CC BY
32
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 3 (2015). С. 29-38.
УДК 517.518
О СВОЙСТВАХ ФУНКЦИЙ ПОКАЗАТЕЛЬНОГО
КЛАССА ТАКАГИ
О.Е. ГАЛКИН, С.Ю. ГАЛКИНА
Аннотация. Функции из показательного класса Такаги по конструкции аналогичны непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции Такаги, описанной в 1903 г. Они имеют один вещественный параметр v и определяются с помощью ряда Tv(x) = где То (ж) — расстояние между точкой х € М и ближайшей
к ней целой точкой. При различных значениях параметра v мы изучаем область определения, непрерывность, свойство Гёльдера, дифференцируемость и вогнутость таких функций. Приводя известные результаты и доказывая недостающие факты, мы даем полное описание этих свойств для каждого значения параметра.
Ключевые слова: непрерывность, дифференцируемость, односторонняя производная, непрерывная нигде не дифференцируемая функция Такаги, класс Такаги, показательный класс Такаги, область определения, условие Гёльдера, глобальный максимум, вогнутость.
Mathematics Subject Classification: 26А27, 26А15, 26А16, 26А51
1. Введение
Функция Такаги Т(х) была определена Т. Такаги в 1903 г. в работе [1] доказал, что Т(х) на К всюду непрерывна и нигде не дифференцируема, можно задать с помощью ряда
оо
T(x) = Y,¥U2nx), хеш,
п=О
где Tq(x) = |[х + 1/2] — х\ = |{ж + 1/2} — 1/2| = р(х,Ъ) — расстояние между точкой iGR и ближайшей к ней целой точкой, [ж] — целая часть числа х, {ж} — дробная часть числа х.
Хата и Ямагути [2, Sec. 2] заменили в определении функции Такаги последовательность коэффициентов {1/2га} на произвольную последовательность констант {сп} и получили новое семейство функций, назвав его классом Такаги.
Объектом нашего исследования являются принадлежащие более узкому семейству вещественные функции TV} зависящие от параметра v и определяемые равенством
оо
Tv(x) = Y,vnT0( 2пх), xeR. (1)
п=О
Заметим, что при v = 0 функция Tv(x) совпадает с Т0(х), а при v = 1/2 получится сама функция Такаги: Т\/2{х) = Т(х).
О.Е. Galkin, S.Yu. Galkina, On properties of functions in exponential Takagi class. © Галкин O.E., Галкина С.Ю. 2015.
Работа поддержана РФФИ (гранты 13-02-12155 офи_м, 14-01-00516 А). Поступила 8 июля 2015 г.
, где он также Эту функцию
Поскольку в данном случае коэффициенты сп = Va зависят от п по показательному закону, то множество функций вида (1), где v G (—1; 1), будем называть показательным классом Такаги.
Функция Такаги и её обобщения применяются в различных областях математики, например, в математическом анализе, теории вероятностей, теории чисел и других. Этим функциям посвящено большое количество публикаций, которое продолжает увеличиваться. В частности, множество интересных результатов и ссылок имеется в обзорах [3] и [4].
В данной работе мы изучаем такие характеристики функций из показательного класса Такаги, как область определения, непрерывность, условие Гёльдера, дифференциру-емость, вогнутость. Приводя известные результаты и доказывая недостающие факты, мы даем полное описание этих свойств функций Tv для каждого значения параметра v. Каждый раздел статьи посвящён тому или иному свойству, указанному в его заголовке. В последнем разделе представленные результаты проиллюстрированы графически.
2. Область определения и непрерывность Двоично-рациональными числами (или точками) будем называть числа вида р/2к, где
pez, ке Nu {0}.
Теорема 1. 1) Если |г>| < 1, то ряд (1), задающий функцию Tv(x), сходится равномерно по х G Е, его сумма Tv(x) непрерывна, и \Tv(x)\ ^ 1/(2 — 2|г>|) при всех же!.
