CC BY
19
ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА
2015
Прикладная теория графов
№ 3(29)
ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФОВ
УДК 519.1
КОЛИЧЕСТВО НЕДОСТИЖИМЫХ СОСТОЯНИЙ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ДВОИЧНЫХ ВЕКТОРОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ОРИЕНТАЦИЯМИ ПАЛЬМ
А. В. Жаркова
Саратовский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, г. Саратов,
Россия
Рассматриваются конечные динамические системы двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм. Данной системе изоморфна конечная динамическая система (Bs+c, y), s > 0, c > 1, состояниями которой являются все возможные двоичные векторы размерности s + c. Приведены формулы для подсчёта количества недостижимых и, как следствие, количества достижимых состояний в рассматриваемых динамических системах, представлены соответствующие статистические таблицы для систем с различными параметрами s и с.
Ключевые слова: конечная динамическая система, недостижимое состояние, пальма, сверхстройное (звездообразное) дерево.
DOI 10.17223/20710410/29/5
NUMBER OF INACCESSIBLE STATES IN FINITE DYNAMIC SYSTEMS OF BINARY VECTORS ASSOCIATED WITH PALMS ORIENTATIONS
A. V. Zharkova
Saratov State University, Saratov, Russia E-mail: [email protected]
Finite dynamic systems of binary vectors associated with palms orientations are considered. A palm is a tree which is a union of paths having a common end vertex and all these paths, except perhaps one, have the length 1. States of a dynamic system (Ps+c, y), s > 0, c > 1, are all possible orientations of a palm with trunk length s and leafs number c, and evolutionary function y transforms the given palm orientations by reversing all arcs that enter into sinks. The following formula for the number of inaccessible states in the considered dynamic systems is proved:
[(s-x)/4]
2s+c-2s-2s-3 + Q(-1)-2Q(1)+Q(3), where ОД = £ (—1)i+1 -2s-x-4i■Cis-x-3i.
i= 1
As a corollary, the number of accessible states equals 2s + 2s-3 — Q(—1) +2Q(1) — Q(3).
The corresponding statistical tables for systems with different parameters s and c are given.
Keywords: finite dynamic system, inaccessible state, palm, starlike tree.
64
А. В. Жаркова
Введение
Графовые модели, в которых отказы процессоров интерпретируются как удаление соответствующих вершин, а отказы сетевых каналов — как удаление дуг, занимают важное место в задачах, связанных с отказоустойчивостью компьютерных сетей. Здесь можно выделить следующие три основные конструкции, получившие и самостоятельное значение в теории графов: минимальное расширение графа [1, 2], Т-неприводимое расширение графа [3], бесконтурный граф с заданной структурой источников и стоков [4]. В модели [4] в качестве механизма восстановления работоспособности сети предлагается так называемая SER-динамика бесконтурных связных ориентированных графов. Это позволяет использовать при изучении модельных графов идеи и методы теории конечных динамических систем и, в частности, динамических систем двоичных векторов (см., например, [5, 6]) — когда имеется естественная двоичная кодировка графов рассматриваемого класса. В указанных работах по отказоустойчивости графовых систем основные результаты получены для систем, в основе которых лежат цепи, циклы и частные типы деревьев. К числу деревьев, для которых найдено описание как минимальных, так и Т-неприводимых расширений, относятся пальмы [2, 3]. Дерево называется пальмой, если оно является объединением цепей, имеющих общую концевую вершину, причём все эти цепи, за исключением, быть может, одной, имеют длину 1. Пальма является частным случаем сверхстройного (звездообразного) дерева (дерево, в котором в точности одна вершина имеет степень больше 2). В настоящей работе пальмы изучаются с точки зрения динамического подхода к отказоустойчивости графовых систем.
Под конечной динамической системой понимается пара (S, 4), где S — конечное непустое множество, элементы которого называются состояниями системы; 4 : S ^ S — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Таким образом, каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой орграф с множеством вершин S и дугами, проведёнными из каждой вершины s Е S в вершину 4(s). Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Получается, что каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры, в свою очередь, называются предельными циклами или аттракторами.
