CC BY
46
УДК 551.510.535.4
Ю.А. Суковатов
Нелинейная стадия двумерной неустойчивости Рэлея-Тейлора в F-слое ионосферы с учетом диффузионного затухания возмущений
Yu.A. Sukovatov
Two-Dimensional Nonlinear Rayleigh-Taylor Instability in the Ionosphere F-region with Diffusive Disturbance Damping
Численными методами исследована нелинейная стадия двумерной неустойчивости Рэлея-Тейлора с учетом диффузионного затухания возмущений. Мелкомасштабные неоднородности электронной концентрации, генерируемые в процессе развития неустойчивости, создают Б-рассеяние, наблюдаемое наземными станциями.
Ключевые слова: Б-слой ионосферы, нелинейная неустойчивость Рэлея-Тейлора, численные методы, ионосферные неоднородности.
In this paper two-dimensional nonlinear Rayleigh-Taylor instability is investigated considering diffusion damping of irregularities. Small-scale irregularities of electron density generated by the instability development can be responsible for F-spread, visible by the ground-based stations.
Key words: ionosphere F-region, nonlinear Rayleigh-Taylor instability, numerical methods, ionosphere irregularities.
Введение. Явление Б-рассеяния сигнала, отраженного при вертикальном зондировании от Б-слоя ионосферы, состоит в следующем: сигнал теряет свою определенную структуру, становится размытым, имеет значительно большую продолжительность, чем зондирующий импульс [1-5]. С одной стороны, Б-рассеяние затрудняет обработку ионо-грамм, с другой - оно несет в себе информацию о неоднородной структуре ионосферы. Принято считать, что Б-рассеяние обусловлено отражением или преломлением радиоволн на ионосферных неоднородностях в области отражения [1]. Кроме вертикального зондирования, Б-рассеяние наблюдается также с ракет и с помощью радаров. Из экспериментов установлено, что неоднородности, вызывающие Б-рассеяние, имеют размеры от метров до 1-2 тысяч километров [1-3].
В настоящее время общепринято, что Б-рассе-яние вызвано неустойчивостью Рэлея-Тейлора плазмы Б-слоя ионосферы [1-3]. Неустойчивость Рэлея-Тейлора может развиваться в Б-слое ионосферы ниже максимума. Для развития этой неустойчивости необходимы фоновое электрическое и магнитное поле, поле тяжести и градиент фоновой плотности заряженных частиц. В настоящей работе численными методами исследуется нелинейная стадия двумерной неустойчивости Рэлея-Тейлора
в Б-слое ионосферы с учетом диффузионного затухания возмущений.
Основные уравнения. Для описания неустойчивости Рэлея-Тейлора плазмы Б-слоя ионосферы используем систему уравнений двухжидкостной квазигидродинамики.
Уравнение движения для электронов имеет следующий вид:
теЩ =—Чре + — гЫ +1 |Чх В])
-те Ыуё ( — у) - те УепЫ (( - уп ).
Аналогичное уравнение для ионов:
т.М>. = —Чр ■ + тЫ§ + гЫ| Е +1 Гу. х В1 |
\ с 1 ' А) (2)
—т Ще (( — У ) — т' ( — Уп ) .
Уравнения (1) и (2) записаны в системе отсчета нейтралов ( уп = 0 ). Здесь тг и т. - массы электронов и ионов соответственно; ує и V . - их скорости; принято условие квазинейтральности Ыг = N. = Ы; V. и ven -частоты столкновений электронов с ионами и нейтралами соответственно; Vг и Vп - частоты столкновений ионов с электронами и нейтралами соответственно; Е - напряженность электрического поля; В - магнитное поле; § - ускорение силы тяжести.
* Работа выполнена при финансовой поддержке ведомственно-аналитической программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.)» (проект «К нелинейной теории эволюции ионосферных неоднородностей» №2.1.1/653).
В большинстве случаев при исследовании неустойчивостей в неоднородной ионосферной плазме используется так называемое локальное приближение: считают зависимость всех возмущений от координат и времени в виде плоской монохроматической волны, однако при этом учитывается плавная зависимость концентрации заряженных частиц от одной из координат [0]. Согласно работе
[6], возможны следующие значения относительных частот столкновений электронов и ионов в Б-слое ионосферы в ночных условиях на высоте 400 км: 8еп = 10—7, 8еі = 8 • 10—6, 8 п = 5 • 10—2. В приближении Б-слоя все отношения частот столкновений к гирочастоте малы. Здесь Уеп - частота столкновений электронов с нейтралами; уєі - частота столкновений электронов с ионами; уіп - частота столкновений ионов с нейтралами; 5т = Уп / а>Ве,
- гирочасто-
= — 8 —Е +—ГЕх Ь\ — ——Ь (ЕЬ ) — еп в в 1_ \ 8 В ' '
В В ЧЫ
(8 +8.)В — + В
Vе а> г N
ЧЫ
N '
■ =8. —Е + — іЕхЬ\+ 1—Ь (ЕЬ) — ' “я пі \ а п V )
(3)
В В
— (8. +8.)В — + В
V . а) е N е
8В
ЧN
—В^ь 8
VNЬ
N
(4)
Вклад в скорость ионов дает также поле тяжести:
“ 1 Г- ’-1 (5)
V. = 8.
-к х Ь }
где
В = с1 /а„ ; с2 = КТ 1т ; к -
е е I В е > е е / е >
непрерывности для электронов выглядит следующим образом:
N + (уе 0 ^ + (у. V) + угМ = -( V)).