2) Если |г>| ^ 1, то ряд (1) сходится тогда и только тогда, когда х — двоично-рациональная точка. При этом на множестве двоично-рациональных точек функция Tv(x) всюду разрывна.
Для доказательства этой теоремы нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Пусть v ф 1/2, х - двоично-рациональная точка, имеющая двоичную запись ОС — ... ^^X/^tX/^ ... ССулj Uj N > m, где ra, N 6 N. Тогда
1) Если v G (—1; 1), и число h G [0; 2~N) имеет, двоичную запись h = • • -7 то выполняется равенство
N
/1 _ 0NvN \
Tv(x + h)-Tv(x) = h- { x_2v ~ 2 vT-'xn) + vNTv(2Nh).
n= 1
2) Выполняется равенство
m
Tv(x + 2~n) - Tv(x) = 2~n((1 - 2nvn)/(1 -2v)-2 ^№)п~1хп).
n= 1
Доказательство леммы 1. 1) Сначала заметим, что для любого числа у, имеющего двоичную запись 0,у\у2 ..верна цепочка равенств:
Шу1у2...)=ТМ={1*у ^lllZl =Ш + ( 1-2У1)-0,шУ2....
Используя эти выкладки, периодичность функции То и равенство х + h = ... ,хi... xm^_^0,hN+ihN+2 ■ ■ получаем:
N-m
Tv(x + h) = Tv(... ,xxx2 ■ ■ ■ xm0_^_0hN+1hN+2 • • •) =
N-m
m— 1
= vnTo(0,xn+i.. .xmQ_^0,hN+1...) +
n=0 N-m
N-1
п+1^га+2 • • •) —
п=тп М—п п=М
тп— 1
= ^^ьп(хп+1 + (1 - 2хп+\) ■ 0,хп+1.. .хт0_^км+1км+2.. •) +
п=О N-171
М-1
+ уп • 0,$_^км+1км+2 ... + гЛТ„(2мк).
п=т N-71
Полагая здесь к = О, находим:
т— 1
Т,и{х) = ^ ^ г>га(жга-|-1 + (1 — 2хп+\) • 0,жга+1.. .хт).
п=о
Вычитая два последних равенства, получаем:
т,—1
Т„(ж + к) - Ту(х) = ^ ьп(1 - 2хп+1) ■ 0,0_^0км+1км+2 ...+
п=О N-11
N-1
+ уп • 0,$_^0,км+1км+2 ... + гЛТ„(2м к) =
п=тп N-11
N-1 тп-1
: ^ г/1 • 2га/г - 2 ^ упхп+1 ■ 2пк + гЛТ„(
га=0 га=0
тп
= к■ ((1 - 2мУм)/(1 - 2у) - +
п= 1
2) Если двоично-рационально не только число ж, но и к, то ряды для Тг„(х) и ТДж + /г,) содержат лишь конечное число ненулевых слагаемых, поэтому рассуждения п. 1) верны при всех V ф 1/2. Заменив N на N — 1, применим эти рассуждения для случая к = 2~м = 0,0_^_0 1. Учитывая, что Т„(1/2) = 1/2, получим:
N-1
, _ дг_1 т
%{х + 2~м) - ЗД = 2"" • (Х --2 + Ум-1Т,€(2~1) =
п= 1
= 2"м • ((1 - 2мVм)/(1 - 2г;) - 2 ^(2г;)га"1жга).
п= 1
Лемма доказана. □
Доказат,елъст,во теоремы 1. 1) При |г>| < 1 равномерная сходимость ряда (1) вытекает из признака Вейрштрасса, а непрерывность его суммы Тг„(х) следует из теоремы Вейрштрасса и непрерывности слагаемых. Оценка ^ 1/(2 — 2\и\) следует из неравенств
оо оо
1ВД| ^ £ Е \v\V2 = 1/(2 - 2\ь\).
