CC BY
28
Функция распределения случайных вихревых скоростей в турбулентном ионосферном токе
1 12 2 3
В.Г. Пивоваров , Ю.Л. Свердлов , Н.Г. Сергеева , В.А. Аринин , В.Н. Лыткин4
1 Финансовый факультет МГТУ, кафедра прикладной математики и
естественно - научных дисциплин
2
Полярный геофизический институт КНЦ РАН Федеральный ядерный центр, Арзамас-16 4Фирма "Восток Мобайл Ресурсы " (г. Москва)
Аннотация. Получено теоретическое выражение для функции распределения случайных вихревых скоростей в турбулентном ионосферном токе. Осуществлена его экспериментальная проверка двумя способами: 1) путем сопоставления теоретического закона изменения скорости с результатами численного расчета ДГ неустойчивости; 2) путем сопоставления формы теоретических и экспериментальных доплеровских спектров радиоавроры.
Abstract. A theoretical expression for the distribution function of random vortex velocities in the turbulent ionospheric current has been derived. The validity of the theory has been tested by: 1) a correlation between theoretical velocity variations and results of computer simulation of the GD instability; 2) a comparison between theoretical and experimental shapes of Doppler spectra.
1. Введение
Потребность в знании функции распределения случайных скоростей турбулентного ионосферного тока возникла в геофизике сравнительно недавно, в связи с появлением новой точки зрения на природу доплеровских спектров радиоавроры (Pivovarov et al., 1996). Не вдаваясь в детали, ее можно кратко изложить следующим образом.
Если ток на высотах E-области ионосферы считать ламинарным, то авроральные неоднородности n (r, t) должны двигаться в нем с постоянной дрейфовой скоростью U=V0. В этом случае автокорреляционная функция неоднородностей Б(т, р) = {n (r, t) n (r +p, t + r)) приобретает, согласно (Рытое и др., 1978), вид Б (г, р) = Б (г, р - V0 т ), а ее Фурье-преобразование по р записывается как
Б (2 k, Vo, т) = Бо (2 k, Va, г) exp ( j, 2 k, Va, г), (1.1)
где Б0(т) - огибающая. Доплеровский спектр рассеянного сигнала, т.е. Фурье-преобразование (1.1) по г, записывается при этом в виде:
Фо (2 k, Vo, со - 2 к V0) = I Во (2 к, Vo, т) exp (- j (m - 2 к V0) г) dz . (1.2)
Общие свойства спектра (1.2) известны (Рытое и др., 1978). Он имеет один максимум при a>m = 2 kV0 и всегда симметричен относительно a>m из-за четности Б0(т). Конкретная форма и ширина спектра здесь целиком определяются видом функции Б0(т), т.е. зависят только от пространственно-временных свойств авроральных неоднородностей n(r, t). Многочисленные попытки вписать в эти жесткие рамки известные на сегодняшний день свойства реально регистрируемых доплеровских спектров радиоавроры (многообразие их форм, ассиметрию относительно <am , значительную ширину и т.д.) заканчивались, как правило, неудачей.
Поэтому авторы (Pivovarov et al, 1996), следуя идеям (Farley, Бап'1еу, 1973; Greenwald, 1979), отказались от гипотезы ламинарности ионосферного тока и предположили, что реальный ток в возмущенной полярной ионосфере турбулентный. В этом случае дрейфовая скорость авроральных неоднородностей U должна складываться из регулярной компоненты V0 и случайных вихревых компонент V (рис. 1).
Рис.1. Векторы дрейфовой скорости турбулентной модели тока: V0 - регулярная компонента скорости;
V - случайная вихревая компонента; U - результирующая скорость; к - волновой вектор радара.
U = V0 + V . (1.3)
Поскольку неоднородности теперь движутся со случайными скоростями U, доплеровский спектр рассеянного сигнала Ф0 следует усреднить по всем случайным скоростям
Ф (2 к, со) = IФ0 (2 к, U, со-2 к U) W(U) dU , (1.4)
где Ф0 - спектр сигнала, рассеянного отдельной неоднородностью, движущейся со скоростью U, а W (U) - функция распределения случайных скоростей U.
Учитывая, что, согласно (St-Maurice, Schlegel, 1983), ширина отдельного спектра Ф0 значительно меньше ширины результирующего спектра Ф, естественно считать, что индивидуальные формы спектров Ф0 будут слабо влиять на общую форму спектра Ф, т.е. она в основном должна определяться видом функции W(U). Такая точка зрения кардинально меняет традиционное представление о природе доплеровских спектров радиоавроры и переводит задачу их расчета в другую плоскость.
Если для спектра (1.2) главной задачей был расчет огибающей корреляционной функции (1.1), требующий знания модели авроральных неоднородностей n(r, t), то для спектра (1.4) главной задачей становится расчет функции распределения W(U), а знание конкретной формы спектров Ф0 отходит на второй план. Плодотворность такой трактовки задачи была продемонстрирована в работе (Pivovarov et al, 1996). В ней показано, что даже в предельно упрощенном варианте "локально замороженных" неоднородностей n(r, t) ^ n(r), в котором огибающая B0 считается не зависящей от т и U, а спектр (1.2) превращается в ¿-функцию
Ф0 (2 к, U, со-2 к U) = B0 (2 к) 8 (а-2 к U) , (1.5)
знание распределения W(U) позволяет рассчитать практически все формы экспериментально регистрируемых спектров Ф (подробнее см. раздел 6). Но вопрос о том, как рассчитать саму функцию W(U) в работе (Pivovarov et al., 1996) не рассматривался. Это отдельная задача, решению которой посвящена данная работа.
