CC BY
40
Авроральные неоднородности и Фарлей - Бунемановская неустойчивость
Ю.Л. Свердлов
Полярный геофизический институт КНЦ РАН
Финансовый факультет МГТУ, кафедра прикладной математики
и естественнонаучных дисциплин
Аннотация. Для расчета поперечника рассеяния единичного объема авроральной неоднородности необходимо знание закона пространственно-временного изменения электронной концентрации в ней. Показано, что в рамках традиционной постановки задачи о развитии Фарлей-Бунемановской неустойчивости, установить этот закон невозможно. Предложена более общая постановка задачи о развитии этой неустойчивости, позволяющая преодолеть это принципиальное затруднение.
Abstract. It is necessary to know the spatial-time variations of the electron concentration in order to calculate the scattering cross-section of the auroral irregularity per volume unit. It has been shown that it is impossible to obtain them within the traditional approach to the theory of the Farley-Buneman instability development. A more common statement of the problem which allows to get over this difficulty has been proposed in the paper.
1. Введение
В возмущенной полярной ионосфере образуются особые анизотропные мелкомасштабные неоднородности, большие оси которых ориентированы вдоль силовых линий магнитного поля Земли (авроральные неоднородности). Отличительная особенность этих неоднородностей состоит в том, что они порождают интенсивное обратное рассеяние радиоволн УКВ и СВЧ диапазонов.
В соответствии с теорией слабого рассеяния радиоволн (Рытое и др., 1978), основной характеристикой энергетических свойств обратного рассеяния является поперечник рассеяния единичного объема
a0(2k, г) = 8л3re2(AN)2 Ф0(2k, г). (1.1)
Он зависит от волнового вектора радара k, классического радиуса электрона re = 2.8-10-15 i, концентрации электронов в неоднородности AN и пространственно-временного энергетического спектра Ф0(2к,т). Пространственно-временной энергетический спектр
Ф0(2k, г) = 1 / (8^3) iB0(р, г) exp (- j2kр) dър (1.2)
представляет собой Фурье-преобразование от нормированной автокорреляционной функции
B0 (р, г) = (n (r, t) n (r + p, t + r)> / < n (r, t) n (r, t)>, (1.3)
в которой n(r, t) - функция, характеризующая зависимость концентрации неоднородности от координат и времени, n* - комплексно-сопряженная функция, т - сдвиг по времени, р - сдвиг по пространству.
Из (1.1) - (1.3) видно, что для теоретического расчета поперечника а0 нужно знать пространственно-временной закон изменения концентрации неоднородности n(r, t).
Анализируя специфические особенности авроральных радиоотражений, Букер пришел к выводу, что авроральные неоднородности должны иметь столбообразную форму с большими осями, ориентированными вдоль силовых линий магнитного поля Земли (Booker, 1956a). Из его оценок следовало, что размер неоднородностей L вдоль магнитных силовых линий должен быть не менее 10 i, а поперечный размер Т не должен превышать 0.1 i. Задавшись гауссообразной формой неоднородности
n (r) = AN exp [ - (x2 + y2) / T02 - z2/L2] (1.4)
и рассчитав с ее помощью автокорреляционную функцию (1.3), Букер получил выражение для поперечника обратного рассеяния авроральных неоднородностей (Booker, 1956a)
Go (2k) = (2л)1'5 re2 (AN)2 T02L exp (- 2k2 T0 2) exp (- 2k2L2 sin2 (1.5)
где W— ракурсный угол между волновым вектором радара k и плоскостью, перпендикулярной магнитной силовой линии (ось Z).
Но простейшая букеровская модель (1.4) не содержит в себе зависимости от времени t, т.е. она не отвечает на вопрос о том, как в полярной ионосфере формируются столь необычные структуры. Букер представлял себе механизм их образования следующим образом. На высотах Е-области ионосферы коэффициент амбиполярной
диффузии электронов вдоль магнитных силовых линий примерно на два порядка превышает поперечный коэффициент диффузии. Поэтому любая изотропная неоднородность ndf), возникшая на этих высотах, быстро расплывается вдоль магнитных силовых линий и превращается в анизотропную неоднородность.
