ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА И ВОЛЬТЕРРА КАК АППАРАТ ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ, ИХ СХОДСТВО И РАЗЛИЧИЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра как аппарат задач экономической динамики, их сходство и различие

см о см

!Л

О!

О Ш

т

X

<

т О X X

Паршикова Галина Юрьевна,

старший преподаватель кафедры математики и информатики Государственного университета управления, [email protected].

Силаев Александр Александрович,

кандидат экономических наук, доцент, кафедра математики и информатики Государственного университета управления, [email protected].

Тарарин Игорь Михайлович,

кандидат технических наук, доцент, кафедра математики и информатики Государственного университета управления, [email protected]

В статье авторы обосновывают утверждение, что интегральное уравнение Вольтерра не является частным случаем интегрального уравнения Фредгольма: переход к расширенному ядру делает его разрывным и, следовательно, большинство теорем Фредгольма не переносится на уравнения Вольтерра. Авторы исследуют важный частный случай, при котором ядро уравнения является вырожденным и разбирают оригинальный подход, состоящий в построении асимптотического решения уравнения Вольтерра. Кроме того, построена ортогональная система по отношению к ядру, с точностью до постоянных множителей совпадающему с плотностью нормального распределения вероятностей.

В заключении работы отмечаются направления, по которым следует разрабатывать аспекты, связанные с применением интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра в задачах экономической динамики - это прежде всего для математического моделирования возникающих финансовых задач и проблем финансового рынка.

Особенно адекватным аппарат интегральных уравнений становится во времена социально-экономической нестабильности. Ключевые слова: интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра, собственные функции интегрального оператора, вырожденное ядро.

Резюмируя свои научные труды, великий Давид Гильберт высказал гипотезу: в ближайшие сто лет особенно востребованной в прикладной математике будет теория интегральных уравнений, как линейных, так и нелинейных [1]. Например, профессиональное применение искусственного интеллекта (ИИ) невозможно без привлечения аппарата интегральных уравнений. ИИ, как машина непрерывного (континуального) действия, способен впитывать в себя инвестиционные новации, которые будучи заложены в интегральную модель, окажутся «бомбой замедленного действия» для позитивного изменения структуры экономических процессов.

В ряде работ, посвященных интегральным уравнений [4, 5, 6], авторы обращали особое внимание на общепринятые положения, затрудняющие исследование уравнений Вольтерра. В приложениях, в том числе и к решению задач экономической динамики [7,10], естественно возникают модели, включающие в себя интегральные уравнения Вольтерра, причем как первого (1), так и второго рода (2):

Л-| К ( X, 5) У (= / ( х)

(1)

л

У( х) -Л'! К (X, 5) У( = / (х) (2)

а

В специальной литературе [8,9] считается, что после введения функции двух переменных, - «нового» ядра уравнения Вольтерра

П< Ч \К(X,5), при5е[а;х]

Н (х'= 1 0 ( Ь) (3) [ 0, при 5 е (х; Ь)

(здесь не исключается возможностьЬ ^ +оо ), уравнения Вольтерра удается перевести в форму соответствующих уравнений Фредгольма с ядром Н(х,в) и, таким образом, теория уравнений Фредгольма «перекрывает» теорию уравнений Вольтерра, то есть содержит ее как собственное подмножество. Кроме того, в некоторых работах считается очевидным, что при непрерывно - дифференцируемых ядре Н(х,в) и внешнем «возмущении» /(х), уравнение Вольтерра первого рода сводится к уравнению Вольтерра второго рода, если предположить дополнительно, что Н(х,х) ^ 0 (при х е [а; Ь]).

Ясно, однако, что из формулы (3) следует: при дополнительном предположении Н(х,х) = К(х,х) ^ 0 с вероятностью, близкой к единице, «обновленное» ядро Н(х,в) становится разрывной функцией (в соответствующем квадрате, принадлежащем плоскости аргументов (х, в), содержащим его диагональ в = х), и теоремы Фредгольма, в достаточные условия которых входит требование непрерывности интегрального ядра, к этой изменившейся ситуации применимы быть не могут. Более того,

доказательство сводимости уравнения Вольтерра первого рода к уравнению Вольтерра второго рода основано на дополнительном предположении о дифферен-цируемости ядра, точнее, о существовании непрерыв-

дН

ной частной производной-(х, 5), что вступает в про-

дх

тиворечие с формулой (3) при 5 — X = X — 0 .

