CC BY
8
3. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2005. №14. С. 23-26.
4. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.
5. Жаркова А. В. О ветвлении и непосредственных предшественниках состояний в конечной динамической системе всех возможных ориентаций графа // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. С. 76-78.
6. Жаркова А. В. Недостижимые состояния в динамических системах, ассоциированных с цепями и циклами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып. 4. С. 116-123.
УДК 519.17 Бет 10.17223/2226308X713/30
ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМИ МЕРАМИ СВЯЗНОСТИ1
Б. А. Теребин, М. Б. Абросимов
Две основные меры связности графа — вершинная к и рёберная Л — связаны с минимальной степенью вершины 5 графа известным соотношением Уитни: к ^ Л ^ 5. Г. Чартрэнд и Ф. Харари доказали, что этот результат не улучшаем в том смысле, что для любых натуральных чисел а, Ь, с, таких, что а ^ Ь ^ с, можно построить граф, у которого к = а, Л = Ь, 5 = с. В доказательстве Чартрэнда и Харари предлагается граф с числом вершин 2(с+1) и числом рёбер с(с+1)+ Ь. В данной работе рассматривается вопрос построения соответствующей реализации с наименьшим возможным числом вершин и рёбер.
Ключевые слова: вершинная связность, рёберная связность, неравенство Уитни.
1. Условие Уитни
Связные графы имеют важнейшее значение с точки зрения прикладной теории графов. Две основные меры связности графа — вершинная к и рёберная Л. Вершинной связностью к графа О называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Рёберная связность Л графа О определяется как наименьшее количество рёбер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Основные определения используются по работе [1].
Вершинная связность графа к, его рёберная связность Л и минимальная степень вершины 8 связаны неравенством Уитни [2]:
Теорема 1 [2]. Для любого графа О справедливо неравенство к ^ Л ^ 8. Результат теоремы является неулучшаемым:
Теорема 2 (Чартрэнд, Харари [3]). Для любых натуральных чисел а, Ь, с, таких, что а ^ Ь ^ с, существует граф О, у которого к = а, Л = Ь, с = 8.
Из доказательства теоремы 2 следует, что для любых а, Ь, с можно построить граф с числом вершин 2(с + 1) и числом рёбер с(с + 1) + Ь. Предлагается схема построения соответствующего графа: необходимо взять два полных графа Кс+1, в одном выбрать а вершин, в другом — Ь вершин и соединить выбранные вершины Ь рёбрами.
1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках выполнения государственного задания (проект №Е8КИ,-2020-0006).
104
Прикладная дискретная математика. Приложение
Возникает вопрос: можно ли для заданных к = а, Л = Ь, с = 6 построить граф с меньшим числом вершин и рёбер? Оказывается, что в некоторых случаях это действительно возможно, что и является предметом исследования данной работы.
2. Основные результаты
Результат теоремы 2 можно улучшить не всегда, поэтому общий случай а ^ Ь ^ с разделим на следующие неравенства:
1) а ^ Ь < с;
2) а = Ь = с;
3) а < Ь = с.
Для первого случая оказалось, что результат теоремы 2 является оптимальным по числу вершин:
Теорема 3. Граф с наименьшим количеством вершин, удовлетворяющий условию Уитни при а ^ Ь < с, является графом с числом вершин 2(с + 1).
Однако число рёбер может быть меньше. Следующий пример иллюстрирует данный случай.
Пример 1. Пусть а = Ь = 4, с = 5, т. е. к = Л = 4, 6 = 5.
Количество вершин равно 2(с + 1) = 2(5 + 1) = 12. Количество рёбер в реализации из теоремы 2 должно быть с(с + 1) + Ь = 34. На рис. 1 изображён граф, построенный по теореме 3, с числом рёбер 30.
Рис. 1
В двух остальных случаях результат теоремы 2 может быть улучшен и по числу вершин. Второй случай является достаточно тривиальным:
Теорема 4. Граф с наименьшим количеством вершин, удовлетворяющий условию Уитни при а = Ь = с, является полным графом с числом вершин с +1.
Наиболее интересным оказался третий случай, для которого удалось получить следующий результат:
Теорема 5. Граф с наименьшим количеством вершин, удовлетворяющий условию Уитни при а < Ь = с, является графом с числом вершин 2(с +1) — а.
Доказательство теоремы также является конструктивным и предлагает схему построения соответствующего графа. Следует отметить, что в общем случае можно построить несколько реализаций с числом вершин, как в теореме 5, но с разным числом рёбер. Схема из теоремы 5 позволяет строить граф не только с минимальным числом вершин, но и с минимально возможным числом рёбер.
Теорема 6. Граф с наименьшим количеством рёбер, удовлетворяющий условию Уитни при а < Ь = с, является графом с числом рёбер с2 — а2 + а + с + а, где
_ 0, если [(2а2 — ас — 2а)/2] < 0, [(2а2 — ас — 2а)/2] иначе.
Следующий пример иллюстрирует этот случай. Пример 2. Пусть а = 4, Ь = с = 5, т. е. к = 4, Л = 6 = 5.
Данный случай удовлетворяет условию теорем 5 и 6. Согласно теореме 5, количество вершин равно 2(с +1) — а = 2(5 + 1) — 4 = 8. Найдем значение а:
а = |(2а2 — ас — 2а)/2] = [(36 — 20 — 8)/2] = 2.
Тогда число рёбер равно с2 — а2 + а + с+а = 25 —16 + 4 + 5 + 2 = 20. На рис. 2 изображён соответствующий граф.
Рис. 2
ЛИТЕРАТУРА
1. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 300 с.
2. Whitney H. Congruent graphs and the connectivity of graphs // Am. J. Math. 1932. V. 54. P. 150-168.
3. Chartrand G. and Harary F. Graphs with prescribed connectivities // 1966 Symp. on Graph Theory. Tihany, Acad. Sci. Hung. 1967. P. 61-63.
