CC BY
5
Количество переменных m
Рис. 1 ЛИТЕРАТУРА
1. https://csrc.nist.gov/Projects/post-quantum-cryptography/Post-Quantum-Crypto graphy-Standardization/Call-for-Proposals.
2. Чижов И. В., Бородин М. А. Классификация произведений Адамара подкодов коразмерности 1 кодов Рида — Маллера // Дискретная математика. 2020. №32(1). С. 115-134.
3. McEliece R. J. A public-key cryptosystem based on algebraic coding theory // DSN Progress Report. 1978. No. 4244. P. 114-116.
4. Vysotskaya V. V. Characteristics of Hadamard Square of Reed — Muller Subcodes of Special Type. https://eprint.iacr.org/2020/507.
УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/13/29
О КОЛИЧЕСТВЕ НЕДОСТИЖИМЫХ СОСТОЯНИЙ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ОРИЕНТАЦИЙ ПОЛНЫХ ГРАФОВ
А. В. Жаркова
Рассматриваются конечные динамические системы ориентаций полных графов. Состояниями системы являются все возможные ориентации полного графа, а эволюционная функция задаётся следующим образом: динамическим образом данного орграфа является орграф, полученный из исходного путём переориентации всех дуг, входящих в стоки, других отличий между исходным орграфом и его образом нет. Приводятся формулы для подсчёта количества недостижимых и достижимых состояний в рассматриваемых системах, представлены соответствующие таблицы для полных графов с количеством вершин от двух до десяти.
Ключевые слова: граф, достижимое состояние, источник, конечная динамическая система, недостижимое состояние, ориентация графа, полный граф, сток, турнир, эволюционная функция.
Графовые модели, в которых отказы процессоров интерпретируются как удаление соответствующих вершин, а отказы сетевых каналов — как удаление дуг, занимают важное место в задачах, связанных с отказоустойчивостью компьютерных сетей. При изучении модельных графов можно применять идеи и методы теории конечных динамических систем [1-3]. В модели [1] в качестве механизма восстановления работоспособности сети предлагается так называемая БЕЯ-динамика бесконтурных связных ориентированных графов. В настоящей работе полные графы изучаются с точки зрения динамического подхода к отказоустойчивости графовых систем.
Под ориентированным графом (орграфом) понимается пара О = (V, в), где V — конечное непустое множество вершин; в ^ V х V — отношение смежности на множестве V (пара (п,у) Е в называется дугой орграфа). Неориентированным графом (или, для краткости, графом) называется пара О = (V, в), где в — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Дуги неориентированного графа называют рёбрами. Орграф О = (V, в) называется направленным графом (или диграфом ), если отношение в антисимметрично. Граф О = (V, в) называется полным, если любые две его вершины соединены ребром. Полный граф с п вершинами обозначим Кп. Турниром называется полный направленный граф. Говорят, что вершина V достижима из вершины и, если в орграфе существует путь из и в V. Вершина орграфа, не достижимая из других его вершин, называется источником, а вершина, из которой не достижима никакая другая вершина, — стоком [4].
Под конечной динамической системой понимается пара (Б, 6), где 5 — конечное непустое множество состояний системы, 6 : Б О Б — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой орграф с множеством вершин Б и дугами, проведёнными из каждой вершины в Е Б в вершину 6(в). Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами.
Основными проблемами теории конечных динамических систем являются задачи отыскания эволюционных параметров системы без проведения динамики. К их числу относятся ветвление (количество непосредственных предшественников данного состояния) и, в частности, свойство недостижимости состояния (то есть когда состояние имеет нулевое ветвление). Автором описаны недостижимые состояния конечных динамических систем всех возможных ориентаций графов [5], подсчитаны количества недостижимых состояний в системах, связанных с ориентациями цепей, циклов, пальм [6]. В данной работе предлагаются формулы для подсчёта количества недостижимых и количества достижимых состояний в конечных динамических системах ориентаций полных графов.
Пусть дан полный граф Кп, п > 1, т = п(п — 1)/2 — число рёбер. Придадим его рёбрам произвольную ориентацию, тем самым получив направленный граф (турнир) О. Применим к полученному орграфу эволюционную функцию а, которая у данного орграфа одновременно переориентирует все дуги, входящие в стоки, а остальные дуги оставляет без изменения, в результате чего получим орграф а( О), других отличий между О и а ("О) нет. Если проделать указанные действия со всеми возможными ориентациями данного графа, то получим карту конечной динамической системы (Гкп, а), п > 1, где через Гкп обозначим множество всех возможных ориентаций данного полного графа Кп, |Гкп | = 2т, состоящую из одного или нескольких бассейнов.