Принято считать, что теоретический расчет распределения вихревых скоростей W(U) сопряжен со значительными трудностями. Поэтому за последнее время появились работы (Ferch, Sudan, 1977; Keskinen et al., 1979), посвященные численному расчету вихревых скоростей в турбулентном ионосферном токе. Цель данной работы - изложить другой подход к этой задаче и показать, каким образом нам удалось получить аналитическое выражение для функции W(U), фигурирующее в (Pivovarov et al., 1996). Этот подход базируется на общих физических представлениях о механизме образования в турбулентном токе вихревых скоростей и авроральных неоднородностей. Поэтому непосредственной постановке задачи целесообразно предпослать краткое изложение нашей точки зрения на эту проблему.
2. Схематическая картина образования в возмущенной полярной ионосфере вихревых скоростей и авроральных неоднородностей
Вторгающиеся в полярную ионосферу потоки заряженных частиц всегда неоднородны и порождают в ней неоднородное распределение концентрации с большими и протяженными горизонтальными градиентами. На фоне этих градиентов обычно существуют слабые (AN/N << 1) крупномасштабные неоднородности с размерами r} порядка сотен метров. Если, кроме того, в ионосфере имеется слабое электрическое поле E, совпадающее по направлению с одним из градиентов, то в крупномасштабных неоднородностях возникнет дрейфо-градиентная (ДГ) неустойчивость (Fejer, Kelley, 1980). Численные расчеты (Ferch, Sudan, 1977; Keskinen et al, 1979) показывают, что процесс развития ДГ неустойчивости протекает по следующей схеме (рис.2). Концентрация крупномасштабной неоднородности AN(t) с течением времени t увеличивается, а в самой неоднородности возникают вихревые дрейфовые скорости V(t), порождаемые радиальными полями поляризации. Рост AN и V продолжается до тех пор, пока вихревые скорости не достигнут некоторой критической величины Vm. После этого крупномасштабная неоднородность становится неустойчивой, и начинается ее стохастизация, сопровождающаяся лавинообразным распадом на неоднородности с меньшими размерами и меньшими вихревыми скоростями. Распад продолжается до тех пор, пока эти параметры не достигнут некоторой минимальной величины (по оценкам (Ferch, Sudan, 1977; Keskinen et al., 1979; Моисеев и др., 1981) rmin&4 м, Vmin&70 м/с, (ANN)min«4%). Получающиеся при этом мелкомасштабные неоднородности - конечный продукт распада крупномасштабных - устойчивы, и в дальнейшем исчезают в результате обычного диффузионного расплывания. Поскольку на высотах E-области ионосферы коэффициент диффузии электронов вдоль магнитных силовых линий гораздо больше, чем поперек, изотропные мелкомасштабные неоднородности в процессе диффузионного расплывания превращаются в анизотропные неоднородности, ориентированные по магнитным силовым линиям. Кроме того, мелкомасштабные неоднородности дрейфуют со скоростью V0. Такова схематическая картина развития ДГ неустойчивости в отдельной крупномасштабной неоднородности.
Рис.2. Численный расчет относительной концентрации AN/N и вихревых скоростей Vx, Vy при развитии
ДГ неустойчивости.
Представим себе теперь, что на месте распавшейся крупномасштабной неоднородности возникла другая крупномасштабная неоднородность. Тогда все мелкомасштабные неоднородности, порожденные предыдущей и не успевшие к этому времени исчезнуть, будут двигаться со случайными скоростями (1.3), представляющими собой сумму регулярной скорости V0 и случайных вихревых скоростей V, связанных со стадией распада новой крупномасштабной неоднородности. Из рис.2 видно, что максимальная вихревая скорость Vm, после которой начинается распадный процесс, может быть гораздо больше регулярной скорости V0 (Vm«300 м/с, V0«1öö м/с). Поэтому даже в том случае, когда V0 меньше скорости ионного звука VS, результирующая скорость U может оказаться больше VS. Но при U>VS начинается другой процесс: возникновение в мелкомасштабной неоднородности Фарлей -Бунемановской (Ф-Б) неустойчивости, развитие которой сопровождается сжатием неоднородности в направлении движения (Свердлов, 1988). В результате такого сжатия первоначальный размер мелкомасштабной неоднородности rmin&4 м уменьшается в направлении движения (вдоль U) до размера
W
Vo=100m-C '
2 4 6 8 10 12 14 t с
порядка (0,1 -г- 0,05) м, тогда как в двух других направлениях (вдоль магнитного поля и поперек движения) размеры неоднородности по-прежнему увеличиваются по законам диффузионного расплывания. Совокупность этих процессов (сжатие в одном направлении и расплывание в двух других) приводит к образованию неоднородностей специфической формы, получивших название "авроральных". Они обладают трехмерной анизотропией (размеры ¡/«100 м, ¡2«4 м, ¡¡«0,1 м), а их большие оси ¡1 ориентированы вдоль магнитных силовых линий.