п=О п=О
2) Пусть Н ^ 1.
2а) Сначала покажем, что если х не является двоично-рациональной точкой, то ряд (1) расходится. В этом случае двоичная запись х = ... ,Х\Х2 ■ ■ ■ хп... непериодична. Поэтому существует строго возрастающая последовательность номеров {^fcjfcgN, таких что хпк+1 = 0, и хПк+2 = 1 при всех к G N. Следовательно,
Т0(2Пкх) = То(0,хПк+1хПк+2 ■■■) = 0,хПк+1хПк+2 • • • ^ 0,012 = 1/4.
Отсюда \vnkT0(2nkx)\ ^ |i>nfc|/4 ^ 1/4, поэтому общий член ряда (1) не стремится к нулю, и ряд расходится.
Если же х — двоично-рациональная точка, то х = р/2т, где р — целое, m — целое неотрицательное. Поэтому при п ^ m будет Т0(2пх) = Т0(2п~тр) = 0. Значит ряд (1) содержит лишь конечное число ненулевых слагаемых и поэтому сходится в точке х.
26) Теперь покажем, что при |г>| ^ 1 функция Tv на множестве двоично-рациональных точек х всюду разрывна. Пусть х имеет двоичную запись х = ... ,Х\Х2 ■ ■ ■ хт. Тогда по п. 2) леммы 1 при N > m выполняется равенство
m
Tv(x + 2~n) - ВД = (2~n - vN)/(l - 2v) - 2l~N J](2v)n~lxn.
n= 1
Следовательно, разность Tv{x + 2~N) — Tv{x) не стремится к нулю при N —оо, а значит функция Tv разрывна.
Теорема доказана. □
Замечание. 1 ) От,мет,им, что функция Т0 на Е чет,на, имеет, период 1, удовлетворяет, тождеству Т0( 1-х) = Т0(х). Кроме того, Т0(х) = х при, х G [0; 1/2] и,Т0(х) = 1-х при, х G [1/2; 1]. Поэт,ому функция Tv на облает,и, определения также чет,на, имеет, период 1 и удовлетворяет тождеству Tv( 1 ОС* ^ / 'fj ^iîy ^ .
2) В случае |г>| > 1 из п. 26) доказательства теоремы 1 следует,, что при N —)■ оо разность Tv(x + 2~n) — Tv(x) стремится к бесконечности, поэтому на множестве двоично-рациональных чисел, функция Tv неограничена в любом интервале.
3) Простой результат п. 1) теоремы добавлен для сопост,авл,ени,я с результат,ом п. 2).
3. Условия Липшица и Гельдера
3.1. При 1/2 < |г>| < 1, как следует из результатов работы К. Спарриер [5, Proposition 2.1.3], функция Tv на M удовлетворяет условию Гёльдера с показателем log2(l/|i>|).
3.2. При |г>| = 1/2 из результатов работы Шидфара и Сабетфахри [6, р. 375] вытекает, что функция Tv на M удовлетворяет условию Гёльдера с любым показателем из интервала
СО; 1).
3.3. В случае |г>| < 1/2 верно следующее простое утверждение.
Теорема 2. При |г>| < 1/2 функция Tv удовлетворяет, условию Липшица на Е. Доказат,ел,ьст,во. Из равенства (1) вытекает неравенство:
оо
|ВД - Tv{y)I ^ £ \v\n\T0(2nx) - Т0(2пу)\ при всех х,у G Е.
п=О
Отсюда, используя оценку |Т0(2гаж) — Т0(2пу)\ ^ \2пх — 2пу\, получаем:
оо
|ЗД - Tv(y)I ^ Нга2> - у\ = - у\/( 1 - 2М)-
п=О
Следовательно, функция Tv удовлетворяет условию Липшица. □
4. Функциональное уравнение
4.1. Из результатов де Рама [7] следует, что при каждом v G (—1; 1) функция Tv является единственным ограниченным решением функционального уравнения
у{х) = v ■ у{2х) +Т0(х), ieR. (2)
4.2. Хата и Ямагути [8, р. 335] показали, что в случае v = 1/4 выполняется равенство
Tv(x) = T\/i{x) = 2(х — х2) при х Е [0; 1]. (3)
В истинности этого равенства можно убедиться и непосредственной подстановкой функции (3) в функциональное уравнение (2).
5. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ
5.1. При v = 1/2, как уже было отмечено во введении, функция Tv(x) совпадает с функцией Такаги Т(х), поэтому нигде не дифференцируема на К (см. [1]).
5.2. При v = 1/4, как следует из равенства (3) и периодичности Tv(x), эта функция дифференцируема во всех точках ж 6 R, кроме целочисленных.
5.3. При v = 0 функция Tv совпадает с функцией Т0, поэтому она дифференцируема во всех точках ж 6 R, кроме полуцелых.
5.4. При 1/2 < < 1 из теоремы Коно [9, Theorem 2] о функциях класса Такаги следует, что функция Tv не дифференцируема ни в одной точке из К.
5.5. При < 1/2 из той же теоремы Коно [9, Theorem 2] следует, что функция Tv дифференцируема почти всюду на К. Этот результат можно уточнить следующим образом:
а) Из результатов К. Спарриер [5, Proposition 1.1.2] следует, что при |г>| <1/2 функция Tv на К дифференцируема во всех точках, не являющихся двоично-рациональными.
б) Мандельброт в [10, Sec. А.1.2, р. 247] без доказательства отметил, в частности, что при 0<г>< 1/2 и и / 1/4 функция Tv во всех точках из К имеет односторонние производные ТГу(х ± 0), которые различаются в двоично-рациональных точках и совпадают в остальных точках. Мы докажем следующий результат, согласующийся с этими фактами:
Теорема 3.1) При 0 < |г>| < 1/2 в любой двоично-рациональной точке, имеющей двоичную запись х = 0,xix2 ■ ■ - хт, существуют односторонние производные Т^(х ± 0) = llmh^+0(Tv(x ± h) — Tv(x))/h, и выполняются равенства
.. т
Т'Лх + 0) = - 2 (4)
п= 1
1 m 1/1
П(х - 0) = - 2 Y^iM^n + пРи ж ^ z>
п= 1
Т^(х — 0) = — --— при х G Z. (5)
2) При 0 < |г>| < 1/2 и г> ^ 1/4 функция Tv не дифференцируема в двоично-рациональных mочках из Е.
Доказательство. 1) Сначала докажем утверждение п. 1).
1а) По любому числу h G (0; l/2m) можно подобрать натуральное N = N(h) так, что 2~n~i ^ ^ 2~N. Тогда, используя оценку из п. 1) теоремы 1, получим:
\vNTv(2Nh)/h\ ^ \v\N/(2(1 - \v\)h) = 2~mos*lM/(2h(l - М)) ^
^ hlos*lM/(2h(l - М)) = hloS21/|2г;|/(2(1 - М)).
Отсюда, поскольку log2 1/|2г>| > 0, видим, что vNTv{2Nh)/h —> 0 при h —> 0.
Теперь из п. 1) леммы 1 следует равенство (4).
16) При х £ 2 равенство (5) следует из равенства (4), поскольку в силу периодичности и четности функции Т'и(х — 0) = Т'и(—х — 0) = —Т'и(х + 0).
1в) Пусть х Без ограничения общности можно считать, что хт = 1 в двоичной записи х = ... ,Х\Х2 ■ ■ ■ хт. Тогда, воспользовавшись разложением к = 0,0^^0 км+гк^+2 • • •,
N
получаем:
х — к = ... ,Х\... жт_10 ^+1^+2 ■ ■ ■ = х + к,
N-171
где х = ... ... жт_10 , к = 0, (Ь^Л)/г-лг+^м+г • • • = 2~м — к, кп = 1 — кп при
N-171 N
п = N + 2,....
