CC BY
53О связи линейных интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма с линейными дифференциальными уравнениями
Силаев Александр Александрович,
кандидат экономических наук, доцент кафедры математики и информатики Государственного университета управления, vishmat@mail.ru.
Паршикова Галина Юрьевна,
старший преподаватель кафедры математики и информатики Государственного университета управления, даИпа44@т-box.ru.
Перфильев Алексей Анатольевич,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики Государственного университета управления, alex0304@mail.ru.
Статья посвящена интегральным уравнения Вольтерра (Фредгольма) как первого, так и второго рода. Устанавливается связь интегрального уравнения Вольтерра и задачи Коши для линейного дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Разбираются два существенно различающихся случая аппроксимации интегрального ядра: полиномом Тейлора и многочленом Фурье в случае исследования экосистемы с периодическими либо близкими к периодическими (квазипериодическими) состояниями (функциями поведения в среднесрочной перспективе). Установлена математическая «ниша» для применения метода вырожденных ядер. Указана возможность аппроксимации реального интегрального ядра вырожденным ядром, дающая перспективы для применения приближенных методов решения интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма. Сфокусированы экономические проблемы и задачи, математическое моделирование которых приводит к анализу интегральных уравнений Вольтерра (и Фред-гольма), как первого, так и второго родов. Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, вырожденное ядро, собственные значения и собственные функции уравнения, многочлен Фурье, метод итерированных ядер.
При исследовании задач финансового анализа, связанных с детерминацией доходности как фирмы, так и паевых инвестиционных фондов, непрерывные модели способны приводить к более точным прогнозам, нежели дискретные [4, 5]. Кроме того, для непрерывных моделей эффективнее проводить оценку меры отклонения (разброса, вариации, колеблемости, рассеяния) доходности от ожидаемого значения, например, ^[ЩХ) =а,
называемую средним квадратическим отклонением и фактически представляющую собой функцию финансового риска для системы экономики.
Подобные ситуации могут моделироваться с помощью краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений как правило второго рода, которые сводятся к интегральным уравнениям Вольтерра первого рода
(1)
X ■ | К ( х, ^)у (5 С = / ( х)
а
либо второго рода
х
у( х) = Х\ К (х, 5) у ($)сЬ + / (х). (2)
а
Пытаясь свести уравнение Вольтерра к соответствующим уравнениям Фредгольма, определяют функцию двух независимых переменных - «расширение» ядра
Г К (х, 5) при а < 5 < х, ,0.
Н(х, 5) = \ V ' ' у ' (3)
[ 0 при 5 > х.
Кроме того, предполагается, что уравнение Вольтерра первого рода сводится к уравнению Вольтерра второго рода, если предположить дополнительно, что
Н(х, х) Ф 0 для любого значения аргумента из отрезка [а, Ь] (здесь Ь - верхний предел интегрирования в уравнении Фредгольма, причем не исключается и случай Ь = ). Требуется еще существование непрерывной функции дН(х, . Однако из формулы (3) сле-дх
дует, что вероятность одновременного выполнения условия Н(х, х) = К(х, х) Ф 0 и того, что функция
И(х,э) является непрерывной функцией двух переменных, весьма мала. А теоремы Фредгольма, являющиеся основным инструментарием при решении уравнений Фредгольма второго рода, предполагают наличие непрерывного интегрального ядра Н(х, 5) .
Авторы намерены, обойдя «подводные рифы» рассмотренных нестыковок, заново обосновать и применить метод итерированных ядер.
Если время накопления (интегрального) дохода не фиксировано, то определенный интеграл с переменным
X X
о
го А с.
X
го т
о
ю
2 О
м
сч
0 сч
СП
01
о ш Ш X
<
m о х
X
л
верхним пределом J K (x, t) y (t )dt выражает
контину-
ально суммарный доход, образующийся при непрерывном суммировании «свертки» интегрального ядра с (неизвестной) инвестиционной функцией у^). Заметим, что преобразование Лапласа
Л • J e~pt((t)dt = Ф(p),
(4)
играющее столь заметную роль в операционном исчислении и ТОЭ (теоретических основах электротехники), легко переводится на язык интегрального уравнения Фредгольма первого рода: по известному изображению Ф(^)(правой части уравнения) восстановить
(если он существует) оригинал ((X) . А это и есть ни что иное, как обратное преобразование Лапласа. Параметр Л введен для удобства идентификации неизвестного оригинала по известному изображению. Отметим еще ранее анонсированное авторами [8] утверждение: для интегрального уравнения Фредгольма первого рода с ядром, коллинеарным плотности вероятностей нормального распределения
(при а = М (х) = 0; Б( х) = а2 = 2^
-( x2 + О
y (s)ds = 0
или иначе
Л • e
1-uu
J e2y(t)dt = 0.