Основными проблемами теории конечных динамических систем являются задачи отыскания эволюционных параметров без проведения динамики. К их числу относятся ветвление (количество непосредственных предшественников данного состояния) и, в частности, свойство недостижимости состояния (то есть когда состояние имеет нулевое ветвление). Автором составлены программы для ЭВМ, позволяющие вычислять различные параметры динамических систем двоичных векторов, ассоциированных с некоторыми типами графов, в частности [7]; описаны недостижимые состояния конечных динамических систем двоичных векторов, ассоциированных с графами [8]; подсчитаны количества недостижимых состояний в системах, связанных с ориентациями цепей и циклов [9].
В данной работе предлагается формула для подсчёта количества недостижимых состояний в конечных динамических системах двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм.
1. Описание динамической системы
Пусть пальма р образована объединением цепей р0, pi, ..., pc, имеющих общую концевую вершину. Будем считать, что р0 имеет среди этих цепей максимальную дли-
Количество недостижимых состояний в динамических системах ориентаций пальм 65
ну s ^ 1. Назовём р0 стволом пальмы р, цепи p\, р2, , pc, имеющие длину 1, — её
листьями, а их совокупность — кроной. Будем говорить, что р является пальмой типа (s,c). Пальма с точностью до изоморфизма определяется своим типом. При c = 1 пальма вырождается в цепь (см., например, [6, 9]), поэтому далее не будем рассматривать этот случай, считая c > 1.
Пусть имеется пальма р типа (s, c), s + c = n. Перенумеруем рёбра пальмы р, как показано на рис. 1.
Рис. 1. Нумерация рёбер пальмы
Придадим каждому ребру пальмы произвольную ориентацию и сопоставим полученному ориентированному графу р n-мерный двоичный вектор v(p), полагая его i-ю компоненту равной 1, если i-е ребро пальмы р ориентировано от корня (начальной вершины ствола), и 0 — в противном случае. Теперь можно последовательно выписать получившуюся последовательность из нулей и единиц: v = vi... vs.vs+1... vs+c, где vi, 0 < i ^ s + c, принимает значение 0 или 1 в зависимости от ориентации i-го ребра пальмы (для упрощения будем работать с двоичным вектором именно в такой записи). Таким образом, каждой ориентации пальмы типа (s,c) сопоставляется n-мерный двоичный вектор, где n = s + c. В свою очередь, каждый такой вектор v = v1... vs.vs+1... vs+c однозначно определяет некоторую ориентацию пальмы р^) типа (s,c). Таким образом, между множеством Ps+c, s > 0, c > 1, всевозможных ориентированных пальм типа (s, c) указанного вида и множеством Bs+c, s > 0, c > 1, всех двоичных векторов размерности n = s + c указанного вида устанавливается взаимно однозначное соответствие. В дальнейшем ориентации пальмы для простоты также будем называть пальмами, часть v1... vs вектора v будем называть стволом вектора v, а vs+1... vs+c — его кроной.
Опишем конечную динамическую систему ориентаций (s, c)-пальмы р на языке двоичных векторов. Пусть состоянием динамической системы в данный момент времени является вектор v = v1... vs.vs+1... vs+c E Bs+c. Тогда в следующий момент времени она окажется в состоянии 7(v) = vs, полученном путём одновременного применения следующих правил:
1) если v1 = 0, то v( = 1;
2) если vi = 1 и vi+1 = 0 для некоторого 0 < i < s, то vi = 0 и vi+1 = 1;
3) если vi = 1 для некоторого s < i ^ s + c, то vi = 0;
4) если vs = 1 и vi = 0 для всех s < i ^ s + c, то v's = 0 и vi = 1 для всех s < i ^ s + c;
5) других отличий между v и у(v) нет.
66
А. В. Жаркова
Например, на рис. 2 показана эволюция вектора 011.11 в динамической системе (B 3+2,у).
