Об одной спектральной задаче для интегро- дифференциального уравнения Фредгольма с интегральными условиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика. Физика. - 2012. - Вып. 6. № 11 (270). - С. 35-41. http://mi.mathnet.ru/vyurm104

17. Юлдашев Т. К. Начальная задача для квазилинейного интегро-дифференциального уравнения в частных производных высшего порядка с вырожденным ядром // Изв. ИМИ УдГУ. - 2018. - Т. 52. - С. 116-130.

DOI: https://doi.org/10.20537/2226-3594-2018-52-09

18. Костин А. Б. Восстановление коэффициента перед ut в уравнении теплопроводности по условию нелокального наблюдения по времени // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 2015. - Т. 55. - № 1. - С. 89-104.

19. Романов В. Г. Об определении коэффициентов в уравнениях вязкоупругости // Сиб. мат. журн. - 2014. - Т. 55. - № 3. - С. 617-626.

20. Yuldashev T. K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii journal of mathematics. - 2017. - Vol. 38. - No. 3. - P. 547-553.

21. Юлдашев Т. К. Об однозначной разрешимости начальной задачи для одного квазилинейного дифференциального уравнения высшего порядка // Эпоха науки. - 2019. - Т. 17. - С. 124-134.

УДК 517.927.25

DOI 10.24411/2409-3203-2018-11837

ОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Юлдашев Турсун Камалдинович

к. ф.-м. н., доцент

стажёр кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Иркутский государственный университет Иркутск, Россия

Аннотация: Рассмотрены вопросы построения решений одной краевой спектральной задачи для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с вырожденным ядром, интегральными условиями и спектральными параметрами. Вычислены значения спектральных параметров и построены соответствующие этим значениям решения. Изучены особенности, возникающие при интегрировании рассматриваемого уравнения.

Ключевые слова: Интегро-дифференциальное уравнение, спектральная задача, вырожденное ядро, интегральные условия, спектральные параметры.

ON A SPECTRAL PROBLEM FOR A FREDHOLM INTEGRAL-DIFFERENTIAL EQUATION WITH INTEGRAL CONDITIONS

Yuldashev Tursun K.

PhD, Associate professor, Department of Math. Analyses and Diff. Equations,

Irkutsk State University Irkutsk, Russia

Abstract: In this paper the questions of construction of solutions of a nonlocal boundary-value problem for a second-order Fredholm integro-differential equation with a degenerate kernel, integral conditions, and spectral parameters are considered. The values of the spectral parameters are calculated and the solutions corresponding to these values are constructed. The singularities arising in the course of integration of the considering equation are studied.

Keywords: integro-differential equation, spectral problem, degenerate kernel, integral conditions, spectral parameters.

1. Постановка задачи

Представляют большой интерес с точки зрения приложений интегро-дифференциальные уравнения [1, 2]. В работах [3-12] для обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений ставятся и изучаются разные постановки задач. Нелокальные задачи с интегральными условиями для дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений рассматривались в работах [13-16]. Интегро-дифференциальные уравнения в частных производных с вырожденным ядром изучались в [17-19].

В настоящей работе изучается разрешимость однородной интегральной задачи для обыкновенного интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка с вырожденным ядром и спектральными параметрами. Вычисляются значения спектральных параметров, для которых устанавливается разрешимость рассматриваемой задачи и построятся соответствующие решения. Данная работа является дальнейшим развитием работы [20].

На отрезке [0;T ] рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида

т

u"(t) + X2u(t) + v JK(t,s)u(s)ds = 0 (1)

0

при следующих однородных интегральных условиях

T T

u (T) + J u (t) dt = 0, u (T) + Ju' (t) tdt = 0, (2)

0 0 где 0 <T- заданное действительное число, 0 <X— действительный спектральный

k

параметр, v — действительный ненулевой спектральный параметр, K (t, s) = ^ a i (t) bt (s) ,

i=l

ai (t),bt (s) e C [0;T]. Здесь предполагается, что каждая из систем функций {a i (t)} и {bi (s)}, i = l, k являются линейно независимыми.

