных шумов, связанных с конечным числом случайно движущихся частиц. Жидкостное описание электронов позволяет проводить моделирования с реальной электронной массой, что труднодостижимо методом частиц из-за большой вычислительной сложности.
Проведенные моделирования с реальной электронной массой и увеличенной, как в недавних моделированиях методом частиц [10], показали качественное соответствие результатов. Однако количественные характеристики отличаются. Причем увеличение массы электронов приводит к уменьшению значений турбулентного электрического поля и к увеличению длины волны.
Основной вывод данной статьи состоит в том, что моделирование нелинейных систем, а особенно количественные оценки могут сильно варьироваться при малом изменении параметров. Поэтому перед практическим применением необходимо строгое теоретическое обоснование полученных результатов. Метод частиц, использующий модифицированные массы, может использоваться только для качественных предсказаний.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Farley D.T. A plasma instability resulting infield-aligned irregularities in the ionosphere // J. Geophys. Res. 1963. 68. P. 6083-6097.
2. Buneman O. Excitation of field aligned sound waves by electron streams // Phys. Rev. Lett. 1963. 10. P. 285-288.
3. Skadron J., Weinstock J. D. Nonlinear stabilization of a two-stream plasma instability in the ionosphere / / J. Geophys. Res. 1969. 74. N 21. P. 5113-5126.
4. Sudan R.N., Akinrimisi J., Farley D.T. Generation of small-scale irregularities in the equatorial elec-trojet // J. Geophys. Res. 1973. 78. N 1. P. 240-248.
5. Hamza A.M., St.-Maurice J.-P. A fully self-consistent fluid theory of anomalous transport in Farley-Buneman turbulence //J. Geophys. Res. 1995. 100. N A6. P. 9653-9668.
6. Newman A. L., 011 E. Nonlinear simulations of type I irregularities in the equatorial electrojet //J. Geophys. Res. 1981. 86. N A8. P. 6879-6891.
7. Machida S., Goertz С. K. Computer simulation of the Farley-Buneman instability and anomalous electron heating in the auroral ionosphere //J. Geophys. Res. 1988. 93. N A9. P. 9993-10000.
8. Schlegel K., Thiemann H. Particle-in-cell plasma simulations of the modified two-stream instability // Ann. Geophys. 1994. 12. N 10-11. P. 1091-1100.
9. Janhunen P. Perpendicular particle simulation of the E region Farley-Buneman instability //J. Geophys. Res. 1994. 99. N A6. P. 11461-11473.
10. Oppenheim M. M., Dimant Y. S. Ion thermal effects on E-region instabilities: 2D kinetic simulations //J. Atmos. Terr. Phys. 2004. 66. N 17. P. 1655-1668.
11. Oppenheim M.M., Otani N. F. Spectral characteristics of the Farley-Buneman instability: simulations versus observations // J. Geophys. Res. 1996. 101. N All. P. 24573-24582.
12. Oppenheim M.M., Otani N.F., Ronchi C. Saturation of the Farley-Buneman instability via nonlinear electron E x В drifts //J. Geophys. Res. 1996. 101. N A8. P. 17273-17286.
13. Dyrud L., Krane В., Oppenheim M. et al. Low-frequency electrostatic waves in the ionospheric E-region: a comparison of rocket observations and numerical simulations // Ann. Geophys. 2006. 24. N 11. P. 2959-2979.
14. Dimant Y. S., Oppenheim M.M. Ion thermal effects on E-region instabilities: linear theory //J. Atmos. Terr. Phys. 2004. 66. N 17. P. 1639-1654.
15. Dimant Y.S., Milikh G. M. Model of anomalous electron heating in the E region: 1. Basic theory // J. Geophys. Res. 2003. 108. N A9. P. 1350.
16. Farley D. T. Theory of equatorial electrojet plasma waves: new developments and current status //J. Atmos. Terr. Phys. 1985. 47. N 8-10. P. 729-744.
17. Bhatnagar P.L., Gross E.P., Krook M. A model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one-component systems // Phys. Rev. 1954. 94. N 3. P. 511-525.
18. Dimant Y.S., Sudan R.N. Kinetic theory of low-frequency cross-field instability in a weakly ionized plasma. I // Phys. Plasmas. 1995. 2. N 4. P. 1157-1168.
19. Dimant Y. S., Sudan R.N. Kinetic theory of the Farley-Buneman instability in the E region of the ionosphere //J. Geophys. Res. 1995. 100. N A8. P. 14605-14624.
20. Самарский А. А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1989.
21. Самарский А. А., Гулин А.В. Численные методы математической физики. М.: Научный мир, 2000.
Поступила в редакцию 01.02.2008