(5)
(2k -1)!
суммируется
,2 k-1
^ t^1 , e' - e
> --- = sht =-
k=1 (2k -1)! 2
полученный ряд
(6)
e" U2k-1dt = 0
(7)
при всех степенях k = 1,2,3,... как интеграл от нечетной функции по симметричному (хотя бы и бесконечному) интервалу (), причем получается абсолютно сходящийся интеграл.
Важной для квази-циклических экономических и экологических процессов представляется задача, сводящаяся к интегральному уравнению Фредгольма первого рода с вырожденным ядром, представленным произведением произвольной непрерывной функции Н(х) и тригонометрическим полиномом Фурье с наименьшим положительным периодом 2 Ж:
K(х,X) = H(х) • £[а, со<] • X) + ^ 8ш(] • X)]. (8)
]=0
Соответствующее интегральное уравнение Фредгольма первого рода выглядит так:
2ж п
Л • | Н(х) • £ а 008(А) + bj 8Ш(А)) • у($)& = 0. (9)
0 А=0
Рассмотрим два линейных пространства конечных размерностей
Ц =
1; cos t; cos21;...; cos( nt); sin t;sin 2t;..sin(nt)
и
dim L = 2n +1
Ц =
cos(n + 1)t;...; cos( Nt);]
Ненулевые решения интегрального уравнения (5) являются линейными комбинациями полиномов с нечетными степенями вида х, X3, X5,..., Х2кч,... ПрИ к = 1,2,3,..., а при условии абсолютной сходимости
ад
степенного ряда £ак^2к~1 = ^ {а, X), ] = 1,2,3,...
к=1
представляют собой дробно-рациональные функции аргумента t или, обобщая, полиномов из гиперболических
функций, так как при а =■ 1
sin(n + 1)t;...sin( Nt) J ■
dim L2 = 2(N - n) = 2N - 2n
Эти подпространства пересекаются лишь по нулевому элементу. Очевидно, что Цn L2 = |0} и произвольный элемент пространства Li ортогонален любому элементу пространства L2, если скалярное произведение двух функций (p(t) • y/(t) понимается (в веще-
ственном пространстве) как
2л
<
(р,у>= J ((t) • y/(t) dt ■
(10)
Все вышесказанные утверждения доказываются в работе авторов [8] и фактически базируются на том, что абсолютно сходящийся несобственный интеграл первого рода равен нулю
Отсюда авторы заключают, что произвольный многочлен Фурье вида
N
£ [ат соБ(т • X) + Ьт )] (11)
т=п+1
является решением однородного интегрального уравнения Фредгольма первого рода (здесь N >п+1, N -любое натуральное число). Более того, если коэффициенты ат = а (т; х); Ьт = Ь(т; х) зависят не
только от индекса т, но и от аргумента х, функция вида (11) все равно остается решением уравнения (9) при любом параметре Л . Если же дополнительно к сказанному функция вида (11) отлична от нуля, то она будет являться собственной функцией однородного уравнения Фредгольма первого рода.
Что касается аналитических, асимптотических приближенных методов решения интегральных уравнений, то подобно тому, что авторы предлагают [6, 7] для рассмотрения уравнения Фредгольма второго рода
J
и
y (x) = Л • J H (x, t)y(t)dt + f (x),
(12)
следует непрерывное ядро И(х^) заменить близким к нему вырожденным ядром Hn (х, ^, причем
Нп ( x, t ) = £am ( x)^ Pm (t ) ■
(13)
m=0
В зависимости от семантики исследуемой экономической проблемы можно указать, например, два способа аппроксимации исходного непрерывного ядра вырожденным. Если ядро раскладывается в ряд Тейлора по аргументу х, то в качестве вырожденного ядра можно выбрать (подходящий по степени точности построения) конечный отрезок ряда Тейлора функции двух переменных:
Н ( x, t) =2
(x - xj
•Km (t )■
(14)
_______1 n
Hn( xt ) = 2 ao(t )+Z a(t ^cos
2 j=i
l '
где aj(t) вычисляются по формулам Фурье:
2
{t) = -• JK(x,t) •cos
j •x l
dx'
(15)
(16)
y( x ) = T~r( x) ■
dx
(18)
сводим к интегральному уравнению. После двух последовательно взятых операций интегрирования получаем:
d-=J y(t )dt+c ,
dx
a
причем
du (a ) = J y (t) dt + C = Ci ■
a
Далее
и(х) = |СЬ1у(/)С + и'(а) ■ (х - а) + С2'
а а
Изменяя порядок интегрирования в двойном интеграле, получаем:
| Съ | у(}) С = | С | у^) Съ =
а а а I
= | у^)Л ■ | С5 =| (х -1)y(t)С =
а I а
х
= | (х - 5)у(
а
а / 5 ^
причем С2 = и(а), так как ^ С ■ ^ у(/)С
Va
т=0 т!