2. Решение спектральной задачи (1), (2)

С учетом вырожденности ядра уравнение (1) запишем в следующем виде

т к

и"(0 + Х2и(^ = -у а (Г) Ъ )и)^. (3)

01=1

С помощью обозначения

T

T i = { (s)и(s)ds

0

уравнение (3) перепишется в следующем виде

и

"(t) + X2 и(t) = —v£a, (t) Ti .

к

i=l

Решая неоднородное дифференциальное уравнение (5), получим

и (t) = ^i cos Xt + A2 sin X t + л (t),

(4)

(5)

(6)

где Ai, A2 — пока произвольные постоянные, л(t) = —V^tihi (t),

X t

i=1

t _

hi (t) = Jsin X (t - s)ai (s) d s, i = 1, к.

0

Для нахождения неизвестных коэффициентов Ai и A2 в (6) воспользуемся

интегральными условиями (2) и относительно этих коэффициентов мы приходим к системе алгебраических уравнений (САУ)

U a i(X) + A 2 а 2 (X) = ф о,

(7)

Ai а з(Х) + A2 а 4 (X) = V о ,

где

. X cos X T + sin X T ... — cos X T + X sin X T +1 G i(X) =-:-, G 2 (X) =-

X

X

X T cos X T — (1+ X2 )sin X T ... (1 + X2 ) cos X T + X T sin X T — 1

G 3(X) =---, G 4 (X) =-

Ф 0 =

X

í T

1 +

X

Л

л (T) + |л (t) dt

, V 0 =

л" (T) + J t л" (t) dt

Величины g i (X), i = 1,4 могут равняться нулю при некоторых значениях параметра X. Чтобы однозначно определить A1 и A 2 из САУ (7), вычислим значения спектрального параметра X в а ¡ (X), i = 1, 4.

1. Пусть а 1 (X) = 0, т.е. X cos X T + sin X T = 0. Это эквивалентно тригонометрическому уравнению

tg X T = —X. (8)

2. Пусть а 2 (X) = 0. Получаем тригонометрическое уравнение

(9)

cos X T — X sin X T = 1. 3. Пусть а 3 (X) = 0. Отсюда придем к тригонометрическому уравнению

tg X T =

X T

2 •

1+ X

4. Положим а 4 (X) = 0. Это эквивалентно тригонометрическому уравнению

(

cos

X T — arccos

1+ X2

^(1+ X2)2 + (XT)2 I ^/(1+ X2)2 + (XT)

(10)

(11)

к

T

0

0

1

2

Множество положительных возрастающих значений спектрального параметра X п , определенных из уравнений (7+да), обозначим Л т , т = 1,4. Нетрудно убедиться, что ЛI п>Л ^ = 0, 1, ] = 1,4, 1 ф ]. Поэтому при нахождении неизвестных коэффициентов ^ и А2 из САУ (7) возможны только пять случаев. 2.1. Случай 1

а 1 (X п ) = 0. (12)

Условию (12) соответствуют значения спектрального параметра из множества Л1. Тогда из САУ (7) получаем, что

где

A = -

V 0

Ф 0 а 4(X n )

а 3(X n ) а 2(X n ) а 3(X n ) Подставляя (13) в (6), получаем

A =■

Ф0

° 2(X n У

X n еЛ 1

М (t, X n ) = (0, X n еЛ 1:

X n i=1

k

Du (t) = ht (t) - ^1(t)

f hi (t)dt + hi (T)

- 5 2 (t)

sinX„ t g4 (X„) cosX„ t 51(t) =-n---^^-—, В 2(t) =

f thi (t)dt + h i (T) cos X „ t

a 2 (X n ) a 2 (X n ) a 3(X n)'

° 3(X n У

(13)

(14)

hi (t) =f sin X n (t - ai (5) d s, i = 1, k.

0

Подставляя (14) в (4), получаем однородную систему алгебраических уравнений (ОСАУ)

* i jHij = 0, i = 1, k, X n j=1

k

(15)

где И^ =| Ъ1 (5) Б 1 у (5) ^.

