CC BY
8
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ
Елисеев С.В., ХоменкоА.П. УДК 62.52
О СВЯЗИ УСТОЙЧИВОСТИ И ЭФФЕКТИВНОСТИ В СИСТЕМАХ АКТИВНОГО УПРАВЛЕНИЯ КОЛЕБАНИЯМИ
Здесь d( W ( p ) = г ( p )d(
В задачах динамического синтеза активных систем [1] уравнения движения многомерной системы, имеющей к входов и 8 выходов, записываются в виде
0(р)х = Я(р)/(0, I1)
где Ю(р) и Я(р) - полиномиальные матрицы 8 х 8 и 8 х к; f (£) - к-мерный вектор входных параметров; х- 8-мерный вектор выходных переменных. Характеристическое уравнение (1) можно представить в форме
ёеШ(т) = 0. (2)
В тех случаях, когда система имеет один вход и соответственно один выход, то уравнение (1) становится скалярным:
с1( р )х = г ( р у (£) (3)
или
< р ) =™ (р У 0). (4)
р) и г( р) - полиномы, а р) - передаточная функция системы. Характеристическое уравнение
¿(А,)= 0 (5)
может быть приведено к форме
ао^п1 + а,V 1 +...+апап = 0(ап >0). (6)
Корни уравнения (6) являются полюсами передаточной функции виброзащитной системы (ВЗС), поэтому для асимптотической устойчивости (4) необходимо и достаточно, чтобы все полюсы передаточной функции находились в левой полуплоскости комплексной переменной, для чего, к примеру, может быть использован алгебраический критерий Гурви-ца [2]. Поскольку с помощью такого рода критериев невозможно оценить запас устойчивости, то целесообразным представляется применение других подходов, которые связаны со свойствами передаточных функций разомкнутых систем. В этом случае исходная система (3) может быть представлена структурной схемой, приведенной на рис.1, где
W
(p) - передаточная функция разомкнутой
раз\г J ^ ..... 1 j
системы, связанная с W(p)
соотношением
W ( p)=Т
W
>( p)
W
(7)
раз (р)
Если ВЗС имеет вид колебательной системы с двумя степенями свободы, как показано на рис.2,а,б,в, то из выражения (7) можно получить
(8)
р аз (p) 1 _ w ( p)'
что дает для структурной схемы (рис.2,б) для
W ( p)= f:
WP аз ( p)=-
_—_. (9)
( т1 р2 + к1 + к2)( т2 р2 + к2)-2
Преобразованная структурная схема показана на рис.2,в. Аналитическим образом может быть найдена передаточная функция разомкнутой системы по каналу Р - х.
Будем полагать, что Шраз (р) не имеет полюсов в правой полуплоскости, при этом полюсы на мнимой оси в начале координат могут существовать. Это предположение справедливо для любой одноконтурной ВЗС с дополнительными связями, составленной из устойчивых звеньев. Для исследования таких случаев может быть использован критерий Найквиста [2], который для асимптотически устойчивых
Рис. 1. Структурная схема преобразованной системы.
МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
Рис. 2. Расчетная (а), структурная (б) и преобразованная (в) схемы для ВЗС с двумя степенями свободы.
систем (3) дает необходимые и достаточные условия устойчивости. Последние заключаются в том, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы Wpаз (ую) (при изменении ю от -да до +да) не охватывала бы точку (-1,0) и не проходила через неё. Если Wраз (р) имеет 5 полюсов в правой полуплоскости, то для асимптотической устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика при изменении ю от 0 до +да совершала в / 2 оборотов против часовой стрелки вокруг точки (-1,0) или имела такое же число пересечений амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) с осью абсцисс на участке (-да, -1) при учете, что счет пересечений сверху вниз - положительный, а снизу вверх — отрицательный. Для асимптотической устойчивости алгебраическая сумма числа пересечений должна быть равна в / 2. Если характеристика начинается или заканчивается на участке (-да, -1) оси абсцисс, то это учитывается как 1 / 2-ая пересечения.