где х0 е (а; Ь) - подходящим образом подобранная
точка интервала.
Непрерывное ядро И(х,() допускает, в среднем квад-ратическом, аппроксимацию тригонометрическим многочленом с произвольно взятым и подходяще подобранным периодом Т = 21, например, аппроксимацию вида:
Следовательно, поскольку u(a) = A; u'(a) = B, будем
иметь
л.
i(x) = J(x - s)y(s)ds + B(x - a) + A ,
причем du dx
— = J y (s)ds + B
(19)
(20)
Подставляя (18), (19) и (20) в ОДУ (17), получаем интегральное уравнение Вольтерра (второго рода, причем при X =-1)
Аналогичные разложения получаются при условии, что аргументы х и t меняются ролями.
В заключении статьи авторы обращают внимание заинтересованных исследователей на глубокую связь между ОДУ (второго рода) и интегральными уравнениями Вольтерра.
Задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка
^Г + Р( х) ^Т + 4( х)и = Р (х) (17)
ах ах
при начальных условиях Коши:
и (а) = А, — (а) = В Сх
с помощью замены неизвестной функции
х
y ( x) = -1 • J K ( x, s)y (s )ds + f (x),
(21)
где интегральное, причем несимметричное ядро и правая часть имеют вид:
K(x, s) = p(x) + q(x) • (x - s) Ф K(s, x) - ядро, f (x) = F(x) - B • p(x) - (A + B • (x - a))q(x) - правая часть уравнения.
Зная функцию у(х), то есть решив тем или иным способом интегральное уравнение Вольтерра (21), можно найти по формуле (19) решение ОДУ (17) и его производную согласно формуле (20). Следовательно, интегральное уравнение Вольтерра (21) включает в себя всю информацию, содержащуюся в задаче Коши для ОДУ (17), а также и начальное условие y(0) = f (0) .
Результат можно обобщить и распространить на линейное дифференциальное уравнение (и соответствующую задачу Коши) произвольного (а не только второго) порядка [1, 4].
Подводя промежуточные итоги, следует сказать определенно: при выборе математического аппарата, более адекватно отображающего многоуровневые процессы инвестиционного накопления (либо диссипации инвестиционной функции), предпочтение должно отдаваться не дифференциальным, а интегральным уравнениям (в сложных случаях - системам интегральных уравнений) Вольтерра (либо Фредгольма). Например, суммарная стоимость векторного (матричного) пакета акций (крупного конгломерата банков) должна быть отображена не дискретной, а непрерывной моделью и искомая
X X
о
го А с.
X
го m
о
ю
2 О M
сч
0 сч
cñ
01
О Ш Ш X
стоимость - континуально варьироваться. Аналогичное можно утверждать и про процессы непрерывно происходящей капитализации. Социально-экономическая нестабильность, характерная после финансового кризиса (2012-2015 гг.), усугубляется слабо предсказуемой (во времени и в пространстве) пандемией. Поэтому в последующих моделях в систему интегральных уравнений следует ввести стохастический вектор, отображающий совокупность случайных факторов, влияющих на процесс в среднесрочной (и, тем более, долгосрочной) перспективе. Учитывая многовариантность отклика на случайные возмущения извне, возможность оптимального выбора виртуальных стратегий поведения, в интеграль-ное(-ые) уравнение(-я) Фредгольма либо Вольтерра вводится неизвестный (apriori) параметр Л, который впоследствии окажется принадлежащим множеству собственных значений - спектру интегрального ядра. Симметричность искомого ядра гарантирует наличие вещественных собственных значений и соответствующих им вещественных собственных функций и, следовательно, при данной ситуации у экономико-экологической системы существует реальный выбор стратегии. Если же все собственные значения - комплексные (мнимые) числа и собственные векторы содержат мнимые составляющие, то рационального (реального) выбора позитивной стратегии, по-видимому, не существует. Подобную систему следует признать неустойчивой либо неопределенной и создавать заново принципиально иную модель управления по выходу (выведению) искомой системы из тупика. Авторы предполагают, что в этой, отдельно взятой «тупиковой» системе весьма перспективным окажется метод имитационного моделирования [2], обобщенный на непрерывный случай. И по-прежнему сохраняется условие: гарантом устойчивости системы являются (только) отрицательные действительные части всех собственных значений искомой системы.