0

Отметим, что из линейной независимости функций а1 (/) и Ъ1 (5) следует, что Иф 0. Рассмотрим следующую матрицу

(

©1(v,Xn)=

V v

1 + H11 H12

X n X n

vv

l—H21 1 + H 22

X n X n

^ H

Xn

^ H

1 k

X

2k

vv

—Hk 1 —H

X

k2

1+-V- H X

kk

и определитель Фредгольма

A 1(v, X и) = det © 1(v, X „).

(16)

T

0

t

Определитель А ¡(у, X п) в (16) есть многочлен относительно степени не выше

Х п

к. Уравнение А ¡(у, X п) = 0 имеет не более к различных корней. Их обозначим через р I (I = 1, Р1 ,1 < Р1 < к). Тогда у = у п+1 = X п р / являются характеристическими (собственными) числами ядра интегро-дифференциального уравнения (1), где X п еЛ 1. Примем следующее обозначение О1 ={(у,Xп): у = Хп р/, Xп еЛНа множестве О1 ОСАУ (15) имеет некоторое число Р1 (1 < Р1 < к) линейно независимых ненулевых вектор-

решений {т(/), т2),..., т(1)}, I = 1,р1. Функции и1 ^,X) = рi ]Гт(1) ^ 1г (¿), I = 1,р1 будут

г =1

нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

к Т

и((,X) = р 1 X Я 1г (0 I Ъ1 (*)и(5,X)^, (у,Xп)ео 1. (17)

г =1 0

Общее решение однородного интегрального уравнения (17) можно записать в виде

Р1

и (, X) = £а 1и1 (гД), (у,Xn) е0ь (18)

I=1

где а I - произвольные постоянные.

Таким образом, доказана, что справедлива Теорема 1. Нелокальная краевая задача (1), (2) на отрезке [0, Т] имеет бесконечное множество решений в виде функции (18) при спектральных значениях из числового множества 01 .

2.2. Случай 2

а п) = 0. (19)

Условию (19) соответствуют значения спектрального параметра X п из множества Л 2 . Аналогично первому случаю из САУ (7) получаем, что

Ф 0 „ V 0 Ф 0 а п)

A =

A =■

а 1(X п) а 4 (X п ) а 1(X п ) а 4 (X п )

Подстановка (20) в формулу (6) дает

X„ еЛ

2 •

u(t,X„) = iD2i (t), Xn еЛ2,

X n i=1

к

(20)

(21)

где

D 2 i (t) = B 3(t)

Jhi (t)dt + hi (T)

+ B 4 (t)

cos X nt а 3 (X n) sin X nt B 3(t) =-n----—, B 4(t) =

Jth't (t)dt + hi (T) sin X „ t

- hi (t),

a 1(X n ) a 1(X n ) a 4 (X n )

a 4 (X n )

hi (t) = J sin X n (t - s) ai (s) d s, i = 1, к.

о

Чтобы определить т ¡ (21) подставим в (4) и придем к ОСАУ относительно т г

T

о

t

т,-— Ух ,P,f = 0, i = 1,k,

1 л .¿-J J i J ' ' '

X И J=1

k

(22)

где

Pij = J è (5)D 2j (5)d5.

0

Для однозначной разрешимости ОСАУ (22) решим следующее уравнение

A 2(V, X и ) =

V

V

1 —Pli 7 Pl2

^ P X

ik

VV

T—P21 1 -7— P22 X n X n

^ P X

2k

VV

— Pk1 —P

X

X

k2

1 --V. P

X, ■

kk

= 0.

(23)

Определитель А 2 (V, X п) в (23) есть многочлен относительно — степени не выше

X п

к. Уравнение А 2^, X п) = 0 имеет не более к различных корней. Эти корни обозначим через ю I (I = 1, р 2 , 1 < р 2 < к) . В дальнейшем будем использовать следующее обозначение О 2 = {^, X п): v = X п ю /, X п еЛ 2). На множестве О 2 ОСАУ (22) имеет некоторое число р 2(1 < р 2 < к) линейно независимых ненулевых вектор-решений

{х(/), х 2),..., т к1)}, I = ГР2. Функции и1 (г, X) = ю 1 ]Г х(/) Б 21 (Г), I = будут

1=1

нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

k T

u (t, X) = ш i У D 2i (t ) J bi (5) u (5, X) d5, (v , X n ) éQ 2 .

