О ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ОЦЕНКАХ ЧИСЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДУГ МИНИМАЛЬНОГО РЁБЕРНОГО 1-РАСШИРЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ЦИКЛА Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аналогичный результат удалось доказать и для гиперкуба Q4, что является основным результатом данной работы.

Теорема 2. Гиперкуб Q4 имеет единственное с точностью до изоморфизма минимальное рёберное 1-расширение.

Единственные с точностью до изоморфизма минимальные рёберные 1-расширения гиперкубов Q2 и Q3 изображены на рис. 1.

ЛИТЕРАТУРА

1. Padua D. A. Encyclopedia of Parallel Computing. N.Y.: Springer, 2011.

2. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.

3. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C.25. No. 9. P. 875-884.

4. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

5. Лобов А. А., Абросимов М. Б. О вершинном 1-расширении гиперкуба // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. Саратов: Из-дат. центр «Наука», 2018. С. 249-251.

6. Лобов А. А., Абросимов М. Б. О минимальном рёберном 1-расширении гиперкуба // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2018. №11. С. 109-111.

7. Harary F., Hayes J. P., and Wu H.-J. A survey of the theory of hypercube graphs // Computers & Math. with Appl. 1988. V. 15. Iss. 4. P. 277-289.

8. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. №5(88). С. 643-650.

УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308X/15/27

О ВЕРХНЕЙ И НИЖНЕЙ ОЦЕНКАХ ЧИСЛА ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ДУГ МИНИМАЛЬНОГО РЁБЕРНОГО 1-РАСШИРЕНИЯ ОРИЕНТАЦИИ ЦИКЛА

О. В. Моденова, М. Б. Абросимов

Исследуются верхняя и нижняя оценки числа дополнительных дуг ес(Сп) минимального рёберного 1 -расширения ориентации Сп цикла Сп. Основной результат работы: \п/2\ ^ ес(Сп) ^ п. Приводятся примеры ориентаций циклов, на которых оценки достигаются.

Ключевые слова: минимальное рёберное 1-расширение, ориентация цикла, отказоустойчивость.

Рис. 1. Минимальные рёберные 1-расширения для Q2 и Qз

Введение

Рассмотрим неориентированные и ориентированные графы, основные определения даются согласно работам [1-3]. Неориентированным циклом (далее — просто циклом) Сп называется п-вершинный граф, состоящий из единственного цикла, содержащего все вершины. Очевидно, что число вершин любого цикла п ^ 3. Цикл Сп является связным однородным графом порядка 2. Для нас представляют интерес ориентации цикла Сп, которые получаются заменой каждого ребра цикла на дугу. Простые циклические пути в ориентированном графе называются контурами. Особым случаем ориентации цикла Сп является контур Сп, то есть ориентированный граф, состоящий из единственного контура, содержащего все вершины. В контуре Сп все вершины имеют степени исхода и захода, равные 1.

Граф С* = (V*, а*) называется минимальным вершинным к-расширением (МВ-кР) п-вершинного графа С = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) граф С* является вершинным к-расширением графа С, то есть С вкладывается в каждый подграф графа С*, получающийся удалением любых его к вершин;

2) граф С* содержит п + к вершин, то есть IV* | = IV| + к;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Понятие минимального вершинного к-расширения появилось в работе [1] как модель для исследования отказоустойчивости элементов дискретных систем. Позднее в [2] введена модель для исследования отказов связей между элементами.

Граф С* = (V*,а*) называется минимальным рёберным к-расширением (МР-кР) п-вершинного графа С = (V, а), если выполняются следующие условия:

1) граф С* является рёберным к-расширением графа С, то есть С вкладывается в каждый граф, получающийся из С* удалением любых его к рёбер (дуг);

2) граф С* содержит п вершин, то есть IV*| = IV|;

3) а* имеет минимальную мощность при выполнении условий 1 и 2.

Задача поиска минимального вершинного или рёберного к-расширения для произвольного графа является вычислительно сложной [4], и в общем виде решение удалось получить лишь для некоторых классов графов. Обзор основных результатов можно найти в [3]. В работе [2] предлагаются схемы построения минимальных рёберных 1-расширений для циклов.

Теорема 1. Графы, представленные на рис. 1, являются минимальными рёберными 1-расширениями для цикла Сп при чётном числе вершин (а) и нечётном числе вершин (б).

<Ь~-------

Рис. 1. МР-1Р цикла Сп из теоремы 1

Заметим, что число дополнительных рёбер в этих расширениях равно [п/2]. В [3] предлагаются другие схемы построения минимальных рёберных 1-расширений циклов и доказывается, что при п > 5 построенные по ним расширения неизоморфны расширениям из теоремы 1.

а

Теорема 2. Графы, представленные на рис. 2, являются минимальными рёберными 1-расширениями для цикла Сп при чётном числе вершин (а) и нечётном числе вершин (б); при п > 5 они неизоморфны расширениям, построенным по теореме 1.

| \ у \

| >С I

У

с>

Л"'

-6-

Рис. 2. МР-1Р цикла Сп из теоремы 2

а

1. Ориентации циклов

Рассмотрим ориентации цикла. Ранее были получены оценки для числа дополнительных дуг в МВ-1Р ориентации цикла, а также схемы построения для двух ори-ентаций цикла, на которых достигается нижняя оценка. Напомним, что расширение (вершинное или рёберное) С* графа С называется неприводимым, если никакая его собственная часть не является расширением (вершинным или рёберным) графа С. Заметим, что неориентированный цикл можно рассматривать как ориентированный граф, в котором каждое ребро является парой встречных дуг.