Основная трудность в обосновании этой модели состояла в том, чтобы указать источник появления в ионосфере исходных мелкомасштабных изотропных неоднородностей n0(f) с начальным размером T0, не превышающим 0.1 i. Букер понимал, что тепловые флуктуации ионосферной плазмы для этой цели непригодны в силу чрезвычайной малости времени их жизни. Время их жизни, как известно (Арцимович и др, 1979), обратно пропорционально плазменной частоте ар, т.е. имеет величину порядка
10-7п. За столь короткий промежуток времени изотропные неоднородности, порождаемые тепловыми флуктуациями, не могут приобрести сколько-нибудь заметную анизотропию и всегда остаются изотропными. Поэтому Букер (1956b) предположил, что источником образования исходных мелкомасштабных неоднородностей с размером T0 < 0.1 м служат не тепловые флуктуации, а турбулентные процессы в ионосферной плазме.
В соответствии с колмогоровскими представлениями о развитии турбулентных процессов (Татарский, 1967) они протекают по следующей схеме. Вначале возникают крупномасштабные плазменные неоднородности, концентрация в которых быстро нарастает. Затем эти крупномасштабные неоднородности становятся неустойчивыми, и начинается их лавинообразный распад на неоднородности со все более и более мелкими масштабами. Распад продолжается до тех пор, пока мелкомасштабные неоднородности не достигнут некоторой минимальной величины T^. После этого распад прекращается, а образовавшиеся мелкомасштабные неоднородности Тть исчезают в результате обычного процесса диффузионного расплывания. Эти долгоживущие мелкомасштабные неоднородности - конечный продукт распада крупномасштабных, и служат, по мнению Букера, основой для формирования авроральных неоднородностей.
Принципиальная трудность, с которой столкнулся Букер при обосновании этой модели, заключалась в оценке минимальных размеров неоднородностей Tmjn, образующихся в результате турбулентного распада. Если исходить из известных экспериментальных оценок параметра турбулентности, то минимальный размер неоднородностей получается Tmin ~ 6 м (Гершман, 1974), тогда как в букеровской модели он не должен превышать 7mjn < 0.1 м. Букеру не удалось преодолеть это противоречие, и его физическая модель образования авроральных неоднородностей не получила признания.
На смену ей пришла другая модель, базирующаяся на результатах работ Фарлея (Farley, 1963) и Бунемана (Buneman, 1976). Эти авторы рассмотрели задачу об устойчивости плазмы на высотах E-области ионосферы и показали, что тогда, когда средняя дрейфовая скорость электронов V0 превышает скорость ионного звука VS, плазма на этих высотах становится неустойчивой. В ней происходит экспоненциальный рост амплитуд плоских волн концентрации, распространяющихся ортогонально магнитным силовым линиям.
Этот результат применительно к авроральным радиоотражениям обычно трактуется следующим образом. В плазме существуют неоднородности концентрации, порожденные тепловыми флуктуациями. Каждую из них можно разложить в пространственный спектр плоских волн nTen(k). Амплитуды гармоник этого спектра невелики, и обычный локатор не способен зарегистрировать отраженный от них сигнал. Но если в плазме развивается Фарлей-Бунемановская (Ф-Б) неустойчивость, амплитуды гармоник нарастают (рис. 1), и когда они достигают требуемой величины, локатор регистрирует отраженный сигнал.
Отличие такой трактовки задачи от букеровской состоит в том, что первопричиной авроральных радиоотражений в ней считаются не турбулентные процессы, а тепловые флуктуации плазмы. Поэтому наличие или отсутствие плазменной турбулентности и связанная с ней проблема минимальных размеров неоднородности Tmin для данной модели несущественны.
Цель нашей работы - показать ошибочность такой трактовки задачи. Мы увидим, что причина ее ошибочности кроется не в самой идее Фарлей-Бунемановской неустойчивости, а в изначальной постановке задачи. В основополагающих работах Фарлея и Бунемана задача рассматривалась в такой формулировке, которая позволяла авторам ответить на главный вопрос теории -вопрос об условии возникновения неустойчивости в слабоионизованной замагниченной плазме. Но знание только этого условия еще недостаточно для ответа на вопрос о том, каковы при этом будут закономерности обратного рассеяния радиоволн. Для ответа на этот вопрос задача о развитии Ф-Б неустойчивости должна формулироваться в несколько иной форме. Мы увидим также, что при другой формулировке задачи обнаруживается прямая связь между Ф-Б неустойчивостью и букеровской моделью образования авроральных неоднородностей. При этом в букеровской
п (k, f)
Рис. 1. Обычная трактовка задачи о развитии Ф-Б неустойчивости. Плоские волны концентрации тепловых флуктуаций и1еп(Л) нарастают с течением £ (¿2 > ¿Д В момент £2 локатор с волновым числом к^п регистрирует отраженный сигнал
модели, дополненной Ф-Б неустойчивостью, исчезает проблема малого начального размера исходной неоднородности Ттп < 0.1 1, и сама модель обретает четкий физический смысл.