(24)

i =1 0

Общее решение однородного интегрального уравнения (24) можно записать в виде

p 2

u (t, X) = ур iui (t, X), (v , X n ) éQ 2, (25)

i=1

где P i - произвольные постоянные.

Таким образом, доказана, что справедлива Теорема 2. Нелокальная краевая задача (1), (2) на отрезке [0, T] имеет бесконечное множество решений в виде функции (25) при спектральных значениях из числового множества Q 2 •

2.3. Случай 3

a 3(Xn) = 0. (26)

Условию (26) соответствуют значения спектрального параметра X n из множества Л з. В этом случае решим следующее уравнение

A 3(v, X n) =

1 ^ б"

Xn

^ б 21 Xn

где Qij =J bi (s) D 3j (s) ds,

-V- 612

Xn

1 -^Г б 22 X

vv

7 б к 1 7 б к 2

X n X n

7 б1к Xn

7 6 2 к Xn

v

• • 1-7 бкк X

= 0,

D 3 i (t) = B 5(t)

B 5 (t) =

Jhi (t)dt + h}. (T)

0

cos X nt

a 1(X n У

+b 6(t)

Jthi (t)dt + hi (T)

- hi (t),

B 6(t) =

sin X nt a 2 (X n ) cos X nt

a 4 (X n ) a 1(X n ) a 4 (X n )'

hi (t) = J sin X n (t - s) ai (s) d s, i = 1, к.

о

Вычисляем характеристические числа ядра интегро-дифференциального уравнения (1) при Xn еЛ3. Уравнение A3(v,Xn) = о имеет не более к различных корней. Их

обозначим через 9 / (/ = 1, р 3 , 1 < р3 < к) . Примем следующее обозначение Оз = {(у,Xп): у = Xп91, Xп еЛз| На спектральном множестве О3 построим решение

задачи (1), (2). В данном случае ОСАУ имеет вид

i + 7^ !т = о, i = 1,к, (v,Xn)ей3.

X n j=1

(27)

ОСАУ (27) имеет некоторое число р 3 (1 < р 3 < к) линейно независимых ненулевых вектор-решений {т(/), т21),..., т}, I = 1,р3. Функции и/(7,X) = 9/ Xт(/)V 3г (¿),

i=1

(28)

I = 1, р 3 будут нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

к Т

и (I, X) = 9 / X V 3 г (0 I (5) и (5, X) dS, (у, X „) еО 3. г =1 0

Общее решение однородного интегрального уравнения (28) можно записать в виде

р 3

и (Г, X) = Ху/и/(*, X), (у, X п) еО 3, (29)

/=1

где у / - произвольные постоянные.

Таким образом, справедлива Теорема 3. Нелокальная краевая задача (1), (2) на отрезке [0, Т] имеет бесконечное множество решений в виде функции (29) при спектральных значениях из числового

множества й 2.4. Случай 4

о

T

T

о

к

т

а 4 (А, и) = 0. (30)

Условию (30) соответствуют значения спектрального параметра X n из множества

Л 4. Решим следующее уравнение

А 4 (v, X п ) =

1 --V f X,

11

^ F X,

12

vv

F 1 f

л 21 л 22

X n X n

vv

7 Fk 1 7 F k2 X n X n

V F

-F

X,

1k

^ F X,

2k

.. 1--V- F

X

kk

= 0

где

Fij = J bi (s) D 4 j (s) ds,

D 4 i (t) = B 7(0

B7 (t) =

Jhi (t)dt + h (T)

_ 0

sin X nt

a 2(X n )

+ B 8(t)

Jth i (t)dt + hi (T)

- ht (t),

, B 8 (t) =

cosXnt a 1(Xn) sinXnt

a 3(X n ) a 2 (X n ) a 3(X n )

hi (t) = J sin X n (t - s) ai (s) d s, i = 1, k.

