Динамика многомерных виброзащитных систем с перекрестными связями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Хоменко А.П., Елисеев С.В. УДК 621.534.833:888.6

ДИНАМИКА МНОГОМЕРНЫХ ВИБРОЗАЩИТНЫХ СИСТЕМ С ПЕРЕКРЕСТНЫМИ СВЯЗЯМИ

В статье рассматриваются вопросы создания научно-методических основ оценки устойчивости многомерных систем активной виброзащиты с перекрестными связями, если известны передаточные функции соответствующих каналов. Отдельные стороны этой проблемы представлены в работах [1 ^ 3 ].

I. Сложные активные виброзащитные системы (ВЗС) по-существу являются специализированными системами автоматического управления, что отмечалось в работах [4,5]. Под многомерной ВЗС понимается система, имеющая п выходов (рис.1), например, система стабилизации положения объекта защиты в виде твердого тела на двух опорах [3]. Многомерная система имеет независимые каналы, если сигнал на г — м входе влияет только на г -ый выход, не вызывая каких-либо перемен среди остальных каналов.

Если такая система имеет автономно работающий канал, то сигнал с г -го входа также воздействует только на г -ый выход. Однако, некоторые координаты остальных каналов могут изменяться, а система построена так, что сигнал на г -м выходе зависит только от соответствующего входа (в линейных системах).

(1)

«i i (Р) X +... + «is (p) Xs = bn( p) fi +... + bis (p) fs, «2i (Р) X i +... + «2s (p) Xs = b2i( p) fi +... + bls (p) fs,

ал (p) Xi +... + a ss (p) X = bsi( p) fi +... + bss (p) f,

где «k = Akp2 + Bikp + Clk, p = d-,

bik (p) — полином, f — входные воздействия, Xi — координаты системы, i = i, 2,..., s . Возмущающие силы f пронумерованы так, что их индекс означает номер элементарного контура, к которому они приложены. Уравнения (i) можно записать в следующей матричной форме:

, (X ^

«is (p) ^ «2s (p) «ss (p) y

( «ii( p) «2i( p)

V «si( p)

X2

V Xs y

(bii( p) b2i (p) V bsi( p )

íf\

.. bis (p) . b2s (p) . bss (p)

fi f2

fs

(2)

tu (y

Рис. 1. Многомерная система

Многомерная система имеет перекрестные связи между каналами, если сигнал с г -го входа воздействует больше чем на один выход.

Динамику линейной системы вообще можно описать при помощи следующей системы уравнений:

В сокращенной форме эта запись имеет вид

(а(р)) • (X) = (Ь(р)) • (/). (3)

В обобщенном виде, задача виброзащиты может быть поставлена следующим образом: заданы возмущающие силы (/), найти изменение

системы координат системы (X) . Для выполнения поставленной задачи требуется решить систему дифференциальных уравнений (2). Известно, что полное решение системы уравнений складывается из двух частей:

( X ) = (X') + (X *), (4)

где (X *) является частным решением полной системы уравнений, а (X') является решением сис-

темы однородных уравнений

(«(p)) • (X) = 0.

(5)

Решение системы уравнений (5), содержащее постоянные интегрирования, определяет собственное движение системы, характер которого зависит исключительно от конфигурации (особенностей) системы и не зависит от функций возмущения. Эти особенности системы можно представить при помощи так называемого характеристического полинома, которым является определитель матрицы (а( р)),

а11(р) а12(Р) ... аъ (Р) а21(р) а22(р) ... а2,(р)

А о( р) =

(6)

as1(р) as2 (р) ... ^ (Р)

Приравнивание характеристического полинома нулю дает частотное уравнение системы. Раскрывая определитель (6), получаем полином степени т < 28 . Для упрощения положим, что характеристическое уравнение имеет только простые корни Лг(г = 1,2,3...,т). В таком случае координаты собственного движения можно представить в следующем виде:

Г X1 Л

X 2

V X у

= с,

Г V Л

г 11

V,,

V

V 81 У

в^' + С2

ГV Л г 12

V

V

V 8 2 у

в12' +... + ст

ГV Л

1т

V....