2. Традиционная формулировка задачи
Рассмотрим, следуя (Гершман, 1976), линеаризованную систему гидродинамических уравнений слабоионизованной плазмы, дополненную уравнением Пуассона:
8Уе / 8t = - е шг~1 (Е + с"1 Уе х Но) - V, Уе - УТг2 V пе / по 8У( / 8t = е ш~1 (Е + с"1 У х Но) -V, У - Ут 2 V п, / п0
8пе / 8t + По V Уе + Уе о V Пе =0 (2.1)
8п, / а + по V У, + У- о V п,- = 0 УЕ = 4 л е (п, - пе).
В (2.1) обозначено: Уе, У, пе, п, и Е - малые отклонения скоростей электронов, ионов, их концентраций и электрического поля от стационарных значений Уео, Уо, по, Ео; уе и у, - частоты столкновений электронов и ионов с нейтральными частицами; УТе2= Те/ше и Ут2 = Ti/ш, - среднеквадратичные значения тепловых скоростей электронов и ионов; Те, Т,, ше и ш, - их температуры и массы; е - заряд электрона; Но - вектор напряженности магнитного поля.
Записав все входящие в (2.1) переменные Уе, У, пе, п, и Е в виде обратного преобразования Фурье от их спектрального разложения (а>, к)
£(г, 0 = ЛБ(ф, к) ехр {]■ (®, I-кг)} йаёк, (2.2)
придем к системе алгебраических уравнений относительно 5(®, к). Эта система после ряда упрощений, связанных со спецификой плазменных процессов на высотах Е-области ионосферы (возможность пренебрежения инерцией электронов, специфические соотношения между гирочастотами электронов и ионов а>не, сан, и частотами их столкновений с нейтралами а>не >> да® << V,, пренебрежимо малая средняя скорость ионов У о ~ 0 и т.п.) приобретает вид
е ше~1 Е = - (Оне Уе * Но / Но - Ке Уе + У к Уте2 пе / по (2.3)
е ш -1 Е = (У © + V,) У -] к Ут 2 щ / по (2.4)
пе / по = кУе / кУе о) (2.5)
п / по = кУ / ® (2.6)
кЕ= у 4 л епо (п,/ по-пе / по). (2.7)
При традиционном способе решения этой системы из нее вначале исключаются концентрации электронов и ионов (2.5), (2.6). В результате получаются три векторных уравнения относительно Е, Уе и У. Записав их в проекциях на оси декартовой системы координат и исключив проекции векторов Уе и У, приходят к системе трех однородных уравнений относительно Ех, Еу и Ег (Гершман, 1976)
аи Ех + аП Еу + а13 Е2 = 0
Ех + а22 Еу + а23 Ег = 0 (2.8)
ац Ех + а32 Еу + а33 Е2 = 0.
Поскольку система однородных уравнений (2.8) может иметь нетривиальное решение только в том случае, когда ее определитель равен нулю
a ii an Ü13
021 «22 Я23 = 0, (2.9)
аз1 аз2 азз
то условие (2.9) приводит после ряда упрощений к соотношению
1 + то2 / [- ©(©- j Vj) + к 2 i2 ] + а>о2 / [ j v,R~l (©- к Ve о) + к 2 2] = 0. (2.10)
В нем обозначено co0¡ = (4 % e2 n0 / m)112 - плазменная частота ионов, и введен коэффициент
R = v, V0 / fflff i fflff e [1 + (Ohe2 / Ve2) sin 2 (2.11)
Воспользовавшись неравенством a>02 >> к2 VT2, справедливым для низкочастотных колебаний, в (2.10) пренебрегают единицей и получают квадратное уравнение относительно а
со2 - j v, (1 + R) R со+ j v, R к Ve - к2 Vs2 = 0, (2.12)
где У8 = 21/2 Ут, - скорость ионного звука. Полагая в этом уравнении частоту ю комплексной со = П -у у, сводят его к двум уравнениям, первое из которых для декремента у
а второе - для частоты П
у2 + V, (1 + К) К~1 у + к2 У52-П2 = 0, (2.13)
П[у, (1 + К) К"1 + 2 у] = у,К1 к Vо- (2.14)
Считая у << V, (1 + К)К_1, находят частоту плазменных волн
П = к Vо / (1 + К), (2.15)
а из первого уравнения - выражение для декрементов
У 1,2 = -Ц (1 + К) (2 К) -1 ± ц. (1 + К) (2К) -1 X [1 - 4 К2 (к2 У 2 - Л2) / V,2 (1 + К2)]1/2.