Авторы намерены, обойдя подводные рифы указанных нестыковок, заново обосновать и применить метод вырожденных ядер к интегральному уравнению Вольтерра. Как известно, интегральное ядро Н(х,э) называется вырожденным, если оно представимо конечной суммой парных произведений:

Н (X, 5 ) = ^ (х)Д (5) ,

(4) функций

причем системы

{а1(х);а2(х);а3(х);...;ап(х)} и

{ДО); ДО);ДО);...; Д(я)} являются линейно-независимыми системами. Для подобных вырожденных ядер уравнение Фредгольма второго рода допускает аналитическое решение [2,3]. Предлагаем алгоритм перевода «фредгольмовской» методики на язык уравнения Вольтерра. Непосредственный «перенос» осуществить не

удается, поскольку интегралы

Д) у №

не явля-

ются константами, в отличие от «фредгольмовских» ин-

тегралов вида

\ Д (5) у(э)йэ = свт1,

у( х) = /(х)(х)Ь1(х),

(5)

где функции от верхнего предела интегрирования и индекса /

л

Ьг (х) = {Д( $) у(

(6)

дифференцируемы, а их первая производная равна

йЬ1 (х) йх

= Д(х)у(х) V/ = 1,2,...,п ■

(7)

Если допустить существование второй непрерывной производной, то будем иметь формулу:

^Мх) = ММ. у(х) + Д(х) . йУ . йх йх йх

(8)

Ь■ (а) ={Д0) у (5)й5 = 0;

йЬ1 (а) йх

= Д(а ) у (а) = Д(а)/(а ) ■

ЁЛ^ = Да!. у(а) + Д. (а). йУО) = Д. / (а) + Д (а). ^

йх2

йх

йх

йх

йх

Затем находим:

йу = й/ (х)+я. | ты1у{8 й+ Ж (х, х)у(х).

йх йх

Учитывая, что

дх

■дК (х, э)

дх

-у = 0 ,

получаем:

у'(а) = / '(а) + Ж (а, а) у(а) = / '(а) + Ж (а, а) / (а) . (9)

Поэтому, представляя решение интегрального уравнения Вольтерра в виде конечного отрезка ряда Тейлора (с центром в точке а), находим:

( — )2

у(х) = у(а) + (х — а)у'(а) + —^у " (а) + Яп (х) .

Далее имеем:

У (а) А. „42

зависящих

лишь от индекса /. Подставляя интегральное ядро (4) в уравнение (2) и, учитывая формулу (3), будем иметь:

Предположение о существовании непрерывных производных можно расширить до требуемого условиями задачи п-ого порядка производной, где конкретное значение п определяется экономической спецификой задачи.

Реализуем теперь начальные условия, заложенные в исходных данных математических моделей, оперирующих с вырожденным ядром.

у( х) ~ / (а)+(х — а)( / '(а)+ЖК (а а) / (а))+——(х — а)

. (10)

Важный частный случай формулы (9) получается при а = 0:

у(0) = /(0) = 0; у "(0) = /"(0) + Ж(0,0). /(0) = /"(0), причем для любого параметра Ж .

Отметим экономическую интерпретацию уравнений Вольтерра и Фредгольма: в уравнениях Фредгольма время накопления (либо «распыления») искомой функции фиксировано, закреплено самой структурой системы экономической динамики, а в уравнении Вольтерра момент выхода из «финансовой игры» неизвестен и может быть определен либо самими участниками игры, либо законодательно, либо исходя из внешнего экономического критерия, например, оптимизационного (скажем, минимизирующего налоговые отчисления либо максимизирующего прибыль некоторой подгруппы участников игры). Достаточно ясно, что при описании инвестиционного процесса - непрерывной финансовой игры - с помощью уравнения Вольтерра существует большая вероятность повысить доходность (например, акций или брокерских счетов или ПИФов), однако и финансовые риски, с этим связанные, также значительно выше, чем в финансовых процессах, описываемых уравнениями Фредгольма. В особенности следует отметить экономическую трактовку интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра первого рода при малых внешних возмущающих воздействиях, то есть при

/(х) = о(1) — 0 (при условии Ж — 0 получается величина, стремящаяся к нулю, для важных асимптотических моделей экономической динамики).

Рассмотрим под этим «углом зрения» задачу вида:

I К (х, 5) уО)й? = Ж • / (х) = о(1) — 0 при Ж — 0. (11)

—да

Предположим, что система под воздействием турбулентной внешней среды, хотя и слабо ощутимой, «склоняется» к (квази-) нормальному распределению плотности вероятности с помощью интегрального ядра

К(х,э) = с. +5), причем не ограничивая общности

X X

о

го А с.

X

го т

о

ю

2 О

м

1=1

1=1

CS

0

CS

in

01

О Ш

m x

<

m о x

X

построений, предположим, что с = 1. Преобразуя уравнение Фредгольма первого рода, получим асимптотическое уравнение:

J е-y( s)ds = о(1).

