О свойстве сечений измеримого многозначного отображения Текст научной статьи по специальности «Математика»

і .

Следовательно, % J = Xі! ij(xj ~ХН) • Итак’

j=1

/=1

I TluiXj-Xj-JEf j=\

X /

Метод основан на замене уравнения (1) уравнением х -W Ркх + Ax(a) = f, (1 к)

функция Коши которого вычисляется по формулам:

1

Clc(t],s) =

ск( <*,■*) =

О, 5Й [а,/, ],

---1 ' к -fl+I-а*,tl )\ «И. ].

О, st\a,tm\.

При каждом ке N0 составим линейные комбина-

к

-И

— к (—к \ —к так чтобы матрица т =\^ij)... * Т|; =

ции Е j , у=1. А: функций из системы £

ч___

= (5)<r/.v, была диагональной. Совокупность

Ч-]

/:={/?*} назовем полным интерполяционным мно-

жеством, если:

1. Линейная оболочка функций Е* является гоют-ным множеством в L р .

2. Для любых двух чисел к,т е N0 , если к < т , то каждая из функций Ек} является линейной комбинацией функций Е |т, Е 2', • • •, Е ™ .

3. Существует такое число М > 0, что для всех кеМ0, /=1 ,к имеет место неравенство

т* >м\Ё*

4. При к->°° вьшолнено Нш шах (/* —/)= 0.

£-*<» |

Теорема: Пусть совокупность Е = {/Г * } является полным интерполяционным множеством. Пусть, далее, оператор IV =1/ +К +Т , где линейные ограниченные операторы Ц,К,Т являются вольтерровы-ми, причем оператор К — улучшающий, оператор Т — Т -вальтерровый, и имеет место неравенство

-—-< 1, здесь в этом неравенстве || С/ || - норма опе-М

ратора 11, число М задано условием 3. Тогда последовательность операторов Коши уравнении (1 А' ) сходится при к —>оо к оператору Коши уравнения (\).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бахвалов Н.С. Численные методы Ч 1 М. Наука. 1975. С. 450.

2. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1972.476 с.

3. Азбвлвв И.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука. 1991.280 с.

4. Ефремов А.А. Приближенное решение уравнений с запаздывающим аргументом: Дне. ... канд. фнз.-мат. и. Пермь. 1983. 114 с.

5. Юганова С.А. К вопросу о приближенном построении оператора Коши Пермь. 1981 11с. Деп. в ВИНИТИ, № 3820-81

6. Жуковская Т.В. Вольтерровость операторов и численное решение функционально-дифференциальных уравнений: Дне канд. фнз.-мат. н. Пермь. 1990. 140 с.

О СВОЙСТВЕ СЕЧЕНИЙ ИЗМЕРИМОГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ

© Е.А. Папасспко

Пусть comp [/Г] - множество всех непустых компактов пространства Я"; ||К||= sup {I и I: не V) (Ге сотр[Л"]), coF- выпуклая оболочка множества V. Обозначим через L"\a, />] пространство суммируемых по Лебегу функций х\ [а, ¿1 —»IF. Измеримость отображения F: [а, Ь | —> сотр[/?"] здесь понимается в смысле [1, с. 338]. Отображение со F: [a, b\ —> comp [Я"] определяется равенством (со F)(l) = со (F(f)), a S(F) у (•) е L" (a, b\. y(l) е F\t) при почти всех I е [а, 6]}.

Имеет место следующее утверждение.

Теорем а: Пусть отображение F: [а, Ь\

кхмеркью и существует такая функция (X ) е ¿'[а, Ь], что при почти всех t е [а, 6] выполняется неравенство НЯОН ^ Р(0- Тогда для любой функции х() е 5(со F) существует такая последовательность функций дг/ ) е S(F), i = 1,2,..., что *,(■) -» *(•) слабо в L"[a, b] при/-»«и для любого i = 1,2,... выполняется

ь ь

равенство 1х,(х)ск = ]х($)Ж. Теорема уточняет уг-

а а

верждение из |2] и играет важную роль в изучении свойств множеств решений периодических и двухточечных краевых задач дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д, Тихомиров ВМ. Теория экстремальных задач М. Наука. 1974 480 с.

2. Булгаков А.II. функцноналъно-днффсрснцнллгмое юятг с оператором, имеющим невыпуклые образы II Диффсрснц. уравнения 1987 Т. 23 № 10. С. 1659-1668.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальный Исследований (грант № 01-01-00140).