I. Запас устойчивости замкнутой виброзащитной системы может быть оценен при исследовании АФХ разомкнутой системы. Запасом устойчивости по амплитуде называется относительное увеличение общего коэффициента усиления разомкнутой системы, при котором замкнутая виброзащитная система становится неустойчивой. Запасом устойчивости по фазе называется в этом случае разность между значением фазы на частоте среза
(точнее, на такой частоте ю., для которой |Wpаз (р)| =1, и при этом для всех выполняется условие ю,^раз (р)|< 1, а фаза имеет величину -я [3]).
Пусть а 0 , ^ 1
параметры, от кото-
рых зависят коэффициенты характеристического уравнения (5). Совокупность значений параметров, при которых выполняются условия устойчивости, образуют некоторую область устойчивости системы. При общем анализе возможностей системы и её динамическом синтезе целесообразно построение грани устойчивости для чего может быть использован и метод Гурвица, который позволяет найти точку на границе области устойчивости при обращении в нуль главного диагонального минора (п -1) ог° порядка определителя Гурвица.
В более сложных случаях применяется метод ^-разбиения [2].
II. Как известно, линейные пассивные ВЗС всегда являются асимптотически устойчивыми. Введение дополнительных связей активной природы может привести к неустойчивости системы. В качестве примера рассмотрим систему (рис.3,а), в которой имеется активное устройство, формирующее силу управления Р(£), зависящую от интеграла абсолютного перемещения х.
Если Р(£) является внешним динамическим воздействием, то уравнение движения массы т имеет вид
(тр2 + Ьр + с)х = Р (£) + Р^), (7)
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ЙЩН
Рис. 3. Расчетная (а) и структурная (б) схемы одномерной ВЗС с управлением Р( 1) по интегралу от смещения х.
подставляя в которое
к
получим
р 0 ) = --х, р
к
тр2 + Ьр+с +— \х = Б ^ ), Р )
(8)
(9)
или, используя структурную схему (рис.3,б), передаточную функцию замкнутой системы
W = Х
™ ( Р ) =
р
-. (10)
3 7 2 I х '
тр + Ьр + ср+к
Записав характеристическоеуравнение в форме (5)
тХ3 + ЬХ2 + сХ +к = 0, (11)
применим к нему критерий Гурвица и получим условия асимптотической устойчивости т > 0,Ь > 0, с > 0, к > 0, тк< Ьс. (12) Последнее, отражает такое обстоятельство, что увеличение коэффициента усиления обратной связи к не может быть безграничным, предельное значение имеет вид
(13)
к = —
тах '
т
III. В системе с управлением, пропорциональным абсолютному смещению объекта, увеличение коэффициента усиления к не может привести к неустойчивости, что можно объяснить введением пассивного элемента, по существу, дополнительной пружины, связывающей точку А (рис.3) с некоторой точкой. Вопрос в другом, что это не всегда осуществимо. Аналогичные результаты могут быть получены и для управления по скорости и по ускорению. Однако возможность неограниченного увеличения коэффициента усиления имеет только в том случае, если управление осуществляется с помощью идеальных безинерци-онных звеньев. Таким образом для динамического синтеза активных ВЗС необходимо иметь определенную информацию; в частности, пе-
редаточную функцию W ( р) на частотах меньших, чем частота среза Шс, поскольку именно эта часть частотной характеристики предопределяет выполнение условий эффективности и устойчивости. При использовании логарифмических частотных характеристик (ЛАХ), что характерно при переходе к передаточным функциям разомкнутых систем, частота среза Шс определяется как точка перемещения ЛАХ с осью абсцисс, в этом случае
Краз ( Ш )|=1, (14)
что, в сущности, является границей эффективности активной ВЗС.
Если передаточная функция обратной связи имеет более сложный вид, чем передаточная функция апериодического звена общего вида [4] и содержит в знаменателе несколько полиномов с постоянными времени Т,Т/,Т// и т.д., то можно утверждать , что ш* > и поэтомудостаточно выполнитьусло-вие [3]
Шс < Гтах , (15)
где Гтах - наибольшая постоянная времени в звеньях системы.
Учитывая (14) можно полагать, что область идентификации W(]ш) должна определяться, в первую очередь, постоянными времени (и частотами) звеньев цепи обратной связи. Чем меньше эти постоянные, тем шире область частот , в которой управлении может быть эффективным и в которой должно быть идентифицирована частотная характеристика виброзащитной системы.
