Недостижимые состояния в динамических системах, ассоциированных с цепями и циклами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИНФОРМАТИКА

УДК 519.1

НЕДОСТИЖИМЫЕ СОСТОЯНИЯ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ЦЕПЯМИ И ЦИКЛАМИ

А. В. Жаркова

Саратовский государственный университет,

кафедра теоретических основ компьютерной безопасности и криптографии E-mail: VAnastasiyaV@gmail.com

Приводятся формулы для подсчета количества недостижимых состояний в динамических системах, образованных двоичными векторами, кодирующими ориентации цепей и циклов.

Ключевые слова: динамическая система, эволюционная функция, недостижимое состояние, ветвление.

Inaccesible States in Dynamic Systems Associated with Paths and Cycles A. V. Zharkova

Saratov State University,

Chair of the Theoretical Foundations of Computer Security and Cryptography E-mail: VAnastasiyaV@gmail.com

Formulas are derived for calculation of the number of inaccesible states in dynamic systems formed by binary vectors encoding orientations of paths and cycles.

Key words: dynamic system, evolutionary function, inaccesible state, branching. ВВЕДЕНИЕ

Под конечной динамической системой понимается пара (S, 6), где S - конечное непустое множество, элементы которого называются состояниями системы, 6: S ^ S - отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы.

Конечной динамической системе сопоставляется карта - граф с множеством вершин S и дугами, проведенными из каждой вершины s е S в вершину 6(s). Этот граф является функциональным, т.е. из каждой вершины выходит точно одна дуга. Компоненты связности графа, задающего динамическую систему, называются её бассейнами. Каждый бассейн представляет собой контур с входящими в него деревьями. Контуры называются предельными циклами, или аттракторами.

В работе [1] рассматривается SER-динамика бесконтурных графов, где каждое следующее состояние получается из предыдущего путем переориентации всех дуг, входящих в стоки (вершины, имеющие нулевую степень исхода). Эта динамика используется в задачах об отказоустойчивости компьютерных сетей, моделируемых бесконтурными графами. При изучении модельных графов можно использовать идеи и методы теории динамических систем двоичных векторов (см., например, [2, 3]), когда имеется естественная двоичная кодировка графов рассматриваемого класса.

Одними из основных характеристик состояний динамической системы являются ветвление — количество непосредственных пред-

шественников данного состояния, и недостижимость - свойство состояний, имеющих нулевое ветвление (они называются также начальными состояниями системы). Программа [4] предназначена для исследования эволюционных параметров состояний в динамических системах, состояниями которых являются двоичные векторы, представляющие некоторые типы графов.

В настоящей работе предлагаются формулы для подсчёта количества недостижимых состояний в динамических системах двоичных векторов, связанных с такими графами, как цепи и циклы.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Источником в графе называется вершина, имеющая нулевую степень захода. Множество источников бесконтурного ориентированного графа будем называть допустимым, если из него в каждый сток этого графа есть дуга.

В работе [1] вводится ББК-динамика бесконтурных ориентаций заданного графа, где каждое следующее состояние (бесконтурный граф) получается из предыдущего путем переориентации всех дуг, входящих в стоки.

В работах автора [5, 6] доказывается следующая теорема о ветвлении состояний в таких динамических системах.

Теорема 1. Ветвление данного состояния в динамической системы, ассоциированной с графом, равно количеству допустимых множеств источников в графе, представляющем состояние в.

Из данной теоремы можно заключить, какие же состояния являются недостижимыми.

Следствие 1. Состояние в динамической системы, ассоциированной с графом, недостижимо тогда и только тогда, когда нет ни одного допустимого множества источников в графе, представляющем состояние в, или, другими словами, когда существует хотя бы один сток, не соседствующий с источниками.

Напомним формулу включений и исключений из комбинаторики, которая нам понадобится. Пусть даны непустые множества Л\, А2, ..., Ат. Обозначим через к(А) количество элементов, принадлежащих множеству А. Тогда количество различных элементов в объединении множеств А\, А2, ..., Ат подсчитывается по формуле

если число пересекающихся множеств нечетно, то слагаемое входит со знаком «+», если четно — со знаком «—».

