ИНТЕГРАЛЬНО-ЛАГОВЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Интегрально-патовые модели экономической динамики

Паршикова Галина Юрьевна,

старший преподаватель кафедры математики и информатики Государственного университета управления, [email protected]

Сипаев Александр Александрович,

кандидат экономических наук, доцент кафедры математики и информатики Государственного университета управления, [email protected]

В работе рассматриваются экономические, экологические и сводящиеся к ним задачи с непрерывным интегральным изменением во времени запаздывания экзогенного показателя относительно эндогенного. Полученные модели базируются на интегральном уравнении Фредгольма второго рода и его важной разновидностью уравнении Вольтерра, верхний предел интегрирования в котором является переменным. Иногда удается свести интегральное уравнение Вольтерра второго рода либо к задаче Коши, либо к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Два таких примера исследуются в статье. Модели, синтезирующие (в себе) интегральное уравнение Фредгольма (либо Вольтерра), находят достойное применение в экономике, экологии, химии, нефтедобывающей и нефтеперерабатывающей промышленности. Авторы показывают, что поставленные в данной работе задачи имеют естественные и при том широкие обобщения. Ключевые слова: интегральное уравнение Фредгольма, вырожденное ядро, интегрально- лаговая модель.

см о см

О!

I-О ш т х

<

т о х

X

Известно, что процесс накопления инвестиционного потенциала, выражающийся в непрерывном возрастании инвестиционной функции, происходит с запаздывающим эффектом по отношению к денежному стимулу [4]. После завершения аккумуляции денежного потенциала в конкретный год модель приобретает вид интегрального уравнения Фредгольма второго рода с запаздывающим ядром. Если же инвестиционный потенциал то усиливается, то демпфируется и при этом реальное время завершения процесса не идентифицируется, то модель имеет форму интегрального уравнения Воль-терра второго рода, ядру которого также присуще запаздывание.

Во время социально-экономической нестабильности, например, скачкообразного курса национальной валюты либо пандемии, ядро интегрального уравнения Фредгольма (Вольтерра) призвано отражать внутренние возможности системы (управления), ее финансовый потенциал, а также и (временную) реакцию на эндогенное (то есть внутреннее) распространение инвестиционно-демографического «стресса».

Учитывая возможность многовариантного отклика на возмущения (системы) и, соответственно, возможность выбора разнообразных стратегий поведения (в будущем) в искомое интегральное уравнение вводится параметр Л, который, как показывает исследование, является собственным значением уравнения Фредгольма (Вольтерра). Если получится, что при некотором конкретном значении параметра Л интегральное уравнение Фредгольма (Вольтерра) не имеет решений, то это означает, что при данном варианте выбора у экономической системы не существует удовлетворительного исхода из сложившейся ситуации (резкое ухудшение обстановки, непредсказуемый рост интенсивности заболеваний новым вирусом и иные экономико-экологические

катастрофы). Такие «вынужденные» Л при их реализации угрожают целостности системы управления: возрастают, возможно, неограниченно, социальные риски, а, следовательно, и финансовые риски.

Под интегрально - лаговыми моделями авторы понимают систему интегро-дифференциальных уравнений (либо неравенств), в которые неизвестная функция входит как под знаком определенного интеграла, так и вне интеграла, причем аргумент искомой функции может отклоняться от текущего значения (как в большую, так и в меньшую область своих значений). Лаговые непрерывные модели встречаются в областях экономики и экологии, в которых поведение интегрального (инвестиционного, химического, температурного, объемного, экологического) показателя зависит от предыстории, то есть временного развития процесса [5].

Модели с интегральным распределением во времени запаздыванием экзогенного показателя относительно эндогенного успешно применяются:

1. При описании процесса расходования инвестиционной функции (инвестиций) под будущий прирост основных производственных фондов, мощностей и строительные программы.

2. При моделировании процесса расширенного воспроизводства активных основных фондов.

3. При исследовании динамического соотношения между приростом продукции и инвестициями, авансируемыми под прогнозный (требуемый) прирост.

4. При анализе маятниковой и стационарной миграции в демографии.