.V ,

V зт у

Л'

,(7)

V Кп1 (р) К 2 ( р) ... Кпп ( Р) У V ^ У

Г / л

Г5п(р) ... ^(р) Л / 821(р) ... ^ (Р)

Л

/п /

V ^п1( р) ... (р)

(8)

Определитель матрицы К(р) в уравнении (8) является характеристическим полиномом

А:(р) К12(р) ••• К1п (р)

К21(р) К22(р) .. К2п (р)

А о( р) =

(9)

Кп1(р) Кп2 (р) .. Кпп (р)

Решая уравнение (8) относительно (X), можно получить

Г / Л

ГхЛ Гя„(р) .... Я*(р) л ^(р) .... ^28(р)

X

V х У

1

А о( р)

Я(р) "" Я. (р).

/2 /п

(10)

V 8 У

где Ягк (р) — операторный многочлен. Вводя обо-

гк

значение

найдем

Ж (р) =

Мр)

Ао( р)

(11)

Г X! л Г ът ... ж (в) Л

где Лг — корни характеристического уравнения; ск ,УШ — постоянные интегрирования в полном

решении системы уравнений, зависящие от конфигурации системы, начальных условий и вида возмущения.

Пусть выходными величинами являются координаты Xi, где г = 1,2,..., п . В этом случае

можно определить зависимости, связывающие выбранные координаты с возмущающими силами. Эти зависимости имеют следующий вид:

Г 1ц(р) К12(р) ... Цп(р) ^ ГXl Л КЛр) р) ... К2п (р) 2

X2

V Xn У

ЖИ(В) ... Ж 8 (В) Ж^в).... к,(В)

У

Г /1 л /2

/п

V /8 У

(12)

где матрица (Ж) является передаточной функцией системы.

Предположим, что в системе действует в каждом канале только один вход, тогда уравнение (12) запишется в виде

Г X Л Г Жц(р)... Ж1п (р) Л Г /л

X Жи(р).... Ж2п(р)

V ^ У

/2 /

(13)

V пУ

V Жп1 (р) ... Жпп (р), II. Будем полагать, что многомерная виброзащитная система слагается из п многомерных ориентированных звеньев, тогда имеет смысл ввести в рассмотрение некоторые правила преобразования [6].

1. Последовательное соединение звеньев.

Это такое соединение (рис.2), когда выход предыдущего звена подается на вход последующего звена. Можно показать, что в этом случае

х = (Wn) • (Wn _1)...(W2) • (W1) • y, (14) X = (W1) •£ = (W1) [(£) + (W2) • (W1) ]-1 • y. (17)

III. Виды перекрестных связей. Звено с независимыми каналами (перекрестные связи отсутствуют) представлено на рис. 5. Передаточная функция такого звена имеет вид (W11 0 ... 0 ^

Рис. 2. Последовательное соединение звеньев

т.е. результирующая передаточная функция системы является произведением матриц, характеризующих отдельные звенья. Произведение соответственно упорядочено.

2. Параллельное соединение звеньев. Это такое соединение (рис.3), когда на вход всех звеньев соответственно подается одинаковый сигнал, а выходы звеньев суммируются. Можно показать, что в этом случае

X = [ТО + ТО +... + (Жп )]• у. (15)

Рис. 3 Параллельное соединение звеньев

Рис. 4. Обратное соединение звеньев

3. Соединение звеньев с помощью обратной связи. Согласно рис. 4, имеем

ё = у — То • И1) в,

в+ То • то 8 = у, [( е )+то • то]-(8) = у, 8 = [( е )+то • то]-11 • у.]

где (Е) - единичная матрица.

В силу (16), можно написать

(16)

w =

0 W22 ... 0

(18)

ч0 0 ...

Два основных вида перекрестных связей следуют из соответствующего соединения двух звеньев, оба из которых являются звеньями с независимыми каналами.