Теорема 3. Цикл Сп является неприводимым рёберным 1-расширением для произвольной ориентации Сп цикла Сп.

Теорема 1 даёт оценку сверху для числа дополнительных дуг в минимальном рёберном 1-расширении ориентации цикла. Следующая теорема показывает, что оценка является достижимой.

Теорема 4. Цикл Сп является минимальным рёберным 1-расширением контура Сп.

Отметим, что в общем случае цикл Сп является не единственным минимальным рёберным 1-расширением контура Сп.

Для получения нижней оценки заметим, что в цикле каждая вершина имеет степень 2, соответственно в ориентации цикла в каждой вершине будет две дуги (входящие или исходящие). Тогда в минимальном рёберном 1-расширении в каждой вершине будет не менее трёх дуг [3]. Это даёт нижнюю оценку числа дополнительных дуг |~п/2]. Получаем итоговую оценку:

Теорема 5. Для числа дополнительных дуг минимального рёберного 1-расширения любой ориентации Сп цикла Сп справедливо следующее неравенство:

|~п/2] ^ ве(С^) ^ п.

Далее представлены схемы построения минимальных рёберных 1-расширений для некоторых ориентаций циклов, которые показывают, что нижняя оценка также является достижимой. С этой целью рассмотрим возможность ориентации минимальных рёберных 1-расширений циклов из теоремы 2.

2. Циклы с чётным числом вершин

Рассмотрим цикл Сп с чётным числом вершин, который ориентируем по схеме «сток — источник». Обозначим такую ориентацию СБТп. Очевидно, что в минимальном рёберном 1-расширении орграфа СБТп все вершины, в которых есть три дуги, могут быть также только источниками или стоками. По этой причине минимальное

рёберное 1-расширение для СБТп не может быть получено никакой ориентацией минимального рёберного 1-расширения цикла из теоремы 1. Можно заметить, что это расширение имеет два цикла длины 3. Любая его ориентация приведёт к тому, что появится вершина, не являющаяся ни стоком, ни источником. Граф из теоремы 2 не имеет циклов длины 3 и для него подобную ориентацию построить возможно.

Теорема 6. Граф, представленный на рис.3, является минимальным рёберным 1-расширением для ориентации СБТп при п = 4к + 2.

Пунктирными линиями на рис. 3 показаны дополнительные дуги. Заметим, что в ориентации направление дуг выбирается естественным образом, чтобы сохранить источники и стоки. Очевидно, что такая ориентация невозможна при п = 4к, так как в этом случае вершины в противоположных углах прямоугольника будут иметь одинаковый тип (сток — сток или источник — источник). Любая ориентация диагонали не сможет сохранить источники и стоки.

Рассмотрим цикл Сп с нечётным числом вершин. Его нельзя ориентировать по схеме «сток — источник», поэтому предложим другую ориентацию. В одной вершине ориентируем рёбра так, чтобы одно ребро было исходящим, а другое — входящим. Остальные вершины ориентируем по схеме «сток — источник». Обозначим такую ориентацию СБТЫп. Для неё можно ориентировать минимальные рёберные 1-расширения как из теоремы 1, так и из теоремы 2.

Теорема 7. Граф, представленный на рис. 4, является минимальным рёберным 1-расширением для ориентации СБТЫп.

и*—о—-кх—о— Рис. 3. МР-1Р ориентации цикла из теоремы 6

3. Циклы с нечётным числом вершин

Рис. 4. МР-1Р ориентации цикла из теоремы 7

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V. C25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.

4. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. Вып. 5. С. 643-650.

УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308X715/28

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМИ МЕРАМИ СВЯЗНОСТИ1

Б. А. Теребин, М. Б. Абросимов

Вершинной связностью к называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Рёберной связностью Л нетривиального графа называется наименьшее число рёбер, удаление которых приводит к несвязному графу. Исследуются минимальные по числу рёбер п-вер-шинные графы, которые имеют заданные значения вершинной и рёберной связности. Помимо теоретического интереса, графы с заданными значениями вершинной или рёберной связности представляют и прикладной интерес как модели отказоустойчивых сетей. Основной результат состоит в том, что для определённой области значений к и Л удалось описать графы, которые при заданном п имеют минимальное число рёбер.

Ключевые слова: граф, вершинная связность, рёберная связность, отказоустойчивость.

Введение

Изучение графов с заданной вершинной или рёберной связностью представляет интерес как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. В теоретическом плане эти исследования восходят к работам [1-3], в прикладном — к работе [4], в которой исследуется построение сетей минимальной стоимости с заданнной связностью. Большой интерес представляют графы Харари, которые имеют минимальное число рёбер при заданном значении вершинной связности [2, 5].

Рассмотрим простые неориентированные графы и их основные меры связности. Понятия из теории графов используются в соответствии с [6, 7]. Напомним, что связным называется граф, любая пара вершин которого соединена путём. В противном случае граф называется несвязным. Тривиальным называется одновершинный граф. Граф, любые две вершины которого смежны, называется полным.

Определение 1. Вершинной связностью к графа О называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Определение 2. Рёберная связность А нетривиального графа О определяется как наименьшее количество рёбер, удаление которых приводит к несвязному графу.

1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках госзадания (проект №Е8КИ,-2020-0006).