ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ВТОРОГО РОДА В ПРИЛОЖЕНИЯХ К ЭКОНОМИКЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода в приложениях к экономике

о см о см

СП

о ш т

X

<

т о х

X

Паршикова Галина Юрьевна

старший преподаватель кафедры математики и информатики Государственного университета управления, [email protected].

Перфильев Алексей Анатольевич

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и информатики Государственного университета управления, [email protected]

Силаев Александр Александрович

кандидат экономических наук, доцент кафедры математики и информатики Государственного университета управления, [email protected].

В условиях пандемии экономика вступила в длительную фазу, характеризуемую тем, что стратегические решения приходится принимать в условиях неточной, а порой и преднамеренно искажаемой конкурентами информации, причем потоки этой информации то дискретны, то непрерывны. С математической точки зрения подобные явления означают: исследователь переходит от конечных сумм и функциональных рядов к построению и решению интегральных уравнений с параметром, являющимся либо управляемой, либо случайной величиной. С задачей определения и изучения свойств решений системы экономической динамики с неизвестным параметром исследователь сталкивается в моделях экологии, непрерывно текущих химических процессов, нефтепереработки и нефтеочистки, теории катастроф.

В статье рассматриваются интегральные уравнения Фредгольма второго рода с различными вырожденными ядрами и различными внешними воздействиями. При этом авторов интересуют как точные, так и приближенные решения, для получения которых авторы используют метод малого параметра. Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, вырожденное ядро, собственные значения и собственные функции уравнения

Сложные экономические, экологические, медицинские процессы с положительной и отрицательной обратной связями не всегда могут описываться дифференциальными уравнениями. Если это - процессы, в которых происходит накопление (интегрирование) векторного динамического показателя, причем как со знаком «плюс», так и со знаком «минус» по частным его аргументам, то математический аппарат при моделировании подобных процессов смещается (переносится) с дифференциального исчисления на интегральное исчисление (приобретают форму интегральных уравнений). Таковыми процессами являются процесс наращивания (накопления) незавершенного строительства, долгов по заработанной плате, непрерывного изменения загрязняющих окружающую среду веществ, (причем принятие решений происходит в состоянии значительной неопределенности). Следует отметить, что большинство процессов с кумулятивным характером, в которых результирующий показатель непрерывно накапливается, либо непрерывно «испаряется», допускает моделирование с привлечением аппарата интегральных уравнений, а в более сложных ситуациях - интегро-дифференциальных уравнений.

В условиях пандемии экономика вступила в длительную фазу, характеризуемую тем, что стратегические (финансовые) решения приходится принимать в условиях неточной, недостающей, а порой и преднамеренно искажаемой конкурентами информации, причем потоки этой информации то дискретны, то непрерывны. Инвестиционные «вливания» в различные элементы мировой экономики характеризуются квази - непрерывными распределениями денежных средств. С математической точки зрения подобные явления означают: исследователь переходит от конечных сумм и функциональных рядов к построению и решению интегральных уравнений с параметром, являющимся либо управляемой, либо случайной величиной. В случае конфликтных (например, военных) игр искомый параметр может даже зависеть от времени.

Непрерывно изменяющиеся инвестиционные лаги (запаздывания), перманентные «скачки» нефтяных котировок (текущих цен за 1 баррель сырой нефти марок «техасская» и «бренд»), динамическое соотношение (балансировка) между экономическими и финансовыми показателями, либо их удельными весами предполагают использование адекватного математического аппарата, в котором условия гладкости основных инвестиционных функций существенно ослабляются (снижаются, например, у ядра интегрального уравнения), допускаются разрывы («скачки») первого рода, а интегральные суммы «лепятся» (моделируются) из отдельных (однородных) частей (слагаемых), часто близких к бесконечно малым величинам, однако численность которых практически неограниченна. В слабо предсказуемых ситуациях

оптимальных решений (и соответственно стратегий) может и не существовать, и исследователю приходится выбирать между допущением посредственного, плохого и очень плохого случайного выбора управляющего воздействия.

К этому следует добавить: решения зачастую приходится принимать в условиях полной либо частичной неопределенности, а также преднамеренно искажаемой информации или ложных («фейковых») непрерывных ее взбросов.