(12)

Найдем асимптотическую динамику полученного уравнения, заменяя о(1) на «чистый» нуль. Фактически, искомая неизвестная функция у(х) должна, во-первых, гарантировать (равномерную) сходимость несобственного интеграла первого рода, а во-вторых, быть ортогональной, - в метрике пространства Лебега (-го; +го)

- к мультипликативной составляющей интегрального

- 2

ядраК1(5) = о-в 5 . И, разумеется, тривиальное решение задачи не может устраивать ЛПР. Бесконечную систему линейно-независимых функций искомого типа представляют полиномы нечетных степеней:

у(5) е(?;53;55;...;-1;...} , где к = 1, 2, ...., поскольку сходящаяся «шкала» несобственных интегралов первого рода от нечетных функций сходится именно к нулю:

J е s •(с1 •s + а2 •s3 + с3 •s5 +... + ак

1)ds = 0

(13)

для любого конкретного номера к и любой последовательности чисел ^а. | , исключая одновременное ра-

к+1

венство их нулю, то есть ^|а.| ^ 0■

j=l

сходимости

степенного

Для радиуса

œ

Z2k+1

ССк+1 • s имеем

к=0

Коши-Адамара. Находим с помощью признака Далам-бера

ряда

модифицированную формулу

lim

к ^œ

Uk+i(s)

Uk (s)

= s lim

к ^œ

Ск+i( s)

Ск( s)

< 1.

Следовательно, r =

\

lim

к ^œ

Ск(s)

С

i(s)

(14)

(15)

интервал сходимости -(-К; К), в предположении, что все параметры а. не зависят от в и одновременно не равны нулю.

Частные случаи: если И = го , то 5 е (-го; +го) , то

есть ряд сходится на всей числовой оси; если И = 0, то в = 0, то есть ряд сходится лишь в центре. Внутри интервала сходимости степенного ряда, также и для самого ряда - в силу равномерной сходимости - допускается почленное интегрирование степенного ряда. Следовательно, каждая функция, принадлежащая бесконечной

системе линейно-независимых функций рк (5) = 52к+1

при к = 0, 1, 2,., а также любая нетривиальная их линейная комбинация и даже, - используя соответствующие степенные ряды и их равномерную сходимость, -

все функции вида ¥(s) = const • shs, где

es - е~s

shs =--нечетная функция, известная как ги-

2

перболический синус, - будут решениями (собственными функциями при const Ф 0 ) соответствующего интегрального уравнения Фредгольма первого рода. Вопрос о трансформации искомой методики на интегральное уравнение Вольтерра (при X ^+œ) остается открытым и нуждается в дополнительном исследовании.

Подводя итоги, авторы считают нелишним отметить: поскольку процесс накопления инвестиционной функции, происходящий с растянутым, точнее распределенным во времени запаздыванием по отношению к породившему его денежному стимулу, интегрируется в «итоговую» сумму даже не частями (гранулами), а равномерно размазывается по всему спектру, то применимость интегральных уравнений в качестве аппарата моделей с запаздыванием не вызывает сомнений. Схожее явление происходит и на рынке ценных бумаг: например, суммарная стоимость большого инвестиционного пакета акций банка - гиганта (Сбербанк, ВТБ, ...) в силу непрерывной волатильности их стоимости, моделируется не суммой (и даже не рядом), а определенным или несобственным интегралом. В зависимости от уровня экономической капитализации в регионе и аккумуляции в суперпозиции с волатильностью, процесс капитализации на уровне отрасли (либо крупной системы фирм) будет интегральным. Следовательно, искомые уравнения, описывающие данный процесс, тоже будут интегральными. В соответствии с этими факторами, авторы и настаивают на предпочтительном, по сравнению с алгебраическими или даже дифференциальными уравнениями, применении интегральных уравнений Фред-гольма и Вольтерра для математического моделирования возникающих финансовых задач и проблем финансового рынка. Особенно адекватным аппарат интегральных уравнений становится во времена социально-экономической нестабильности. При формализации подобных неустойчивых задач отметим свойство ядра интегрального оператора (или, что то же самое, уравнения) - отражать внутренние возможности (и резервы), - а в итоге, - потенциал экономической системы, ее реакцию (точнее, скорость реакции) на внутреннее (эндогенное) распространение финансового и/или демографического кризиса, «оплетающего» экономическую динамическую систему. Учитывая многовариантность «отклика» на случайные возмущения извне, возможность выбора «виртуальных», причем различных стратегий поведения ЛПР, в интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерра вводится «свободный» параметр ( Л ) и ищется спектр (множество) его значений, при которых интегральное уравнение имеет единственное решение, либо возможность, когда интегральное уравнение допускает бесчисленное множество решений, либо сценарий, когда оно вовсе не имеет решений.