Из динамического анализа поведения эколого-эконо-мических систем известно: созревание результирующего показателя, - нарастание кумулятивного эффекта в зависимости от предшествующих (денежных) затрат происходит частями (гранулами) либо непрерывно. Например, в начале (кстати, случайном) процесса влияние экзогенного на эндогенный показатель наблюдается как (монотонно) возрастающее, - до достижения стационарного состояния (уровня, который может быть как детерминированным, так и случайным), затем следует (квази-) период незначительной волатильности либо стабильности (основного) показателя, после чего влияние стимулирующих факторов (постепенно) переходит в убывающий режим и, после некоторого всплеска вола-тильности, спадает до прежнего уровня (статистически малозначимых значений). Пример подобной динамики: системный «взброс» рекламных сообщений [1].

Однако, существует в экономике и экологии примеры «альтернативных» структур, когда возникший спонтанно случайный показатель в начале проходит малозамечен-ным, затем переходит в значительный рост, а после чего следует протяженный во времени спад либо резкий сингулярный «обрыв» (основного экономико-экологического) показателя до малозначимых значений (до нуля). Следует отметить, что возможен и синтез указанных явлений (процессов).

Относительно процесса расширенного воспроизводства основных производственных фондов (ОПФ) авторы, проведя соответствующий экономико-статистический анализ (ЭСА), убедились: число статистически достоверных (надежных) оценок лаговых структур удается повысить, если помимо связи показателей в инвестиционной схеме «капитальные вложения ^ ввод в действие ОПФ» изучить добавочную связь, относящуюся к процессу формирования объема незавершенного строительства (НС), носящего кумулятивный характер. Под воздействием переменной доли затрат, которая еще не перешла во вводы ОПФ, объем НС непрерывно нарастает и может достигать «критической массы» (и даже превышать ее), что приведет к необратимым диспропорциям в структуре глобальной строительной программы, что, в свою очередь, грозит неустойчивостью функционирования системе управления города (экономической).

Задача анализа систем с непрерывно распределенными лагами есть проблема эконометрики, и она не сводится (только) к получению несмещенных и эффективных статистически значимых оценок лаговых структур.

Выведем интегральное уравнение, описывающее нарастающее, а впоследствии и затухающее влияние всех, существенных для модели, факторов.

Имеем:

к

у (г) = \а(т) у (г -т)ат +

0 , :2 т

с • у(1 - т)йт +\р(т) у(1 - т)йт + / (1)

где а(т) = а •т,а > 0,те [0; 11],

с = а • г1, /3(т) = Ь(1 - г2) + с, г е [г2,Т] - линейные

функции, выбор которых гарантирует свойство непрерывности совокупного интегрального ядра:

а(т) прите[0;г1], К(т) = 1 с прите[г{;г2], Р(т) прите[г2;Т],

где а, Ь, Т -случайные скалярные величины и

а(0 = с = Р(г2).

Такое интегральное ядро является вырожденным: аналогичные и более сложные примеры изучены авторами в работах [3; 4]. С подобными интегральными ядрами удается исследовать модели с отклоняющимся ар-

гументом двух видов:

y(t) = J K(г)y(t -T)dT + f (t)

с запаздыванием)

либо

1

z (t) = J K (г) z (t + r)dr + (p{t) (с опеРежением).

0

Научная новизна исследования авторов состоит в том, что разбирается синтез моделей с «опережением» и моделей с «запаздыванием», суперпозиция которых и формирует результирующий экономико-экологический показатель.

ЭСА позволяет выделить три класса систем, различающихся по структуре запаздывающего эффекта вслед за стимулом:

1) Воздействие стимула имеет (строго) возрастающий характер. Такой закономерностью отличается распространение эпидемий, катастрофических аварий, химико-физические процессы (распад ядра урана).

2) Воздействие стимула имеет (пусть медленно, но явно) убывающий характер: например, влияние блока однородных рекламных сообщений на объем перспективных продаж.

3) Комбинированное влияние, то есть синтез 1-ого и 2-ого классов: развитие плода в утробе матери, воздействие весьма сложных лекарственных препаратов и алкоголя на организм, влияние вариации налоговой ставки на малый и средний бизнес, негативная динамика цен на некоторые товары и услуги.