Здесь нелинейный член находится в правой части. В уравнения непрерывности нужно подставить приведенные выше выражения для скоростей. После некоторых преобразований получим основную систему нелинейных уравнений:
ді дх дх ді
д2 N д2 N дх2 + 2 ' +
+ V N = N.
Дф =
, дф.
дх ’ § дN У^0 &
(6)
(7)
ты электронов и ионов соответственно. В этом случае из уравнений квазигидродинамики получим следующие уравнения для скоростей заряженных частиц:
С - С г - гп 1 С
Здесь использовано приближение Б-слоя. Мы используем следующую геометрию: магнитное поле В направлено на север вдоль оси у, ускорение силы тяжести направлено вниз вдоль оси г, туда же направлено фоновое электрическое поле Е0, фоновая концентрация заряженных частиц зависит от координаты г. При такой геометрии дрейфовая скорость будет направлена на восток.
Инкремент неустойчивости Рэлея-Тейлора можно сосчитать из (6) и (7). Если выполнено условие коротковолнового приближения кЬ >>1, то инкремент неустойчивости примет вид:
у. к2Ь
(8)
постоянная
Больцмана; Те - температура электронов; те - их масса; соВе - гирочастота электронов. Мы учли в этом выражении, что в условиях Б-слоя ионосферы частота столкновений электронов с нейтралами много меньше частоты столкновений электронов с ионами уе„ << уе,-.
В работе [6] приведены зависимости электронной и ионной температуры от высоты ионосферы для дневных и ночных условий. Из приведенных там графиков видно, что в дневные часы электронная температура примерно в два раза превышает ионную, в то время как в ночные часы эти температуры примерно равны. Поскольку неустойчивость Рэлея-Тейлора в основном развивается в ночные часы, мы сможем приближенно принять, что выполнено условие Ве = В, что удобно для дальнейших расчетов. К уравнениям для скоростей нужно добавить уравнения непрерывности для электронов и ионов. При учете нелинейного члена уравнение
Здесь к - волновой вектор волны; Ь - характерный размер неоднородности плазмы ионосферы.
Оценим возможные значения инкремента неустойчивости Рэлея-Тейлора при выполнении условия кх ~ к. Берем § = 10 м/с2, = 0,1 с-1, тогда для ха-
рактерного размера неоднородности плазмы ионосферы Ь = 100 км инкремент неустойчивости Рэлея-Тейлора ун = 10-3 с-1. Частоту рекомбинации возьмем V,. = 5-10-4 с-1 [6]. Коэффициент диффузионного затухания имеет вид:
у а = 2деРек1.
На высоте 300 км берем 8еі = 4-10-5. Рассчитаем теперь коэффициент диффузионного затухания Ве:
Как видно из [6, рис. 5.10], на высоте 300 км электронная температура Те = 1,5-103 К.
Отсюда рассчитываем квадрат скорости се:
С = 2,3 -1010 м2/с2.
Поскольку юВе = 9 106 с-1, определяем коэффициент диффузии Ве:
с2
В =-^ = 2,6-103 м2/ с.
Ве и
2
х
Теперь с помощью критерия развития неустойчивости Рэлея-Тейлора мы можем определить область неустойчивости:
Ул > Уй,
отсюда следует, что длина волны неустойчивого возмущения X > 100 м.
Уравнения (6) и (7) будем решать численными методами. Используя условие сильной вытянуто-сти неоднородностей вдоль магнитного поля [1], мы ограничимся решением системы уравнений в двумерной области ионосферы вблизи максимума Б-слоя. Координата г направлена вертикально вверх, координата х направлена горизонтально вдоль широты. Размеры расчетной области 140 км около максимума Б-слоя (от 360 до 500 км) и 200 км по горизонтали.
В программе сначала задаются параметры ионосферы 8, V п, у2, N (г), N0(г). После этого строится
сетка по осям х и г. Расчеты для графиков в статье производились с сеткой 100 х 100. В тестовых расчетах использовались сетки 10 х 10, 20 х 20, 50 х 50, 100 х 100.
Далее задавались начальные данные для электронной концентрации N в виде возмущений с заданной длиной волны.