На рис. 1 изображена карта конечной динамической системы (Гк3, а).
А
А-
Рис. 1. Карта конечной динамической системы (Гк3, а)
Теорема 1. Состояние Е Гкп конечной динамической системы (Гкп, а), п > 1, недостижимо тогда и только тогда, когда в орграфе нет источника и есть сток.
Теорема 2. Количество недостижимых состояний в конечной динамической системе (ГКп, а), п > 1, равно
КНС(Г*„,а) = п(2(п-1)(п-2)/2 - (п - 1)2(га-2)(га-3)/2).
Следствие 1. Количество достижимых состояний в конечной динамической системе (ГКп, а), п > 1, равно
КДС(Гкп>а) = 2п(п-1)/2 - п(2(га-1)(га-2)/2 - (п - 1)2(п-2)(п-3)/2).
В таблице приведены данные по количеству недостижимых и достижимых состояний в конечных динамических системах (Гкп, а) для 2 ^ п ^ 10, полученные с помощью вычислительных экспериментов.
n КНС(Гк„ ,а) КДС(ГКп ,а)
2 0 2
3 0 8
4 8 56
5 160 864
6 4224 28544
7 186368 1910784
8 14942208 253493248
9 2264924160 66454552576
10 663035576320 34521336512512
Можно заметить, что в конечных динамических системах (Гкп, а) большинство состояний являются достижимыми.
ЛИТЕРАТУРА
1. Barbosa V. C. An atlas of edge-reversal dynamics. London: Chapman&Hall/CRC, 2001.
2. Khrennikov A. and Nilsson M. On the number of cycles of p-adic dynamical systems //J. Number Theory. 2001. V. 90. P. 255-264.
3. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем // Вестник Томского госуниверситета. Приложение. 2005. №14. С. 23-26.
4. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, 1997.
5. Жаркова А. В. О ветвлении и непосредственных предшественниках состояний в конечной динамической системе всех возможных ориентаций графа // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2013. №6. С. 76-78.
6. Жаркова А. В. Недостижимые состояния в динамических системах, ассоциированных с цепями и циклами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11. Вып. 4. С. 116-123.
УДК 519.17 Б01 10.17223/2226308X713/30
ОБ ОПТИМАЛЬНОСТИ РЕАЛИЗАЦИЙ ГРАФОВ С ЗАДАННЫМИ МЕРАМИ СВЯЗНОСТИ1
Б. А. Теребин, М. Б. Абросимов
Две основные меры связности графа — вершинная к и рёберная Л — связаны с минимальной степенью вершины 5 графа известным соотношением Уитни: к ^ Л ^ 5. Г. Чартрэнд и Ф. Харари доказали, что этот результат не улучшаем в том смысле, что для любых натуральных чисел а, Ь, с, таких, что а ^ Ь ^ с, можно построить граф, у которого к = а, Л = Ь, 5 = с. В доказательстве Чартрэнда и Харари предлагается граф с числом вершин 2(с+1) и числом рёбер с(с+1)+ Ь. В данной работе рассматривается вопрос построения соответствующей реализации с наименьшим возможным числом вершин и рёбер.
Ключевые слова: вершинная связность, рёберная связность, неравенство Уитни.
1. Условие Уитни
Связные графы имеют важнейшее значение с точки зрения прикладной теории графов. Две основные меры связности графа — вершинная к и рёберная Л. Вершинной связностью к графа О называется наименьшее число вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Рёберная связность Л графа О определяется как наименьшее количество рёбер, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу. Основные определения используются по работе [1].
Вершинная связность графа к, его рёберная связность Л и минимальная степень вершины 6 связаны неравенством Уитни [2]:
Теорема 1 [2]. Для любого графа О справедливо неравенство к ^ Л ^ 6. Результат теоремы является неулучшаемым:
Теорема 2 (Чартрэнд, Харари [3]). Для любых натуральных чисел а, Ь, с, таких, что а ^ Ь ^ с, существует граф О, у которого к = а, Л = Ь, с = 6.
Из доказательства теоремы 2 следует, что для любых а, Ь, с можно построить граф с числом вершин 2(с + 1) и числом рёбер с(с + 1) + Ь. Предлагается схема построения соответствующего графа: необходимо взять два полных графа Кс+1, в одном выбрать а вершин, в другом — Ь вершин и соединить выбранные вершины Ь рёбрами.
1 Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках выполнения государственного задания (проект №Е8КИ,-2020-0006).
