Метод построения исчерпывающего множества верхних выпуклых аппроксимаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сер. 10. 2013. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 517.977 И. М. Прудников

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИСЧЕРПЫВАЮЩЕГО МНОЖЕСТВА ВЕРХНИХ ВЫПУКЛЫХ АППРОКСИМАЦИЙ*)

1. Введение. Аппроксимация функции в окрестности рассматриваемой точки — одна из главных задач в оптимизации, так как выбор аппроксимации определяет выбор оптимизационного метода. Для гладкой функции f (■) : R" ^ R аппроксимация первого порядка строится в виде

'ф(хс) = f (xo) + (f '(xo ),x — xo),

где x € R"; f '(x0) = Vf (x0) — производная функции f (■) в точке x0. График функции ф(^) есть гиперплоскость, касательная к графику Г^ функции f (■) в точке xo. Такая аппроксимация применяется при построении методов оптимизации первого порядка.

Для построения более точных методов применяется аппроксимация второго порядка с использованием матрицы вторых частных производных [1,2]

f (xo) + (f '(xo), x — xo) + (1/2)(f ''(xo)(x — xo), (x — xo)),

где f ''(xo) = V2 f (xo) - матрица вторых частных производных.

Для негладких (недифференцируемых) функций все усложняется тем, что разные авторы применяют различные методы аппроксимаций. Первый способ аппроксимации липшицевой функции f (■) в точке xo предложил Ф. Кларк [3], который ввел следующую функцию:

F(xo ,g) = lim sup (f (xo + u + ag) — f (xo + u))/a.

a——>o

Оказывается, что F(xo, ■) — выпуклая по g и существует такое выпуклое компактное множество dcbF(xo), называемое субдифференциалом Кларка, что

F(xo ,g)= max (v,g).

vedcbF(x0)

Далее будем предполагать, что f (■) : R" ^ R — произвольная липшицева функция. Для аппроксимации таких функций Б. Н. Пшеничный предложил строить верхние выпуклые аппроксимации (в. в. а.) функции f (■) в точке xo [4]. Введем обозначение

F (xo,g) = limsup a—+o(f (xo + ag) — f (xo))/a.

Прудников Игорь Михайлович — старший инженер-исследователь LG Electronics, Москва. Количество опубликованных работ: 45. Научные направления: оптимизация, теория управления, моделирование физических и экономических процессов. E-mail: pim_10@hotmail.com.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 09-01-00360). © И. М. Прудников, 2013

Назовем F(xo,g) верхней производной Дини функции f (■) в точке xo по направлению д. Поскольку f (■) — липшицевая, то функция F(xo, ■) — конечная и липшицевая для любого д € М".

Определение 1 [4]. Функция h( ) : М" ^ М называется в. в. а. функции f (■) в точке xo , если

1) h(g) > F(xo,д) Уд € М",

2) h() — выпуклая замкнутая положительно однородная (п. о.) функция от д. Очевидно, что в. в. а. существует бесконечно много. Воспользовавшись в. в. а.,

Б. Н. Пшеничный сформулировал необходимые условия оптимальности [4]. Но оказывается, если рассматривать достаточно много таких функций, то можно сформулировать и достаточные условия оптимальности [4].

А. М. Рубинов ввел исчерпывающее множество в. в. а. (см. [5, с. 5-127]). По определению исчерпывающим множеством функции f (■) в точке xo называется такое множество в. в. а. h\(■), Л € Л*, для которого

inf лел*Ьл(д) = F(xo, д) Уд € М".

Если f (■) — функция, дифференцируемая по направлениям, то последнее уравнение можно заменить равенством

inf лел* ^(д) = д^)/дд = F (xo, д) D=f Цд) Уд € М".

Так как произвольная конечная выпуклая п. о. (т. е. сублинейная) функция ф(^) : М"М может быть представлена в виде

ф(д) = max (у,д) Уд € М",

ves^(o)

где дф(0) — субдифференциал функции ф() в нуле, то для построения исчерпывающего множества в. в. а. функции f в точке xo достаточно определить множество

E* = {C С М" | C = C(h\) = dh^Q) Л € Л*}.

Множество E* = E*(f) называется верхним экзостером функции f в точке xo.

Также известно, что любая конечная вогнутая п. о. функция ф(^) может быть записана так:

ф(д)= min (у,д), д € М".

vEdt/.i(0)

Здесь д_ф{0) - супердифференциал функции ф в нуле. Если существует множество Л*, для которого выполнено равенство

Ь(д)= sup ^(д) Уд € М", лел*

то множество

Е* = E*(f) = {D с R™ | D = D(h\) = dhx(0) Л е Л*}

называется нижним экзостером функции f в точке xo. Затем будем рассматривать только ограниченные в совокупности семейства множеств E* и E*

Замечание 1. Далее мы будем строить экзостеры для функции h(ß) = df (xo)/дд в точке Q, считая функцию f липшицевой в окрестности точки xo, дифференцируемой по направлениям.

Пара Е = [Е*; Е*] семейств выпуклых компактных множеств, где Е* — верхний и Е*— нижний экзостеры, называется биэкзостером. Экзостеры были введены в [5]. В статье [6] изучается связь между различными обобщенными субдифференциалами и экзостерами.

