CC BY
2Б01 10.24412/с1-37235-2024-1-29-30
О СВОЙСТВАХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОКРЕСТНОСТИ ИРРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК
С.Л. Берберян
Российско-Армянский (Славянский) университет [email protected]
АННОТАЦИЯ
В данной статье изучено поведение гармонических функций в окрестности иррегулярных точек. Проведенные ранее исследования были рассмотрены ,в основном, известными математиками для аналитических функций.
Ключевые слова: иррегулярные точки, гармонические функции, нормальные функции.
Введение
В данной работе мы придерживаемся известных символов и определений. Семейство функций, гармонических в области G,называется нормальным, если любая последовательность функций из этого семейства содержит подпоследовательность, равномерно сходящуюся к гармонической функции или равномерно сходящуюся к + бесконечности (либо бесконечности) на любом компакте К области G Семейство функций, гармонических в области G, называется «нормальным» в точке А, если существует круг, имеющий центр в этой точке, в котором семейство будет нормально. Если семейство нормально во всех точках области G, то оно нормально во всей области G (см. [1], с. 37). Говорят (см. [1], с. 39), что точка А является иррегулярной для семейства функций, гармонических в области G, если в произвольном круге с центром в точке А, содержащемся в области G, существует хотя бы одна последовательность из этого семейства, для которой ни одна подпоследовательность не может равномерно сходиться в указанном круге.
Основные результаты
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Пусть S - некоторое семейство гармонических функций,опре-деленных в области G и точка А является иррегулярной точкой для этого семейства. Предположим, что ={ &^))}-та последовательность из S,из которой нельзя выделить подпоследовательность,которая равномерно не сходится ни в одном круге с центром в точке А. Тогда , каково бы ни было действительное
число а,начиная c некоторого номера п,все уравнения fn(z)=a имеют корень в сколь угодно малой окрестности точки А.
Для голоморфных функций теорема 1 была уже известна (см. [1], c.39). Рассмотрим еще одно утверждение о существовании иррегулярных точек в единичном круге.
Теорема 2. Пусть гармоническая в D функция u(z) имеет предел limu(zn) = +<х> ((или Umu(zn) = —от ) на некоторой последовательности точек {zn}, существует число M,0 < M < , и такая последовательность точек tn еD,n = 1,2,...,, что Ша(zn,tn) = M для всех n, и имеет место условие u(tn) < K (или u(tn) > K), где K - некоторое постоянное число. Тогда в D существует, по крайней мере, одна иррегулярная точка для последовательности функций {g(z,znt)} , где g(z, z4 ) = u((z + z4 )/(1 + znkz) и {znk} любая бесконечная подпоследовательность последовательности { zn } .
Утверждение теоремы 2 для голоморфных функций было получено в работе [2].
Вопрос существования иррегулярных точек для гармонических функций рассматривался также в работе [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. Монтель П. Нормальные семейства функций. 1936, ОНТИ СССР. С. 240.
2. Гаврилов В.И. О распределении значений мероморфных в единичном круге функций, не являющихся нормальными // Матем. сбор., 1965. т. 67(109), № 3, 408-427.
3. Берберян С.Л., Даллакян Р.В. О некоторых новых граничных свойствах нормальных гармонических функций // Ma^matica Montisnigri, 2023, vol. LVI. PP. 54-62.
ON THE PROPERTIES OF HARMONIC FUNCTIONS IN THE NEIGHBORHOOD OF IRREGULAR POINTS
S. Berberyan
Russian-Armenian(Slavomc) University
ABSTRACT
The behavior of harmonic functions in the neighborhood of irregular points is studied. Previous studies were reviewed mainly by well-known mathematicians for analytic functions.
Keywords: irregular points, harmonic functions, normal functions.