Я

Уг

у,

Рис. 5. Звено с независимыми каналами

Первый вид перекрестных связей следует из параллельного соединения двух звеньев (рис. 6). Такой тип связей будем называть прямыми перекрестными связями. В указанной схеме Ж1 и Ж,

являются передаточными функциями звеньев с независимыми каналами. Матрицу Я будем называть матрицей вида. Ее форма определяет разновидности такого типа соединений.

Другой вид соединений следует из обратного соединения звеньев (рис. 7). Такой тип соединений будем называть обратными перекрестными связями.

+

W,

Ä 4 w2

х

Рис. 6. Прямое перекрестное соединение звеньев

У

к

Рис. 7. Обратное перекрестное соединение звеньев

Матрицы Ж1 и Ж2 определяют передаточные функции звеньев с независимыми каналами, а матрица Я определяет разновидности такого типа перекрестных связей.

Рассмотрим теперь разновидности этих двух основных типов соединений.

IV. Прямые перекрестные связи. Передаточную функцию звена в этом случае вообще можно представить в виде

Ж = [Ж1 + Я • Ж2 ]. (19)

Часто встречающимся в практике двумерным звеном с перекрестными связями является такое звено, в котором оба канала элемента Ж1 одинаковы, а также одинаковы каналы элемента Ж2 . При таком допущении можно определить два

основных вида звеньев.

1. Звено симметричное. Звено является симметричным, когда

Я =

о 1л

v1 оу

(2о)

(

(Ж) =

л

Гж ж

''11 ''22

Ж Ж

V 22 "11У

= Ж

11

1

Ж22 Л

Ж 11

Ж22 1

Ж11

(2о')

2. Звено антисимметричное. Антисимметричным звеном будем называть такое звено, в котором

' о 1л , . г о — 1л

(Я) =

v—1 оу

либо (Я) =

v1 о у

Соответствующая схема приведена на рис. 9. Можно показать, что передаточная функция такого звена выражается формулой

Рис. 8. Симметричное звено

Рис. 9. Асимметричное звено

Ж =

Г Ж ± Ж22 Л

г ж л

1 ±Ж 22

V

11

+Ж2

22

Ж

= Ж

11 У

+-

Ж

22

Ж11

Ж„

1

(21)

Схема такого звена приведена на рис. 8. Передаточная функция симметричного звена с прямыми перекрестными связями имеет вид

V. Обратные перекрестные связи. Передаточная функция звена в этом случае имеет вид

Ж = Ж [Е — ЯЖ2Ж ]—1. (22)

Как и выше, подробно рассмотрим двумерные звенья, в которых отдельные каналы соответственно одинаковы.

1. Звено симметричное. Звено является симметричным, когда

г о 1л

Я = . (22')

1 о

v1 иУ

Схема симметричного звена с обратными перекрестными связями приведена на рис. 1о. Передаточную функцию такого звена можно определить на основании выражения

1 Г1 жи ж Л

11 (23)

Ж = Ж

1 — ж 2Ж2

1 УУц"2

22

Ж •Ж

V 11 22

11 22 1

2. Звено антисимметричное. Антисимметричным звеном с обратными перекрестными связями будем называть такое звено, в котором

r =

0 1 ^

v-1 0j

или

R =

г0 -л

v1 0 j

(24)

Соответствующая схема приведена на рис. 11. Передаточная функция такого звена имеет вид

1 Г1 тжи ж^)

1

W = W11

1+Wi2 W

±W11 -W

22

. (24')

то возникает прохождение сигналов между каналами. Например, когда положение сдвинуто по фазе на угол у, то величины отдельных выходов будут выражаться в виде

X = X' cos+ X2 sin у, 1

1 1 2 \. (25)

X2 = X2 cos у - X1 sin yj

Эти выражения можно представить в следующей матричной форме:

Г X1 >1

V X2 J

c

^ Г X0

vX2 j

(26)

(W) =

(27)

cosy sin у V-sin у cos у J

откуда видно, что преобразователь координат при произвольном возмущении является асимметричным звеном, передаточная функция которого имеет вид

'шБу эту^ - sin у cosуJ

Такое преобразование координат имеет место, например, в измерительных устройствах с вращающимся лучом. Аналогичное звено, появляющееся при повороте системы координат, может получиться при управлении движением мобильного робота. Сигналы - X' и X2 указывают,

в какую сторону робот должен направляться. Эти сигналы управляют приводами.