011.i1
> 111.00
> 110.i1
101.00 ^
-Y3H
010.11
Рис. 2. Эволюция состояния 011.11 в динамической системе (B3+2,y)
Пусть теперь имеется n-рёберная (s, c)-пальма. На языке ориентаций пальм эволюция динамической системы вводится следующим образом: если дана некоторая ориентированная пальма р Е Ps+c, то её динамическим образом у(р) является пальма, получаемая из р одновременным превращением всех стоков в источники. Напомним, что стоком в ориентированном графе называется вершина с нулевой степенью исхода, а источником — вершина с нулевой степенью захода. Это частный случай динамики бесконтурных связных ориентированных графов, введённой в [4]. Преобразования ориентаций пальм в динамической системе (Ps+c, Y), s > 0, c > 1, соответствуют эволюционным преобразованиям соотносимых им двоичных векторов в динамической системе (Bs+c,Y), s > 0, c > 1, и обратно, а именно v(j(р)) = у(v(p)) [10]. Таким образом, динамические системы (Bs+c, у) и (Ps+c, у), s > 0, c > 1, изоморфны. Например, на рис. 3 изображены карты изоморфных динамических систем (B1+2, у) и (P1+2, у).
а б
Рис. 3. Карты динамических систем: a — (B1+2, у); б — (P1+2, y)
2. Недостижимые состояния динамической системы (Bs+c, у)
Состояния, обладающие свойством недостижимости, будем назвать недостижимыми, в ином случае — достижимыми.
В работе [8] получены следующие свойства недостижимости состояний динамической системы (Bs+c,у), s > 0, c > 1.
Количество недостижимых состояний в динамических системах ориентаций пальм 67
Теорема 1 [8]. Состояние v = v1... vs.vs+\... vs+c динамической системы (Bs+c, 7), s > 0, c > 1, недостижимо тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий:
1) viv2 = 00;
2) vivi+1 vi+2vi+3 = 1100 для некоторого 0 < i < s — 1;
3) среди последних c компонент имеются различные;
4) vs = vs+1 = ... = vs+c = 1.
С помощью программы [7] получены данные по количеству недостижимых состояний (КНС) в динамической системе (Bs+c, 7), представленные для 0 < s < 8, 1 <c< 8 в табл. 1.
Таблица 1
Количество недостижимых состояний в системах (Bs+c, 7), 0 < s < 8, 1 <c< 8
s c
2 3 4 5 6 7
1 6 14 30 62 126 254
2 12 28 60 124 252 508
3 24 56 120 248 504 1 016
4 50 114 242 498 1 010 2 034
5 102 230 486 998 2 022 4 070
6 208 464 976 2 000 4 048 8 144
7 424 936 1 960 4 008 8 104 16 296
Выведем формулу для вычисления количества недостижимых состояний в динамической системе (Bs+c, 7), s > 0, c > 1.
Напомним формулу включений и исключений из комбинаторики, которая понадобится. Пусть даны непустые множества A1, A2, ... , Am. Обозначим через k(A) количество элементов, принадлежащих множеству A. Тогда количество различных элементов в объединении множеств A1, A2, ... , Am подсчитывается по формуле
k(Ai U A2 U ... U Am) = k(Ai) + k(A2) + ... + k(Am) — k(Ai П A2) — k(Ai П A3) —
— ... — k(Ai П Am) — k(A2 П A3) — ... — k(A2 П Am) — ... — k(Am-1 П Am)+ (1)
+k(Ai П A2 П A3) + ...;
если число пересекающихся множеств нечетно, то слагаемое входит со знаком плюс, если чётно — со знаком минус.
Теорема 2. Количество недостижимых состояний в динамической системе (Bs+c, 7), s > 0, c > 1, равно
KHC(s+c,7) = 2s+c — 2s — 2s-3 + n(—1) — 2П(1) + ВД,
где
[(s-x)/4]
ВД = E (—1)i+1 ■ 2s-x-4i ■ C“-,-3i, (2)
i= 1
причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то соответствующие выражения принимают значение 0.
