CC BY
11
корректирующие способности в среднем не должны быть слишком высокими, чтобы в большинстве случаев при декодировании не допустить исправления больше чем t + s ошибок. Рассмотрены теоретические возможности создания таких кодов. В частности, сделан первый шаг к выделению более сложной оценки мощности кода, учитывающей не только кодовое расстояние d = 2t + 1, но и ненулевую вероятность исправления кодом t + 1 ошибки.
Пусть C — двоичный (n, A(x) = {y E F£ : d(x, y) ^ min d(z,y)} -множе-
ство векторов булева куба, для которых x является ближайшим кодовым вектором; при каждом x определены множества B(x) С A(x) таким образом, что для любых различных x,x' множества B(x) и B(x') не пересекаются и выполняется (J B(x) = F^.
хес
Теорема 1. Пусть для любого кодового слова x двоичного (n, d)-кода C выполняется |B(x)| ^ í. Тогда |C| ^ 2n/í.
Теорема 2. Если n = 2m — 1, í = n + 1, то оценка теоремы 1 достигается на совершенных кодах. Если n = 2m — 1, m чётно, í = 1 + n + C2n + n(n + 3)/2, то оценка теоремы 1 достигается на кодах Препараты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hao F., Anderson R., and Daugman J. Combining Crypto with biometrics effectively // IEEE Trans. Comput. 2006. V.55. No. 9. P. 1081-1088.
УДК 519.1 DOI 10.17223/2226308X/11/33
О КОЛИЧЕСТВЕ АТТРАКТОРОВ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ОРИЕНТАЦИЙ ПОЛНЫХ ГРАФОВ
А. В. Жаркова
Рассматриваются конечные динамические системы ориентаций полных графов. Состояниями системы являются все возможные ориентации полного графа, а эволюционная функция задаётся так: динамическим образом орграфа является орграф, полученный из исходного путём переориентации всех дуг, входящих в стоки, других отличий между исходным орграфом и его образом нет. Подсчитывается количество аттракторов в системе, приводятся соответствующие таблицы для конечных динамических систем ориентаций полных графов с количеством вершин от двух до десяти включительно.
Ключевые слова: аттрактор, граф, конечная динамическая система, ориентация графа, полный граф, турнир, эволюционная функция.
Графовые модели, в которых отказы процессоров интерпретируются как удаление соответствующих вершин, а отказы сетевых каналов — как удаление дуг, занимают важное место в задачах, связанных с отказоустойчивостью компьютерных сетей. При изучении модельных графов можно применять идеи и методы теории конечных динамических систем, в частности динамических систем двоичных векторов [1, 2],— когда имеется естественная двоичная кодировка графов рассматриваемого класса. В модели [3] в качестве механизма восстановления работоспособности сети предлагается так называемая SER-динамика бесконтурных связных ориентированных графов. В настоящей работе полные графы изучаются с точки зрения динамического подхода к отказоустойчивости графовых систем.
Прикладная теория кодирования, автоматов и графов
107
Под ориентированным графом (орграфом) понимается пара О = (У,в), где V — конечное непустое множество (вершины орграфа); в С V х V — отношение на множестве V (пара (п,у) Е в называется дугой орграфа с началом и и концом V). Отношение в называют отношением смежности. Отсутствие петель (дуг с совпадающими началом и концом) в орграфе О = (V, в) означает антирефлексивность его отношения смежности в. Неориентированным графом (графом) называется пара О = (V, в), где в — симметричное и антирефлексивное отношение на множестве вершин V. Дуги неориентированного графа называют рёбрами. Орграф "0 = (V, в) называется направленным графом (диграфом), если отношение в антисимметрично. Пусть "0 = (V, в) —некоторый орграф, V Е V — одна из его вершин. Степенью исхода вершины V Е V называется число дуг орграфа О, имеющих своим началом V; степень захода вершины V —
это количество с1-(V) дуг, имеющих V своим концом. Граф называется полным, если любые две его вершины соединены ребром. Полный граф с п вершинами обозначается Кп. Маршрут, в котором никакая дуга не встречается более одного раза, называется путём. Путь, каждая вершина которого принадлежит не более чем двум его дугам, по определению является простым. Простой циклический путь в орграфе называется контуром. Турниром называется полный направленный граф [4].
Под конечной динамической системой понимается пара (Б, 8), где 5 — конечное непустое множество, элементы которого называются состояниями системы; 8: БоБ — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Таким образом, каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой орграф с множеством вершин Б и дугами, проведёнными из каждой вершины в Е Б в вершину 8(в). Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры, в свою очередь, называются предельными циклами, или аттракторами. Под длиной аттрактора понимается количество образующих его (принадлежащих ему) состояний.
Основными проблемами теории конечных динамических систем являются задачи отыскания эволюционных параметров системы без проведения динамики. К их числу относится описание аттракторов системы, определение их количества. Автором написаны программы для ЭВМ, позволяющие вычислять различные параметры конечных динамических систем, ассоциированных с некоторыми типами графов [5]. Описаны аттракторы конечных динамических систем ориентаций некоторых типов графов [6, 7]). В данной работе подсчитывается количество аттракторов в конечных динамических системах ориентаций полных графов.