о-

Рис. 11. Антисимметричное звено с обратными связями

Рассматривая системы, состоящие из многомерных звеньев, можно утверждать, что справедливы следующие положения:

- соединение звеньев с независимыми каналами дает в результате систему, обладающую также независимыми каналами;

- система, составленная из симметричных звеньев с независимыми каналами, имеет симметричный характер;

- система, составленная из асимметричных звеньев с независимыми каналами, также является асимметричным звеном.

Можно указать ряд примеров, показывающих сущность двумерных звеньев с перекрестными связями.

Пример 1. Рассмотрим устройство для преобразования сигналов, дающих положение объекта в полярных координатах, в сигналы, дающие его прямоугольные координаты.

Когда положение объекта, даваемое блоком преобразования, не совпадает с нулевым курсом,

——<4

Положение

Рис. 12. Преобразователь координат

Рис. 13. Изменение сигналов в преобразователе при смещении положения на у

Преобразователь 0

0 ■

*л ж > Твердое тело

г

^Г а; г ж

Г х ^

X

(

СОБу БШу

л

Г ХП

V х2)

ь =

ь=3у

Ь_ = 3.

ж '

Жау

Ж, Жа.

- —На

Ж, +На"

ло соответствующих осей,

ау а

, О — угловые

скорости поворота около соответствующих осей.

Ж 7

V

Рис. 15. Управляемое твердое тело в пространстве

Рис. 14. Ракета как преобразователь координат

Когда робот повернут около своей продольной оси на угол у, то в ответ на сигнал, дающий поворот вправо, он будет одновременно двигаться в заданном направлении. Получаем зависимость, аналогичную приведенной выше:

(28)

Vх ) V - СОБу)

Пример 2. Рассмотрим перекрестные связи во вращающемся вокруг продольной оси твердом теле вследствие гироскопического эффекта. Пренебрегая трением, получаем следующие моменты количества движений около соответствующих осей (рис. 15):

ЖН

(29)

Рис. 16. Схема, эквивалентная твердому телу, вращающемуся в пространстве

Отметим, что в системе (рис. 16) имеется перекрестное влияние, когда твердое тело вращается около продольной оси. (Предполагается, что О>ау и О> а ). Блок-схема влияния представлена на рис. 16; она является антисимметричным звеном с перекрестными связями.

VI. Устойчивость многомерных систем. Устойчивость п -мерной системы можно оценить при помощи характеристического полинома, пользуясь одним из известных критериев. Рассмотрим устойчивость многомерной системы с замкнутой петлей обратной связи при допущении, что известна передаточная функция разомкнутой системы [ж(р)] [1]. Система с замкнутой петлей обратной связи представлена на рис. 17.

У;"-(^ГТ4

где Н = 3О, 3х, 3 , 3 г — моменты инерции око-

IV

Рис. 17. Многомерная замкнутая система

Передаточную функцию Ж можно задать в операторном виде или при помощи частотных характеристик. Отдельные передаточные функции Жк (р) обычно определяются опытным путем для

конкретной системы. Для системы, изображенной на рис. 17, можно вывести зависимость

Г1+жи жи

Ж

1 п

л г^л

ж„

1 + ж

22

ж,

2п

ж

V п1

жп.

1 + жпп ) Vеп ) Vуп )

Г у ^ У2

(30)

либо в сокращенной записи -

[Е + W]•8 = у, (31)

где Е — единичная матрица.

Определитель матрицы [ Е + W ] в этом случае имеет вид

1+w11 w

12

W

1 n

W„

1 + W2

22

2n

A( p) A0( p)'

( 32)

A0 (ja)

= 1 + * (ja),

(33)

[ E + W ] =

"1+w w

W21

12

1 + W22

A( p) A0( p):

(34)

21 * 1 " 22 _ где W - передаточная функция разомкнутого звена.