Мы не останавливаемся здесь на деталях этого процесса, т.к. для нас в данном случае важны только три его основные особенности. Во-первых, то, что первопричиной образования авроральных неоднородностей служит развитие ДГ неустойчивости в крупномасштабных неоднородностях. Роль этой неустойчивости сводится к тому, что она порождает исходные мелкомасштабные долгоживущие неоднородности (rmin&4 м, AN/N«4%), из которых затем, в результате развития Ф-Б неустойчивости, формируются анизотропные авроральные неоднородности. (Тепловые флуктуации для этой цели непригодны, т.к. порождаемые ими неоднородности имеют чрезвычайно короткое время жизни tm«10-7 с). Из тесной связи ДГ неустойчивости с авроральными неоднородностями следует вторая отличительная особенность - скорости движения авроральных неоднородностей всегда случайны и определяются выражением (1.3), в котором V- случайные вихревые скорости, возникающие в процессе распада крупномасштабной неоднородности. Третья особенность состоит в том, что система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая процесс распада крупномасштабной неоднородности, в данном случае известна и позволяет осуществлять численные расчеты вихревых скоростей (Ferch, Sudan, 1911; Keskinen et al., 1919). Эти три основные особенности и лежат в основе формулируемой ниже задачи.
3. Постановка задачи
Задача расчета функции распределения W(U) может быть значительно упрощена при учете специфики плазменных процессов на высотах Е-области ионосферы. Поскольку ток на этих высотах холловский, то дрейфовые скорости электронов лежат в плоскости X Y, ортогональной магнитному полю, ориентированному вдоль оси Z. Это позволяет перейти от трехмерной задачи к двумерной, т.е. искать функцию распределения W(Ux, Uy) только для двух компонент скорости U
Ux = Vox + Vx , Uy = Voy + Vy . (3.1)
Дальнейшее упрощение задачи достигается путем перехода в систему координат, движущуюся со скоростью V0. Распределение W(Ux, Uy) в этой системе координат превращается в распределение W(Vx, Vy) для двух вихревых скоростей Vx и Vy.
Предположим вначале, что, зная исходную систему нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процесс развития ДГ неустойчивости в крупномасштабной неоднородности, можно (по крайней мере, в принципе) получить аналитические выражения для вихревых скоростей
Vx = И1 (X - xo, Y - yo, Z - zo, t - to, c) ,
Vy = И (X - x0, Y - yo, Z - zo, t - t0, c) . (3.2)
Здесь xo, yo, zo, to - известные координаты центра неоднородности и время ее появления, а c = f(c1, c2, ..., ck) - набор начальных параметров, характеризующих форму и другие свойства крупномасштабной неоднородности в момент t = to .
Следует подчеркнуть, что функции И1 и И2, получающиеся в результате такого решения, -детерминированные функции, и, следовательно, скорости Vx и Vy в (3.2) не являются случайными величинами. Они становятся случайными лишь тогда, когда содержащиеся в них начальные параметры xo, yo, zo, to, c заранее неизвестны и могут принимать любые случайные значения. В этом случае скорости
Vx = И1 (x,y, z, г, c) , Vy = И2 (x,y, z, t, c) (3.3)
случайны потому, что получаются в результате двух детерминированных преобразований И1 и И2 многих случайных величин x = X - xo, y = Y - yo, z = Z - zo т = t - to, c, функция распределения которых w( x, y, z, t, c) считается известной.
При такой постановке задачи расчет распределения W(Vx, Vy) может быть выполнен по стандартной схеме. Вначале число независимых переменных в (3.3) уменьшается до двух путем усреднения Vx, Vy и w по всем лишним переменным
V = 01 (х, у) = | Н1 (х, у, г, г, с) м (г, г, с) Сг йгйе ,
V = 02 (х,у) = IН2 (х,у, г, г, с) м (г, г, с) dz СгСс , (3.4)
м (х, у) = | м (х, у, г, г, с) dz dтdc . Затем, пользуясь известным соотношением (Левин, 1966)
Ж (Ух , Vy) с!Гх dVy = м (х,у) dxdy , (3.5)
получают
Ж (Ух , Vy) = м (х, у)^х dy|dVx = м (х, у)У (К , Vy )| , (3.6)
где J(Vx, Уу) - якобиан преобразования для функций
х= Fl(Vx, Vy), у= ¥2 (Vx , Vy ),
найденных из (3.4). Подстановкой функций ¥1 и ¥2 в м(х, у) завершается расчет плотности вероятности
Vy) .
В нашем случае, однако, эта стандартная процедура неприменима, т.к. функции Н1 и Н2, представляющие собой решение системы нелинейных дифференциальных уравнений, здесь неизвестны. Поэтому единственная возможность решить интересующую нас задачу состоит в том, чтобы попытаться сформулировать ее в такой форме, которая не требовала бы непосредственного знания функций Н1 и Н2. Такая формулировка в принципе возможна, и суть ее можно изложить следующим образом.
Если считать параметр т в (3.4) не случайной величиной, а текущим временем, то случайные скорости
V, = О1 (х , у , т) , Vy = в2 (х , у , т) (3.7)
и их средние по х и у
V (*)) = 0 (х , у, т))ху , 1уу (г)) = (С°2 (х , у, т))ху
окажутся зависящими от времени т. Тогда случайные функции (3.7) можно записать в виде случайных приращений
4 (х ,у , т) = Vx (х ,у , т)-(ух (г)) ,
^у (х ,у , т) = Vy (х ,у , т)-(уу (г)) (3.8)
с нулевыми средними ((4 ) = (4 ) = 0). Из (3.8) видно, что статистические свойства случайных скоростей Vx и Vy целиком определяются статистическими свойствами случайных приращений ¿¡х и ¿¡у, а их совместные распределения связаны между собой соотношением
Ж (4 , 4 ) = Ж (к - V), Vy - (VJ) .
