О связи задачи Валле Пуссена с парами Фишера Текст научной статьи по специальности «Математика»

Матем атика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевско го, 2012, № 5 (1), с. 165-166

УДК 517.98

О СВЯЗИ ЗАДАЧИ ВАЛЛЕ ПУССЕНА С ПАРАМИ ФИШЕРА

© 2012 г. В.В. Напалков 1, А.А. Нуятов 2

1 Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН, Уфа 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского

nuyatovlaa@rambler.ru

Поступила в редакцию 16.05.2012

Установлена связь разрешимости (корректной разрешимости) задачи Валле Пуссена для дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами с парами Фишера.

Ключевые слова: задача Валле Пуссена, пары Фишера.

1. Введение го оператора с постоянными коэффициентами

Изучение пар Фишера началось в 1917 году ^\—?\" При этом Равенство (1) называется разложением Фишера. Если не справедливо (1), но

имеет место

с работы Эрнста Фишера [1], в которой получен

следующий результат:

Теорема 1. Если Р(а) є Нк (Нк - пространст- ( — \

1 ^ ЩС)=(Р(а)) + Кег 0| — \, (2)

во однородных полиномов степени к 5 С), то 4 —2 )’

всякий полином 0(а) є Нт, 0 < т < да, пред- то равенство (2) называется представлением

7 тт Фишера.

ставляется в виде 0(г)= (z)+g(z), где g, є т , Согласно результату работы [7] представле-

причем g кратно p, а 1а удовлетворяет диффе- ние (разложение) Фишера эквивалентно разре-ренциальному уравнению шимости (корректной разрешимости) задачи

_п п_т г> \ тл - д гУ7 Валле Пуссена для оператора свеPтки, дежт-

( ) , ( п^ 1 да ’ " вующего из FS- или DFS-пространства в себя

1 (пространство Фреше-Шварца и сопряженное к

Определение задачи Валле Пуссена можно нему), известно (см. [8]), что оператор свертки найти в работе [2], ниже будет дана эквивалент- становится линейным дифференциальным ная формулировка. Начало исследований о уравнением с постоянными коэффициентами, взаимосвязи пар Фишера и задачи Валле Пуссе- если его характеристической функцией являет-на для уравнений в частных производных ги- ся полином.

перболического типа дано в работе [3]. Даль- Дадим эквивалентную формулировку задачи

нейшее изучение пар Фишера описано в рабо- | —\

тах [4-7] Валле Пуссена для оператора 0\ — I с данны-

2. Предварительные сведения

ми на дивизоре Хр: для любой функции

ф(2) е И(С существует (единственная) функция

Дадим определение пар Фишера согласно / — \ ф(_) _ к(7)

[4, 5]. К(2) е Кег 0>\ — \, такая, что ф(2^ К е И(С).

Определение 1. Пара полиномов

—а) Р(а)

С {— ^ Применив результат статьи [7] к пространст-

Р(а), 0\^Г

ч V ))

в Н(С) называется парой Фише- ву Н(С), получим:

Теорема 2. Следующие утверждения экви-

ра, если имеет место

валентны:

И(С) = (Р(2)) ® Кег $ — \, (1) (1) З _ П (— \

^ —2) (1) Задача Валле Пуссена для ц\ — \ с дан-

где (р(г)) - идеал в пространстве И(С), ными на 2Р разрешима (корректно разрешима).

/ — \ (2) Имеет место представление (разложение)

Кег — \ - ядро линейного дифференциально- Фишера.

166

В.В. Насалков, А.А. Нуятов

3. Основной результат

Пусть ..,!„ - нули Q(z) и ц1,.,цп - соот-

ветственно их кратности; ць...,цт - нули Р(2) и р1,...,рт - соответственно их кратности.

Теорема 3. Если deg Q > deg Р, либо deg Q = deg Р и deg Рфт, либо deg Q < deg Р и deg Q > т, то имеет место представление Фишера

И(С = (Р( 2)) + Ker Q\ — \.

Если deg Q = т, то имеет место разложение Фишера

И(С = (Р(2)) © КгQ^—\ .

Если deg Q < m, то

d

ф( z) _ h( z) P(z)

є H(€).

будет мероморфной),

qv_1

-II с

z e

то имеем систему

решение, но оно не единственное, т.е. существует не единственная функция к(і) є Кег б| — I, та-

V —2 )

кая, что 2<£ЬВД є тсу

Р(2)

2. Если deg Q=m, то система имеет единственное решение, т.е. существует единственная

функция к(і) є Кег Q^ — I, такая, что

ф( z) _ h( z) P(z)

є H(C).

И(С * (Р(2)) + Ker Q\—\ .

Доказательство. Представление Фишера (разложение Фишера) согласно теореме 2 эквивалентно тому, что для любой функции ф(2) е И(С существует (единственная) функция К(2) е Кг Q^ — \, такая, что

Последнее будет выполнено, если разность ф(г)—к(£) обращается в ноль в нулях полинома

г>/ ч/ А ф( 2) _ К( 2)

Р(2) (в противном случае функция ---------Р("")---

поскольку К(2)=

Сюe^ +... + с _1^qn_v^ -ф(Ц1),

Сю е ^т +... + С^ _1Ц т-1е ^ =ф(ц т).

В данной системе д1 +...+дп неизвестных и т уравнений, где т - количество различных нулей полинома Р(і). Здесь возможны три случая: 1. Если deg Q > deg Р или deg Q=degP, но deg Рфт, или deg Q < deg Р, но deg Q > т , то система не определена, получаем, что система имеет

3. Если deg Q<m, система решений не имеет, т.е. не существует функция к(і) є Кег Q^-— I,

V —2 )

такая, что ф(2) ~ к(2 є Н(С). Р(2) Замечание. Если Р(і) и Q(z) имеют только простые нули и deg Q=deg Р, то Н(С = (Р(2)) © Кег Q^ — 1.

Список литературы

1. Fischer E. Uber die Differentiationsprozesse der Algebra //J. Math. 1917. Т. 148. С. 1-78.

2. de la Vaillee Poussin Ch. J. Sur l’equation differen-tielle du second ordre. Determination d’une integrale par deux valeurs assignees. Extension aux equations d’ordren // de Math. pur. et appl. 1929. V. 9. № 8. P. 125-144.

3. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several complex variables. New York: Wiley - Interscience publishers, 1970.

4. Meril A., Struppa D.C. Equivalence of Cauchy problems for entire and exponential type functions // Bull. London Math. Soc. 1985. V. 17. P. 469-473.

5. Shapiro H.S. An algebraic theorem of E. Fischer, and the holomorphic Goursat problem //Bull. London Math. Soc. 1989. V. 21. P. 513-537.

6. Meril A., Yger A. Problemes de Cauchy globaux // Bull. Soc. Math. France. 1992. V. 120. P. 87-111.

7. Напалков В.В., Попенов С.В. Голоморфная задача Коши для оператора свертки в аналитически равномерных пространствах и разложения Фишера// Докл. РАН. 2001. Т. 381. № 2. С. 164-166.

8. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982.

ON RELATION OF THE VALLF.F.-POIJSSIN PROBLEM TO FISCHER PAIRS

V. V. Napalkov, A. A. Nuyatov

A relation has been established of the Vallee-Poussin problem solvability (correct solvability) for differential operators of infinite order with constant coefficients to Fischer pairs.

Keywords: Vallee-Poussin problem, Fischer pairs.