Для интересующих нас ракурсных углов 0 коэффициент К << 1, и приближенные выражения для декрементов приобретают вид
У1 * - К { к2 У8 2 - [ кУе о / (1 + К) ] 2 } / V, (1 + К), (2.16)
У2 (1 + К) К -1. (2.17)
Из (2.16) видно, что при условии
кУе о / (1 + К) > к У3, (2.18)
декремент у1 меняет свой знак и превращается в инкремент. Неравенство (2.18) и есть условие возникновения Ф-Б неустойчивости. При его выполнении амплитуды плоских волн спектра £(®, к) в (2.2) нарастают по экспоненциальному закону £(®, к) ехр (уК). Это общее утверждение относится ко всем переменным системы (2.3) -(2.7).
3. Возможность сопоставления теории с экспериментом
Для сопоставления теории Ф-Б неустойчивости с авроральными радиоотражениями необходимо знать поперечник рассеяния единичного объема (1.1). Его расчет, как уже говорилось, требует знания пространственно-временной зависимости концентрации неоднородностей п(г, £) или связанной с ней (см. 2.2) спектральной функции п(а>, к). Для того, чтобы проиллюстрировать возникающие здесь трудности, разрешим систему (2.3) - (2.7) относительно интересующих нас функций пе / по и п / по. Последнее осуществляется следующим образом. Умножив уравнение (2.7) на е / т, а уравнение (2.4) на к и сравнив их, получим
со о, (п, / по - Пе / по) = (а - ] у,) кУ1 - к 2 Ут 2 ni / п0.
Подставив сюда к У из (2.6), найдем первое уравнение системы
[ ®о ,2 -&(&-} V,) + к2 Ут 2 ] п, / по - (Оо,2 пе / по = 0. (3.1)
Аналогичным образом, умножив (2.7) на е / те, а (2.3) на к и сравнив их, получим с учетом (2.5)
] &ое2 (п, / по - пе / по) = - СОн е к (Уе X Но / По) - Ке (а- к Уе о) + ]к2 Ут 2 пе / по, (3.2)
где 0)ое = (4 п е2 по / те)1/2 - плазменная частота электронов.
Входящее в (3.2) скалярно-векторное произведение приобретает после сравнительно несложных преобразований вид (см. Приложение)
к (Уе х Но / По) = (Он е ^ кУе / (1 + (Он е2 Уе~2 эш2 ¥).
2 12 2 _1 2
Его подстановка в (3.2) с учетом (2.11) и соотношений соое = mi те~ соо,, УТе = mi те УТЧ дает второе
уравнение системы
(Оо } п / по - [ У V, К"1 (а- кУе о) + к 2 Ут 2 + (Оо } ] пг / по = 0. (3.3)
Обозначив в (3.1) и (3.3)
к2 Ут 2 - у V,) = Л,
к 2 Ут 2 + у V, К"1 (ю - кУе о) = В, (3.4)
запишем систему двух однородных уравнений в виде
(ао 2 + Л) п, / по -&о 2 пе / по = 0
2 2 (3 5)
- (Оо , п, / по + (®о + В) пе / по = 0.