Задачу нахождения совместного распределения Ж(^х, ¿¡у) можно значительно упростить, если провести в (3.7) дополнительное усреднение функции Vx по у, а функции ^ - по х. Тогда получатся два независимых случайных приращения
4 {х , т)= Vx (х , т)-(¥х (г)) ,
4 (у , т)= V (у , т)- (V (г)) , (3.9)
совместная плотность вероятности которых превратится в произведение плотностей
ж (4 ,) = ж(4)ж ) . (3.10)
Для пояснения смысла дальнейших преобразований напомним еще раз, что функции £х(х, т) и ¿¡у(у, т) здесь случайны лишь потому, что переменные х и у в них меняются по какому-то случайному закону. Их, в частности, можно менять по схеме, которая обычно используется при численных расчетах. Для
этого нужно разбить интервал времени Т распадного процесса крупномасштабной неоднородности на N малых интервалов
Ат = Т^ (3.11)
и менять х и у случайным образом при переходе от одного интервала к другому. Тогда случайную функцию §с(Тп) Для любого момента т„ = п Ат можно представить в виде
п
4 [тп) = £д, 4 > (3.12)
1 = 1
где А£х = ¿¡х(т) - ¿¡х(т1_1) и принято ¿¡х(т0) = 0. Аналогичным образом записывается функция ¿¡у(тп).
Смысл преобразования (3.12) иллюстрируется рис.3, на котором показана последовательность случайных векторов Д£ построенных по их проекциям А£х и А,£у . Видно, что в этом случае любой вектор £(можно рассматривать как результат случайных блужданий точки на плоскости ХУ. Преимущество такой трактовки задачи состоит в том, что статистические свойства случайного вектора 4(г„) здесь можно определять не непосредственно, а через статистические свойства суммы независимых случайных векторов Д£ Это существенно меняет рассматриваемую задачу и позволяет свести ее к известной статистической задаче о нахождении распределения Ш для случайной функции с независимыми приращениями (Рытое, 1976).
у
Д
Рис.3. Иллюстрация возможности представления случайного вектора £(г„) в виде суммы случайных
векторов Д- £.
4. Плотность вероятности случайной функции с независимыми приращениями
Чтобы функция ¿(тп) правильно отображала рассматриваемый процесс не только в точках тп = п Ат, но и в любой момент т, нужно устремить в ней Ат к нулю, т.е. устремить N в (3.11) к бесконечности. Вопрос о плотности вероятности случайной функции £(г) сводится в этом случае к вопросу о том, к чему стремится плотность вероятности суммы независимых случайных величин (3.12) при N ^ да . Ответ на этот вопрос дается, как известно, центральной предельной теоремой (ЦПТ). Для различных законов распределения случайных величин А,-^ она устанавливает ограничения, в рамках которых гарантируется стремление суммы (3.12) к нормальному распределению. Чаще всего для этих целей используется критерий Ляпунова. Он требует, чтобы при всех К>2 сумма абсолютных моментов к-го порядка
В
К N
= Е 14 * I
росла с увеличением N медленнее, чем сумма дисперсий [В2 дт]2 , т.е. предел отношения
Иш(BKN^B2N) = 0 (4.1)
N
должен стремиться к нулю. Естественно, что, не зная функций Н1 и Н2 в (3.2), мы не можем рассчитать моменты к-го порядка для приращений А£ и осуществить непосредственную проверку выполнимости условия (4.1). Поэтому особую важность здесь приобретает физический смысл критерия (4.1).
К
1 = 1
В соответствии с (Рытое, 1976), он сводится к тому, что в импульсном шуме (3.12) не должно быть больших редких выбросов, т.е. в каждый момент т должно суммироваться много равноправных (в смысле их относительной малости) случайных величин. В рассматриваемом нами процессе распада крупномасштабной неоднородности (см. рис.2) вихревые скорости Vx и Vy убывают от максимальной величины Vm до минимального значения Vmin. Поэтому каждую из них можно записать в виде
V (г)-vm¡n = Vm -V, (г) , (4.2)
где скорость V1(f) отсчитывается от максимального значения Vm и равна, соответственно, V1(0) = Vmin и V1(тm) = Уm. В этом процессе не видно каких либо физических причин, способных привести к появлению больших редких выбросов скорости V1(т). Руководствуясь таким соображением, можно предположить выполнимость условия (4.1) и, следовательно, стремление распределения суммы случайных приращений (3.12) при N к нормальному.
Гораздо более сильным, чем (4.1), ограничением здесь служит другое препятствие, заключающееся в принципиальной невозможности сделать число N сколь угодно большим. Это связано с тем, что любой реальный процесс всегда обладает некоторой инерционностью, и для него существует характерное время 3, разделяющее отклики процесса на два различных типа. К первому из них относятся отклики, для которых интервалы Ат между появлением внешних толчков меньше, чем 3 . В этом случае переходные процессы к моменту появления следующего толчка не успевают затухнуть, и отклики на такие воздействия не будут независимыми друг от друга. Применительно к нашей задаче это означает, что при Ат ^ 0 разности взаимозависимых откликов Л^= 1;(т) - ¿(^д будут стремиться к нулю, обеспечивая тем самым непрерывность и дифференцируемость реальной функции %(т). В другом предельном случае Ат >3, переходные процессы успевают затухнуть, и разности откликов А^ будут практически независимы друг от друга. Поскольку ЦПТ справедлива только для суммы независимых случайных величин, то число N в реальных процессах должно быть ограничено сверху условием Ат= Т / N > 3, или N < Т /3. Поэтому в реальных процессах можно говорить о нормальности распределения суммы (3.12) лишь приближенно. Но приближение будет тем точнее, чем больше N .