Далее воспользуемся утверждением п. 1) леммы 1, заменив в нем х на х, к на к, т на М:
Т„(х — к) — Ту(х) = Т„(х + к) — Ту(х) =
к • - 2 + умХ€(2мк) =
N„,N м
71= 1
= (2 '"-*)■( ^ (2ьТ-1)+УМТ,€(2мк).
п= 1 га=т,+1
При к = 0 из этого равенства получаем:
их) - их) = 2-" \ -2^(2<-Ч>-2 ^Г"1).
га=1 га=т,+ 1
Вычитая из последнего равенства предпоследнее, находим:
их) -их-к) = к- { г_2у - 2 - 2 (2у)п~1) - Уми2мк).
п= 1 га=т,+ 1
Отсюда, так как хт = 1, получаем:
• 1 — 2мVм
Т„(х) — Т„(х — к) = к ■
1 - 2ь
2т+1ут _
171
+ 2тут~1 - 2^{2у)п~1х^ - ум%(2мк).
1 - 2у
п= 1
Теперь, устремляя к к нулю и пользуясь соотношением умТь(2мк)/к —> 0 из п. 1а), находим:
171
Т^х - 0) = 1/(1 - 2у) + 2тьт~1(1 - 4г;)/(1 - 2у) - 2^2(2ь)п~1хп,
п= 1
что и требовалось.
2) Из доказанных в п. 1) равенств следует, что Т'и(х — 0) ф Т'и(х + 0) при 0 < |г>| < 1/2, V ф 1 /4 и двоично-рациональном ж. Поэтому функция не дифференцируема ни в одной двоично-рациональной точке.
Теорема доказана. □
Пример. С помощью доказанных в теореме формул можно, например, вычислить, что при V € (0;1/4) в точках х = 1/4 и х = 3/4 самый большой скачок производной Т'и(х + 0) — Т^(х — 0) = 6 — Ал/2 « 0,343 получится для V = 1/2 — л/2/4 ~ 0,146 (рис. 1).
6. Глобальный максимум
6.1. При V = 1/2 точки глобальных и локальных экстремумов функции Т\/2{х) = Т(х) нашел Кахан. В частности, он доказал следующее утверждение [11, р. 54]:
Теорема (Кахан, 1959). Множество точек, в которых функция Такаги достигает своего глобального максимума, равного 4/3, ест,ъ множество точек, имеющих двоичную запись х = ..., Х\Х2 ■ ■ ■ хп ... и удовлетворяющих условию x2k+i + x2k+2 = 1 для k = 0,1,....
Изложение дальнейших результатов исследований локальных экстремумов и множеств уровня функции Такаги можно найти в обзорах [3], [4] и работе [14].
6.2. При V = 1 /л/2 из результатов работы [12, Лемма 5] вытекает, что глобальный максимум функции Tv равен (2 + \/2)/3, и на отрезке [0; 1] достигается в двух точках: 1/3 и 2/3.
6.3. Табор и Табор получили формулу для глобальных максимумов функций TVn на М. для некоторой последовательности {г>га}. С учетом наших обозначений, их результат [13, Theorem 3.1] может быть представлен так:
Теорема (Табор и Табор, 2009). Для каждого п G N обозначим через vn единственное положительное решение уравнения 2v+4v2+.. .+2nvn = 1. Пусть Cv = 1/(1 — (4г?—1)1оё2г, ^ ^ при V G (1/4; 1/2). Тогда
1) V\ = 1/2, последовательности {vn} убывает, и сходится к 1/4.
2) maxTi/Jx) = 1/2 = lim Cv; таахТц2(х) = 2/3 = lim Cv.
icSR ' D—>1/4+0 ik€R ' D—>1/2—0
3) maxTVn(x) = CVn для n G N, n ^ 2.
ieSR
6.4. Для дальнейшего изложения нам понадобится следующая теорема о достижении функциями Tv максимума в точке 1/2.