Для системы антисимметричного типа, в которой передаточная функция W имеет вид

W =

(W

W21

-W2 W

(35)

1 у

характеристическим полином замкнутой системы выражается в виде

A( p)

(1 + W1)2 + W22 =

A0( p)'

(36)

Wn1 Wn2 ... 1 + Wm где А(p) - характеристический полином матричной передаточной функции замкнутой системы; А0( p) — характеристический полином матричной

передаточной функции разомкнутой системы.

Из уравнения (32) следует, что, зная передаточную функцию разомкнутой системы W, можно определить характеристическое уравнение замкнутой системы, и, следовательно, оценить запас устойчивости.

Определитель матрицы [Е + W ] для многомерных систем является обобщением выражения 1 + K (p), которое фигурирует в одномерных системах [1,5]. Раскрывая определитель (32), получаем частное полиномов от p , что аналогично выражениям, которые пишутся в одномерных системах.

Производя замену p = , найдем соотношение

а(>)

где K(- передаточная функция в разомкнутом состоянии эквивалентной (в отношении устойчивости) одномерной системы.

VII. Устойчивость двумерной системы с антисимметричными перекрестными связями.

Из вышеприведенных примеров видно, что существуют физические системы, в которых имеются антисимметричные звенья. Такие системы особенно часто встречаются в устройствах пространственного слежения и, вообще говоря, в устройствах автоматического пространственного управления. При этом, в случаях, когда имеется разомкнутая система типа асимметричного звена, анализ устойчивости систем значительно упрощается.

На основании зависимости (32) можно записать

Левую часть равенства (36) можно преобразовать следующим образом:

(1+W + jW2)\1+W -jW2) = Af\> (37)

A0( p)

где j = V-T .

Полагая, что W1 и W2 являются частными многочленов от p типа p(p) / Q(p) , из выражения (37) можно получить характеристическое уравнение замкнутой системы

[й( p) • Q2 (p)+P( p> Q2 (p)+P p> й( p)]x 4fi( p) • Q2 (p)+P(p> Q2 (p) - jP2 (p) • ö(p)] = (38) = A( p) = 0.

Откуда можно найти корни одного сомножителя уравнения (38), например, сомножитель

[Q1 (p) • Q2 (p) + P (p) • Q2 (p) + jP2 (p) • Q1( p)] = 0.

Тогда корни другого сомножителя будут сопряженными с корнями первого сомножителя. Таким образом, можно сделать вывод, что для оценки устойчивости достаточно знать корни только одного сомножителя. Аналогично можно показать, что для оценки устойчивости при помощи критерия Найквиста можно брать только один из сомножителей выражения (37) W = W1 + jW2 и

рассматривать его как передаточную функцию одномерной разомкнутой системы. В этом случае, как обычно, система после замыкания будет устойчива, если график W1 (ja ) + jW2 (ja ) не охватывает точки (-1, j0) при изменении a от -да до .

В случае антисимметричных звеньев выступает еще одна зависимость, позволяющая упростить анализ. Известно, что матрица типа

'0 1 1

= J

-1 0J

имеет свойства, подобные свойствам мнимой единицы j = v-r в алгебре комплексных чисел. Легко показать, что J2 = -E, J3 = -J, ej = J , где (1 01

E = - единичная матрица.

V0 1У

Напомним, что в антисимметричном звене фигурирует матрица типа J , а именно передаточная функция антисимметричного звена имеет вид

W =

( W

W2 ^

-W W

= W ■ E + JW2.

(39)

(W) =

вод, что такого рода связи уменьшают запас устойчивости.