С задачей определения решений системы экономической динамики с неизвестным параметром сталкивается исследователь в уравнениях математической физики, экологии, непрерывно текущих химических процессов, способов нефтепереработки и нефтеочистки, теории катастроф [5].

Рассмотрим вначале процесс, в котором ядро интегрального уравнения К(х, 5) = Ае () трансформирует взброс (взрыв), начинающийся с ограниченной величины А (при х = б = 0), а затем монотонно убывающий вплоть до нуля:

У( х) =

- ( х+ s )

y (s) ds + х

(1)

1

jVi( х) ■

ностью до константы, будет лишь одна линейно независимая собственная функция. Имеем:

1

y(х) = х + A-e~х ■ je-sy(s)ds =x + A-e-x ■ С ,

(2)

1

C = je-t(t + !■ e- ■ C)dt

Преобразуем формулу (5):

(5)

C = j t ■ e-tdt + !■ C ■ j e-2tdt

C ■ (1 -Aj e-2tdt) = j t ■ e-dt <» C ■ (1 - A j e^dt) = 0 0 0 Первый случай.

Пусть j = A0 = T±- = « 2,31.

e - 2

j e-2'dt

e2 -1

1

Тогда С е0,таккак|te tdt Ф 0, и неодно-

0

родное уравнение Фредгольма (1) не имеет решений в этом случае, а Х = Х является собственным значением (ядра) однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Второй случай.

Пусть Х Ф Х0,то есть Х е (-да;Х0) и (Х0; +да).

В этом случае решение для С существует и единственно:

Правая часть уравнения, отражающая внешнее воздействие на систему, для простоты выбрана линейной функцией: /(х) - х . Ядро интегрального уравнения (1)

К(х, 5) = ечх+5) = е"х • е"5

является вырожденным и симметрическим, следовательно, собственные значения ядра (уравнения) Х-действительные числа, причем соответствующие им линейно независимые собственные функции (х)}

(если размерность их подпространства больше единицы) ортогональны на основном промежутке 1

• ф2( х^х = 0. Однако, в данном случае, с точ-

jt ■ e 'dt

e - 2

C =

2e(e - 2) причем

1 -Aje-2sds 1 -A^ e2(2-A) + A

J T-2

2e

_2i e2 -1 уравнения).

A Ф —-= A0 (собственное значение однородного

Тогда функция от аргумент х и параметра A

y (х) = х + A^ e

2e(e - 2) e2(2-A) + A

(6)

есть точное (аналитическое) решение неоднородного уравнения Фредгольма при всех действительных

параметрах A ф

2e

e2 -1.

2е2

Если Х =-= Х0, то неоднородное уравнение

„2 1 0 е -1

решений не имеет.

Однородное уравнение Фредгольма

где const C = j e sy(s)ds = j e 'у(t)dt - (3) 0 0 неизвестное вещественное число, зависящее от динамики неизвестного нам решения. Тогда функцию

y(t) = t + A^e- ■ C (4)

подставим в (3) и получим уравнение для нахождения С:

y (х) = A-j e~(х+s} y (s) ds

имеет при этом

e2 -1

A = —-= A бесконечно много решений; если к их

множеству добавить нулевую (тривиальную) функцию у(х) = 0, то образуется одномерное инвариантное

подпространство решений вида

2e2

2e2

У(х) - У(х) = Х0 • С • е-х С • е-х = С ^, С Ф 0 , (6*)

е -1 е -1

а при С = 0 получается тривиальное решение

у(х) = 0, которое по определению не является собственной функцией. Найденные собственные функции -

X X

о

го А с.

X

го m

о

м о м о

х

о es о es

an

О Ш

m

X

<

m о x

X

пропорциональны, то есть линейно зависимы: достаточно выбрать одну из них, например нормированную,

остальные получаются умножением на С Ф 0.

Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода с тем же ядром, но с другой, более растущей правой частью

у(х) = X ■ е"(ж+5)у(5)^ + х2или (7)

1

Обозначив интеграл константой С = ^е~гу(г)ёг ,

о

получаем:

у(х) = х2 +А-х ■ С. Тогда

у(0 = г2 е-' ■ С и

1 1 1 С = |е г(г2 + Ле-г ■ С)ёг = [г2егёг + Л •С|е2'ёг

О

i i С - (1 -Á-j e2tdt) = j t2 e" tdt.