2. КОЛИЧЕСТВО НЕДОСТИЖИМЫХ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ЦЕПЯМИ

Через Bn, п>0, обозначим множество всех двоичных векторов размерности п. Эволюционная функция ö задается на Bn следующим образом. Пусть состоянием динамической системы в данный момент времени является вектор v е Bn. Тогда в следующий момент времени она окажется в состоянии ö(v), полученном путем одновременного применения правил:

I) если первой компонентой в v является 0, то первой компонентой в ö(v) будет 1;

II) если в составе v имеются диграммы (две соседние компоненты) вида 10, то в ö(v) каждая из них заменяется на 01;

III) если последней компонентой в v является 1, то последней компонентой в ö(v) будет 0;

IV) других отличий между v и ö(v) нет.

Данная динамика для системы (Bn,ö), п>0, введена в [2].

Динамическая система (Bn, ö) изоморфна динамической системе (Pn, ö), состояниями которой являются всевозможные ориентации цепи длины п, и каждое следующее состояние получается из предыдущего путем переориентации всех дуг, входящих в стоки. Изоморфизм устанавливается сле-

k(Ai U A2 U ... U Am) = k(Ai) + k(A2) + ... + k(Am) - k(Ai П A2)-k(Ai П A3) - ... - k(Ai П Am) - k(A2 П A3) - ... - k(A2 П Am) - .. -k(Am-i П Am) + k(Ai П A2 П A3) + ...,

(1)

0

0

110100

Рис. 1. Состояние системы на языках цепей и двоичных векторов

дующим образом: в ориентации цепи дуга получает метку «0», если она направлена к началу цепи, и метку «1» — в противном случае; кодирующий эту ориентацию двоичный вектор получается последовательным выписыванием меток дуг. Пример представлен на рис. 1.

На рис. 2 показана карта динамической системы (В6,5).

000011

000100

100010

000101

000010 I—>Г 100001

000000

Sf

000001 У71

100000

000110

001010 У^7

100101

001000 I—>Г 100100

001001

100011

001111

110111

101110

010111

101111

111111

011111

г"

100111

101011

К, к"

111011

011011

011110

111110

010110

110110

010001

110001

000111 001011

101000

010000

110000

100110

001100 001101

010100

010101

010010

110010

к"

011101

101001

011000

011001

110100

101010

111000

111001

011100

111010

111101

111100

110011 010011

110101

101101

101100

011010

001110

Рис. 2. Карта динамической системы (В6, 5)

В работе [2] показывается, что состояние (вектор) V динамической системы (Вп, 5) недостижимо из других состояний тогда и только тогда, когда в составе V имеется хотя бы один из следующих фрагментов: 1) начальная диграмма 00, 2) тетраграмма 1100, 3) финальная диграмма 11.

Очевидно, что эти три условия на языке векторов выражают факт существования стока, требуемого следствием 1.

С помощью программы [4] были получены данные по количеству недостижимых состояний в динамической системе (Вп, 5), представленные для 1 < п < 10 в табл. 1.

Выведем формулу для вычисления количества недостижимых состояний в динамической системе (Вп, 5).

Таблица 1

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

КНС(„,5) 0 2 4 8 18 38 80 168 350 726

Теорема 2 (Количество недостижимых состояний в динамической системе (Вп, 5)). Количество недостижимых состояний в динамической системе (Вп, 5), ассоциированной с цепью длины п > 0, равно

1п-4 + 0(0) - 2 ■ 0(2)+0(4),

KHC(n ¿) =2 • 2n 2 — 2n

где

[

ад = £ (-1)г+1 ■ 2и—х—4 ■ СП-х-эг, (2)

г = 1

причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то соответствующие выражения принимают значение 0.