Эта система, как и (2.8), имеет нетривиальное решение лишь при равенстве нулю ее определителя
(а0г2 + А) -&0,2 ~®0г 2 (Ю01 2 + В)
= со0, 2 (А + В) + АВ = 0 (3.6)
Поделив (3.6) на АВ, придем к обычному виду дисперсионного уравнения (2.10)
1 + со о 2 / А + со о 2 / в = 0, из которого после пренебрежения единицей получается квадратное уравнение (2.12)
А + В = со2 -] V, (1 + Я) Я"1 со+ у у,Я~1 кУе о - к 2 У/ = 0. (3.7)
Но, в отличие от формального условия (2.9), физический смысл условия (3.6) достаточно прозрачен. Если в системе координат пе и п, записать исходную систему (3.5) в виде двух уравнений прямых, проходящих через начало координат
пе (о), к) = (1 + А / соо 2) ni (о), к),
ne (о), к) = (1 + B / со0i2)"1 n, (®, к),
(3.8)
то условие (3.6) означает всего лишь равенство их угловых коэффициентов
(1 + A / со0 2) = (1 + B / С00,2)"1. (3.9)
Мы видим, таким образом, что традиционная постановка задачи о Ф-Б неустойчивости фактически приводит к одному уравнению относительно двух переменных ne и n. íiyóiió eg (3.5) можно установить только связь между спектрами концентраций электронов и ионов (3.8), но нельзя найти их конкретные выражения. Для получения конкретных выражений ne(a>, к) и ni(a>, к) задачу о Ф-Б неустойчивости следует формулировать в иной, более общей постановке.
4. Более общая постановка задачи
Решения системы дифференциальных уравнений (2.1) обретают определенность лишь тогда, когда заданы самосогласованные начальные условия для всех ее переменных. Чтобы упростить задание самосогласованных начальных условий, предположим, что в начальный момент времени t = 0 в плазме возникла какая то неоднородность n (r) с одинаковыми концентрациями электронов и ионов
n (r) = ne (r) = n, (r). (4.1)
В такой неоднородности электрическое поле E (r) в момент t = 0 будет равно нулю, и, соответственно, равны нулю порождаемые им скорости электронов и ионов (Ve (r) = V¡ (r) = 0). Это позволяет нам ограничиться заданием только одного начального условия (4.1).
Введение начального условия в систему уравнений (3.4) проще всего осуществляется с помощью одностороннего преобразования Лапласа по переменной t. Записав (2.2) в виде
а+j ix ix
S (r, t) = (2 j | dp | S (p, к) exp (pt - jb) ёк
а-у IX - <ю
и учитывая, что преобразование Лапласа от производной по времени имеет вид дпе, / 8t = рпе, - п(0, к), получим вместо (3.5) систему двух неоднородных уравнений
(®0 i + A) n (p, к) - cd0 f ne (p, к) = (p + v,) n (0, к), (4 2)
-Oo 2 nt (p, к) + (©0 2 + B) ne (p, к) = V, R-1 n (0, к), в которых частота а заменена на со = —jp, т.е. A и B а (3.4) имеют вид
А = р (р + V) + к 2 Ут 2
1 '' 2 2 (4.3)
В = угЯ-1 (р - у кУе о) + к 2 Ут 2.
Решения системы (4.2) записываются в виде
щ (р, к) = п (0, к) [(р + V) (1 + В / со о 2) + У,Я~1] / (А + В + А В / соо 2)
пе (р, к) = п (0, к) [у,Я~1 (1 + А / со о 2) + (р + V,)] / (А + В + А В / соо 2), '
т.е., в отличие от (3.8), мы получаем конкретные выражения для пе(р, к) и п(р, к).
Полагая, как и в предыдущем случае, В / соо,2 ~ А / соо2 << 1 и пренебрегая АВ / соо,2 по сравнению с А + В, можно, учитывая квазинейтральность неоднородности, записать
пе (р, к) « п, (р, к) « п (0, к) [р + ч (1 + Я) / Я] / (А + В). (4.5)
Корни уравнения Л + В = 0 здесь аналогичны корням (3.7), т.е. совпадают с корнями (2.15-2.17):
Р1 = У1 + ] а * - К [у, (1 + К)]"1 { к 2 Уs2 - [ кУе о / (1 + К) ]2 } + У кУе о / (1 + К) (4.6)
Р2 = У2 + У А * - [V, (1 + К)] / К + У кУе о / (1 + К). (4.7)
Зная эти корни, можно по теореме о вычетах сразу записать зависимость пространственного спектра концентрации (4.5) от времени £
п., ,(к, £) = п(0, к) {[р1 + у(1 + К) К"1 ](Р1 -Р2)"1 ехр(р1 /) + [р2 + у(1 + К) К"1](Р2 -Р1)-1 ехр р £)}.