2 "1J

Имея несколько звеньев такого типа, соединенных последовательно, передаточную функцию целого можно найти как произведение комплексных чисел, например

w = (w '+JW2') ■ (W"+ JW¡) = = e (WW' - w2w2')+J (WW"+ wxw¡\

откуда

( ww - w2w2 ww ''+ wwt -ww - WW WW - WW ■

Следует заметить, что для оценки устойчивости за передаточную функцию разомкнутой системы нужно брать сумму передаточной функции при E и передаточной функции при J , умноженной на j . При формальном способе можно везде заменить матрицу J мнимой единицей j и производить действия, как в обычных одномерных системах. Например, если имеем два антисимметричных звена, соединенных последовательно, то для оценки устойчивости передаточную функцию эквивалентной разомкнутой системы можно найти следующим способом:

W (ja) = [[(ja) + jW; (ja) ] ■ [[(ja) + jW'( ja)].

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих влияние антисимметричных звеньев на устойчивость системы.

Пример 1. Рассмотрим влияние антисимметричного звена вида, приведенного на рис. 18. Для исследования этого случая имеем выражение W(ja) = (cos у + j sin у) ■W1.

График W (ja) не должен охватывать точку (-1, j0) . Следовательно, в то же время график W1(ja) не должен охватывать точку

-1-= -1-е~

cosy + j sin у

при изменении a от -да до (см. рис.19). Видно, что такого рода звенья уменьшают запас устойчивости системы.

Пример 2. Рассмотрим перекрестные связи в виде дифференцирующих элементов (рис. 20). Для оценки устойчивости имеем выражение

W (ja) = 1 + jaja)W (Ja) = (1 - aa)W (ja).

График W (ja) не должен охватывать точку (-1, j 0). Влияние перекрестных связей выражается в изменении коэффициента усиления как функции частоты. Для отрицательных значений a коэффициент при W1 (ja ) быстро растет (порядок роста зависит от a). Поэтому можно сделать вы-

Рис. 18. Пример системы с антисимметричным звеном и жесткими связями

Рис. 19. График, иллюстрирующий влияние антисимметричного звена

У i

Рис. 20. Система с звеном, имеющим скоростные связи

Пример 3. рассмотрим влияние звена в несколько иной цепочке обратной связи, как показано на рис. 21. Выражение, нужное для оценки устойчивости, имеет вид

ж = жд а) • ж2 (а)*

(

1

w2( ja) ■ a ■ ja

\

(40)

v 1 + W2 (ja)(a ■ ja)2 1 + W22 (ja) (a ■ ja)2

Возьмем передаточную функцию W2 следующего вида:

Щ у а) = -

к

Уа(Т® +1)

(40')

V,

Г,

1

ц

Л',

Рис. 21. Система с асимметричным звеном и обратными связями

После подстановки (40') в выражение (40) получаем

жаа)=щи®)щи*)• ~ТсТ+].. (41)

ак - Та+ у

Выражение Ж1(у*)Ж2 (]*) является передаточной функцией разомкнутой системы без перекрестных связей. Влияние перекрестных связей на устойчивость системы выражается в том, что к системе «как бы присоединено» последовательно звено с передаточной функцией

—Та + у

ЩзО) = ■

: = \Жз(]®)\в^. (42)

ак - Та + у Амплитудная и фазовая характеристики такого звена представлены на рис. 22, где приняты следующие обозначения:

Та = — ак, Т*2 = ак, п = ■ 1

2

ак

- ак*Ю

-Ч,т -щТ 0 Ш1т.1ак V

шт

шиться. Как видно из графика на рис. 22, для ветви, соответствующей положительной частоте, можно получить положительный сдвиг фазы и усиление, меньшее единицы (в полосе ®Т < а—Т), что явление полезно для устойчивости.

VIII. Устойчивость двумерной системы при симметричных перекрестных связях. Если передаточная функция разомкнутой системы имеет характер передаточной функции для симметричного звена, то имеется возможность упростить анализ устойчивости. Передаточная функция такого звена имеет вид

( Ж щ ^

ж =

ж

V 2

Ж

(4з)

1 у

Пользуясь формулой (34), следующее соотношение:

можно написать

Ж +1

Ж,

Ж2 Ж +1

= Ж + 1)2 Т Ж22 =

откуда

(Ж +1+Ж2) • (Ж +1Т Ж2) =

А( Р)

А о( Р)

А( Р) Ао( Р)'

(44)

(45)

Следовательно, характеристическое уравнение замкнутой системы, как и для случая антисимметричных звеньев, можно записать в следующем виде:

[б! (Р)б2 (Р) + Р (Р(Р) + ^2 (Р)й (Р)] X

X [б: (Р)б2 (Р) + Р (Р)б2 (Р) Т Р2 (Р)б1 (Р)] = (46) = А( Р) = 0.

