Интерполяция функции Коши Текст научной статьи по специальности «Математика»

мых функций .V : («,/>] —> К , имеющих непрерывную производную, С нормой || -V I I = | .V («) | + || А- ' || (..

Теорем а: Для произвольного измеримого управления ч : [«,/>] —> [— 1,11 существует такая посяедова-

ч„ є К і

тельность

lim ,

11 11 с

управлении ип Є К 1^*1. что

= 0, 1щі|х2 3f2 І і =0.

lirn max | cn(t,s) - c(t.s) | = 0. где с функция

»<-><” l,se |u,ft 1

Коши уравнения (1), (X; .її) фундаментальная cuc-

тема решении однородного уравнения, соответствующего(I), с„ - функция Коши уравнения

x"„(t)-u„ (t)x„ (/) =/(О.

(2)

(х| п.х 2 „ ) - фундаментальная система решений од-нородного уравнения, соответствующего уравнению (2) ЛИТЕРАТУРА

I Булгаков А.И.. Жуковский С.Е. Бчнг-Бэнг принцип для линейного

дифференциального уравнения второго порядка П Веста. ТГУ Сер Естествен щемит, науки Тамбов, 2001 Т 6. Выи 2 С 150-154.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ функции коши

© Т.В. Жуковская

При исследовании реакций системы на многочисленные различные входные воздействия требуется находить решения дифференциальных уравнений, отличающихся друг от друга только правыми частями или начальными условиями. Такие задачи приходится )>е-шать, например, при расчетах траекторий движения небесных тел [1|. в теории управления |2|. в теории устойчивости [3|. В этом случае оказывается удобным один раз построил» общее решение соответствующего уравнения и в полученную формулу затем лишь подставлять нужные правые части и начальные условия. Вопрос о нахождении общего решения функционально-дифференциального уравнения сводится (3) к построению функции Коши. Методы численного нахождения функции Коши интегро-диф(|)еренциального уравнения, уравнения нейтрального типа предложены в работах 14—6].

Пусть I. р - пространство функций, суммируемых на \а.Ь | в р -ой (1 < /><°° ) степени,

х I/

( ь

И/ =

р

D

пространство

таких абсолютно непрерывных функций х :|</.Л|— что х є Е ,

, И/;, = IIх II 1,р +И«)|- Ъпмп-

рим функционально-дифференциальное уравнение

х - (V х + А х (а) = / (1)

в предположении, что линейный ограниченный воль-терровый оператор IV имеет спектральный радиус р(И/)<1. Решение однородной задачи Коиш для уравнения (I) представимо оператором Коши

I

х(I) = \С (/..у)У(а*)*/я* . 1 |иже предлагается достаточно

а

общий метод построения функции Коши С (1..ч) . частными случаями которого можно считать методы [4-6|.

Пусть Л'(, - некоторая возрастающая последовательность натуральных чисел. Для каждого числа к е М0 выберем числа /*, / = 0,А' так, чтобы

0 < / * </* <•••</* = Ь- а, и для любых

к. т е .'V,,, если к <т, то {,* ИГ}- Пусть

Е * = {/:'* }с I. р , 7 = 1.1 . система таких функций,

I. I,

что Е] (л) = 0 при всех .V </}. Обозначим

»?/-)«*(»)*• ’*=(< ),«• -

Ч-1

= \\У Е) (а)(1.4, = (#,*■ Заметим,

что при

0-1

7>/ выполнено хкч=%^=0 Если предположтпъ

X * 0, V/, то существует матрица Т|* = (т* )_1. При

/>/ выполнено Г)*7=0. Обозначим ak=gkx\l' . Пусть Рк : Ер —> Е р - отображение, ставящее в соответствие каждому уе Ер такой элемент

к * и Л

у = , что |у(V)(1.\ = (л)(1ч при всех /

а а

Найдем коэффициенты с,* в линейной комбинации у

I,

функций Е .. Пусть х1=\у(в)<Ь. Тогда

а 7=1 а У -1

7=1

111)

Следовательно, Ъ, ] = £т| ) • Итак,

7=1

к ( I .