Литература
1. Дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие в 3-х частях/ сост. Кручек М.М., Све-това Н.Ю., Семенова Е.Е.- Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2014.
2. Замков, О.О. Математические методы в экономике. Учебник, 5-е изд. испр. / О.О. Замков, Черемных Ю.А., Толстопятенко А.В. - М.: «Дело и сервис», 2007. -384 с.
3. Интегральные уравнения. В 2 ч. Часть 1: справочник для вузов. /А.Д. Полянин,
А.В. Манжиров. - 2-е изд., испр. и доп.- М.: Юрайт, 2017, 365 с.
4. Корн, Г. / Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 2007.
5. Краснов, М.А. Интегральные уравнения. Учебное пособие/М.А. Краснов, Л.И. Киселев, Г.И. Макаренко. -М.: Книжный дом «Либроком», 2012,192 с.
6. Паршикова Г.Ю., Силаев А.А. Интегрально-лаго-вые модели экономической динамики//Инноватика и инвестиции. 2021. №1.-с.140-144. - М.: ООО «Русайнс».
7. Паршикова Г.Ю., Силаев А.А., Тарарин И.М. Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра как математический аппарат экономической динамики, сходство и различие //Инноватика и инвестиции. 2021. №5.-с.164-169. - М.: ООО «Русайнс», doi:10.24411/2307-180X-2021-00025.
8. Силаев А.А., Паршикова Г.Ю., Перфильев А.А., Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода в приложениях к экономике //Инноватика и инвестиции. 2020. №9.-с.162-169. - М.: ООО «Русайнс».
On the connection of the linear integral equations of Volterra and
Fredholm with linear differential equations Silaev A.A., Parshikova G.Yu., Perfilyev A.A.
State University of management
JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_
The article is devoted to Volterra (Fredholm) integral equations of both the first and second kind. The connection between the Volterra integral equation and the Cauchy problem for a second-order linear differential equation with variable coefficients is established. Two significantly different cases of approximation of the integral kernel are analyzed: the Taylor polynomial and the Fourier polynomial in the case of studying an ecosystem with periodic or close to periodic (quasi-periodic) states (functions of behavior in the medium term). A mathematical "niche" for the application of the method of degenerate kernels is established. The possibility of approximation of a real integral kernel by a degenerate kernel is indicated, which gives prospects for the application of approximate methods for solving the Volterra and Fredholm integral equations. Economic problems and problems are focused, the mathematical modeling of which leads to the analysis of Volterra (and Fredholm) integral equations, both of the first and second kinds. Keywords: Fredholm integral equation, degenerate kernel, eigenvalues and eigenfunctions of the equation, Fourier polynomial, iterated kernel method. References
1. Differential and integral equations: a tutorial in 3 parts / comp. Kruchek
M.M., Svetova N.Yu., Semenova E.E. - Petrozavodsk: Publishing house of PetrSU, 2014.
2. Locks, O.O. Mathematical methods in economics. Textbook, 5th ed. rev. /
O.O. Locks, Cheremnykh Yu.A., Tolstopyatenko A.V. - M .: "Business and Service", 2007. -384 p.
3. Integral equations. In 2 hours. Part 1: a reference book for universities.
/HELL. Polya-nin,
A.V. Manzhirov. - 2nd ed., Rev. and additional - M .: Yurayt, 2017, 365 p.
4. Korn, G./G. Korn, T. Korn. A guide to mathematics for scientists and engi-
neers. - M .: Nauka, 2007.
5. Krasnov, M.A. Integral equations. Study guide / M.A. Krasnov, L.I. Kiselev,
G.I. Makarenko. - M .: Book House "Librokom", 2012,192 p.
6. Parshikova G.Yu., Silaev A.A. Integral-lagged models of economic dynam-
ics // Innovation and investment. 2021. No. 1.-p.140-144. - M .: OOO Ru-Sains.
7. Parshikova G.Yu., Silaev A.A., Tararin I.M. Fredholm and Volterra integral
equations as a mathematical apparatus of economic dynamics, similarity and difference // Innovation and investment. 2021. No. 5.-p.164-169. - M .: OOO Rusays, doi: 10.24411 / 2307-180X-2021-00025.
8. Silaev AA, Parshikova G.Yu., Perfiliev AA, Linear integral Fredholm equa-
tions of the second kind in applications to economics // Innovation and investment. 2020. No. 9.-p.162-169. - M .: OOO "Rusays".
J
<
m о x
X