0

Уравнение А 4(v, X n) = 0 имеет не более k различных корней относительно

V

X „

Их обозначим через Е i (l = 1, p 4 ,1 < p 4 < к) . Примем следующее обозначение

k

Q4 = {(v,Xn): v = XnЕ/, Xn еЛ4} ОСАУ xi ^тJ-Fij- = 0, i = 1,к имеет некоторое

Х n j=1

число p 4(1 < p 4 < к) линейно независимых ненулевых вектор-решений

{т(l), т (l),..., т к}}, l = . Функции М/(t, X) = Е / т(l) D 4 i (t), l = будут

i=1

нетривиальными решениями соответствующего однородного уравнения

к T

u(t,X) = ЕI j D 4i (t) J bi (s)u(s,X)ds, (v,Xn) eQ4 . (31)

i=1 0

Общее решение однородного интегрального уравнения (31) можно записать в виде

p 4

u(t,X) = jxiui(t,X), (v,Xn) gq4, (32)

1=1

где x i ~ произвольные постоянные.

Таким образом, справедлива Теорема 4. Нелокальная краевая задача (1), (2) на отрезке [0, T] имеет бесконечное множество решений в виде функции (32) при спектральных значениях из числового множества Q 4 .

0

T

T

0

t

2.5. Случай 5

а! (Xп) ф 0, а2 (Xп) Ф 0, а3^п) Ф 0, а4^п) ф 0. (33)

Условию (33) соответствуют значения спектрального параметра X п из множества Л5 = (0;да)\(Л 1 ^Л 2 ^Л3 ^Л4). Тогда из САУ (7) получаем, что

а 4(Xn) а 2 (X п ) / а 3 (X п) а1(X п)

А1 =Ф0 --А2 = -Ф 0-7Г"— + ^ 0

где

где

a5(Xn) а5(Xn)

а 5 (X n ) a5(Xj'

а 5 (X п ) = а1(X п ) 'а 4 (X п )-а 2 (X п ) 'а 3(X п ) ф 0 X п еЛ 5. Подставляя (34) в (6), получаем

V v-i

u (t, X n ) = iD 5 i (tX X n еЛ 5 ,

X,

к

'n i=1

D 5 i (t) = B 9(t)

Jhi (t)dt + hi (T)

+ Bw(t)

Jthi (t)dt + hi (T)

T

TJ

о

B 9(t) = -[a 4 (X n ) cos X nt-a 3(X n ) sin X nt ],

a 5 (X n )

ВЮ(0 = -[-a 2 (X n ) cos X nt + a 1(X n ) sin X nt ],

a 5 (X n )

(34)

(35)

- ht (t),

hi (t) = J sin X n (t - s) ai (s) d s, i = 1, к.

о

Подставляя (35) в (4), получаем ОСАУ

к

тi-ЕтjGij =

X n j=1

где Gij = J bi (s) D 5 j (s) d s.

(36)

Решим следующее уравнение

1 -—G11 X„

A 5 (v, X n) =

r^ G 21 X

X

G12

X

1 G X

22

vv

-—gh "—G

X

к 2

T^ G1k Xn

7 G 2 к X

v

. . 1 Gkk X

= о.

v

Уравнение А 5 (у, X п) = 0 имеет не более к различных корней относительно — .

X „

Их обозначим через ^ / (/ = 1, р 5 ,0 < р 5 < к). Примем следующие обозначения О5 = {(у,Xп): у = Xп£г, Xп еЛ5). ОСАУ (36) имеет некоторое число р5 (1 <р5 <к)

t

о

линейно независимых ненулевых вектор-решений . Функции

k _

u i (t, À) = С i Z т(l) D 5 i (t), l = 1, p 5 будут нетривиальными решениями соответствующего

i=l

однородного уравнения

kT

u (t, À) = С i Z D 5 i (t) j b (s) u (s , À) ds, (v, À n ) gQ 5. (37)

i=1 О

Общее решение однородного интегрального уравнения (37) можно записать в виде

p 5

u (t, À) = Zp lui (t,À), ( v, À n ) gQ 5, (38)

l=l

где p l - произвольные постоянные.

Таким образом, справедлива Теорема 5. Нелокальная краевая задача (1), (2) на отрезке [О,T] имеет бесконечное множество решений в виде функции (38) при спектральных значениях из числового множества Q 5 .