Доказательство. В соответствии с видом недостижимых состояний, обозначим множество недостижимых состояний, имеющих начальную диграмму 00, через Аоо, имеющих финальную диграмму 11 — через В11, имеющих в своём составе тетраграмму 1100 — через С1100. Нужно подсчитать общее количество недостижимых состояний в системе, для чего применим формулу включений и исключений (1). Получим, что

КНС(П>5) = к(Аоо и Ви и С1100) = к(Аоо) + к(Ви) + &(СИоо) - к(Аоо П Вп)-

-к(Аоо П С1100) - к(Ви П С1100) + к(Аоо П Бп П С1100). (3)

1. Подсчитаем к(А00). Для состояний, имеющих начальную диграмму 00, получается, что две начальные компоненты зарезервированы, а остальные компоненты занимают п — 2 позиции и принимают значения 0 или 1. Таким образом, к(А00) = 2П-2.

2. Аналогично пункту 1, к(В11) = 2П-2.

3. Подсчитаем к(С1100). В таких состояниях может присутствовать от одной до [п/4\ тетраграмм 1100 включительно. Обозначим количество этих тетраграмм через 1. Компоненты, занимаемые тет-раграммами, получаются зарезервированными, а остальные компоненты занимают п — 41 позиций и принимают значения 0 или 1. При этом эти 1 тетраграмм могут занимать различные позиции в состоянии, и их количество определяется при помощи формулы подсчета количества числа сочетаний: С«—41+ = С«—31. Но при рассмотрении состояний, содержащих 1 + 1 тетраграмм, некоторые тетраграммы уже были учтены, поэтому, применив формулу включений и исключений (1), получим

к(СИоо) = к(Сцоо(1)) — к(Сцоо(2)) + к(СИоо(з)) — • • •

и так далее до [п/4\ слагаемого включительно, где С1100(х) — множество недостижимых состояний, имеющих в своем составе х тетраграмм 1100. Тогда

\ о«,—4 /"г1 оп- 8 гч2 | пи —12 /"г3

к(С1100 )=2 ■ Си—3 — 2 ■ Сп — 6 + 2 ■ Си — 9 — •••

и так далее до [п/4\ слагаемого включительно. В итоге получается, что

[ П ]

к(Сцоо) = £(—1)г+1 ■ 2и—4 ■ С«—зг•

i=l

4. Подсчитаем к(А00 П В11). Для состояний, имеющих в своем составе одновременно начальную диграмму 00 и финальную диграмму 11, получается, что четыре компоненты зарезервированы, а остальные компоненты занимают п — 4 позиции и принимают значения 0 или 1. Таким образом, к(Аоо П Ви) = 2и—4.

5. Подсчитаем к(А00 П С1100). Для состояний, имеющих в своем составе одновременно начальную диграмму 00 и тетраграмму 1100, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в пункте 3, только здесь постоянно зарезервированы первые две компоненты. Таким образом,

к(Аоо П С1100) = £ (— 1)т ■ 2и—2—4 ■ С«—2—з.

i=l

6. Подсчет к(В11 П С1100) идет аналогично пункту 5.

7. Подсчитаем к(А00 П В11 П С1100). Для состояний, имеющих в своем составе одновременно начальную диграмму 00, тетраграмму 1100 и финальную диграмму 11, получаем ситуацию, аналогич-

[пг2 ]

ную рассмотренной в пункте 3, только здесь постоянно зарезервированы четыре компоненты. Таким образом,

[ ]

к(Аоо П Вп П С1100) = ^ (-1)г+1 ■ 2П_4_4 ■ СП_4_зг.

г=1

Подставляя полученные выражения в формулу (3), имеем

4

КНС(П)5) = 2 ■ 2П_2 + ■ 2П_4 ■ СП_зг - 2П_4 - 2 ■ £ (-1)г+1 ■ 2П_2_4 ■ СП_2_зг+

г=1

г=1

[ ^т4 ]

£

г=1

+ > Л-1Г1 ■ 2

г + 1 г)П_4_4г

■ С

п_4_3г.

Введем функцию 0(х) следующим образом:

[ П-4Х]

0(х) = £ (-1)г+1 ■ 2

п_х_4г

С

п_х_3г.