На практике обычно считают приемлемой близость реального распределения к нормальному при N « 10. В нашем случае, если считать инерционность вихревых скоростей на высотах Б-области пропорциональной времени свободного пробега электронов (3 « 10-4 с) и взять из рис.2 длительность процесса распада крупномасштабной неоднородности Т « 7 с, то предельное значение числа N будет иметь величину порядка 104 .
5. Плотность вероятности случайных дрейфовых скоростей
Опираясь на изложенные выше соображения, будем считать, что независимые случайные приращения (3.9) распределены по нормальному закону
Ж , £у) = Ж &)Ж ) = (2пах ау)_1 ехр (-£/2^-£/2^) или, с учетом правой части (3.9)
Ж V) Ж (V,) = (2 Я- ^ ^у Г ехр | - (Гх - (к))2/2 с2 + (Гу - V,)
12 ау2
(5.1)
Мы, как уже говорилось, не зная функций Н1 и Н2 в (3.2), не можем рассчитать величины дисперсий ах , а у и средние скорости (Vx ), (Vy ). Но можем, тем не менее, высказать по этому поводу ряд общих соображений.
Функции Vx(x, т) и Уy(y, т) в (3.9) получены нами путем усреднения функций Н1 и Н2 по ансамблю крупномасштабных неоднородностей, имеющих различные начальные параметры с = / (с1, с2,..., ск), характеризующие их первоначальную форму, ориентацию и т.п. Естественно считать, что в результате усреднения по ансамблю неоднородностей с различной формой и ориентацией получится некая средняя неоднородность с круговой симметрией относительно центра х0 = у0 = 0. Случайные вихревые скорости Vx и Vy такой неоднородности должны быть равноправными случайными величинами и, следовательно, иметь одинаковые дисперсии ах = ау = а2. Кроме того, вихревые скорости Vx и Vy в неоднородности с круговой симметрией должны быть нечетными функциями относительно начала координат, и их среднее по х и у должны обращаться в нуль: ( (Vx )х = (Уy )у = 0 ).
С учетом сказанного, распределение (5.1) может быть записано в виде
Ж {V.) Ж V) = (2^2)"' ехр [- (V2 + V2 )/2 а2 Переходя в полярную систему координат
Vx = V cos <р, , V, = V sin (р, , (5.2)
получим распределение
W (V) W (p¡) = (V/ ст2 A) exp ( - V2 / 2 ст2 ) (2 л)"1 , (5.3)
представляющее собой релеевское распределение для модуля вихревой скорости V, умноженное на равномерное распределение W(p¡) = (2 л)"1 для угла <p¡ . Появление в (5.3) нормирующего множителя
A = exp (- V2./2 ) - exp (- Vm2/2 ) (5.4)
связано с тем, что область изменения V здесь ограничена рамками Vmin < V < Vm . Если теперь учесть, что в соответствии с (4.2)
V, = Vm + Vmn - V , (5.5)
где V¡ - вихревая скорость, отсчитываемая от максимального значения Vm , то релеевское распределение (5.3) превратится в смещенное релеевское распределение
W
(V) = ((Vm + Vmin -V)/a2A) exp {- (Fm + Vmln - V)2/2 } . (5.6)
Чтобы получить из (5.6) распределение содержащееся в выражении для доплеровского
спектра (1.4), нужно перейти из системы координат, движущейся со скоростью У0, в неподвижную систему координат, связанную с локатором. Но, прежде чем совершить эту процедуру, следует уточнить физический смысл минимальной вихревой скорости Утт. Эта скорость относится к конечному продукту распада крупномасштабной неоднородности - мелкомасштабным неоднородностям с минимальными размерами гтт. Эти неоднородности, как уже говорилось в разделе 2, устойчивы, и в дальнейшем либо исчезают в результате диффузионного расплывания, либо превращаются в авроральные неоднородности из-за развития Ф-Б неустойчивости. Как в том, так и в другом случае, их собственные вихревые скорости Утт не участвуют в формировании дрейфовой скорости движения мелкомасштабных неоднородностей Уф. Положив в (5.6) Уф= УгУтт, получим распределение для дрейфовых скоростей
Г (Удр, ср,) = \{Ут -УдР)12яа2Л Г '
exp i -[Vm - Vdp U 2 a2\ , (5.7)
подлежащее преобразованию в неподвижную систему координат.
Совместим для упрощения выкладок V0 с осью X и воспользуемся известным соотношением (Рытое, 1976), связывающим переменные (Vm - Vp) и угол q>i с переменными (Um - Udp) и углом (р (см. рис.1)
(Ут -V,p)2 = (Um -Uдр)2 + V02 -2 (Um -Uдр)vg cos ср ,
¿К У^и^ <р) = (Um - Udp )№m - V*p ) .