Литература

1. Гильберт, Д. (1998). Избранные труды (т.1, 2). М. ISBN (EAN): 5-88688-029-1, 5-88688-028-3.

2. Корн, Г. & Корн, Т. (2007). Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука. 720 с.

3. Михлин, С. Г. (1965). Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений / С. Г. Михлин, X. Л. Смолицкий. М.: Наука. 512 с.

4. Паршикова, Г., Силаев, А., Перфильев, А. (2020). Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода в приложении к экономике // Инновации и инвестиции. №9. сс.162-169.

5. Паршикова, Г., Силаев, А. & Тарарин, И. (2020). Применение интегральных уравнений к конфликтным ситуациям экономики: материалы 25-й Межд. научно-практ. конф. «Актуальные проблемы экономики -2020», Москва.

6. Паршикова, Г., Силаев, А. Интегро-дифференци-альные модели экономической динамики // Инновации и инвестиции. 2021. №1. с.140-144.

7. Recent Advances in Integral Equations' ed. by Francisco Bulnes (2019). TESCHA. 77 р. DOI: 10.5772/intechopen.79094 ISBN: 978-1-83880-657-6.

8. Salisbury A. Mathematical models in population dynamics, Sarasota FL, 2011. [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://www.emis.de/journals/GMN/yahoo_site_admin/asset s/docs/1.

9. Yuldashev, T. K. (2019). On the Solvability of a Boundary Value Problem for the Ordinary Fredholm Integrodifferential Equation with a Degenerate Kernel. Computational Mathematics and Mathematical Physics. vol. 59. pp. 241-252. https://link.springer.com/journal/11470.1

10. William, H. Press; Teukolsky, S. A.; Fetterling, U.T. & Flannery, B.P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Fredholm and Volterra integral equations as a mathematical apparatus for problems of economic dynamics, their similarities and differences Parshikova G.Yu., Silaev A.A., Tararin I.M.

State University of management

JEL classification: C10, C50, C60, C61, C80, C87, C90_

In the article, the authors substantiate the statement that the Volterra integral equation is not a special case of the Fredholm integral equation: the transition to the extended kernel makes it discontinuous and, consequently, most of the Fredholm theorems are not transferred to the Volterra equations. The authors investigate an important special case in which the kernel of the equation is degenerate and analyze the original approach, which consists in constructing an asymptotic solution to the Volterra equation. In addition, an orthogonal system is constructed with respect to the kernel, which coincides with the density of the normal probability distribution up to constant factors. In conclusion, the paper notes the directions in which it is necessary to develop aspects related to the application of the integral Fredholm and Volterra equations in problems of economic dynamics - this is primarily for mathematical modeling of emerging financial problems and financial market problems.

The apparatus of integral equations becomes especially adequate in times of

socio-economic instability. Keywords: Fredholm and Volterra integral equations, eigenfunctions of the

integral operator, degenerate kernel. References

1. Gilbert, D. (1998). Selected works (vols. 1, 2). M. ISBN (EAN): 5-88688-

029-1, 5-88688-028-3.

2. Korn, G. & Korn, T. (2007). A guide to mathematics for scientists and

engineers. M .: Science. 720 p.

3. Mikhlin, S.G. (1965). Approximate methods for solving differential and

integral equations / S. G. Mikhlin, H. L. Smolitskiy. M .: Science. 512 p.

4. Parshikova, G., Silaev, A., Perfiliev, A. (2020). Linear integral Fredholm

equations of the second kind as applied to economics // Innovations and investments. No. 9. pp. 162-169.

5. Parshikova, G., Silaev, A. & Tararin, I. (2020). Application of integral

equations to conflict situations of the economy: materials of the 25th Int. scientific and practical. conf. "Actual problems of the economy -2020", Moscow.

6. Parshikova, G., Silaev, A. Integro-differential models of economic

dynamics // Innovations and investments. 2021. No. 1. p. 140-144.

7. Recent Advances in Integral Equations' ed. by Francisco Bulnes (2019).

TESCHA. 77 p. DOI: 10.5772 / intechopen.79094 ISBN: 978-1-83880657-6.

8. Salisbury A. Mathematical models in population dynamics, Sarasota FL,

2011. [Electronic resource]: Access mode:

http://www.emis.de/journals/GMN/yahoo_site_admin/assets/docs/1.

9. Yuldashev, T. K. (2019). On the Solvability of a Boundary Value Problem

for the Ordinary Fredholm Integrodifferential Equation with a Degenerate Kernel. Computational Mathematics and Mathematical Physics. vol. 59. pp. 241-252. https://link.springer.com/journal/11470.1

10. William, H. Press; Teukolsky, S. A .; Fetterling, U.T. & Flannery, B.P. (2007). Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

X X

о

го А с.

X

го m

о

ю

2 О

м