г=1

Тогда в итоге имеем, что количество недостижимых состояний в динамической системе (Вп,<5), ассоциированной с цепью длины п > 0, равно

КНС(П)5) = 2 ■ 2П_2 - 2П_4 + 0(0) - 2 ■ 0(2) + 0(4),

причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то это значит, что при таких размерностях п просто не возникает подобных ситуаций, и эти выражения принимают значения 0. □

3. КОЛИЧЕСТВО НЕДОСТИЖИМЫХ СОСТОЯНИЙ В ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ЦИКЛАМИ

На множестве Вп, п > 2, рассмотрим следующую динамическую систему (Вп, 0) (см. [6]). Пусть состоянием динамической системы (Вп, 0) в данный момент времени является вектор V е Вп. Тогда в следующий момент времени она окажется в состоянии 0^), полученном путем одновременного применения правил:

I) если первой компонентой в V является 0 и последней компонентой является 1, то первой компонентой в 0^) будет 1, а последней компонентой — 0;

II) если в составе V имеются диграммы вида 10, то в 0^) каждая из них заменяется на 01;

III) других отличий между V и 0^) нет.

По определению будем считать, что векторы 0П, 1п динамической системы (Вп, 0) при динамике переходят в себя, образуя аттракторы единичной длины.

Динамическая система (Вп, 0) изоморфна динамической системе (Сп, 0), состояниями которой являются всевозможные ориентации цикла длины п, и каждое следующее состояние получается из предыдущего путем переориентации всех дуг, входящих в стоки. Изоморфизм устанавливается следующим образом: в цикле фиксируем начальную вершину, в ориентации цикла дуга получает метку «0», если она направлена против часовой стрелки, и метку «1» в противном случае; кодирующий эту ориентацию двоичный вектор получается последовательным выписыванием меток дуг при прохождении цикла по часовой стрелке от начальной вершины. Пример представлен на рис. 3 и 4.

Из следствия 1 можно выразить свойство

недостижимости состояний динамической системы (Вп, 0) на языке векторов. Состояние динамической системы (Вп, 0) недостижимо из других состояний тогда и только тогда, когда в его составе, возможно, при циклическом сдвиге имеется тетра-грамма 1100.

ии

1 110100

Рис. 3. Состояние системы на языках циклов и двоичных векторов

П ]

Юооооор I lililí р

001001

Ж

100100

Ж

010010К

А.

011011

Ж

110110

ж

101101

00000и

ж.

100000

А.

010000

i

001000

000100

ооооюг

011111

Ж.

111110

ж

111101

А

111011

110111

ж.

101111

000011

100001

110000

011000

001100

000110

001111

011110

111100

111001

110011

100111

■М 100010]

-^010001

i

-М101000

ф

^010100

, i ^001010

^000101

-Н101110. -^loilioi

111010

i

-Н íioioi

ф

101011 ^010111

Рис. 4. Карта динамической системы (В6, в)

С помощью программы [4] были получены данные по количеству недостижимых состояний в динамической системе (Ви, 0), представленные для 3 < п < 12 в табл. 2.

Таблица 2

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

КНС(„,е) 0 4 10 24 56 124 270 580 1232 2596

Выведем формулу для вычисления количества недостижимых состояний в динамической системе (Ви, 0).

Теорема 3. (Количество недостижимых состояний в динамической системе (Ви, 0)). Количество недостижимых состояний в динамической системе (Ви, 0), ассоциированной с циклом длины п > 2, равно

КНС{П}в) = 3 ■ 2и—4 + 0(0) — 3 ■ 0(4),

где 0(х) задается формулой (2), причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то соответствующие выражения принимают значение 0.