Тогда искомое распределение запишется в виде
(Uip, = - Udp )/2кстгЛ ]х exp {-^m - U др J + Vo2 - 2 (и m - Udp )vo cos (p\j2 a1} (5.8)
W
где
Um = V0 cos v + V2 - V02 sin2 cp , (5.9)
0 < U Й < U .
dp m
Это распределение и приведено в работе (Pivovarov et al., 1996).
6. Экспериментальная проверка
В процессе вывода выражения (5.6), лежащего в основе (5.8), было сделано несколько общих допущений (выполнимость критерия Ляпунова, хорошее приближение к нормальному распределению при конечном N, симметрия усредненной крупномасштабной неоднородности и т.п.). Поэтому справедливость выражения (5.8) нуждается в экспериментальной проверке. Мы осуществим ее двумя способами. Вначале сопоставим выражение (5.6) с результатами численного расчета вихревой скорости (Ferch, Sudan, 1977; Keskinen et al., 1979), а затем рассчитаем с помощью (5.8) типичные формы доплеровских спектров радиоавроры и сопоставим их с экспериментом.
Рис.4. Убывающий участок вихревой компоненты V/ Ут в зависимости от относительного времени а = (/ - /у) / Т . Черные кружки - результаты численного расчета (см. рис.2). Теоретические зависимости V(a) / Vm : для релеевского распределения - штриховая кривая; для смещенного релеевского
распределения - сплошная кривая.
На рис.4 по данным рис.2 построен спадающий (распадный) участок относительной вихревой скорости V(t) / Vm (черные кружки) в зависимости от нормированного времени а = (t - tv) / T. Для сопоставления результатов численных расчетов с распределением (5.6) нужно установить связь между законом изменения V(a) и формой этого распределения. Вернемся с этой целью к исходным выражениям (3.3) и учтем, что численные расчеты в (Ferch, Sudan, 1977) выполнены в фиксированной плоскости z = 0 и для неоднородности конкретной формы. Поэтому случайными переменными в (3.3) являются лишь х, y и т= а. Усреднив функции H1 и H2 по х и y , получим случайные скорости Vx(a) и Vy(a), зависящие только от а, или в полярной системе координат
V V,2 («) + V2 (а) .
Поскольку для вектора У(а) угол (р\ в интервале (0, 2 л) распределен равномерно = (2 л)"1 , то
соотношение (3.5), связывающее распределение Ж(У) и м>(а) , запишется в виде
Ж (V) \(ИУ\ = w [а) |й?а| . (6.1)
Считая распределение w(a) = 1 равномерным в интервале 0 <а< 1, выясним какому закону изменения V(a) соответствуют распределения (5.3) и (5.6).
Подставив в (6.1) релеевское распределение Ж(У) из (5.3) и выполнив интегрирование, придем к соотношению
ехр (- V1 ¡2 аг ) = с-а А , (6.2)
где А - нормирующий множитель (5.4); с - произвольная постоянная с = ехр (-Vт2 / 2а2), определяемая из условия ^0) = Vm. Разрешив (6.2) относительно V, получим искомую зависимость V(a)
1/2
V ПК 2 О-2/^^)1п(ехр (- VI¡2 аг)- А «)] . (6.3)
Эта зависимость при Vm/ а = 0,4 и Vmin/ Vm = 0,28 показана на рис.4 штриховой линией. Видно, что она соответствует не убывающей, а нарастающей кривой V (а) / Vm. Аналогичным образом получим из (5.6) выражение
exp
-К + V™ - V)2/l а7
= c - a A
в котором произвольная постоянная c = exp (~Vmin2 / 2 а2) находится из условия V(0) = Vm. Зависимость V(a) в этом случае имеет вид спадающей кривой
"1 1/ 2
V {a)¡Vm = 1 + VmJVm -[(-2 a'/vm)ln (exp (-^/2 a1)-A «)] ,
изображенной на рис.4 сплошной линией. Видно, что смещенное релеевское распределение (5.6) находится в согласии с численными расчетами вихревой скорости V (а).
Проверку справедливости распределения (5.8), мы, следуя (Pivovarov et al., 1996), осуществим в приближении "локально замороженных" неоднородностей. В этом приближении, как уже упоминалось, спектр сигнала Ф0, рассеянного отдельной неоднородностью, превращается в ¿-функцию (1.5), подстановка которой в (1.4) приводит с (учетом двухмерности задачи) к выражению
Ф (2 к, со) = Я Bo (2 к) 8 [ а- 2 к Udp cos (р - ср0)\ W (Udp, Vft <р) düdp dp . Выполнив здесь интегрирование по U¿p , получим
Ф (2 к, со) = í Bo (2 к) W \а/2к cos (ф- <р0), V, <р\ dp . (6.4)
Содержащаяся в (6.4) функция В0(2к) представляет собой поперечник рассеяния единичного объема Q0, зависящий в общем случае от волнового числа к, ракурсного угла ^ и азимутального угла (ф- (р0) (см. рис.1). Считая для простоты отражение зеркальным (^ = 0), аппроксимируем азимутальную зависимость поперечника букеровским выражением
B0 (2 к) = Q0 (2 к) exp [-D2 sin2 (ф - ф0)] , (6.5)
где D2= 8л2 (М/Л)2; М- поперечный размер неоднородности и Л- длина волны радара.