Находя корни обоих сомножителей, можно оценить устойчивость системы в целом. Для оценки устойчивости можно воспользоваться частотным критерием. Из уравнения (45) видно, что система будет устойчивой, если оба сомножителя удовлетворяют условиям устойчивости. Таким образом, система будет устойчивой, если график функции Ж + Ж2, а также график функции

Ж — Ж не охватывают точки (-1, у 0) .

С точки зрения устойчивости систему с симметричными связями можно заменить схемой, приведенной на рис. 2з. Вся система устойчива, если обе части устойчивы.

Рис. 22. Характеристики функции Ж3 ()

При соответствующем выборе соединяющих звеньев влияние их на устойчивость всей системы невелико. При некоторых условиях запас устойчивости может увеличиться, а при других умень-

Рис. 23. Схема, эквивалентная симметричной системе, применительно к анализу устойчивости

В случае двумерной системы, состоящей из последовательных симметричных звеньев с известными передаточными функциями, требуется

£ =

v1 0)

Передаточную функцию звена можно записать в виде

Г ж ж2 \

ж =

(47)

симметричного

ж

V 2

ж

= еж, + 5ж2,

(48)

1)

где Е — единичная матрица.

Матрица £ обладает следующими свойствами:

'0 1^ 2 3

£2 = е, £3 = £,

£ =

v1 0)

ж;' ж'

ж2 ж;){ж: ж,

2' I = [Еж, + £ж']• [Еж,''+ £ж']= (49)

= Е [ж"+ ж2ж2''] + £ [ж; + ж2ж1'] = еж1 + £ж2.

Для оценки устойчивости требуется предварительное знание двух характеристик

Н/) = ж/) + ж2(уа), 1 (50) Н2(]а) = ж(/а) + ж2(/а)\ ( )

Можно показать, что для двух последовательно соединенных симметричных звеньев

Нх(]а) = (ж'+ж;) • ж"), 1 (51) Н2(/а) = (ж' + ж2) • (ж % ж!")] ( )

Для случая п последовательно соединенных звеньев соответственно имеем

Н/) = (ж' + ж2')....(ж(п) + ж2(п)),1 (52) Н 2о) = (ж' + ж2')-(ж( п) + ж(п)).}

Приведем несколько примеров, иллюстрирующих влияние симметричных перекрестных связей на устойчивость системы.

Пример 1. Рассмотрим влияние упругой перекрестной связи. В этом случае (рис.24)

Н1(/а) = Ж(/а)(1 + а),

Н2(» = ж1(/а)(1 — а). ( )

Графики Н1(/а) и Н2(/а) не должны охватывать точку (—1, /0) . Отсюда получаем для Ж(/а) вдоль Н1(/а) точку —1/(1 + а) и соответственно вдоль Н 2(/а) точку —1/(1 — а). Найденные точки показаны на рис. 25, откуда видно,

определитель ж1 и ж2 , другими словами, найти матрицу передаточной функции разомкнутой системы. Эту задачу значительно упрощает матрица £, фигурирующая в симметричных звеньях.

Матрица £ имеет вид '0 1 ^

что подобного рода перекрестные связи уменьшают запас устойчивости.