Доказательство. В соответствии с видом недостижимых состояний обозначим множество недостижимых состояний, имеющих в своем составе тетраграмму 1100, через А1100, начальную компоненту 0 и финальную триграмму 110 через В0_110, начальную диграмму 00 и финальную диграмму 11 через Соо_11, начальную триграмму 100 и финальную компоненту 1 через ^100_1. Нужно подсчитать общее количество недостижимых состояний в системе, для чего применим формулу включений и исключений (1). Получим, что количество недостижимых состояний в системе (В«, 0) высчитывается по формуле

КНС(«,е) = к(Ацоо и Во_Ио и Соо_11 и £юо_0 = к(АПоо) + к(Во_ио) + к(Соо_11)+ +к(£юо_1) — к(Ацоо П Во_ио) — к(АПоо П Соо_11) — к(АПоо П £юо_1) — —к(Во_11о П Соо_11) — к(Во_ио П £юо_1) — к(Соо_11 П £юо_1)+ +к(Ацоо П Во_Ио П Соо_11) + к(Ацоо П Во_По П £юо_1) + к(АИоо П Соо_11 П £юо_1)+

+к(Во_ио П Соо_11 П ^юо_1) — к(Ацоо П Во_По П Соо_11 П £юо_1 )• (4)

1. Подсчитаем к(А1100). Количество векторов, содержащих в себе тетраграмму 1100, было подсчитано в п. 3 доказательства теоремы 1. Таким образом,

[ П ]

к(Аиоо) = £(—1)т ■ 2и—4i ■ С«—3i•

i=l

2. Подсчитаем к(В0_110). Для состояний, имеющих начальную компоненту 0 и финальную триграмму 110, получается, что четыре компоненты зарезервированы, а остальные компоненты занимают п — 4 позиции и принимают значения 0 или 1. Таким образом, к(В0_110) = 2П-4.

3. Аналогично пункту 2, к(С00_ц) = 2П-4.

4. Аналогично пункту 2, к(Д100_1.) = 2П-4.

5. Подсчитаем к(А1100 П В0_110). Для состояний, имеющих в своем составе одновременно начальную компоненту 0, финальную триграмму 110 и тетраграмму 1100, получаем ситуацию, аналогичную рассмотренной в п. 1 доказательства, только здесь постоянно зарезервированы четыре компоненты. Таким образом,

[ ^ ]

к(АИ00 П В0_П0) = ^ (—1)г+1 ■ 2П ■ СП-4-зг.

г=1

6. Подсчет к(А1100 П С00_11), к(А1100 П Д100_1) идет аналогично пункту 5.

7. Значения &(В0_и0 П С00_11), &(В0_и0 П £ю0_1), к(С00_11 П £ю0_1), к(АИ00 П В0_110 П С00_и), к(Ац00 П В0_110 П ^Ю0_1), к(Ац00 П С00_11 П £ю0_1), к(В0_110 П С00_11 П £ю0_1), к(А1100 П В0_110 П С00_11 П ^100_1) равны 0, так как соответствующие множества имеют пустое пересечение.

Подставляя полученные выражения в формулу (4), имеем:

[ 4] ]

КНС(М) = 1)г+1 ■ 2П-4 ■ СП-зг + 3 ■ 2П-4 — 3 ■ £ (—1)г+1 ■ 2П-4-4 ■ СП-4-3*.

г=1 г=1

Используя функцию 0(х) (2), имеем, что количество недостижимых состояний в динамической системе (Вп, 0), ассоциированной с циклом длины п > 2, равно

КНС(п>е) = 3 ■ 2П-4 + 0(0) — 3 ■ 0(4),

причём если коэффициенты или степени принимают отрицательные значения, то это значит, что при таких размерностях п просто не возникает подобных ситуаций, и эти выражения принимают значения 0. □

4. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Последовательности, задаваемые табл. 1 и 2, в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей [7] не встречаются. Построим таблицу для количества достижимых состояний в динамической системе (Вп, 5) для 1 < п < 10 (табл. 3).

Таблица 3

п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2П — КНС(п,5) 2 2 4 8 14 26 48 88 162 298

Обратившись к указанной энциклопедии, находим в ней последовательность А135491: «2, 4, 8, 14, 26, 48, 88, 162, 298, 548, ...» [8], элементы которой получаются по формуле а(п) = а(п — 1) + а(п — 2) + а(п — 3) при а(1) = 2, а(2) = 4, а(3) = 8. Данная последовательность связана с задачей о бросании монеты [9] и подсчитывает количество способов подбросить монету п раз так, чтобы в результате в последовательности исходов не было четырех подряд стоящих одинаковых исходов.