При Á = | je 2tdt

2e

e2 -1

= Á

решении нет.

При

Х*Х0 =

2e

j 12e-tdt

e2-1

>С =-

1 -Á-j e-2tdt

^ С = 2е(2е 5) - единственное решение.

2е2 -Л(е2 -1)

Таким образом, функция при Л Ф Л функция

у = x + Á-ex - C = x + С

2 2e -Á- (2e - 5)

(8)

y(x) = x + Á - j cos(x +1)y(t)dt,

или, упрощая по формуле «косинуса суммы»,

(9)

y (x) = x + Á- cos x - j cos t - y(t )dt - sin x - j sin t - y(t )dt _ о 0

Обозначая неизвестные числа через:

п п

jy(t)costdt = a; jy(t)sintdt = p, (10)

о 0

получаем формулу для решения y (x) = x + Á- (a cos x - p sin x). (11)

Тогда подставляя функцию y (t) = t + Á - (a cos t - p - sin t). в формулы (10), получаем два линейных неоднородных алгебраических уравнения с тремя неизвестными параметрами:

a = Х-a-j cos2 tdt -Х- p-j cos t - sin tdt + j t cos tdt,

(12)

P = Х-a-j cos t -sin tdt -Х- p-j sin2 tdt + j t sin tdt. 0 0 0 Вычислив интегралы

л л п

j sin t- cos tdt = 0; j t- sin tdt = л; j t - cos tdt = -2;

n л

j sin2 tdt =j cos2 tdt

л 2

2е2 -Л(е2 -1) есть точное (аналитическое) решение интегрального уравнения (7).

2е2

Заметим, что собственное число Л = Л =-не

^ е2 -1

зависит от вида правой части (1) и (7), а зависит только от ядра. Поэтому оно и называется собственным значением ядра (интегрального уравнения).

Интегральное уравнение, описывающее периодический процесс (например, функционирование транспортных систем с их отдельными графиками работы в будние и выходные дни, либо математические модели утилизации бытовых отходов с их квази-периодичностью эффекта насыщения, или квази-периодически повторяющиеся катастрофы - например, извержение вулкана Этны в Сицилии), приобретает вид

и, следовательно,

и система (13)

0 0

исследуем линейную систему двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

a Х-1) = 2,

2 (13)

p- (Х2П +1) = л.

2

Случай 1. Если Х = —, то a Ек п

система (13) решений не имеет.

Случай 2 Если х = - — , то p

п

не имеет решений.

Примечание: х = + — являются собственными зна-

п

чениями однородного интегрального уравнения, которое, в этих двух случаях, согласно формуле

y0 (x) = Х- (a cos x - p sin x)

имеет бесконечную систему собственных функций:

2 2

1) при х = Х=— ^ y01)(x) = — a -cos x Va* 0;

п п

2) при á = á =-- ^y02)(x) =--p-sinx vp*0.

п п

Очевидно, что система ненулевых функций

{y0(x)} и {y02(x)} состоит из линейно независимых

функций.

Рассмотрим важный в экономике (например, в транспортных системах, причем как для грузового, так и для легкового видов транспорта, а также при исследовании

турбулентности океанических течений) случай, при котором Х е (-да; - —) и (-—;—) и (—; +да) . Тогда си-

ж ж ж ж стема двух линейных уравнений с тремя неизвестными параметрами имеет решение, сводящееся к одному параметру Х, принадлежащих указанному множеству: 2 4

Лж 1 Лж-2'

(14)

ß=

2ж

Лж 1 Лж + 2 2

y( x) = x + -

2ж^ Л

■ cos x---sin x .

(15)

а • (Л ж -1) = 2ж + 2, 2

ß.(—+1) = ж2 +ж-12. 2

Отсюда получаем: 2

1) если Л = —, то а ei ж

стема (17) решений не имеет.

(17)

и, следовательно, си-

2) если Л = - — , то ß

и система (17) не

ж

2

имеет решений.

3) если л ф + —, то существует решение системы ж

' 2(2ж + 2)

' (17)

ß =

ж ■ Л - 2 2(ж2 +ж-12) ж ■ Л+ 2

и существует, следовательно, единственное аналитическое решение интегрального уравнения (16)

и, согласно формуле (11), получаем единственное аналитическое решение у(х;Х) = у(х) вида 4Х

y( x) = x + x + S +

, , 4ж + 4 24 - 2ж2 - 2ж . +ЛА--cos x +---sin x

71-Х-2 7-Х + 2

Например, при Х = 0 имеем y(х;0) = X - непериодическое решение.