у] с^/ь

- 1

а

у-1

1 +А+ И{

г1* -

г С2п т? о2п+1 о ^ "

в общем случае £ = Е, £ = £ . Зная свойства матрицы £ , можно определить передаточную функцию нескольких последовательно соединенных симметричных звеньев. Например,

Г ж' ж2' >

ж =

Рис. 24. Система с симметричным звеном и упругими связями

Пример 2. Рассмотрим влияние дифференцирующих связей (см. рис. 26); в этом случае

Н и а) = ж С/'а)(1 + /аа), н2 (» = ж О)+(1 - УМ-

Рис. 25. График, иллюстрирующий влияние симметричного звена на устойчивость

ул ^о

Рис. 26. Система с симметричным звеном и дифференцирующими связями

Из вышеприведенных уравнений можно заключить, что дифференцирующие связи оказывают отрицательное влияние на устойчивость системы. В выражении для Н2(/а) имеется звено с растущей амплитудой и отрицательным сдвигом фазы.

Пример 3. Рассмотрим влияние обратных дифференцирующих связей (рис. 27).

Рис. 27. Система с симметричным звеном и обратными скоростными связями

Задача приводится к исследованию системы

Н.) = ЩЖ2 • 1 „2 ( . )2 (1 + Ж2(а]а)), 1 - Ж2 • (а • .а)

H2( jm) = w1W2

1

1 - W22 • (a • ja)

-(1 + W2(ajm)).

Если выбрать W2 в виде W2O) = -

k

jrn(T • jrn+1)

то можно получить

Hi( j«) = WlW2-aTj--= AW1W2, 1 -ak +1 • jm 1 -ak , , 1

J 1 +--jm

1 - ak

H 2 (jm) = W1W2

1 + T- jm = 1 1 + T • jm

1 - ak + T • jm 1 + ak , , T

J 1+--jm

•W1W2.

! шш -го es/5 г/г J

L ш rj- j

1 , пак Т/ " +20 дб/деп

Г 11

Рис. 28. Логарифмические характеристики передаточных функций, характеризующих влияние перекрестных связей

Здесь влияние перекрестных связей выражается через передаточные функции

1 1 + Т^а

и

G1(Jm) =

G2(jm) =

1 - ak , , T

1 +--jm

1 - ak

1 + TJm

1 + ak 1 + T

1 + ak

jm

Амплитудные графики последних функций в логарифмической шкале представлены на рис. 28, откуда видно, что рассматриваемые связи могут отрицательно влиять на устойчивость.

В заключение хотелось бы отметить, что двумерные системы как математические модели при исследовании механических колебательных систем имеют определенную перспективу стать некоторой основой формирования обобщенных подходов в задачах анализа и синтеза многомерных систем. В этом случае двумерные системы могут рассматриваться как базовые блоки, коммутация которых позволяет вскрыть механизмы построение сложных систем динамического взаимодействия [5].

(55)

(57)

(58)

(59)

БИБЛИОГРАФИЯ

1.

3.

Елисеев, С.В. Вибрационные системы. Вопросы управляемости и наблюдаемости / С.В. Елисеев, А.П. Хоменко // «Современные технологии. Системный анализ. Моделирование». Вып 3(19). Иркутск: ИрГУПС. 2008. С.8-14. (56) 2. Елисеев, С. В. Мехатронные подходы в задачах вибрационной защиты машин и оборудования / С.В. Елисеев, Р.Ю. Упырь// «Современные технологии. Системный анализ. Моделирование.» Вып. 4 (20). -Иркутск: ИрГУПС.-2008. С. 8-16 .

Банина, Н.В. Особенности поведения двумерной механической колебательной системы при разовом сдвиге // Моделирование технических и природных систем. Труды XIII Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». Иркутск. 2005. -Иркутск: ИСЭМ СО РАН. Том V. С. 31-37. Елисеев, С.В. Виброзащита и виброизоляция как управление колебаниями объектов / С.В. Елисеев, А.А. Засядко // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Вып. 1 (4). - Иркутск. -ИрГУПС.-2004. С. 2432.

Елисеев, С.В. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов / С.В. Елисеев, Ю.Н. Резник, А.П.Хоменко, А.А. Засядко; Чит. гос. ун-т, Иркутский государственный университет путей сообщения. -Иркутск; Изд-во Иркутского государственного ун-та. -2008.-523 с. ISBN 978-5-9624-0291-8.

4.

5.

1