Последовательность А135491 совпадает с последовательностью достижимых состояний в (Вп, 5) со второго по 33 элемент (столько элементов приведены в энциклопедии). Если обе последовательности на самом деле совпадают, то данные наблюдения можно применить к рекуррентному поиску количества недостижимых состояний в динамической системе (Вп, 5), полагая

з

0(п) = £ в (п — «) при в(1) = 2, в(2) = 2, в(3) = 4

г=1

Данная последовательность также не встречается в энциклопедии [7]. По аналогии с рекуррентными подсчетами количества недостижимых состояний динамической системы (Ви, 5) проанализируем последовательности табл. 2 и 4 для возможного рекуррентного подсчета количества недостижимых состояний в динамической системе (Ви ,0).

Рассмотрим последовательность для количества достижимых состояний в динамической системе (Ви, 0) при 3 < п < 33. Введем функцию

з

7 (п) = ^ 7 (п — г) — 2, при 7 (3) = 8, 7 (4) = 12, 7 (5) = 22.

i=l

Все 33 элемента рассматриваемой последовательности вычисляются с помощью функции 7(п). Если эта закономерность распространяется на всю последовательность, то количество недостижимых состояний динамической системы (Ви, 0), п > 2, можно будет подсчитать по формуле

КНС(«>0) =2« — 7 (п).

Также, проанализировав последовательность табл. 2, можно заметить, что

з

КНС(«,е) = 2 + 2«—3 + ^ КНС(«—при КНС(з,е) = 0, КНС^) = 4, КНС^) = 10.

i=l

как функцию, задающую последовательность для количества достижимых состояний в динамической системе (В«, 5); тогда количество недостижимых состояний динамической системы (В«, 5) можно будет подсчитать по формуле

КНС(«,г) =2« — в (п).

Также, проанализировав последовательность табл. 1, можно заметить, что

з

КНС(«,г) = 2«—3 + ^ КНС(«—при КНС(1>5) = 0, КНС^) = 2, КНС(з,5) = 4.

i=l

Теперь построим таблицу для количества достижимых состояний в динамической системе (В«, 0) для 3 < п < 12 (табл. 4).

Таблица 4

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2n — КНС(„,0) 8 12 22 40 72 132 242 444 816 1500

Библиографический список

1. Barbosa V.C. An atlas of edge-reversal dynamics. L., 2001. 372 с.

2. Салий В. Н. Об одном классе конечных динамических систем // Вестн. Томск. гос. ун-та. 2005. № 14. Приложение. С. 23-26.

3. Colon-Reyes O., Laubenbacher R., Pareigis B. Boolean monomial dynamical systems // Ann. Comb. 2004. Vol. 8. P. 425-439.

4. Власова А. В. Исследование эволюционных параметров в динамических системах двоичных векторов // Свидетельство о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2009614409, выданное Роспатентом. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 20.08.2009.

5. Об одной динамической системе / А. В. Власова; Са-

ратов. гос. ун-т. Саратов, 2007. 17 с. Деп. в ВИНИТИ 17.12.07, № 1181-В2007.

6. Власова А. В. Ветвления в конечной динамической системе (Bn, в) // Научные исследования студентов Саратовского государственного университета: материалы итоговой студ. науч. конф. Саратов, 2008. С. 57-58.

7. Онлайн-энциклопедия целочисленных последовательностей. URL: http://oeis.org/?language=russian (дата обращения: 30.05.2011).

8. FitzSimons J.R. Sequence A135491 // Онлайн-эн-циклопедия целочисленных последовательностей. URL: http://oeis.org/A135491 (дата обращения: 30.05.2011).

9. Coin tossing // Wolfram MathWorld: the web's most extensive mathematical resource. URL: http:// mathworld.wolfram.com/CoinTossing. html (дата обращения: 30.05.2011).