Подставив сюдаР1 и Р2 из (4.6), (4.7) и учитывая, что 1/,(1+Л) К"1 >> у1, получим для интересующего нас корня (4.6)
пе, (к, £) « п (0, к) ехр (у1 £ + у £). (4.8)
Для завершения конкретизации (4.8) нужно задать начальную форму неоднородности (4.1) и найти ее пространственный спектр п(к, 0). Сделаем простое предположение о том, что начальная неоднородность изотропна и в точке г = 0 имеет единственный максимум
п(г) / АЫ = п1(г),
где п1(0) = 1. Тогда, записав п1(г) в виде п1(г) = ехр [1п п1(г)] и разложив 1п п1(г) в ряд Маклорена, получим
п (г) = АЫ ехр {[п1'(0) / п1 (0)] г + [п/'(0) / 2 п1 (0)] г2 + ...}.
Поскольку первая производная п/ в точке максимума равна нулю, а вторая производная п/' в этой точке отрицательна, то, ограничившись квадратичным членом, придем к выражению
п (г) = АЫ ехр (- г 2 / т 2),
в котором т 2 = 2/п"(0). Иными словами, любую изотропную неоднородность с одним максимумом можно в первом приближении считать гауссоидом. Пространственный спектр гауссоида имеет вид
п (к) = л3/2 ДЫ т 3 ехр (- к 2 т 2 / 4),
или в более компактной форме
п (к) = /(0) ехр (- к2 т 2 / 4), (4.9)
где
/(0) = я3/2 АЫ т 3. (4.10)
Подстановка (4.9) в (4.8) с учетом (4.6) приводит к конкретному выражению для зависимости пространственного спектра исходной неоднородности от времени £
п,,(к, £) = /(0) ехр{(-к2т2 / 4) - [К / у,(1+К)] [к2Ух2 - [кУео / (1+К) ]2] £ +у кУео£ / (1+К)}. (4.11)
Физический смысл этого выражения обсуждается в следующем разделе.
5. Эволюция пространственного спектра неоднородности
Рассмотрим вначале эволюцию спектра (4.11) с позиций букеровской модели образования авроральных неоднородностей. Напомним, что в ней фигурируют неподвижные неоднородности, дрейфовая скорость которых Уео = 0. Амплитуду спектра (4.11) в этом случае можно записать в виде
п., (к, £) = /(0) ехр (-к2 тэкв2 / 4), (5.1)
где
тэКв2 = т 2 + 4 [К У2 / у, (1 + К)] £. (5.2)
Эквивалентный размер неоднородности тэкв с течением времени £ здесь увеличивается, но скорость его увеличения различна для разных направлений. Это связано со специфической зависимостью параметра К (2.11) от ракурсного угла При ориентации волнового вектора к вдоль магнитной силовой линии (Ч^= 90°) этот параметр имеет величину
К = (Оне V, / (Он, Ve >> 1 (5.3)
и (5.2) приобретает вид тэкв2 = т2 + 4 (У/ / у) (5.4)
При ориентации вектора к перпендикулярно магнитной силовой линии (!Р= 0°) параметр К равен К = у,
Уе / (Он, (Оне ~ 0.01 (5.5)
и (5.2) записывается в виде тэкв2 = т2 + (К У/ / V,) £ « т2 + 0.04 (У/ / V,) (5.6)
Своеобразная зависимость К от приводит к тому, что исходная изотропная неоднородность (4.9) с течением £ превращается в анизотропную, вытянутую вдоль магнитной силовой линии.
Нас в данном случае будет интересовать зависимость спектра (5.1) от t в поперечном направлении, т.е. при T3KB, определяемом выражением (5.6). На рис. 2а показаны спектры для двух начальных размеров неоднородности T = 2 i и T = 0.1 i в момент t = 0. Видно что при T = 2 i гармоники спектра для больших волновых чисел к имеют исчезающе малую величину (например, при к = 10, ne (10.0) ~ f(0) 3.7-10-44), и отражения от них обычным локатором регистрироваться не могут. В другом случае T =0.1 i величина гармоники при том же к =10 составляет ne(10.0)~Д0)0.78, т.е. локатор здесь способен зарегистрировать отраженный сигнал. Поскольку при любых t> 0 размер неоднородности (5.6) увеличивается, а ширина спектра (5.1) уменьшается, то становится понятным основное требование букеровской модели: исходный размер неоднородности T в момент t = 0 должен быть меньше 0.1 i.
