CC BY
35
УДК 517.9 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 4
А. И. Назаров, А. Н. Петрова О ТОЧНЫХ КОНСТАНТАХ
В НЕКОТОРЫХ ТЕОРЕМАХ ВЛОЖЕНИЯ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА*
Владимиру Гилелевичу Мазье с глубоким уважением
о ,
Пусть к Є N. Обозначим через Ш2 (— 1,1) Соболевское пространство (вещественных) функций у Є С2-1[— 1,1] таких, что у(2-1) абсолютно непрерывна, у(2) Є ^( —1,1) и
у(±1) = у'(±1) = ••• = у(2-1) (±1) = 0. (1)
о2
В Ш2 (— 1, 1) вводится естественная гильбертова норма
1(2)
1
= У (у(2)(х))2 йх. 1
О к
Задача о нахождении точной константы в теореме вложения Щк ( — 1,1) ^
Щ к-1(-1, 1)
Хк = тт „ „ > 0 (2)
Ну11(ь-1)
У^0
стандартными методами вариационного исчисления сводится к изопериметрической задаче
1 1
У (у(к)(ж))2 йж ^ шт; У (у(к-1)(ж))2 йж = 1,
-1 -1
с граничными условиями (1).
Замена и = у(к-1) приводит к задаче
1 1
У (и'(ж))2 йж ^ шт; У (и(ж))2 йж = 1; (3)
-1 -1
1
и(±1) = 0; У ж?и(ж) йж = 0, ] = 0,..., & — 2. (4)
-1
Уравнение Эйлера—Лагранжа для этой задачи имеет вид
и" + ^и + Рк—1 = 0, (5)
где Рк—1 —полином порядка & — 1.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00159). © А.И.Назаров, А.Н.Петрова, 2008
Домножая (5) на и, интегрируя по [—І, І] и используя ограничения (4), получаем
= ш2 > О, где w —значение функционала (2) на функции и. Следовательно, общее решение уравнения (5) имеет вид
и = Co + Cix + C2x2 + • • • + Cfc_2xfc-2 + Cfc_1 cos(wx) + Ck sin(wx) .
Подставив это решение в условия (4), получим (к + І) x (к + І) однородную систему линейных уравнений на Cj:
Co + Ci + C2 + • • • + Ck_2 + Ck_1 cos(w) + Ck sin(w) = О
Co — Ci + C2 + • • • — Ck_2 + Ck_1 cos(w) — Ck sin(w) = О
1
/ (co + cix + C2x2 + • • • + Ck_2xk_2 + Ck_i cos(wx) + Ck sin(wx)) dx = О
_i
1
I f (cox + cix2 + C2x3 + • • • + Ck_2xk_1 + Ck_ix cos(wx) + Ckx sin(wx)) dx = О .
_i
1
f (coxk_2 + c1xk_1 + • • • + ck_2x2k_4 + ck_1xk_2 cos(wx) + ckxk_2 sin(wx)) dx = О
_i
Если сложить и вычесть первые два уравнения, выбросить нулевые слагаемые в остальных, а также сократить все уравнения на несущественный множитель 2, то система разделится на две независимых подсистемы: для четных c (порядка [(к + 2)/2]) и для нечетных c (порядка [(к + І)/2]). Поскольку нас интересуют нетривиальные решения, хотя бы одна из матриц этих подсистем должна иметь нулевой определитель. Отметим, что нулям «четного» определителя соответствуют четные решения, а нулям «нечетного» — нечетные.
Предположим сначала, что к нечетно, и пусть n = (к + І)/2. Тогда матрицы подсистем (обе — порядка n) имеют следующий вид:
І І • • І cos(w)
І 1 1 Co(w)
3 2п—3
1 1 1 C2(w)
3 5 2п—1
1 1 1 С2„_4(ш)_
_ 2п—3 2п — 1 4п —7
І І • • І sin(w)
1 1 1 Si(w)
3 5 2п — 1
1 1 1 Ss(w)
5 7 2п+1
1 1 1 S2n_3(w)_
|_2п—1 2 п+1 4п—5
где введены обозначения
C2j (ш) = у Ж2-7 СОв(шж) ЙЖ, ^2^+1 (ш) = у ж2^1 вш(шж) Йж, £ Z+.
0 0
Лемма. Пусть ^(ш) = det(D1), ^(ш) = ёе!;(02). Тогда справедливы тождества аш^1(ш) + в<ш^2(ш) = (2п — 2) • а^(ш); ау^1(ш) — в<ш^2(ш) = (2п — 2) • в^(ш), (6)
где а = ((2п — 3)1!)2, в = (4п — 5)!!.
Доказательство. Проверим первое из соотношений (6) (второе проверяется аналогично). Поскольку ^1 и ^2 —аналитические (и даже целые) функции переменной ш, достаточно проверить, что левая и правая часть имеют одинаковые ряды Тейлора. Обозначив /(ш) = аш^1(ш) + вш^2(ш), #(ш) = (2п — 2) • аД1(ш), имеем
/(1)(0) = I • (а^(1)(0) + в^(1-1)(0)), #(1)(0) = (2п — 2) • а^(1)(0),
и потому достаточно проверить тождество
(2п — 2 — I) • а^(1)(0) = 1в^(1-1)(0).