РкУ=Ъ )£' ’

-=1^=1 ;

Метод основан на замене уравнения (1) уравнением х - И7 Р* дг + Л Дг(йг) = / , (1 А' )

функция Коши которого вычисляется по формулам:

1

Ск('т-*) =

.,*6 [в,/,], О,

--j-—— (l +

0,

При каждом к 6 Л^0 составим линейные комбинации Е * , у = 1,Лг функций из системы £ к = {# * },

— & / — I- \ _ Ь-

так чтобы матрица Т = у , =

О’ _

= (,у)с/.у , была диагональной. Совокугаюсть

Ч-\

£ = {/}*} назовем полным интерполяционным множеством, если:

1. Линейная оболочка функций Ек является плотным множеством в Ь р .

2. Для любых двух чисел к,т є N0, если к <т ,

то каждая из функций Ь} является линейной комбинацией функций ЕI” ,Е 2 , Е .

3. Существует такое число М > 0, что для всех

А є Л^0, / = 1,А имеет место неравенство

Т*

4. При А —выполнено Ііт шах (/* — / )= 0.

і

Теорема: Пусть совокупность Е — \е * } явлл-

ел/ся полным интерполяционным множеством. Пусть, далее, оператор IV = С/ + К +Т , где линейные ограниченные операторы С/,К,Т являются вольтерровы-ми, причем оператор К — улучшающий, оператор Т — 1 -вольтерровый, и имеет место неравенство

-—-< 1, здесь в этом неравенстве || І/ | - норма опе-

М

ратора и, число М задано условием 3. Тогда последовательность операторов Коши уравнений (1Аг ) сходится при к—к оператору Коши уравнения (\).

ЛИТЕРАТУРА

Бахвалов Н.С. Численные методы 4 1 М. Наука. 1975. С. 450. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1972.476 с. Аз бел ев Н.В., Максимов В. П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991.280 с.

Ефремов А.А. Приближенное решение уравнений с запаздывающим аргументом: Дне. ... канд. фнз.-мат. и. Пермь. 1983. 114 с. Юганова С.А. К вопросу о приближенном построении оператора Коши Пермь. 1981 11 с. Деп. в ВИНИТИ. № 3820-81 Жуковская Т.В. Вольтерровость операторов и численное решение функционально-дифференциальных уравнений Дне канд. фнз.-мат. н. Пермь. 1990. 140 с.

О СВОЙСТВЕ СЕЧЕНИЙ ИЗМЕРИМОГО МНОГОЗНАЧНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ © Е.А. Панасенко

Пусть сотр[/?‘] - множество всех непустых компактов пространства/?"; ||К||= sup {| м |: и е У] (У е сошр[Л"]), coF- выпуклая оболочка множества У. Обозначим через L"[a, ft] пространство суммируемых по Лебегу функций х: [я, /;] -» R". Измеримость отображения F: [я, ft] —» сотр|Я"] здесь понимается в смысле [1, с. 338]. Отображение со F: [а, ft] -» comp [Л"] определяется равенством (со F\l) = со (/•(/)), a S(F) у (•) е L" [я, b\y{t) е Р\1) при почти всех / € [я, ft]}.

Имеет место следующее утверждение.

Теорема: Пусть отображение F: [я, ft] —» comp[R"] измеримо и существует такая функция Р() е L\a, ft], что при почти всех I е (я, ft] выполняется неравенство || Fit) || < Р(0- Тогда для любой функции дг( ) 6 .S’(co F) существует такая последовательность функций *,{•) е S(F), /' = 1,2,.... что .*,(•) -> лг() слабо в L"\a, ft] при /'—»<*> и для любого / = 1,2,... выполняется

ь ь

равенство (.у)с/.у = |х(я)с}х. Теорема уточняет ут-

а а

верждение из |2| и играет важную роль в изучении свойств множеств решений периодических и двухточечных краевых задач дифференциальных включений с невыпуклой правой частью.

ЛИТЕРАТУРА

1. Иоффе А.Д., Тихомиров ВМ. Теория экстремальных задач М Наука. 1974. 480 с.

2. Булгаков А.И. Функционально-дифференциальное включение с оператором, имеющим иевыпуклыс образы // Диффсренц уравнения 1987 Т. 23 № 10 С. 1659-1668

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальный Исследований (1-рант №01-01 -00140).

111