IV. В этом случае, когда точки управления и точки наблюдения не совпадают (управляющая сила прикладывается к общей точке, а сама сила зависит от параметров движения другой точки) возникает ряд особенностей. Рассмотрим устойчивость активной ВЗС, показанной на рис.4,а,б,в. Если управляющая сила
МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
оо оо
Рис. 4. Расчетная (а) и структурная (б, в) схемы активной ВЗС с дополнительной связью.
формируется по перемещению точки А, то как показывают логарифмические амплитудные характеристики (ЛАХ) и логарифмические фазовые характеристики (ЛФХ) разомкнутой системы (рис.5), замкнутая система является устойчивой при любом значении коэффициента усиления, так как в этом случае ЛФХ, соответствует Ър/аз (р), не достигает условия
Ф = -те. Вместе с тем рост коэффициента усиления означает увеличение частоты среза юс, что может привести к необходимости более детального учета постоянных времени звеньев цепи обратной связи.
На предварительном этапе передаточная функция разомкнутой цепи имеет вид
к 2 + ь 2 Р
™ АВ ( р )=■
2
р)=-к 2 + 0 2 р . 2 (18)
M , М 2 -(к2 + Ь2 р)
Для дальнейших расчетов примем ряд обозначений:
Т2 = 11
1
+^2
-; Т 2 = 2=
1
^2 + Р
Т = Ь 2 + Ь 3
, & _ Ц1Т1 , й _ Р 2 Т2 ,
2 ; ^ 1 ^ ; ^ 2 ;
2
к 2 + к 3
2
(19)
Л(р)
(16)
М! М 2 - 2( к 2 + Ь 2 р )2
где М1 = т1р2 + к1 + к2 +(Ь1 + Ь2 )р,
М 2 = т2 р2 + к 2 + к 3 +(Ь 2 + Ь 3 )р.
Будем полагать, что управление ) формируется по перемещению точки В (правая масса на рис.4,а)
Р =^доп(р)хв . (17) Передаточная функция ЪАв (р) в этом случае в отличии от (16) преобразуется ( без дополнительной активной связи)
Здесь р 1 ± Д1, р2 ± Д 2 являются корнями характеристического уравнения виброзащитной системы (рис.4,а):
т1р2 + к1 + к2 + (Ь1 + Ь2)р -к2 - Ь2р
-к2 - Ь2р т2 р2 + к2 + к3 + (Ь1 + Ь2 )р
(20)
Тогда передаточная функция , замкнутой виброзащитной системы примет вид:
Ъ =_1+Тр_, (21)
^ К(1 + 2Т ^ р + Тх2р2 )(1 + 2Т2 р + Т2р2 )
где К = к1 + к 2 + к 3.
В случае управления по перемещению ZA
Р =-кЪдоп ( р )ха , (22)
а передаточная функция замкнутой системы (без управления) (р) преобразуется
ш ) = (т 2р 2 + к 2 + к 3 + (Ь 2 + Ь 3 )р ) (23)
М1М2 -(к2 + Ь2 р)2
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ ЙШ®
Рис. 5. Логарифмические амплитудная -Цш) и фазовая ф(ш) характеристики при управление по перемещению т.т. В и А (Ф1 = ШрАаз ,Ф2 = ШрАаз).
В пассивном варианте между перемещениями хА и хв имеет место связь ( к 2 + Ь 2 р )
х
:Т-^^-^-^ (24)
(т2 р + к 2 + к 3 +(Ь 2 + Ь 3 )р)
которая не изменится при введении управления, если управление реализуется по абсолютному перемещению, а его физическая реализация не связана с необходимостью опоры для активного элемента с двух концов.