I. В качестве лаговой экономической задачи, сводящейся к линейному интегральному уравнению, исследуем динамический процесс накопления некоторого (токсичного) химического вещества в окружающей среде. Предположим, что искомый процесс имеет накопительный характер и развивается по линейному закону. Тогда динамика процесса задается линейным интегральным уравнением Фредгольма второго рода, фактически трансформирующегося в интегральное уравнение Вольтерра.

t

y(t) + Л • J (a + a-t + ft- x) y( x)dx = f (t), (1)

to

y(t) - масса некоторого вещества в момент времени t, f (t) - функция внешнего воздействия на систему,

X X

о

го А с.

X

го m

о

м о м

CS

о

CS

о ш m

X

<

m О X X

a,ß,а - параметры; Л - собственное значение однородного интегрального уравнения Вольтерра. Варьируя параметр Л, добьемся того, чтобы решение интегрального уравнения (1) существовало.

После двукратного последовательного дифференцирования уравнения (1) по времени t получим ОДУ второго порядка

/(t) + Л • (a + (a+ß)t)y'(t) + (2)

+Л(2a+ß) y (t) = f" (t)

причем начальные условия устанавливаются следующим образом:

y'(to) = f '(to) - Л(a + (a + ß) • t0) • f (t0);

У (to) = f (to) . (3)

Чтобы иметь представление о поведении интегральной кривой, представляющей решение задачи Коши, разберем следующие частные случаи.

1) Пусть аи ß имеют разные знаки. Положим

a е (-да; +да); Л = 1; а = 1;

(для конкретности):

ß = -1; f (t) = 512 -10t + 5; t0 = 1

Интегральное уравнение (1) в этой ситуации имеет вид:

t

y(t) + J (a +1 - х)y(x)dx = 5t2 - 10t + 5.

1

Оно сводится к задаче Коши для ОДУ 2-ого порядка y" (t) + ay' (t) + y (t) = 10, (4)

y(1) = 0; y'(1) = 0.

Частное решение ОДУ (4) - стационарное: y4 = 10 , но оно не удовлетворяет условию у(1) = 0.

Общее решение соответствующего однородного уравнения зависит от корней характеристического уравнения k2 + ak +1 = 0, дискриминант которого равен D = a2 - 4.

В начале разберем случай D = 0 ^ a = 2'

a = -2.

1.1. Если а = 2, то yoo = е"' (С, + C/) ^ yOH = е"' (C + C2O +10.

Используя начальные условия y(1) = y'(1) = 0, находим константы: С = 0; С2 =-10е. Тогда решение задачи (4) имеет вид: yM = -10t • е~'+1 +10 = .

= 10(1 -1 • в1-) ^ 10 при t ^

Происходит насыщение процесса накапливания химических веществ в окружающей среде.

1.2. Если а = -2, то ym = в (С1 + C2t) +10. Используя начальные условия y (1) = y'(1) = 0,

находим константы: с = -—•С =1°.

5 2 в в

Тогда решение задачи (4) имеет вид:

, 20 10 ч , 1П Уон = (—+— ') • е +10 = .

е е

= 10е'1 (^ - 2) +10 ^ +<х> при ' ^ +<х> В этом случае загрязняющие химические вещества имеют тенденцию к неограниченному росту (со временем неограниченно накапливаются).

у = С,ек' + С2екг2,

у оо 1 2 5

1.3. Если а е (-<»;-2), то - , при-

-а-Vа2 - 4 к1 =-> 0,

К =

-a + >/ a2 - 4

> 0

чем

к 2 > кг,

у = C,ek' + C2ek2t + 10.

s он 1 2

Используя начальные условия у (1) = у'(1) = 0, находим константы:

Q = --1^ < 0; С2 = > 0

к2 - к1

к2 - к1

к2 * к1

Тогда решение задачи (4) имеет вид:

Уон = ^г (к1ек2' - к/1' ) +10 ,

к2 - к1

так

как

при ' ^ +œ к2 > кх.

В этом случае загрязняющие химические вещества имеют тенденцию к неограниченному росту (со временем накапливаются в окружающей среде).

I.4. Если

< 0,

a е (2; +œ) ^ оба корня < отрицательны '

\к2 <0

Тогда решение задачи (4 )у(') = ^ 10 при ' ^

и происходит насыщение процесса накапливания химических веществ.