Теорема 4. 1) При v G [—1/2; 1/4] функция Tv в точке 1/2 имеет, глобальный, максимум, равный, 1/2.
2) При V G (—1; —1/2) U (1/4; 1) функция Tv в точке 1/2 не имеет, глобального максимума.
3) При V G [0; 1/4] и, целых п ^ 0 функции,
п
Sv,n(x) = J]^T0(2fcx) k=О
в точке 1/2 имеют, глобальный максимум, равный, 1/2.
Доказательство. 1) Рассмотрим отдельно случаи v G [—1/2; 0) ии G [0; 1/4].
1а) При v G [—1/2; 0) функция Fv{x) = Tq{x) + vTq{2x) является неотрицательной на R. Кроме того, из равенства (1), определяющего функцию Tv, получаем:
оо
ВД = То (ж) + ^v2k+1Fv(22k+1x).
k=О
Отсюда, так как v < 0, a Fv(x) ^ 0, то Tv(x) ^ Т0(х) ^ 1/2. Поскольку Т„(1/2) = 1/2, то 1/2 — точка глобального максимума функции Tv.
16) Пусть теперь v G [0;1/4]. Если х G [0;1], то из представления (1) функции Tv и формулы (3) следуют соотношения: Tv(x) ^ Ту^х) = 2(х — х2) ^ 1/2 = Т^(1/2). Для остальных х неравенство Tv(x) ^ Т^(1/2) следует из перидичности функции Tv. Поэтому 1/2 — точка глобального максимума.
2) При V = 1/2 из теоремы Кахаиа (см. п. 6.1) следует, что 1/2 не входит в число точек глобального максимума функции Т„(х) = Т(ж).
При V ф 1/2, V £ (—1; —1/2) и (1/4; 1) достаточно показать, что для некоторого натурального N выполняется неравенство Т„(1/2 + 2~м) > Ть( 1/2).
По лемме 1 при х = 1/2 = ОДг и га = 1 имеем:
Т„( 1/2 + 2~м) = 2~м((1 - 2мVм)/(1 - 2у) - 2) = 2~М(Ау - 1 - 2*гЛ)/(1 - 2у).
Следовательно, для у £ (—1; —1/2) условие Т„(1/2 + 2-^) > Т„(1/2) будет выполняться при достаточно больших нечетных ./V; а для у £ (1/4; 1) и у ф 1/2 это условие будет выполняться при всех достаточно больших натуральных N.
3) При у £ [0; 1/4] из определения функции и уже доказанного утверждения пункта 1) имеем: ¿угДж) ^ Т„(х) ^ 1/2 = 5,г,;га(1/2). Значит, при таких у в точке 1/2 функции имеют глобальный максимум. □
7. Вогнутость на отрезке [0; 1 ] 7.1. Имеет место следующее утверждение о вогнутости функций на отрезке [0; 1].
Теорема 5. Функции Т„ на от,резке [0; 1] вогнуты при у £ [0; 1/4] и не являются вогнутыми при у £ (—1; 0) и (1/4; 1).
Доказательство. 1) Покажем, что для любого у £ [0; 1/4] функция вогнута, то есть при всех х, у £ [0; 1] и а £ (0; 1) выполняется неравенство
Ту (ах + (1 — <у)у) ^ аТ„(х) + (1 — а)Т„(у). (6)
Так как Т„(х) есть поточечный предел функций ¿/„(ж) = ^^о^ж) при п —>■ оо,
то для доказательства вогнутости Ть достаточно доказать вогнутость функций при всех 71 = 0,1,2,.... Воспользуемся для этого индукцией по п.
При п = 0 функция ¿/„(ж) = То (ж), очевидно, вогнута на [0; 1].