N (t = 0) = N(l - е~3 cos (nx/(20dx))). (9)
Затем мы решали уравнение (7) численным итерационным методом Якоби. Итерации считаются законченными, если разность между двумя последовательными значениями потенциала меньше е = 10-7. В результате расчета мы находим значения потенциала ф во внутренних точках области. Граничные условия для потенциала для ионосферы обычно берутся в виде:
дф=о, (10)
дп
где п - нормаль к соответствующей стороне области.
Используя эти граничные условия, находим значения потенциала ф на границе области. Таким
образом, теперь у нас есть начальное значение электронной концентрации N и рассчитанное для него распределение потенциала ф во всей области.
Рис. 1. Изолинии концентрации электронов при развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора.
8 * 0, = 0, уйк = 0, Г = 500 с. (По оси X отложена ширина расчетной области, км; по оси У - высота, км; размерность
значений концентраций, нанесенных на графике, см-3)
На рисунке 2 приведены изолинии концентрации через 1000 сек, первоначальное возмущение становится нелинейным. Видно, что на одной и той же высоте изменение концентрации может составлять разы, что согласуется с наблюдениями [2].
Теперь можно решить уравнение (6). Для решения используем разностную схему ВВЦП. Применяя имеющиеся значения потенциала и электронной концентрации, с помощью разностной схемы ВВЦП находим значение электронной концентрации на следующем шаге по времени. Снова мы получаем
решение во внутренних точках области. Из граничных условий для электронной концентрации
где п - нормаль к соответствующей стороне области, находим значения концентрации во всей области. Использованный нами метод имеет 1-й порядок точности по времени и 2-й порядок - по координатам (при соответствующей формулировке граничных условий Неймана (10) и (11)). Фактическая
i74
точность расчетов определяется приближенностью точности. Можно ожидать, что учет диффузионного
физической модели. Далее опять решаем уравнение затухания возмущений повышает достоверность
(7), и процесс повторяется до достижения заданной полученных результатов.
480
460
440
420
400
380
360
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Рис. 2. Изолинии концентрации электронов при развитии неустойчивости Рэлея-Тейлора.
ё ф 0, уАх = 0, = 0 , ^ = 1000 с. (По оси X отложена ширина расчетной области, км;
по оси У - высота, км; размерность значений концентраций, нанесенных на графике, см- )
Результаты расчетов. На рисунке 1 показано, как изменяются изолинии концентрации через 500 сек после задания при ї = 0 начального возмущения в виде (9). Видно, что начала развиваться неустойчивость Рэлея-Тейлора: в области неустойчивости легкая плазма поднимается вверх, в область тяжелой плазмы, а тяжелая плазма движется вниз, в область легкой плазмы.
Таким образом, в настоящей работе мы провели численное исследование нелинейной стадии развития неустойчивости Рэлея-Тейлора в Б-слое ионосферы. Численными методами рассчитаны двумерные (высота-широта) распределения изолиний электронной концентрации на различных стадиях развития неустойчивости для двух типов начальных возмущений. Приведены два типичных распределения изолиний концентрации. Картина развитой неустойчивости
Рэлея-Тейлора представляет собой чередование областей опускания и подъема плазмы (перемешивание плазмы) в области ниже максимума Б-слоя ионосферы. Значение концентрации на одной и той же высоте может отличаться в несколько раз, что подтверждается наблюдениями. Волна на рисунке 2 существенно нелинейная по сравнению с исходным синусоидальным возмущением. Нелинейная волна содержит много пространственных гармоник. Мелкомасштабные неоднородности электронной концентрации создают Б-рассеяние, наблюдаемое наземными станциями [1]. Полученные зависимости возмущений электронной концентрации от координат предполагается использовать для моделирования Б-рассеяния. По сравнению с другими аналогичными работами [2, 3, 5] мы учли при расчетах диффузионное затухание возмущений.
Библиографический список
1. Гершман Б.Н., Казимировский Э.С., Кокоуров В.Д., Чернобровкина Н.А. Явление F-рассеяния в ионосфере. -М., 1984.
2. Hudson M.K. Spread F bubbles: Nonlinear Rayleigh-Taylor mode in two dimensions // J. Geophys. Res. - 1978. -V. 83.
3. Chao-song Huang, Kelley M.C., Hyssell D.L. Nonlinear Rayleigh-Taylor instabilities, atmospheric gravity waves and equatorial spread-F // J. Geophys. Res. - 1993. -V. 98, NA9.
4. Hyssel et al. Onset conditions for equatorial spread F determined during EQUIS II // Geophys. Res Letters. -2005. - V. 32, L24104, doi:10.1029/2005GL024743, 2005.
5. Satyanarayana P., Guzdar P.N., Huba J.D., Ossakow S.L. Rayleigh-Taylor instability in the presence of a stratified shear layer //Geophys. Res. - 1984. - V. 89, NA5.
6. Фаткулин М.И., Зеленова Т.И., Козлов В.К., Легенька А.Д., Соболева Т.Н. Эмпирические модели среднеширотной ионосферы. - М., 1981.