(7)
Легко видеть, что при нечетных I обе части (7) равны нулю (последние столбцы соответствующих матриц обнуляются). Пусть I = 2т четно. Поскольку
с2^ (0) = —^+т ;(0)
(2т—1) /
(—1Г
2^’ + 2т + 1
соотношение (7) сводится к
(т — п +1) • а_01 = тв-С>2,
(8)
где
_01 = det
_02 = det
1 1 • • 1 1
1 1 1 1
3 2п—3 2т+1
1 1 1 1
3 5 2п—1 2т+3
1 1 1 1
_ 2п—3 2п—1 4п—7 2т+2п—3_
1 1 • • 1 1
1 1 1 1
3 5 2п —1 2т+1
1 1 1 1
5 7 2п+1 2т+3
1 1 1 1
|_2п-1 2п+1 4п—5 2т+2п—3 _
1
Из несложно проверяемого соотношения
det
1 1 ■ ■ 1 1
1 1 1 1
01+^1 «2+Ь1 &тг — 1+&1 &тг + Ь1
1 1 1 1
«1+Ь2 «2+Ь2 &тг — 1+Ьг Йгг + Ьг
1 1 1 1
_ СЦ-^Ь-п— 1 ^2 + Ьгг —1 ап—1 +Ьп—1 ап +Ьп— 1 -
П (а - аз) ■ П (ьк — ьг)
г<з
к<1
П(а* + ьз)
Ъ,0
получаем
п—2
П (1 — (27 +1)) ■(1 — (2т +1)) ■
3=1____________________________________________
(2п — 3)!! • <52
(—2)" то • (п — 2)! • <51 (2п — 3)!! • <52 ’
п— 2
П (2,7 + 1 — (2п — 1)) ■ (2п — 1 — (2т + 1)) ■ ^1
^ = —---------------------2^2~------------------------------------
П (27 — 1) ■ ^2
j=n
(—2)п—1(т +1 — п) ■ (п — 2)! ■ д1
(2п—3)!!
где
п— 2
^1 = П (2* — 27)П (2* — 2т) ■ Л (2к — 21),
1<г<^<п—2 £=1 1<к<1<п—1
п—1 п—2
^2 = П ((27 + 2т — 1) ■ П (27 + 2* — 1)) .
j=l ®=1
Это дает (8) и, следовательно, доказывает лемму. □
Из (6) получаем дифференциальное уравнение для £1:
+ (^2 - (г/2 - ±))АН = О,
где V = 2п — 5/2 = к — 3/2. Согласно [1, 8.491.5], имеем В\(и)) = л/й;•
(здесь ^ - функции Бесселя). Поскольку £1 —четная функция, заключаем, что В = 0. Далее, из первого соотношения в (6) с учетом формулы [1, 8.472.2] получаем ^(ш) = Сф5Ли+1(ш).
Легко видеть, что Ак совпадает с наименьшим из положительных корней определителей £1 и £2. Поскольку Й/^(^+1 ^+1(1^)) = (^+1^(ш), по теореме Ролля первый положительный корень £1 лежит между нулем и первым положительным корнем £2.
Таким образом, при нечетных к значение минимума в (2) равно наименьшему положительному корню функции ^к—3/2. Отметим, что функция и, дающая минимум в задаче (3)-(4), четна, и потому функция у, минимизирующая функционал (2), также четна.
Пусть теперь к четно. Пусть n = к/2 + 1. Тогда матрица «четной» подсистемы имеет порядок n и совпадает с D1, а матрица «нечетной» подсистемы (порядка n — 1) имеет структуру D2. В силу полученных выше формул соответствующие определители имеют вид
D\(uj) = Ay/ujJv(uj), D2(lu) = Cy/ujjv-\(uj),
где v = 2n — 5/2 = k — 1/2.
Отсюда видно, что здесь уже первый положительный корень D2 меньше соответствующего корня Di. Таким образом, при четных к значение минимума в (2) также равно наименьшему положительному корню функции Jfc-3/2. Функция u, дающая минимум в задаче (3)—(4), в этом случае нечетна, и потому функция у, минимизирующая функционал (2), четна.
Объединяя оба случая, сформулируем окончательный результат.
Теорема. При всех к £ N точная константа в (2) равна наименьшему положительному корню функции Jfc_3/2- Эта константа достигается на четной функции.
Замечание. При к =1 теорема дает классический результат Л1 = п/2. При к = 2 получаем также хорошо известный результат Л2 = п ([2]; см. также [3, §2.5], где рассматриваются приложения к задачам статистики, и [4, §4]). Отметим еще, что из формулы [1, 8.461.1] следует Л^ < кп/2 при к > 2, а также асимптотическое соотношение Л^ ~ кп/2 при больших к.
Мы признательны С. М. Ситнику за указание на работу [2].
Литература
1. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.
2. Janet M. Sur la methode de Legendre—Jacobi—Clebsch et quelques-unes de ses applications // Bull. Sci. Math. Vol. 53. 1929. P. 144-160.
3. Никитин Я. Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. М.: Наука, 1995.
4. Буслаев А. П., Кондратьев В. А., Назаров А. И. Об одном семействе экстремальных задач и связанных с ним свойствах одного интеграла // Мат. заметки. Т. 64. 1998. №6. С. 830-838.
Статья поступила в редакцию 18 мая 2008 г.