Пусть функция ¿у-п вогнута на [0; 1]. Покажем, что ¿уп+1 также вогнута на [0; 1], то есть для всех х,у £ [0; 1] и а £ (0; 1) выполняется неравенство
¿>„,п+1(аж + (1 - а)у) ^ а5»|П+1(г) + (1 - аОЯ.п-иЫ- (7)
Рассмотрим три случая: а) 0 ^ ж ^ у ^ 1/2; б) 1;в) 0 ^ ж < 1/2 < у ^ 1.
а) Пусть 0 ^ ж ^ у ^ 1/2. Так как
га+1
= ^^ укТ0(2кх) = Т0(ж) + ^,п(2ж),
к=О
то соотношение (7) равносильно неравенству
Т0(ах + (1 — а)у) + у8,„,п(а ■ 2х + (1 — а) ■ 2у) ^
^ аТ0(ж) + (1 - а)Т0(у) + ж) + (1 - а)8„>п(2у)),
это неравенство выполнено в силу вогнутости функций Т0 и на отрезке [0; 1].
б) Пусть 1. Тогда 0 ^ 1 — у ^ 1 — ж ^ 1/2. Заменив в неравенстве (7) ж на 1 — у, у на 1 — ж, а на 1 — а и воспользовавшись тождеством = 5,г,)Т1+1(1 — ¿) (4 6 I), получим необходимое соотношение.
в) Рассмотрим оставшийся случай 0^ж<1/2<у^1. Не ограничивая общности, можно считать, что точка ах + (1 — а)у лежит на отрезке [0; 1/2].
Подберем число ¡3 £ (0; 1) так, что ах+ (1 — а)у = /Зх+ (1 — /3) • 1/2. Для этого, очевидно, надо взять ¡3 = (1/2 — ах — (1 — а)у)/(1/2 — ж).
Поскольку у> 1/2, то /3 < (1/2 - ах - (1 - а) • 1/2)/(1/2 - ж) = а.
В силу результата пункта а) функция ц вогнута на отрезке [0; 1/2], поэтому
¿?„,п+ Лах + (1 - о)у) = ¿>„,п+1 фх + (1 - /3) • 1/2) ^
,п+1 (ж) + (1 - f3)Sv ,п+1 (1/2) = Sv ,п+1 (1/2)(1/2) - Я ,п+1 Or)).
Согласно п. 1) теоремы 4, при t)G [0; 1/4] выполнены неравенства SV}n+i(x) ^ £yra+i(l/2) и S/n+i (у) ^ 5't),ra+i(l/2). Учитывая их, а также неравенство /3 < а, получаем условие вогнутости функции SVi,n+i:
Sv,n+ i(ax + (1 - а)у) ^ Sv>n+1(1/2) - a(Sv>n+i(l/2) - S/ra+i(:r)) =
= + (1 - ot)Sv>n+1(1/2) ^ + (1 - a;)5/n+i(y)-
2) При v G (—1; 0) функция Tv на отрезке [0; 1] не является вогнутой, поскольку Т„( 1/4) = Т0(1/4) +г;Т0(1/2) = 1/4 + ^/2 < 1/4, а значит при ж = 0, у = 1/2, а = 1/2 условие вогнутости (6) нарушается.
3) Остается показать, что при v G (1/4; 1) функция Tv на отрезке [0; 1] не вогнута. Так как согласно п. 2) теоремы 4 точка 1/2 не является точкой глобального максимума, то при некотором хо G [0; 1] будет Tv(xо) > Ту(1/2). Тогда Т„(1 — хо) = Tv(xо) > Ту(1/2). Поэтому при х = Хо, у = 1 — Хо, а = 1/2 условие вогнутости (6) нарушается.