2) Если а и ß имеют одинаковые знаки, то можно

показать, что уравнение (1) не сводится к ОДУ. Тогда его следует решать по методике «интегральные уравнения с вырожденным ядром» [2;3].

С точки зрения теории управления на параметр «а» можно смотреть как на функцию управления и, по возможности, выбирать его значения, гарантирующие попадание системы в тот или иной желательный режим. Таким образом, линейные функции управления в экологических системах, описываемых интегральными уравнениями Фредгольма второго рода, могут приводить к совершенно различным тенденциям в зависимости от диапазона изменений лишь одного параметра «а». Это же утверждение относится к уравнению Вольтерра.

II. Исследуем частный случай уравнения Фредгольма второго рода

о

у(' ) = !•{ K (', z ) у( z )dz + f (' ),

(5)

при котором функции К(', г), у('), /(') - непрерывные, причем К(',2) = К(' - г), то есть является

функцией с запаздывающим (или опережающим, при г < 0) аргументом.

Будем искать решение (5) в виде степенного ряда

у (г) = ^Лп • рп (г),

(6)

в котором ср(го) = /(г). (7)

Предположив ограниченность ядра и правой части уравнения (5):

К (г - 2)\ < м / (г )| < N

в области изучения процесса, получим мажорирующую оценку:

|р (г)| < Мп • N • (Ь - а)п,

в которой Ь > а .

Тогда величина («невязка» уравнения)

|у(г) - уп (*)| = ^п (г)

стремится к нулю при П ^ да , если ограничить параметр Л (будущее собственное значение) условием

Л < д „I ) , то есть Л е {--1-;-1-

1 1 М(Ь - а) ^ М(Ь - а) М(Ь - а)

Введем в рассмотрение понятие резольвенты инте грального уравнения

да

Я(г - г,Л) = £г-1 • Кп (г - 2),

(8)

где итерированные ядра последовательно находятся по формулам

К1(г - 2) = К (г - 2),

К ) ЬК(г - и) • К 1 (и - 2)йи,

К (г - 2) = ^ ' п = 2,3,4...

а ' '

Резольвента интегрального уравнения Фредгольма (Вольтерра) определяется степенным рядом (8). Пользуясь аналитическим продолжением, резольвенту удается продолжить на всю комплексную плоскость параметра Л, за исключением собственных значений однородного уравнения Фредгольма (Вольтерра), то есть

дискретного множества \,Л2,...,Лр, которые являются особыми точками - полюсами резольвенты. Получается, что формула

у(г) = Л•] Я(г - 2, Л)/(2)ё2

тот алгоритм, который гарантирует возможность получения, например, меньшего налога (на добавленную стоимость), либо меньшие расходы топлива, или же меньшее время, которое должно пройти для получения добавочной прибыли (например, скорейшее ипотечное кредитование). Пусть интегральное ядро уравнения

К (г ,т) = шт(г;т). (9)

Тогда интегральное уравнение Фредгольма второго рода вида

Ь

у (г) = Л•{ К (г,т) у(т)ёт + / (г)

а

принимает форму

у(г) = Л • )ту{т)с1т + ] гу{т)ёт + / (г). (10)

а г

Дифференцируем (последовательно) дважды по аргументу \ :

у'(г) = Л^ г • у(г)-Л-г • у(г) -

г

Л • у(т)йт + / '(г),

у" (г) = -Л • у(г) + /"(г) , или

у '' (г) + Л • у (г) = /""(г).

Рассмотрим частный случай, при котором а = 0, Ь = 1, то есть г е [0; 1].

Тогда ясно, что у(0) = /(0); у(1) = / (1).

ьно,

Пусть /(г) = г3 - 2г2 + 4г + 6. Следовател

у(0) = /(0) = 6; у'(1) = /'(1) = 3.

Получаем краевую задачу для ОДУ

у " (г) + Л • у (г) = 6г - 4, (11)

у(0) = 6; у '(1) = 3. (12)

Если

Л = 0, то у" = бг - 4,

таким образом ре-

представляет собой решение интегрального уравнения Фредгольма (Вольтерра) при любом значении параметра, кроме Л = Л1, где г = 1,2,..р.

