ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМИ МЕРАМИ СВЯЗНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЛИТЕРАТУРА

1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P. 875-884.

2. Harary F. and Hayes J. P. Edge fault tolerance in graphs // Networks. 1993. V. 23. P. 135-142.

3. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2012. 192 с.

4. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. Вып. 5. С. 643-650.

УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308X715/28

ОБ ОДНОМ СЕМЕЙСТВЕ ОПТИМАЛЬНЫХ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМИ МЕРАМИ СВЯЗНОСТИ1

Б. А. Теребин, М. Б. Абросимов

Вершинной связностью к называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Рёберной связностью Л нетривиального графа называется наименьшее число рёбер, удаление которых приводит к несвязному графу. Исследуются минимальные по числу рёбер п-вер-шинные графы, которые имеют заданные значения вершинной и рёберной связности. Помимо теоретического интереса, графы с заданными значениями вершинной или рёберной связности представляют и прикладной интерес как модели отказоустойчивых сетей. Основной результат состоит в том, что для определённой области значений к и Л удалось описать графы, которые при заданном п имеют минимальное число рёбер.

Ключевые слова: граф, вершинная связность, рёберная связность, отказоустойчивость.

Введение

Изучение графов с заданной вершинной или рёберной связностью представляет интерес как с теоретической, так и с прикладной точек зрения. В теоретическом плане эти исследования восходят к работам [1-3], в прикладном — к работе [4], в которой исследуется построение сетей минимальной стоимости с заданнной связностью. Большой интерес представляют графы Харари, которые имеют минимальное число рёбер при заданном значении вершинной связности [2, 5].

Рассмотрим простые неориентированные графы и их основные меры связности. Понятия из теории графов используются в соответствии с [6, 7]. Напомним, что связным называется граф, любая пара вершин которого соединена путём. В противном случае граф называется несвязным. Тривиальным называется одновершинный граф. Граф, любые две вершины которого смежны, называется полным.

Определение 1. Вершинной связностью к графа О называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Определение 2. Рёберная связность Л нетривиального графа О определяется как наименьшее количество рёбер, удаление которых приводит к несвязному графу.

1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках госзадания (проект №Е8КИ,-2020-0006).

Например, деревья имеют вершинную и рёберную связности 1. Полный п-вершин-ный граф имеет вершинную и рёберную связности п — 1. Далее будем рассматривать только связные графы. Обозначим минимальную степень вершины в графе через 8.

Вершинная связность к, рёберная связность Л и минимальная степень вершины 8 произвольного графа связаны следующим неравенством:

Теорема 1 [1]. Для любого графа С справедливо неравенство к ^ Л ^ 8.

Доказано, что для любых подходящих значений к, Л и 8 существует соответствующий граф:

Теорема 2 [3]. Для любых натуральных чисел а,Ь, с, таких, что 0 < а ^ Ь ^ с, существует граф С, у которого к = а, Л = Ь, с = 8.

В работах [8, 9] рассматривается задача о поиске графов с минимальным числом вершин и рёбер для любых а, Ь, с из теоремы 2. В данной работе решается задача описания графов с заданным числом вершин п и с минимальным числом рёбер для пар возможных значений к и Л.

Обозначим минимальное число вершин, которое может содержать граф с заданной вершинной связностью к и рёберной связностью Л.

Теорема 3.

Г2(Л + 1) — к при Л > к,

Nк,Л = < . . .

I Л + 1 при Л = к.

Обозначим Ек,\ минимальное число рёбер, которое может содержать граф с заданной вершинной связностью к и рёберной связностью Л.

Теорема 4.

(Л2 — к2 + к + Л + а при Л > к, Ек л — л

к,л |Л(Л + 1)/2 при Л = к,

(о, если Г(2к2 — кЛ — 2к)/2] ^ 0, где а = <

\ Г(2к2 — кЛ — 2к)/2] иначе.

Очевидно, что построить граф, содержащий заданное число вершин п, с минимальным числом рёбер для заданных значений к и Л можно только при п ^ ^,л. Если к = Л = 1, то N1,1 = 2. Легко видеть, что граф с минимальным числом рёбер для заданного числа вершин п с к = Л =1 — дерево с числом рёбер п — 1.