В более общем случае движущейся неоднородности (0<Ve0<VS) эквивалентный размер (5.2) записывается в виде
T3KB2 = T2 + 4 [tfV/ / v, (1+R)] [1-S 2cosV (1+R)2] t, (5.7)
где S = Ve0 / Vs И cos <р = k Ve0 / к Ve0.
Из (5.7) видно, что в двух направлениях - вдоль магнитной силовой линии (W= 90o) и перпендикулярно вектору Ve0 (W= 0o, (р= 90o) - эквивалентный размер неоднородности увеличивается по тем же законам (5.4) и (5.6). Но в направлении вектора Ve0, т.е. при W= 0o и (р= 0o, скорость увеличения эквивалентного размера уменьшается по сравнению с (5.6)
T3KB2 = T2 + 4 [RVs2 / vt (1 + R)] [1 - S 2 / (1 + R)2 ] t. (5.8) Это приводит к тому, что из исходной изотропной неоднородности (4.9) формируется неоднородность не с двумерной, а трехмерной анизотропией.
Принципиально иная ситуация возникает в том случае, когда S2 / (1+R)2 > 1, т.е. когда выполняется условие (2.18) развития Ф-Б неустойчивости. Эквивалентный размер (5.8) в этом случае будет с течением t не увеличиваться, а уменьшаться
T3J = T 2 - 4 [RVs2 / (1 + R)] {[S 2 / (1 + R)2] - 1} t, что приведет к уширению исходного спектра в направлении
вдоль вектора Ve0. На рис. 26 показана эволюция такого спектра при T = 2 i, S = 2, R = 0.01, VS = 330 iñ"1, Vi = 103 ñ_1. Видно, что в момент t3 = 0.3 ñ этот спектр становится таким же, как спектр на рис. 2а при T = 0.1 i.
6. Выводы
Если в букеровской модели отказаться от рассмотрения неподвижных неоднородностей и перейти к рассмотрению неоднородностей, движущихся со скоростью Ve0 / VS > 1, то в ней сразу же исчезнет проблема чрезвычайно малого размера исходной неоднородности Tmin < 0.1 i, которую в свое время не смог преодолеть Букер. Начальный размер неоднородности Т в этой более общей модели может составлять несколько метров, а необходимый минимальный размер Tmin < 0.1 i достигается за счет развития Ф-Б неустойчивости.
Вместе с тем в этой более общей модели сохраняет свою справедливость главный вывод Букера о непригодности тепловых флуктуаций для формирования авроральных неоднородностей. В самом деле, из (4.11) видно, что Ф-Б неустойчивость развивается не в самой плазме, а в ее отдельных неоднородностях. Мы уже говорили, что любую неоднородность, порожденную тепловыми флуктуациями, можно разложить в пространственный спектр nTen(k). Но этот спектр существует столько времени, сколько существует сама неоднородность. Поскольку время жизни тепловых неоднородностей чрезвычайно мало (tm ~ 10"7 ñ), то за это время их размеры (5.4), (5.6) и (5.7) не могут сколько-нибудь заметно измениться. Иными словами тепловые флуктуации не способны реагировать на Ф-Б неустойчивость. Поэтому схематическая картина ее развития, изображенная на рис. 1, в действительности не реализуема.
Для формирования авроральных неоднородностей нужны другие долгоживущие мелкомасштабные неоднородности, процесс эволюции спектра которых протекает так, как изображено на рис. 26. Букер справедливо полагал, что такие неоднородности могут возникать на высотах E-области полярной ионосферы только в результате турбулентного распада крупномасштабных неоднородностей.
AN N
Agí
N
а
Т„= 2л
V . 1 1 1
Крл
б
fo=0 \ t = t, V . J-..t_.a.
10
15
20
Рис. 2. Пространственные спектры авроральных неоднородностей.