В статье [7] был найден вид выпуклых п. о. функций, образующих исчерпывающее множество в. в. а. для п. о. функции Н(-) с константой Липшица Ь. Исчерпывающее множество в. в. а. будет состоять из выпуклых п. о. функций, имеющих вид

hy(x) = inf {L || x — ty || +th(y) : t > 0}.

Тогда верно равенство

h(x) = min hy (x), yesn-1(o)

в котором S"-1(0) — единичная сфера в R" с центром в начале координат. Отсюда следует, что, согласно алгоритму Кастеллани [7], для построения исчерпывающего множества функций hy(■) требуется решить бесконечное число оптимизационных задач.

В [8, 9] введены новые способ аппроксимации и вид субдифференциала функции f (■) в точке xo, основанный на построении множества усредненных градиентов вдоль кривых из некоторого семейства кривых.

Прежде чем ввести новый способ аппроксимации и изучить, как он связан с рассмотренными выше, определим следующее множество кривых.

Определение 2. Пусть n(xo) есть множество параметризованных кривых r(xo,a,g) = xo + ag + or(a), где g € S"-1(0) и функция or(■) : [0,ao] ^ R",ao > 0 удовлетворяет следующим условиям:

1) or(a)/(a) ^ +0 при a ^ +0 равномерно для всех кривых r();

2) функция or(■) непрерывно дифференцируема на (0,ao) и ее производная o'() ограничена сверху по норме вблизи начала координат: существует с < ж такое, что

sup || o'r (т) с;

Т e(o,ao)

3) градиенты Vf (r(xo, ■, g)) существуют п. o. вдоль кривой r(xo, ■, g). Замечание 2. Согласно свойству 3 определения, множество n(xo) зависит

от выбора функции f (■). Константы с и ao одни и те же для всех кривых r € n(xo). Введем множества

Ef(xo) = {v € R" : 3ak, ak ^ +0, 3 g € S"-1(0),

ak

3r(xo, ■,g) € n(xo), v = lim a-1 Vf (r(xo,T,g))dT }

ak—+o J o

и

Df (xo) = co Ef(xo),

где интеграл понимается в смысле Лебега.

В [8] доказано, что Df (xo) — выпуклое замкнутое множество. Там же установлена связь между Df (xo) и субдифференциалом Кларка функции f (■) в точке xo.

Используем множество Df (xo) для построения исчерпывающего множества в. в. а. аппроксимаций функции f (■) в точке xo. Так, в [10] это множество применялось для

построения нижних выпуклых аппроксимаций и главных нижних выпуклых аппроксимаций (ГНВА), с помощью которых сформулированы необходимые (в некоторых случаях и достаточные) условия оптимальности, а также можно находить направления убывания функции. Причем построение ГНВА можно производить не только в малой окрестности точки хо, но и в достаточно большой окрестности точки хо и тем самым упростить вид функции, а значит, и ускорить поиск точки экстремума. Оптимизационные методы, использующие ГНВА, будут сходиться быстрее, чем те же методы для исходной функции f (■), так как упрощается структура функции, а точки минимума не теряются.

Цель данной работы — показать, как можно строить исчерпывающее множество в. в. а. при помощи обобщенных градиентов v G Df (хо).

В некоторых случаях построение исчерпывающего множества в. в. а. не представляет трудности. В [11] описано правило построения исчерпывающего множества в. в. а. для квазидифференцируемых (КВД) функций, т. е. таких функций f (■), для которых

df(xo)/dg = f '(хо, g) = lim (f (хо + ag) — f (xo))/a = = max (v,g)+ min (w,g),

vedf{x o) wedf(xo)

где df(xo) и df(xo) — субдифференциал и супердифференциал соответственно функции /(•) в точке хо- Множества 9/(жо) и df(xo) по определению есть выпуклые, компактные множества. Если /(•) - КВД функция в точке хо и множества df (хо), df(xo) известны, то исчерпывающее множество в. в. а. функции f (■) в точке хо строится следующим образом:

hw(x0,д) = max (v,g) Vw G df(x0).

vEw+df(xo)

Если положить W = df(xo), то

inf hw(хо, g) = f '(хо, g) = F(хо,д).

wew

Действительно,

f'(xo,g)= min max (v + w,g)= min max (u,g) =

wedf(xo) vEdf(xo) wedf(xo) u-wedf(x0)

= min max (u,g),

wEdf(xo) uew + df(x0)

откуда и следует сказанное.

Описанный метод применим, если известны множества df(xo) и df(xo). К сожалению, их не всегда удается найти. Возникает вопрос: а как построить исчерпывающее множество в. в. а. для произвольной липшицевой дифференцируемой по направлениям функции?

Для ответа на него используем идеи, описанные в [10]. Модифицируем исходную функцию и рассмотрим новую функцию

1(х) = f (х) +L Ух — хо||,

где L - константа Липшица функции f (■). Для измененной функции f (■) построим множество усредненных градиентов Df (хо).