Пусть дан полный граф О = (V, в), V = (VI,V2,...,vn}, п > 1, т = п(п — 1)/2 — число рёбер. Придадим рёбрам произвольную ориентацию, тем самым получив направленный граф (турнир) 00 = (V, в), где отношение смежности в антирефлексивно и антисимметрично. Применим к полученному орграфу эволюционную функцию а, которая у данного орграфа одновременно переориентирует все дуги, входящие в стоки (вершины с нулевой степенью исхода), а остальные дуги оставляет без изменения, в результате получим орграф а ("О). Если проделать указанные действия со всеми возможными ориентациями данного графа, то получим карту данной динамической системы, состоящую из одного или нескольких бассейнов.
Таким образом, будем рассматривать конечную динамическую систему (Гкп, а), п > 1, где Гкп — множество всех возможных ориентаций полного графа Кп, |Гкп | = 2т. На рис. 1 изображена карта конечной динамической системы (Гк3, а).
А
А-
Рис. 1. Карта конечной динамической системы (Гк3, а)
В [3] рассматривается конечная динамическая система (П,а), где П — множество всех бесконтурных ориентаций данного графа, и замечается, что для полного графа существует п! бесконтурных ориентаций, где п! — количество перестановок его вершин, при этом система имеет (п — 1)! бассейнов, каждый из которых состоит исключительно из аттрактора длины п.
Теорема 1. В конечной динамической системе (Гкп, а), п > 1, количество аттракторов длины 1 равно
2(„_1)(„_2)/2(2П-1 — п).
Теорема 2. В конечной динамической системе (Гкп, а), п > 1, количество аттракторов длины п равно (п — 1)! .
Теорема 3. В конечной динамической системе (Гкп,а), п > 1, количество аттракторов (бассейнов) равно
2(п_1)(п_2)/2(2п-1 — п) + (п — 1)!.
Например, в конечной динамической системе (Гк3, а) (рис.1) 4 аттрактора (бассейна): два аттрактора длины 1 и два аттрактора длины 3.
В таблице приведены данные по количеству аттракторов в конечных динамических системах (Гкп, а) для 1 < п < 11, полученные с помощью вычислительных экспериментов.
п Количество аттракторов (бассейнов) Длины 1 Длины п
2 1 0 1
3 4 2 2
4 38 32 6
5 728 704 24
6 26744 26624 120
7 1868496 1867776 720
8 251663280 251658240 5040
9 66303597952 66303557632 40320
10 34497177684352 34497177321472 362880
Можно заметить, что при увеличении п количество аттракторов длины 1 в конечных динамических системах (Гкп, а) начинает составлять абсолютное большинство по сравнению с аттракторами длины п.
Прикладная теория кодирования, автоматов и графов
1G9
ЛИТЕРАТУРА
1. Colon-Reyes O., Laubenbacher R., and Pareigis B. Boolean monomial dynamical systems // Ann. Combinatorics. 2004. V. 8. P. 425-439.
2. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем // Вестник Томского госу-дарствеthereнного университета. Приложение. 2005. №14. С. 23-26.
3. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. London: Chapman&Hall/CRC, 2001.
4. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997.
5. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009614409, выданное Роспатентом. Заявка №2009613140. Дата поступления 22 июня 2009 г. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20 августа 2009 г.
6. Жаркова А. В. Аттракторы в конечных динамических системах двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм // Прикладная дискретная математика. 2014. №3(25). С. 58-67.
7. Жаркова А. В. Об аттракторах в конечных динамических системах ориентаций полных графов // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2016. №9. С. 112-114.
УДК 519.17 DOI 10.17223/2226308X/11/34
О МИНИМАЛЬНОМ РЁБЕРНОМ l-РАСШИРЕНИИ ГИПЕРКУБА
А. А. Лобов, М. Б. Абросимов
Граф G* с n вершинами называется минимальным рёберным k-расширением n-вершинного графа G, если G вкладывается в каждый граф, получающийся из G* удалением любых его k рёбер, и G* имеет при этом минимально возможное число рёбер. Гиперкуб Qn — это регулярный 2п-вершинный граф порядка n, представляющий собой декартово произведение n полных 2-вершинных графов K2. Предлагается семейство графов Qn, представители которого при n > 1 являются минимальными рёберными 1-расширениями соответствующих гиперкубов. Вычислительный эксперимент показывает, что при n ^ 4 эти расширения являются единственными с точностью до изоморфизма.
Ключевые слова: граф, гиперкуб, рёберная отказоустойчивость, минимальное рёберное Ï-расширение.
Введение
Определение 1. Декартовым произведением G1 x G2 двух графов G1 = (V1,a1) и G2 = (V2,a2) называется граф G = (V, a), такой, что V = V1 x V2, вершины (u1,u2) и (v1,v2) смежны в G тогда и только тогда, когда либо u1 = v1 и u2,v2 смежны в G2, либо u2 = v2 и u1 , v1 смежны в G1 .
Определение 2. Гиперкубом Qn (n-кубом) называется граф, являющийся декартовым произведением n полных 2-вершинных графов K2.
Можно дать рекурсивное определение: одномерным гиперкубом Q1 назовём граф K2; n-мерным гиперкубом при n > l будем называть граф Qn = K2 x Qn-1, n > l.
Гиперкуб Qn — это регулярный 2п-вершинный граф порядка n. Семейство гиперкубов достаточно хорошо изучено [l].