Список литературы:

1. Ушаков Е. И. Статическая устойчивость электрических цепей. - Новосибирск: Наука, 1988. - 273 с.

2. Cavalcanti M. M., Domingos Cavalcanti V. N., Ferreira J. Existence and uniform decay for a nonlinear viscoelastic equation with strong damping // Math. Methods in the Appl. Sciences.

- 2001. - Vol. 24. - P. 1043-1053.

3. Бободжанов Л. Л., Сафонов В. Ф. Регуляризованные асимптотические решения начальной задачи для системы интегродифференциальных уравнений в частных производных // Матем. заметки. - 2017. - Т. 102. - № 1. - С. 28-38.

4. Быков Я. В. О некоторых задачах теории интегро- дифференциальных уравнений.

- Фрунзе: Изд-во Кирг. гос. унив-та, 1957. - 327 с.

5. Вайнберг М. М. Интегро-дифференциальные уравнения // Итоги науки. - 1962. М.: ВИНИТИ, 1964. - С. 5-37.

6. Фалалеев М. В. Интегро-дифференциальные уравнения с фредгольмовым оператором при старшей производной в банаховых пространствах и их приложения // Известия ИркутскГУ. Серия «Математика». - 2012. - Т. 5. - № 2. - С. 90-102.

7. Сидоров Н. Л. Решение задачи Коши для одного класса интегро-дифференциальных уравнений с аналитическими нелинейностями // Дифференц. уравнения. - 1968. - Т. 4. - № 7. - С. 1309-1316.

8. Юлдашев Т. К. Нелинейное интегро-дифференциальное уравнение псевдопараболического типа с нелокальным интегральным условием // Вестн. ВолГУ. Серия 1: Математика. Физика. - 2016. - № 1. - С. 11-23.

9. Юрко В. Л. Обратные задачи для интегро-дифференциальных операторов первого порядка // Матем. заметки. - 2016. - Т. 100. - № 6. - С. 939-946.

10. Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярной точкой в ядре // Вестник ТомскГУ. Математика и механика. - 2017. - № 46. - С. 24-36.

11. Зарипов С.К. Построение аналога теоремы Фредгольма для одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с логарифмической особенностью в ядре // Вестник СамГТУ. Серия: Физ.-мат. науки. - 2017. - Т. 21. - № 2. -С. 236-248.

12. Зарипов С.К. Об одной новой методике решения одного класса модельных интегро-дифференциальных уравнений первого порядка с сингулярным ядром // Матем. физика и компьютерное моделирование. - 2017. - Т. 20. - № 4. - С. 68-75.

13. Гордезиани Д. Г., Авалишвили Г. А. Решения нелокальных задач для одномерных колебаний среды // Матем. моделирование. - 2000. - Т. 12. - № 1. - С. 94-103 .

14. Иванчов Н. И. Краевые задачи для параболического уравнения с интегральным условием // Дифференц. уравнения. - 2004. - Т. 40. - № 4. - С. 547-564.

15. Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. РАН. Серия Математическая. - 2003. -Т. 67. - № 2. - С. 133-166.

16. Yuldashev T. K. Determination of the coefficient and boundary regime in boundary value problem for integro-differential equation with degenerate kernel // Lobachevskii journal of mathematics. - 2017. - Т. 38. - № 3. - С. 547-553.

17. Юлдашев Т. К. Обратная задача для нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа Benney-Luke с вырожденным ядром // Изв. вузов. Математика. - 2016. - № 9. - С. 59-67.

18. Юлдашев Т. К. Смешанная задача для псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром // Дифференц. уравнения. - 2017. -Т. 53. - № 1. - С. 101-110.

19. Юлдашев Т.К. Нелокальная краевая задача для неоднородного псевдопараболического интегро-дифференциального уравнения с вырожденным ядром // Вестник ВолГУ. Серия 1. Математика. Физика. - 2017. - № 1(38). - С. 42-54.

20. Юлдашев Т.К. Спектральная задача для интегро-дифференциального уравнения Фредгольма второго порядка // Доклады НАН Украины. - 2018. - № 12. - С. 3-13.