68
А. В. Жаркова
Доказательство. В соответствии с видом недостижимых состояний обозначим множество недостижимых состояний, у которых v\v2 = 00, через A; у которых ViVi+iVi+2Vi+3 = 1100 для некоторого i, 0 < i < s — 1, — через B; у которых среди последних c компонент имеются различные — через C; у которых vs = vs+l = ... = vs+e =1 — через D. Подсчитаем общее количество недостижимых состояний в системе, для чего применим формулу включений и исключений (1). Получим, что
KHC(s+C)7) = k(A U B U C U D) = k(A) + k(B) + k(C) + k(D) — k(A П B) —
—k(A П C) — k(A П D) — k(B П C) — k(B П D) — k(C П D) + k(A П B П C)+
+k(A n B П D) + k(A n C n D) + k(B П C П D) — k(A П B П C П D) = (3)
= k(A) + k(B) + k(C) + k(D) — k(A n B) — k(A n C) — k(A n D) — k(B n C) — —k(B n D) + k(A n B n C) + k(A n B n D).
1. Подсчитаем k(A). Для состояний, у которых vlv2 = 00, получается, что две начальные компоненты зарезервированы, а остальные компоненты занимают s + c — 2 позиции и принимают значения 0 или 1. Таким образом, k(A) = 2s+c-2.
2. Подсчитаем k(B). Рассмотрим подробно первые s + 1 компонент состояния, при этом заметим, что остальные c — 1 компонент состояния могут принимать значения 0 или 1, то есть k(B) = 2е-1 • kl(B). В данном случае может присутствовать от одной до [(s + 1)/4] тетраграмм 1100 включительно. Обозначим количество этих тетраграмм через l. Компоненты, занимаемые тетраграммами, зарезервированы, а остальные занимают s + 1 — 4/ позиций и принимают значения 0 или 1. При этом эти l тетраграмм могут занимать различные позиции в состоянии и их количество определяется при помощи формулы числа сочетаний: CS+l_4i+i = CS+l_3i. Но при рассмотрении состояний, содержащих l + 1 тетраграмм, некоторые тетраграммы уже были учтены, поэтому, применив формулу включений и исключений (1), получим
kl(B) = k(Bll00(l)) — k(Bll00(2)) + k(Bll00(3)) — . . .
и так далее до [(s+1)/4]-го слагаемого включительно, где Bll00(x) — множество недостижимых состояний, имеющих в составе рассматриваемых компонент x тетраграмм 1100. Тогда
kl(B)
r)S+l-4 /~yI __ r>s+l-8 /~у2
2 • Cs+l-3 2 • Cs+l-6
+ 2s+1-12 • C3
s+l-9
и так далее до [(s + 1)/4]-го слагаемого включительно. В итоге получается, что
k(B) = 2е-1
[(s+l)/4]
Е
(—1)i+l • 2s+l
-4i
i=l
Ci .
Cs+l-3r
3. Подсчитаем k(C). Для этого нужно исключить состояния, в кроне которых имеются только одинаковые компоненты, то есть имеем k(C) = 2s(2e — 2).
4. Подсчитаем k(D). Для состояний, у которых vs = vs+l = ... = vs+e = 1, получается, что c +1 компонент зарезервированы, а остальные компоненты занимают s — 1 позиций и принимают значения 0 или 1. Таким образом, k(D) = 2s-1.
5. Подсчитаем k(A n B). Для состояний, которые имеют в своём составе одновременно начальную биграмму 00 и у которых vivi+lvi+2vi+3 = 1100 для некоторого i, 0 < i < s — 1, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 2, только тут ещё постоянно зарезервированы первые две компоненты. Таким образом,
[(s-l)/4]
k(A n B) = 2с-1 £ (—1)i+l • 2s-l-4i • Cs-l-3i.
i=l
Количество недостижимых состояний в динамических системах ориентаций пальм 69
6. Подсчитаем k(A П C). Для состояний, у которых v\v2 = 00 и среди последних c компонент имеются различные, рассмотрим два случая:
а) s = 1. Получаем, что две первые компоненты состояния постоянно зарезервированы, а остальные компоненты принимают значения 0 или 1, однако нужно исключить ещё состояния, в стволе которых имеются только одинаковые компоненты. Так как v2 = 0, нужно исключить единственное состояние, у которого vi = 0 для 0 < i ^ s + c. Таким образом, k(A П C) = 2s+c-2 — 1.