Решение вида (15) при Х Ф 0 мы называем квазипериодическим решением, если при этом хф+— (не сов-

7

падает с собственным числом). Наименьший «квази-пе-риод» в этом случае - положительный и равен 27 .

(при Х е (-«; -l) и (--;0) и (0;-) и (-; +ю)).

7 7 7 7

Рассмотрим теперь интегральное уравнение с тем же периодическим ядром, но другим усиленным внешним воздействием:

7

y (х) = X2 + x + 5 + Х- J cos( x +1) y(t) dt (16)

0

Вводим неизвестные по формулам (10) и перепишем уравнение (16) в виде:

y (t) = t2 +1 + 5 + Х- (a- cos t - p- sin t)

Система, аналогичная (12), имеет вид:

a = J t2 cos tdt + J t cos tdt + 5J cos tdt + a Х •77,

0 0 0 2

7 7 7

p = j t2 - sin tdt + J t - sin tdt + 5 J sin tdt - ft- Х •—. 0 0 0 2 Вычисляя интегралы, получим систему:

(18)

7 ■ Х-2 7 • Л + 2

В заключении рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода с вырожденным ядром, с точностью до постоянной, являющимся плотностью двумерного нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, равной 1/2

K (x, y) = K ( y, x) = e-( x2+y2) (19)

на бесконечном промежутке интегрирования.

Поскольку

+о> I

V 7

Z =j e

о

-x 2

dx = -

ж

12 = j e~xdx^ j e"ydy = j j e"((+y' )xdy = ,

о о

4

то нормировочный множитель c = —— легко вно

ж

сится в параметр Х, то есть в «будущее» собственное значение (однородного) интегрального уравнения. Исследуем интегральное уравнение

y(x) = Л^ j

e (x2+s2)y(s)ds + x, (20)

причем правая часть (линейная функция) /(х) = х взята для того, чтобы посмотреть, каким образом неоднородность (простейшего вида) влияет на существование и/или единственность решения при переходе от однородного равнения к неоднородному.

Для уравнения (22) можно найти точное решение. Для этого преобразуем уравнение (не забывая при этом,

4

что мультипликативный параметр С =_ внесен в

ж2

«будущее» собственное значение однородного уравнения, то есть в параметр Х):

+да

у(х) = Х • е~х • | е~у(5^5 + х (21)

X X

о

го А

с.

X

го m

о

м о

M

о

а =

2

+W

о см о см

СП

При любом ограниченном либо растущем не быст- являющаяся, однако, подпространством, поскольку рее, чем в% ■ х" ■ СОПЯг У" решении, несобствен- У = 0 являющаяся решением интегральн°г° уравне-

ния

2 ......(21**) У Л Е +да) , не может, в силу своей

интеграл первого рода | е-5 у(5является аб- тривиальности, являться собственной функцией /.

ный

о

солютно сходящимся, если у(э) не имеет особенностей Случай 2. Пусть УЛ Ф . Тогда из линейного

второго рода у 5 е [0; +да) . Поэтому, обозначая, точ- 4п

нее вводя в уравнение новый неизвестный параметр алгебраического уравнения (21**) однозначно нахо-

+да 2 дится 1 . Подставляя найденное значение

е-5 у (я , (22) Р = -

о

2-Л^Л

приходим к линейному уравнению с двумя неизвест- р в формулу (23), находим аналитический вид решения ными параметрами

2 неоднородного уравнения (21)

у(х) = Лр■ е- + X. (23) Л л.Л

Функцию у(в)

у(х) = ^-= ■е- + х = ^(х;Л), (25)

2У12-Л^п

у(я) = Лр^ е* + 5, ^ 2^2 242 ч

подставим в уравнение (23), получим линейное урав- причем Л Е (-да;—т=-) и (—; +да) .