Если Л«М (СВЧ диапазон), то D2 >> 1, и (6.5) с хорошим приближением можно заменить суммой двух S-функций:
[р/V^jexp |-D2 sin2 (p-Vo))~[s(v~v0) + 8(<р + я-ф0)]/2 . (6.6)
Тогда, осуществив еще одно интегрирование в (6.4), придем к простому выражению для нормированного доплеровского спектра сигнала в СВЧ диапазоне
Ф/Фт = Фт1 К (®/2 к ,V0, (Ро) + W (-а/2 к ,V0, ср0)] ^
Подставив сюда конкретное распределение (5.8) и обозначив
B = vJ42 а ; C = Vm/42 а ; a = B cos cpg ; b = B sin cpg ; q = C2 - b2 ; x = ca¡2 к 42 a ; a - q < x < a + q ,
получим
ф/фт = фт1 (q + a - xj exp (-(q - x)2 ) + (q - a + x) exp (-(q + x)2) . (6.7)
Принципиальная особенность этого спектра состоит в том, что при С>Ь он всегда представляет собой суперпозицию двух спектров, локальные максимумы которых располагаются на
хт, = Ч - б + а/ 2 ; хт 2 =- ц + д + а/ 2 , а интенсивности в максимумах равны
ф |х„ ) = (0 + а/2) ехр (-( О - а/2 )2
Ф
[хт 1 ) = (е + а/2) ехр (-(0 - а/2
(хт 2) = (0 - а/ 2) ехр (-(б + а/ 2 )2) , (6.8)
где 0 = (а2 / 4 + 1 / 2)1/2. Форма спектра (6.7) определяется только величинами двух параметров а и ч, а от третьего параметра ^зависит лишь масштаб по осиX. Спектр (6.7), как уже говорилось, соответствует случаю Л«М. Поэтому его форму следует сравнивать с экспериментальными спектрами, полученными в СВЧ диапазоне. Легко убедиться, что, давая различные значения параметрам а и ч, можно получить все типы спектров (рис.5) аналогичные спектрам (рис.6), наблюдавшимся Муркрофтом (МоогсгоА, Tsunoda, 1978) на частоте 400 МГц. При этом узкому однокомпонентному спектру (тип а на рис.6) соответствует
теоретический двухкомпонентный спектр (тип а на рис.5) с параметром а>1, т.к. при а>1 вторая компонента в (6.7) практически исчезает (0/0,^5-10"2 при а = 1). Широкому однокомпонентному спектру (тип б на рис.6) соответствует теоретический двухкомпонентный спектр (тип б на рис.5) при а«\ и q<\ и т.д.
1,0
5
и а
3=1,0
°0,5
г l\ ■—*—'----< i
1000
-1000
Д0ПЛЕР0ВСКАЯ СКОРОСТЬ,мс"'
Рис.6. Экспериментальная форма спектров в СВЧ диапазоне.
В УКВ диапазоне, когда приближение (6.6) становится несправедливым, расчет спектров следует производить по общей формуле (6.4) с учетом (6.5). Подстановка в (6.4) распределения (5.8) приводит к интегралу
в!
ф/фт = ф^ j exp (- D2 sin2 ©) X Я, exp (-Rj + 2 aR,)+ R2 exp (-R] - 2 aR2) ¿ЛЭ/cos © (6.9)
в котором
R¡ = r¡ -x/cos© ; R 2 = r2 + x/cos© ; ® = p-p0 ;
r¡ = a + q ; r2 = -a + q ; -r2 < x/cos © < r¡ ;
tg ®12 = B sin (p0 ±ijC2 -{x - B cos (p0)2j jx .
(6.10)
2
a = B cos (ф0 + ©) ; b = B sin (ф0 + ©); q = -JC2 - b2 ; B = VjS a ; C = Vj4l a ; x = ©/2 k -л/2 ст.
Рис.7. Схема для определения граничных углов &1 и ©2. (Остальные обозначения в тексте.)
Граничные углы &12 в (6.10) определяются из условия R >0, а их смысл и методика определения ясны из рис.7. Из рисунка видно, что максимальное значение скорости (5.9), записанное в приведенных выше обозначениях
Ujл/2а = B cos(р0 +©) + ^C2 -B2 sin2 Ц +©)
должно быть равно на границах значению x/cos © (линия ОР на рис.7). Из этого условия после несложных преобразований получается квадратное уравнение относительно (x tg ©), решением которого является функция (6.10).
у = 402л/с Fi (N0RN 150грод.
ггз
V0= 499 «/с F¡(FIN) = 82 г рад.
'[ 111 r i I I
-800 -400 0 400 Рис.8. Пример расчета спектра, отнесенного в (Nielsen et al, 1984) к разряду аномальных. Экспериментальные спектры - кружки и крестики. Штриховая и сплошная линия - расчетные формы спектров. V0 и Fi - величина и направление вектора дрейфовой скорости относительно волнового
вектора радара.
Различные типы спектров, получаемые с помощью выражения (6.9) приведены в (Pivovarov et al., 1996) на рис.4. Там же (рис.5) приведено сопоставление их формы с конкретными экспериментальными спектрами, регистрируемыми на установке STARE. Здесь мы добавим еще пример (рис.8), заимствованный из работы (Nielsen et al., 1984).
Хорошее совпадение формы теоретических и экспериментальных спектров расценивается нами как аргумент в пользу справедливости не только распределения (5.8), но и всех сделанных при его выводе допущений.