б) s > 1. Получаем, что две первые компоненты ствола состояния постоянно зарезервированы, а остальные компоненты принимают значения 0 или 1, однако нужно исключить ещё состояния, в кроне которых имеются только одинаковые компоненты. Таким образом, k(A П C) = 2s-2(2c — 2) = 2s+c-2 — 2s-1.
В общем случае имеем k(A П C) = 2s+c-2 — 2s-1.
7. Подсчитаем k(A П D). Для состояний, у которых v1v2 = 00 и vs = vs+1 = ... = = vs+c = 1, обязательно будет s > 2, при этом три компоненты ствола и все компоненты кроны зарезервированы, а остальные принимают значения 0 или 1. Тогда k(A П D) = = 2s-3.
8. Подсчитаем k(B П C). Для состояний, у которых vivi+1vi+2vi+3 = 1100 для некоторого i, 0 < i < s — 1, и у которых среди последних c компонент имеются различные, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 2, при этом компоненты кроны принимают значения 0 или 1, однако нужно учесть случай, когда в кроне все компоненты одинаковы. Таким образом,
[(s+1)/4]
k(B П C) = (2c-1 — 1) Е (—1)i+1 ■ 2s+1-4i ■ Ci+1_3i.
i= 1
9. Подсчитаем k(B П D). Для состояний, у которых vivi+1vi+2vi+3 = 1100 для некоторого i, 0 <i<s — 1, и vs = vs+1 = ... = vs+c = 1, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 2, при этом последние c +1 компоненты зарезервированы. Таким образом,
[(s-1)/4]
k(B П D)= Е (—1)i+1 ■ 2s-1-4i ■ Cj-j-ai.
i=1
10. Подсчитаем k(A П B П C). Для состояний, у которых v1v2 = 00, vivi+1vi+2vi+3 = = 1100 для некоторого i, 0 <i<s — 1, и у которых среди последних c компонент имеются различные, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 8, при этом первые две компоненты зарезервированы. Таким образом,
[(s-1)/4]
k(A П B П C) = (2c-1 — 1) Е (—1)i+1 ■ 2s-1-4i ■ Cs-1-3i.
i=1
11. Подсчитаем k(A П B П D). Для состояний, у которых v1v2 = 00, vivi+1vi+2vi+3 = = 1100 для некоторого i, 0 <i<s — 1, и vs = vs+1 = ... = vs+c = 1, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 9, при этом первые две компоненты зарезервированы. Таким образом,
[(s-3)/4]
k(A П B П D)= E (—1)i+1 ■ 2s-3-4i ■ C^-sii
i=1
70
А. В. Жаркова
Подставляя полученные выражения в формулу (3) и используя введённую функцию 0(x) (2), имеем
КНС(,+С;7) = 2s+c-2 + 2c-1 0(-1) + 2s(2c - 2) + 2s-1 - 2c-10(1) - 2s+c-2+
+2s-1 - 2s-3 - (2c-1 - 1)0(-1) - 0(1) + (2c-1 - 1)0(1) + 0(3).
После приведения подобных слагаемых в итоге имеем, что количество недостижимых состояний в динамической системе (Bs+c,y), ассоциированной с (s, c)-пальмой, s > 0, c > 1, равно
КНС(8+С,Т) = 2s+c - 2s - 2s-3 + 0(-1) - 20(1) + 0(3),
причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то это значит, что при таких размерностях s и c просто не возникает подобных ситуаций, и эти выражения принимают значение 0. ■
В табл. 2 приведены данные по количеству недостижимых состояний в динамических системах (Bs+c, 7) для различных s и с, полученные с помощью вычислительных экспериментов.
Таблица 2
Количество недостижимых состояний в системе (Bs+c, 7)
s c
2 3 18 35
8 862 1886 67108702 8796093022046
9 1750 3798 134217430 17592186044118
10 3548 7644 268434908 35184372088284
11 7184 15376 536869904 70368744176656
12 14530 30914 1073739970 140737488353474
13 29358 62126 2147480238 281474976707246
14 59264 124800 4294961024 562949953415040
15 119536 250608 8589923056 1125899906831088
16 240926 503070 17179847966 2251799813664030
17 485262 1009550 34359699342 4503599627331470
18 976796 2025372 68719404956 9007199254669212
19 1965128 4062280 137438821448 18014398509349960
20 3951474 8145778 274877664114 36028797018721138
27 519578784 1056449696 35184354796704 4611686018410095776
35 135174079768 272613033240 9007196989867288 1180591620715146429720
Следствие 1. Количество достижимых состояний в динамической системе (Bs+c, 7), s > 0, с > 1, равно
КДС^) = 2s + 2s-3 - 0(-1) + 20(1) - 0(3),
где 0(x) задаётся формулой (2), причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то соответствующие выражения принимают значение 0.