Проблемным вопросом в физической реализации такого управления является выбор датчика для измерительной системы и исполнительного устройства. Используя активный элемент с передаточной функцией апериодического звена, можно записать, что
W
доп
( р ) =
р2
функции ВЗС можно записать для управления во хв в виде:
(р ) = .WAB (р )= кр'(Рр 2); (26)
р 4 7 Тр +1 Аву ' (Тр +1)Д(р)
для управления по ZA соответственно —
кр2 (т2 р2 + Вр+к2)
WA (р)= ^ _—_Ц (27)
раз(р) (Гр +1)Д(р) ( )
Примем, что наибольшая из постоянных времени Г, равна 0,001 сек, а соответствующее ей звено является колебательным. Тогда передаточную функцию разомкнутой системы можно представить в упрощенном виде: кр2 (т2 р2 +(Ь 2 + Ь 3 )р + к 2 + к 3)
W рАВ (р ) =
. (25)
Тр +1
где Т - постоянная времени исполнительного звена (хотя это является лишь первым приближением). Если не задаваться вопросом о том, как конкретно реализуется управляющее воздействие, а принять во внимание только входную информацию в датчик (информацию о перемещениях в т. А и В), то передаточные
Д(р)(Тр +1)(Г,2 р2 + 22, ,Г,р +1) '
(28)
где 2 * - коэффициент демпфирования (примем, условно, равным 0,1). Изменения соответствующих ЛАХ и ЛФХ, связанных с учетом колебательного звена, показаны на рис.5 пунктиром. На частоте ш = Г*-1 ЛАХ пересекает
уровень -л, а так как ¿(Гг1 )> 0, система становится устойчивой.
МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ
«
-2.7
А / Г-'
0 г; 0 W. т;> —
Г igf
Рис. 6. Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики системы при пропорциональном управление через точку А по перемещению точки В (рис.4,а).
На рис.6 изображены ЛАХ и ЛФХ для системы с управлением по координате ZA. Соответствующая функция разомкнутой системы имеет вид
^ ( р)= к--_.
раЛЮ К (1 + 2Т0\0р + Т2р2 )(1 + 2Т,^р + Т2р2)
(29)
ЗдесьТ0, Т1, 2,0, - коэффициенты, определяемые для системы (рис.4,а), имеющее управление по перемещению точки В.
Если принять, что Т0 >Т1 >т, то на участке Т 1 <ю< Т1-1 фаза пересекает значение ю = ю,,
меньше частоты среза, система становится неустойчивой. Таким образом, если к точке А прикладывать управляющее воздействие, пропорциональное перемещению точки В, то при некотором значении коэффициента усиления в системе (рис.6) возникнет неустойчивость.
Таким образом при динамическом синтезе активных ВЗС большое значение имеет место установки измерительного устройства, дающего информацию о параметрах вибрационного поля (точки наблюдения), и места приложения управляющего воздействия, форми-
руемого дополнительной обратной связью (точки приложения или управления). При выборе точек необходимо учитывать значения собственных форм объекта в точках наблюдения или приложения.
Если управление должно быть эффективно в диапазоне частот 0 < w< wmax, то синтез активной системы требует знания частотной характеристики объекта (WAB (jw)) вплоть до наименьшей из частот, превышающих wmax. При синтезе необходимо учитывать такие значения постоянных времени звеньев обратной
-1
связи, превышающих wmax.
Практическая реализация активного управления требует предварительного конструктивно-технического решения относительного того, каким образом будет размещаться (то есть закрепляться) активное устройство в структуре виброзащитной системы.
Структура передачи управляющих воздействий зависит от выбора точек наблюдения и управления (или приложения силы), что находит отражение как в виде передаточных функций для замкнутых и разомкнутых форм активных виброзащитных систем.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Елисеев, С.В., Засядко А.А., Резник Ю.Н., Хоменко А.П. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты техни-ческихобъектов / С.В. Елисеев, А.А. Засядко, Ю.Н. Резник, А.П. Хоменко // Изд-во Иркутского государственного университета ISBN-978-5-9624-0291-8. Иркутск. 2008.- 527с.
2. Иващенко, Н.Н. Теория автоматического регулирования. Теория и элементы систем. - М. : Машиностроение. - 1978. - 730 с.
3. Коловский, М.З. Автоматическое управление колебаниями / Москва. Наука. - 320 с.
4. Засядко А.А. Динамические взаимодействия элементов активных виброзащитных систем с сервомеханизмами / А.А. Засядко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. -Иркутск. ИрГУПС. - 2007. - №4(16). -С. 11-20.