Экономические приложения интегральных уравнений с распределенным лагом -авторы называют их ин-тегрально-лаговыми - продолжим задачей, цель которой отобрать минимально-возможный лаг, ибо сокращение величины запаздываний при получении эффекта (в зависимости от ранее «внесенного» стимула), - одна из заметных составляющих в повышении экономической эффективности системы управления.

Предположим, что преобразование инвестиционной функции (например, объема капиталовложений) осуществляется по «свободному» выбору и ЛПР выбирает

у ' = зг2 -4г + с ^с = 4'

^ у(г) = г3 - 2г2 + 4г + 6 шение совпадает с

Если Л > 0 , то экономическая система, в силу во-латильности, пребывает в колебательном режиме, ибо

уоо = СlCOS^[Л•г + С2 втуЦ^г, уоо (0) =, (13)

= С„ уОо(0) = С2 •Л

и краевая задача должна быть «заменена» на задачу Коши, иначе нам «грозит» ситуация отсутствия решений (даже при / (г) = 0).

В работе изучены экономико-экологические проблемы, сводящиеся к несложным интегральным уравнениям Фредгольма и (или) Вольтерра. Таким образом, именно интегральные уравнения находят широкую сферу применения, в том числе, и интегральные уравнения с запаздывающим (либо опережающим) аргументом, которым чаще всего является независимый аргумент времени.

Литература

1. Амелькин, В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях /В.В.Амелькин. М.: Наука, 1987. -160 с.

X X

о

го А с.

X

го т

о

м о м

п=0

п=1

2. Паршикова Г.Ю., Силаев А.А., Тарарин И.М. Применение интегральных уравнений к конфликтным ситуациям экономики // 25-я Межд. научно-практ. конф. «Актуальные проблемы экономики -2020», М.: ГУУ, 2020.

3. Паршикова Г.Ю., Перфильев А.А., Силаев А.А. Линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода в приложении к экономике // Инновации и инвестиции, №9, 2020. - с.162-169.

4. Силаев, А.А. Исследование структуры инвестиционного лага в модели развития экономики города: Учебное пособие /А. А. Силаев, Г. Ю. Паршикова. М.: «Спут-ник+», 2009. - 75 с.

5. Jonathan N. Millar, Stephen D. Oliner, Daniel E. Sichelde. Time-to-plan lags for commercial construction projects //Regional Science and Urban Economics. Volume 59, July 2016, Pages 75-89. - Режим доступа:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0166 046216300278

Integral-lag models of economic dynamics Parshikova G.Yu., Silaev A.A.

State University of management

The paper considers economic, environmental, and reducible problems with a continuous integral change in the time lag of the exogenous indicator relative to the endogenous one. The resulting models are based on the Fredholm integral equation of the second kind and its important variety, the Volterra equation, in which the upper limit of integration is variable. Sometimes it is possible to reduce the Volterra integral equation of the second kind either to the Cauchy problem or to the boundary value problem for an ordinary differential equation (ODE) of the second order. Two such examples are explored in the article. Models that synthesize (in themselves) the Fredholm integral equation (or Volterra) find worthy application in the economy, ecology, chemistry, oil production and oil processing industries. The authors show that the tasks set in this paper have natural and broad generalizations. Keywords: Fredholm integral equation, degenerate kernel, integral lag model.

References

1. Amelkin, V.V. Differential equations in applications / V.V. Amelkin. Moscow: Nauka, 1987.160 p.

2. Parshikova G.Yu., Silaev A.A., Tararin I.M. Application of integral

equations to conflict situations of the economy // 25th Int. scientific and practical. conf. "Actual problems of the economy -2020", M .: GUU, 2020.

3. Parshikova G.Yu., Perfilyev A.A., Silaev A.A. Linear integral

Fredholm equations of the second kind as applied to economics // Innovations and investments, No. 9, 2020. - pp. 162-169.

4. Silaev, A.A. Study of the structure of the investment lag in the

model of the city's economic development: Textbook / A. A. Silaev, G. Yu. Parshikova. M .: "Sputnik +", 2009. - 75 p.

5. Jonathan N. Millar, Stephen D. Oliner, Daniel E. Sichelde. Time-

to-plan lags for commercial construction projects // Regional Science and Urban Economics. Volume 59, July 2016, Pages 75-89. - Access mode:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016604621 6300278

cs о

CS

О Ш

m

X

<

m о x

X