Согласно следствию 1, количество достижимых состояний в динамических системах (Bs+c, 7), s > 0, с > 1, не зависит от с; таким образом, в данных системах при равенстве s совпадает и количество достижимых состояний.
В табл. 3 приведены данные по количеству достижимых состояний (КДС) в динамических системах (B s+c, 7) для 0 < s < 41 и с> 1, полученные с помощью вычислительных экспериментов.
Количество недостижимых состояний в динамических системах ориентаций пальм 71
Таблица 3
Количество достижимых состояний в системах (Bs+C, 7),
0 < s < 41, c > 1
s КДС(^) s КДС(^) s КДС(^) s КД^ + сл)
1 2 11 1008 21 446634 31 197900192
2 4 12 1854 22 821488 32 363995202
3 8 13 3410 23 1510952 33 669491554
4 14 14 6272 24 2779074 34 1231386948
5 26 15 11536 25 5111514 35 2264873704
6 48 16 21218 26 9401540 36 4165752206
7 88 17 39026 27 17292128 37 7662012858
8 162 18 71780 28 31805182 38 14092638768
9 298 19 132024 29 58498850 39 25920403832
10 548 20 242830 30 107596160 40 47675055458
3. Дополнительные замечания
Рассмотрев последовательности для количества достижимых состояний в динамических системах (Bs+c, 7), 0 < s < 41, c > 1, введём функцию
/(k) = Е /(k - i), k > 3; /(1) = 2, /(2) = 4, /(3) = 8. (4)
i=1
Первые 40 элементов рассматриваемой последовательности вычисляются с помощью рекуррентной формулы (4). Если эта закономерность распространяется на всю последовательность, то количество недостижимых состояний динамической системы (Bs+c, 7), s > 0, c > 1, можно подсчитать с помощью рекуррентного соотношения (4) по формуле
КНС7+с,7) = 2s+c - /(s).
Заметим, что соответствующие последовательности для количества достижимых состояний динамических систем (B s+c, 7), 0 <s< 41, c> 1, и для количества достижимых состояний динамических систем (Bn, 8) [9], 1 < n < 42, совпадают.
В онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей присутствует последовательность A135491 [11]: «2, 4, 8, 14, ..., 2264873704», элементы которой получаются по формуле a(k) = a(k — 1) + a(k — 2) + a(k — 3) для 3 < k < 36 при a(1) = 2, а(2) = 4, а(3) = 8. Данная последовательность связана с задачей о бросании монеты [12] и подсчитывает количество способов подбросить монету k раз так, чтобы в результате в последовательности исходов не было четырёх подряд стоящих одинаковых исходов. Последовательность A135491 совпадает с последовательностями достижимых состояний в системах (Bs+C, 7) с 1 по 35 элемент (именно столько элементов приведено в онлайн-энциклопедии).
Проанализировав последовательность недостижимых состояний для 0 < s < 41 и 1 < c < 41, можно также заметить, что
KHC(s+c,7) = 2s+c-3 + £ KHC(s+c-i,7)
i= 1
при соответствующих начальных значениях.
72
А. В. Жаркова
Заключение
В работе получены формулы для подсчёта количества недостижимых и, как следствие, количества достижимых состояний в конечных динамических системах двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм, приведены различные статистические данные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Hayes J.P. A graph model for fault-tolerant computing system // IEEE Trans. Comput. 1976. V.C25. No. 9. P.875-884.
2. Абросимов М. Б. Графовые модели отказоустойчивости. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та,
2012. 192с.
3. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов // Теоретические проблемы информатики и ее приложений. 2004. Вып.6. С. 113-125.
4. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. Boca Raton: Chapman&Hall/CRC, 2001. 385 p.
5. Colon-Reyes O., Laubenbacher R., and Pareigis B. Boolean monomial dynamical systems // Ann. Combinatorics. 2004. V. 8. P. 425-439.
6. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2005. № 14. С. 23-26.
7. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2009614409, выданное Роспатентом. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20 августа 2009 г.
8. Жаркова А. В. Аттракторы в конечных динамических системах двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм // Прикладная дискретная математика. 2014. №3(25). С. 58-67.
9. Жаркова А. В. Недостижимые состояния в динамических системах, ассоциированных с цепями и циклами // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2011. Т. 11. Сер. Математика. Механика. Информатика. Вып.4. С. 116-123.
10. Власова А. В. Динамические системы, определяемые пальмами // Компьютерные науки и информационные технологии: Материалы Междунар. науч. конф. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2009. С. 57-60.
11. https://oeis.org/A135491 — Sequence A135491. Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей. Дата обращения: 04.08.2015.
12. http://mathworld.wolfram.com/CoinTossing.html — Coin tossing. Wolfram MathWorld: the web’s most extensive mathematical resource. Дата обращения: 04.08.2015.
REFERENCES
1. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing system. IEEE Trans. Comput., 1976, vol. C25, no. 9, pp. 875-884.
2. Abrosimov M. B. Grafovye modeli otkazoustoychivosti [Graph Models for Fault-Tolerance]. Saratov, SSU Publ., 2012. 192 p. (in Russian)
3. Kurnosova S. G. T-neprivodimye rasshireniya dlya nekotorykh klassov grafov [T-irreducible extensions of some classes of graphs]. Teoreticheskie problemy informatiki i ee prilozheniy, 2004, iss.6, pp. 113-125. (in Russian)
4. Barbosa V. C. An Atlas of Edge-Reversal Dynamics. Boca Raton: Chapman&Hall/CRC, 2001. 385 p.
Количество недостижимых состояний в динамических системах ориентаций пальм 73
5. Colon-Reyes O., Laubenbacher R., and Pareigis B. Boolean monomial dynamical systems. Ann. Combinatorics, 2004, vol. 8, pp. 425-439.
6. Salii V. N. Ob odnom klasse konechnykh dinamicheskikh sistem [On a class of finite dynamic systems]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Prilozhenie, 2005, no. 14, pp. 23-
26. (in Russian)
7. Vlasova A. V. Issledovanie evolyutsionnykh parametrov v dinamicheskikh sistemakh dvoichnykh vektorov [The study of evolutionary parameters in dynamic systems of binary vectors]. Certificate of state registration of the computer program No. 2009614409, 20 august
2009. (in Russian)
8. Zharkova A. V. Attraktory v konechnykh dinamicheskikh sistemakh dvoichnykh vektorov, assotsiirovannykh s orientatsiyami pal’m [Attractors in finite dynamic systems of binary vectors associated with palms orientations]. Prikladnaya diskretnaya matematika, 2014, no. 3(25), pp. 58-67. (in Russian)
9. Zharkova A. V. Nedostizhimye sostoyaniya v dinamicheskikh sistemakh, assotsiirovannykh s tsepyami i tsiklami [Inaccessible states in dynamic systems associated with paths and cycles]. Izv. Sarat. un-ta. Nov. ser., 2011, vol. 11. Ser. Matematika. Mekhanika. Informatika, vyp. 4, pp. 116-123. (in Russian)
10. Vlasova A. V. Dinamicheskie sistemy, opredelyaemye pal’mami [Dynamic systems defined by palm trees]. Komp’yuternye nauki i informatsionnye tekhnologii: Materialy Mezhdunar. nauch. konf. Saratov, SSU Publ., 2009. pp. 57-60. (in Russian)
11. https://oeis.org/A135491 — Sequence A135491. The online encyclopedia of integer sequences. Date use: 04.08.2015.
12. http://mathworld.wolfram.com/CoinTossing.html — Coin tossing. Wolfram MathWorld: the web’s most extensive mathematical resource. Date use: 04.08.2015.