7. Заключение
Известно, что наибольший объем информации о средних параметрах (a1, a2, ..., an) случайной рассеивающей среды содержится в энергетическом доплеровском спектре рассеянного сигнала Ф(а>, a1, a2, ..., an). Поскольку спектры отличаются друг от друга только своей формой, то единственным способом извлечения этих параметров из экспериментального спектра является сопоставление его формы с теоретическим спектром Фтеор(щ a1, a2, ..., an). Параметры (a1, a2, ..., an) в теоретическом спектре выбираются таким образом, чтобы его форма минимально отличалась от экспериментального. Но теоретическое выражение для спектра авроральных радиоотражений до сих пор не было известно (Schlegel, Moorcroft, 1989). Данная работа и работа (Pivovarov et al., 1996) представляют собой попытку восполнить этот пробел. Хорошее совпадение формы экспериментальных и теоретических спектров, рассчитанных по формуле (6.9), свидетельствует, по нашему мнению, о перспективности дальнейших исследований в этом направлении.
В рамках тех приближений, в которых получено выражение (6.9), можно определить пять параметров турбулентного ионосферного тока: полную величину V0 и направление (р0 вектора регулярной дрейфовой скорости V0 относительно волнового вектора радара к, максимальную величину случайной вихревой скорости Vm и ее дисперсию а2, а также величину параметра М, примерно равную минимальному размеру неоднородностей rmin, образующихся в результате дрейфоградиентного распада крупномасштабной неоднородности. Например для спектров, приведенных в (Pivovarov et al., 1996) на рис.5, эти параметры имеют следующие величины:
верхние спектры - V0F = 660 мс'1, (р0 = 49°, Vm = 712 мсл, <з = 157 мс'1, М = 2.9 м ; V0N = 675 мс'1, (р0 = 123°, Vm = 665 мс'1, а= 177 мс'1, М = 1.8 м ; нижние спектры - V0F = 688 мс'1, (р0 = 79°, Vm = 862 мс'1, а= 694 мс'1, М = 2 м ; V0N = 668 мс'1, (ро = 118°, Vm = 843 мс'1, а= 606 мс'1, М = 2.5 м.
Насколько нам известно в настоящее время, эти параметры, кроме вектора V0, никакими другими способами не измеряются.
Вектор V0 с достаточной для практики точностью измеряется станциями некогерентного рассеяния. Но попытки его измерения двухпозиционной установкой STARE приводят к чрезмерно большим ошибкам. Причина этих ошибок кратко проанализирована в (Pivovarov et al., 1996). Особо следует подчеркнуть, что метод сопоставления формы теоретического и экспериментального спектра позволяет определять величину и направление вектора V0 из анализа только одного спектра, т.е. двухпозиционные измерения здесь не требуются.
Можно ожидать, что замена приближения локальной замороженности авроральных неоднородностей более общей моделью расширит круг измеряемых параметров и уменьшит погрешности их измерений.
Литература
Farley D.T. and Balsley B.B. Instabilities in the equatorial electrojet. J.Geophys.Res., v.78, No.1, p.227-239, 1973.
Fejer B.G. and Kelley M.C. Ionospheric irregularities. Rev. Geophys. and Space Phys., v.18, p.401-454, 1980. Ferch R.L. and Sudan R.N. Numerical simulation of type 2 gradient drift irregularities in the equatorial
electrojet. J.Geophys.Res, v.82, p.2283-2288, 1977. Greenwald R.A. An alternative explanation of the Doppler spectra of current - driven plasma instabilities.
J.Geophys.Res, v.84, p.433-438. 1979. Keskinen M.J., Sudan R.N. and Ferch R.L. Temporal and spatial power spectrum studies of numerical simulations of type 2 gradient drift irregularities in the equatorial electrojet. J.Geophys.Res, v.84, No.A4, p.1419-1430, 1979.
Moorcroft D.R. and Tsunoda R.T. Rapid scan doppler velocity maps of the diffuse radar aurora.
J.Geophys.Res, v.83, No.A4, p.1482-1492, 1978. Nielsen E., Haldoupis C., Fejer B.G. and Ierkic H.M. Dependence of auroral power spectra variations upon electron drift velocity in the eastward electrojet. J.Geophys.Res, v.89, No.A1, p.253-260, 1984.
Pivovarov V.G., Sverdlov Yu.L., Sergeeva N.G. and Lytkin V.N. A new approach to the determination of the E - region drift velocity using radar aurora Doppler spectral shape. J.Atmos.Terr.Phys, v.58, No.A4, p.489-494, 1996.
Schlegel K. and Moorcroft D.R. EISCAT as a tristatic auroral radar. J.Geophys.Res, v.94, No.A2, p.1430-1438, 1989.
St - Maurice J.P. and Schlegel K. Theory of coherent radar spectra in the auroral E - region. J.Geophys.Res, v.88, p.4087-4095, 1983.
Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М., "Советскоерадио", с.728, 1966.
Моисеев С.С., Сагдеев Р.З., Тур А.В., Яновский В.В. Перекачка энергии в спектры турбулентности при возбуждении градиентной неустойчивости в ионосферной плазме. ЖЭТФ, т.80, № 2, с.597-607, 1981.
Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. I. Случайные процессы. М., "Наука", с.494, 1976.
Рытов С.М., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику. II. Случайные поля. М., "Наука", с.463, 1978.
Свердлов Ю.Л. Пространственно - временной подход к анализу неустойчивости Фарлея - Бунемана. Эволюция плазменных неоднородностей в скрещенных магнитном и электрическом полях. "Известия вузов", Радиофизика, т.31, № 7, с.791-798, 1988.