Что и требовалось доказать. □
7.2. Отметим также результат Табора и Табора [13, Corollary 2.1], которые установили, что при v G [1/4,1/2] функции Tv являются (1,log2(l/f)) - полувыпуклыми, то есть удовлетворяют неравенствам
Г'(~Г) < Т'(Х) 2 ^ + |Х ~ г/|"**"/"; I'»6R-
8. Иллюстрация представленных результатов
Здесь мы проиллюстрируем представленные в работе результаты на примере функций Ту для v = 0,146 и v = —0,64.
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Рис. 1.
Рис. 2
Функция у = Т0; 146 (ж) (ее график изображен на рис. 1) удовлетворяет условию Липшица на ' Е
(см. теорему 2); не дифференцируема в двоично-рациональных точках и дифференцируема в остальных точках (см. п. 5.5); в точке 1/2 имеет глобальный максимум, равный 1/2 (см. теорему 4); вогнута на отрезке [0; 1] (см. теорему 5).
Функция у = Т_о,64 (ж) (см. ее график на рис. 2) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем к^2(25/16) ~ 0,644 на К (см. п. 3.1); не дифференцируема ни в одной точке из К (см. п. 5.4); в точке 1/2 не имеет глобального максимума (см. теорему 4); не является вогнутой на отрезке [0; 1] (см. теорему 5).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Т. Takagi A simple example of a continuous function without derivative // Proc. Phys. Math. Soc. Japan. V. 1. 1903. P. 176-177.
2. M. Hata, M. Yamaguti Takagi function and its generalization // Japan J. Appl. Math. V. 1. 1984. P. 183-199.
3. P.C. Allaart, K. Kawamura The Takagi function: a survey // Real Anal. Exchange. V. 37, № 1. 2011/12. P. 1-54.
4. J.C. Lagarias The Takagi Function and Its Properties //In RIMS Kokyuroku Bessatsu B3Jt: Functions and Number Theory and Their Probabilistic Aspects. Kyoto. B. 34. Aug. 2012. P. 153189.
5. K.G. Spurrier Continuous Nowhere Differentiable Functions. Senior Thesis. South Carolina Honors College, South Carolina. 2004.
6. A. Shidfar, K. Sabetfakhri On the Continuity of Van Der Waerden's Function in the Holder Sense // Amer. Math. Monthly. V. 93, № 5. 1986. P. 375-376.
7. de Rham G. Sur un exemple de fonction continue sans derivee // Enseign. Math. V. 3. 1957. P. 71-72.
8. M. Hata, M. Yamaguti Weierstrass's function and chaos // Hokkaido Math. J. V. 12. 1983. P. 333-342.
9. N. Kôno On generalized Takagi functions // Acta Math. Hungar. V. 49. 1987. P. 315—324.
10. В.В. Mandelbrot Fractal landscapes without creases and with rivers. P. 247. In H.-O. Peitgen, D. Saupe Ed. The Science of Fractal Images N.Y.:Springer-Verlag 1988. 313 p.
11. J.P. Kahane Sur l'exemple, donné par M. de Rham, d'une fonction continue sans dérivée // Enseignement Math. V. 5. 1959. P. 53—57.
12. Галкина С. Ю. О коэффициентах Фуръе-Хаара от функций с ограниченной вариацией // Мат. заметки. Т. 51, № 1. 1992. С. 42-54.
13. J. Tabor, J. Tabor Takagi functions and approximate midconvexity //J. Math. Anal. Appl. V. 356, № 2. 2009. P. 729-737.
14. P.C. Allaart On the level sets of the Takagi-van der Waerden functions // J. Math. Anal. Appl. V. 419. 2014. P. 1168-1180.
Галкин Олег Евгеньевич,
Институт информационных технологий, математики и механики ИНГУ, пр. Гагарина, 23,
603950, г. Нижний Новгород, Россия E-mail: [email protected]
Галкина Светлана Юрьевна,
Институт информационных технологий, математики и механики ННГУ, пр. Гагарина, 23,
603950, г. Нижний Новгород, Россия E-mail: svetlana. u. galkinaOmail. ru