а) Начальные спектры двух неоднородностей с размерами Т0 = 2 ми Т0 = 0,1 мв букеровской модели;
б) Эволюция спектра неоднородности с начальным размером Т0 = 2 м при развитии Ф-Б неустойчивости. В момент /3 спектр совпадает с букеровским при Т0 = 0,1 м
7. Приложение
Чтобы преобразовать скалярно-векторное произведение к виду
k(Ve х Ho / Ho) = (Оме Ve"1 kVe / (1 + fife2 ve"2 sin2 ¥), (П.1)
ориентируем вектор H0 вдоль оси Z. Тогда векторное произведение запишется в виде
Ve X Ho / Ho = Veb = Fer i - Vex l, (П.2)
где i, l и b - орты декартовой системы координат. Скалярное умножение (П.2) на k дает
k (Ve X Ho / Ho) = kx Vey - kyVex. (П.3)
Чтобы преобразовать правую часть (П.3) к форме (П.1), умножим исходное уравнение (2.3) векторно на k. Поскольку продольные плоские плазменные волны можно с хорошим приближением (Гершман и др., 1976) считать потенциальными (k || E), то, положив k х E = 0, получим из (2.3)
Ve k X Ve + (Ohe (k x Ve X Ho / Ho) = 0.
Подставив в это уравнение
k X Ve X Ho / Ho = Ve (kHo / Ho) - (k Ve) Ho / Ho = Vex kz i + Ve, kz l - (Vex kx + Ve y ky) b, k x Ve = (ky Ve z — kz Ve y) i + (kz Vex ~ kx Ve z ) l + (kx Ve y - ky Ve x) b,
получим систему трех уравнений
®H e Ve"1 Ve x kz = - (ky Ve z - kz Ve y), (П.4)
«He Ve"1 Ve y kz = - (kz Vex ~ kx Ve z), (П.5)
COh e Ve" (kx Ve x + ky Ve y) kx Ve y ky Ve (П.6)
Если в левую часть (П.6) добавить и отнять kz Vez, то его можно переписать в виде
ÛH e Ve"1 kVe ~ ®H e Ve"1 kz Vez = kx Ve y - ky Ve x. (П.7)
Задача в этом случае сводится к нахождению выражения для kz Vez. Найдем Vex и Vey из (П.4) и (П.5)
Vex = Vez (kx - ®He Ve"1 ky) / kz (1 + Оме Ve"2),
Vey = Vez (®He Ve"1 kx + ky) / kz (1 + fife2 Ve"2)
и подставим их в левую часть (П.6)
(OHe Ve"1 Vez [(kx2 + ky2) / kz (1 + fiH e2 Ve"2)] = kx Ve y - ky Ve x. 1 2 2 2 1 2 2 Отсюда следует OH e Ve" kz Vez = (kx Ve y - ky Ve x) kz (kx + ky )" (1 + OH e Ve" ).
Учитывая, что он2 ve"2 >> 1 и kx = k cos ^cos^>, ky = cos ^sin^>, kz = k sin получим для небольших W
1 ООО 00.0
&H e ^e kz Vez =
(kx Ve y - ky Ve x) COh e Ve"Z tg2 (kx Ve y - ky Ve x) ЙН e Ve sin Y.
Подстановка этого выражения в (П.7) дает
kx Ve y - ky Ve x = COh e Ve"1 k Ve / (1 + COh e2 Ve"2 sin2 W)
или с учетом (П.3) - выражение (П.1).
Работа выполнена при частичной финансовой поддержки РФФИ (грант № 98-05-64144). Литература
Booker H.G. A theory of scattering by nonisotropic irregularities with application to radar reflections from the
aurora. J. Atmos. Terr. Phys, v.8, 6.204-221, 1956a. Booker H.G. Turbulence in the ionosphere with applications to meteor-trails, radio-star scintillation, auroral
radar echoes and other phenomena. J. Geophys. Res., v.61, № 4, 6.673-705, 1956b. Buneman O. Excitation of field-aligned sound waves by electron streams. Phys. Rev. Lett, v.10, 6.285-287, 1963. Farley D.T. A plasma instability resulting in fiâld-aligned irregularities in the ionosphere. J. Geophys. Res.,
v.68, № 22, 6.6083-6097, 1963. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. М, Атомиздат, с.317, 1979. Гершман Б.Н. Динамика ионосферной плазмы. М, Наука, с.130-138, 1974.
Гершман Б.Н., Игнатьев Ю.А., Каменецкая Г.Х. Механизмы образования ионосферного спорадического слоя Es на разных широтах. М., Наука, п.106, 1976.
Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. II. Случайные
поля. М., Наука, с.463, 1978. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М., Наука, с.67-84, 1967.