нение для нахождения неизвестного параметра Р:

у/П

Исследуем отдельно функцию

Р=\ е ?\Л-Р-е~52 + 5)ё5 = ^(Л) = У^Л

Л

^ (Л) = _ ГТ .Г- ~ . Д/2

(24)

2>/22 1

И тт1'

Л ■ п

23/2

ЛР^ е-2 + | я^е - 2

о о ________________________I п I - 2\/2

предположив, что Л<—, или

Исследуемые несобственные интегралы (24) пер- I I

вого рода вычисляются точно:

}Л5 = ^ = П 1* = о,5. Л(-

оо

разложим ее по формуле бесконечно убывающей Для определения неизвестного параметра Р полу- геометрической прогрессии

чается соотношение:

( ,

Р

V

ш

1 1

242

Л 1 Л"

= - (24**) —--Л-~ = ^—з^, причем пРи

1 Л ^ П "=о 2 2

* _ 3 /о

03/2

Рассмотрим два случая: 2

Случай 1. При значении параметра 242

4п

12 23/2 |Л|< Л = 2 ■, — = —1/2 исходное уравнение (21) не имеет V п п

1 Таким образом, при у Л Ф решение уравнения

решений, поскольку соотношение р ■ о =_ противоре-

2

чиво.

3/2 х и параметра Л вида

(21) выражается аналитической функцией от аргумента

23

При Л = Ао =—1/2 однородное уравнение 42 ■ Л -2

п у(х) = о /о Л I '+х, (26)

О +да + 2) Ц!-Л^п

СО у(х) =Л' } е у(5)ё5 (21**) причем, если параметр Л ограничен

х о 7.42 242

допускает бесконечно много решений вида Ле ( • ), то решение неоднородного инте-

23/2 2 4л 4л

^ уо(х) = —~■С-е , где С е (-да;о) и (о; +да) грального уравнения удается представить абсолютно

< п сходящимся рядом

о

X

X ческая бесконечная система собственных функций, не

Получаются собственные функции /однопараметри-

y(x) = x + e-x

+œ ж2 ■Ят+1

3m

m=0

2

■+i

(27)

Если совершить замену n = m + 1 в ряде (27), то получим

y(x) = x + e~x

n—i

+œ ж~ ■ Я

n

3n—i

(27*

n=i

2

y(x,A) = ^Яп p(x) (28)

Pn (x) = j K(^ s) ■ Pn—1(s)ds

Имеем:

-t-uu -t-uu

p (x) = j K(x, s) ■ f (s)ds = e—x2 ■ j e"s sds = 0,5 ■ e"x' ;

0 0

+M „—x2 +м rz

Íe ^22^^ 2

K(x, s) ■ p1 (s)ds =--j e~ s ds =

-x2 +œ

V25

f rz\2

Pn (x) = j K(x. s> Pn—1(s)ds

x2 Ж

n—1 2

= е"х • ^-т. (29) 0 2 2 Теперь можем выписать в общем случае приближенное решение в виде степенного ряда (относительно параметра Х)

y(x) = x + e—

n—1

+œ ж ~ ■ Я

n

3n—1

(30)

n=1

2

Я G (—

2^2 2-Jl

правым концом которого и является

' л/ж '

«запретное» значение параметра Х при построения аналитического решения (27**). Этот правый конец и является единственным собственным значением однородного уравнения (21**), соответствующие собственные функции которого задаются формулой

,3/2

Усабсш (x) = g(^ C) =■

.1/2

■C■e x = const■ e

ж

Будем теперь искать решение того же интегрального уравнения методом малого параметра Х [4] в форме степенного ряда

Подставляя выражение (30) в интегральное уравнений (21) и приравнивая функции при одинаковых степенях Х, последовательно находим:

Р0(.х) = /(х) = х;

Рз (x) = j K(x, s) ■ (2 (s)ds = ■ j e"2? ds = e~x ■ ^jL

0 2 0 w 2

Продолжая этот итерационный процесс, окончательно находим

Авторы убеждаются в полной идентичности формул (30) и (27**). Однако есть и принципиальная разница: ре-

[2

шение (27**) справедливо УХ Ф 2 • — (то есть, за ис-

Уж

ключением собственного значения соответствующего однородного уравнения), тогда как формула (30) дает решение того же самого уравнения (21), но для компактного множества, именно для интервала

, где const отлична от нуля.