Основной результат

Определение 3. Диагональю порядка г назовём множество пар (к, Л), удовлетворяющих следующим условиям:

1) Л — к = г;

2) для заданных к и Л можно построить граф с вершинной связностью к и рёберной связностью Л;

3) граф из условия 2 является либо Л-регулярным, либо одна из его вершин имеет степень Л + 1, а остальные вершины имеют степени Л;

4) условие 3 должно выполняться для графов с любым числом вершин п ^ ^,л.

Определение 4. Под парой значений (ктщ(г), Лтт(г)) будем понимать образующий элемент диагонали порядка г. Образующий элемент — это такая пара значений,

которая удовлетворяет условиям из определения 3 и является наименьшим значением (к, Л) для соответствующей диагонали.

Если есть образующий элемент диагонали порядка г, то можно получить образующий элемент диагонали г + 1 следующим образом:

кшт(г+1) кшт(г) + 1 Лшт(г+1) Лгп(г) + 2.

По аналогии для г — 1 диагонали:

кшт(г-1) кшт(г) 1 Лшт(г-1) Лшт(г) 2.

Определение 5. Пару (2, 2) назовём корневым образующим элементом и обозначим (кг, Лг).

Корневой образующий элемент является образующим элементом диагонали порядка 0. Остальные образующие элементы диагоналей можно найти по следующей формуле:

кшт(г) кг + Лшт(г) Лг + 2г.

Обозначим множество диагоналей через О. Схематично множество О представлено на рис. 1.

ш 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

1

2 •

3 •

4 *

5 •

6 *

7

8 •

9 / / )

10 /

11 /

12 \ •

13 \

0 1 4 5 6 7 г ? 1011

Рис. 1. Схема множества диагоналей О

На рис. 1 точками помечены образующие элементы соответствующих диагоналей. Линиями выделены сами диагонали. Цифрами снизу обозначены порядки диагоналей. В таблице по вертикали идут значения вершинной связности, по горизонтали — рёберной связности. Графы Харари образуют диагональ порядка 0. Напомним, что графом Харари Щ,п называется п-вершинный граф с минимальным числом рёбер, у которого к = Л = £ [2]. Далее приводится основной результат работы, в котором описываются графы из множества О.

Теорема 5. Пусть к ^ кш;п(ф Л ^ Лш;п(ф Л — к = г, г ^ 0. Тогда для любого п ^ Мк,х существует граф О с заданными к и Л, содержащий п вершин, такой, что:

— если Л или п чётные, то О — Л-регулярный граф;

— если Л и п нечётные, то одна из вершин графа G имеет степень (Л + 1), остальные вершины имеют степени Л.

При этом граф G является оптимальным по рёбрам, то есть состоит из наименьшего

возможного числа рёбер, равного |~Лп/2].

ЛИТЕРАТУРА

1. Whitney H. Congruent graphs and the connectivity of graphs // Amer. J. Math. 1932. V. 54. Iss. 1. P. 150-168.

2. Harary F. The maximum connectivity of a graph // Proc. NAS USA. 1962. V. 48. P. 1142-1146.

3. Chartrand G. and Harary F. Graphs with prescribed connectivities // Theory of Graphs. N.Y.: Academic Press, 1968. P. 61-63.

4. Steiglitz K., WeinerP., and Kleitman D. The design of minimum-cost survivable networks // IEEE Trans. Circuit Theory. 1969. V. 16. No. 4. P. 455-460.

5. Jafarpour M., Shekaramiz M., JavanA., and MoeiniA. Building graphs with maximum connectivity // Proc. IETS. 2020. P. 1-5.

6. Харари Ф. Теория графов М.: Мир, 1973.

7. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.

8. Теребин Б. А., Абросимов М. Б. Об оптимальности реализации графов с заданными мерами связности // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2020. № 13. С. 103-105.

9. Теребин Б. А., Абросимов М. Б. О минимальном числе рёбер в реализациях графов с заданными мерами связности // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. 2021. С. 159-161.