Экономические процессы, характеризуются как правило многовариантностью выбора, их модели имеют хотя бы одно собственное значение (см формулу (6*) и аналогичные ей), потому что согласно теореме Фредгольма, если параметр Я не является собственным значением, то однородное уравнение допускает лишь тривиальное решение. Напротив, если экономический процесс эмпирически однозначен и однороден, то есть при

f ( x) = 0 (или на практике близких к нулевому значению) имеет только тривиальное решение, причем для любой непрерывно возмущающей функции f(x) (ненулевое воздействие на систему) решение существует и единственно. Таким образом, априорный математический анализ системы позволяет определять многовариантные экономические стратегии и отличные от однова-риантных - путем анализа однородных уравнений Фредгольма (нахождение их собственных значений и собственных функций). Рассматриваемые модели допускают вариацию возмущающего воздействия (правой части уравнения Фредгольма). Например, для любой произвольной квадратичной функции соответствующее решение неоднородного интегрального уравнения будет точным (при условии, что однородное уравнение имеет точное решение). Однако, при Af > 0 встает вопрос: устойчива или нет исследуемая система относительно вариации возмущающего воздействия. Последнее обстоятельство приобретает особую важность в случае построения теории экологических катастроф.

Литература

1. Краснов, М.А. Интегральные уравнения. Учебное пособие/М.А. Краснов, Л.И. Киселев, Г.И. Макаренко. -М.: Книжный дом «Либроком», 2012,192 с.

2. Интегральные уравнения. Часть 1: справочник для вузов. /А.Д. Полянин, А.В. Манжиров. - 2-е изд., испр. и доп.- М.: Юрайт, 2017, 365 с.

3. Дифференциальные и интегральные уравнения: учебное пособие в 3-х частях/ сост. Кручек М.М., Све-това Н.Ю., Семенова Е.Е. - Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2014.

4. Корн, Г. / Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 2007.

5. Арнольд, В.И. Теория катастроф. 14-е изд. стер. /В.И. Арнольд. М.: Изд-во Ленанд, 2020, 128 с.

Fredholm linear integral equations of the second kind in

applications to economics Parshikova G.Yu., Perfilyev A.A., Silaev A.A.

State University of management

In the context of the pandemic, the economy has entered a long

phase characterized by the fact that strategic (financial)

X X O ro А С.

X

го m

о

to о

M

о

m

2

2

n=0

2

decisions have to be made in conditions of inaccurate, missing, and sometimes deliberately distorted information by competitors, and the flow of this information is either discrete or continuous. From a mathematical point of view, such phenomena mean that the researcher moves from finite sums and functional series to the construction and solution of integral equations with a parameter that is either a controlled or random variable. The problem of determining and studying the properties of solutions to a system of economic dynamics with an unknown parameter is faced by researchers in models of ecology, continuously running chemical processes, oil refining and refining, and disaster theory

Most processes with cumulative nature, where the resulting indicator continuously accumulates or continuously "evaporates", allows mathematical modeling using the apparatus of integral equations. The researcher meets the problem of determining and studying properties of solutions to a system of economic dynamics with an unknown parameter in models of ecology, continuously chemical processes, and oil refining.

The article deals with Fredholm integral equations of the second kind with various degenerate kernels and various external influences. The authors are interested in both exact and approximate solutions that use the method of small parameter to get them.

Keywords: Fredholm integral equation, degenerate kernel, eigenvalues equations, eigenfunctions

References

1. Krasnov, M.A. Integral equations. Textbook / M.A. Krasnov, L.I.

Kiselev, G.I. Makarenko. - M .: Book House "Librokom", 2012,192 p.

2. Integral equations. Part 1: a reference book for universities. /HELL. Polyanin, A.V. Manzhirov. - 2nd ed., Rev. and additional - M .: Yurayt, 2017, 365 p.

3. Differential and integral equations: a tutorial in 3 parts / comp.

Kruchek M.M., Svetova N.Yu., Semenova E.E. - Petrozavodsk: Publishing house of PetrSU, 2014.

4. Korn, G./G. Korn, T. Korn. A guide to mathematics for scientists

and engineers. Moscow: Nauka, 2007.

5. Arnold, V.I. Catastrophe theory. 14th ed. erased. /IN AND. Arnold. Moscow: Lenand Publishing House, 2020, 128 p.

o

CN O CN

an

O HI

m

X

<

m o x

X