Опишем метод построения исчерпывающего множества в. в. а. для липшицевой, дифференцируемой по направлениям в точке xo функции f, который будет состоять из двух этапов. Сначала построим исчерпывающее множество в. в. а. для функции f (■) в точке xo, а затем, используя уже построенное множество, получаем исчерпывающее множество в. в. а. для функции f (■) в точке xo.

2. Метод построения верхнего экзостера для функции f (.). Возьмем любой вектор д е S"-1(0). Пусть

Pg(v) = {w е R" I (w,g) < (v,g)}.

Очевидно, что Pg(v) есть полупространство для любого вектора v. Для любого вектора v е Eg (f) определим

Cg(f) = Df (xo) П Pg(v),

где

Eg f (xo) = co {v е R" : Зак ,ak ^ +0,

ak

(3r(xo, ■,g) е 'q(xo)),v = lim а-1 Vf(r(xo,r,g))dr }.

ak^+o J o

Очевидно, что Cg (f) — выпуклое компактное множество для любого д е S"-1(0). По определению положим

Щ^=?(хо,9) = Цд).

Верна следующая лемма.

Лемма. Для любого вектора v е Eg (f) верно равенство

df(x0) ~

(v,9) = дд = На)-

Доказательство. Для любой кривой т{х0, -,д) € п(хо), д € ^^ , верно равенство

а

!(г(х0,а, д)) — I(х0) = J{у!(г(х0, Т, д)), г'(хо, Т, д))йт.

о

Поскольку г{х0, -,д) непрерывно дифференцируема, то т'{х0,т,д)д при т + 0. Замена т'{хо,т,д) на д эквивалентна добавлению некоторой бесконечно малой функции к правой части равенства. Разделим обе части равенства на а и перейдем к пределу при а + 0. В итоге получим

дКх0) , ,

для произвольного V € Ед { I). Лемма доказана. □ Нашей целью будет доказать следующую теорему.

Теорема 1. Ограниченное в совокупности семейство выпуклых компактных множеств С, включающих множества Сд (I) для всех д € образует верхний экзостер Е*{1), т.е. верно равенство

Н{д) = ^ . На{д),

С£Е*(Г)

где На(д) = ш.&хуеа {V,д).

Замечание 3. Теорема дает правило построения верхнего экзостера Е*(/). Ясно, что верхний экзостер Е*(/) функции ] в точке хо совпадает с верхним экзостером функции Н в нуле, т. е. Е*(/) = Е*(Н).

Доказательство теоремы. Определим функцию Нд() : М" ^ М

Очевидно, что Покажем, что

hg (q) = max (w,q).

wecg(f)

hg(g) = h(g) = f>(xo,g) Уд € Sn-1(0).

hg(q)= max (w,q) >f'(xo,q) yq € S?-1(0).

wecg( f)

Будем доказывать от противного. Пусть для некоторого q € SП 1(0) верно неравенство

hg(q) = max (w,q) <f\x0,q). (1)

weCg( f)

Рассмотрим двухмерную плоскость P(g,q) = span{g, q}. Определим на P(g,q) п. о. функцию ) : R2 ^ R, являющуюся сужением h( ) на подпространство P(g,q). Очевидно, что для всех u € P(g, q)

= = « = « = (2)

Введем множество

Ep(0) = co {v € R2 : Зак,ак ^ +0, (3 g € Sj(0)),

ak

(3r(0,-,g) € Vv(0)),v = lim+n a-1 i VV(r(0,r, g))dr }

ak^+0 J

n

и

Dy(0) = co E^(0),

где Цц>(0) есть множество кривых на плоскости P(g, q) с теми же свойствами, которыми обладают кривые множества n(x0).

Функция р(-) дифференцируема почти всюду на любой кривой множества щ(0). Множество Dy>(0) - выпуклое, компактное множество на P(g,q). Определим множество

Eg<р(0) = co {v € R2 : Зак, ak ^ +0,

ak

(3r(0, ;g) € nv(0)),v = lim a-1 i VV(r(0,r, g))dr }.

ak ^+0 J n

Поскольку верно (2), то множество Egр(0) — проекция множества Egh(0) на плоскость P(g, q) и состоит из векторов размерности два. Действительно, любой вектор из Eg^(0) — это проекция некоторого вектора из Egh(0) на плоскость P(g,q). Отсюда вытекает сделанное выше утверждение.

Следовательно, множество Dy(0) — выпуклая оболочка проекций множеств Euh(0) на плоскость P (g, q) для всех u G P(g, q). Также определим множества

Qg(v) = {u G R2 I (u,g) < (v,g)}

для любого v G Egу(0) и

Cg (у) = Dy(0) П Qg (v).

Нетрудно видеть, что Cg(у) - проекция векторов множества Cg (h) на плоскость P(g, q), рассматриваемых как двухмерные вектора. Определим функцию (•) : R2 ^ R

(u) = max (w,u).

weCg(ip)

Так как любой вектор из Dh(0) есть предельный вектор градиентов линейных функций, построенных по значениям функции f (xo) в точках на кривых множества п(хо), включая точку xo, то верно равенство

Dh(0) = Df (xo).

Отсюда и вышесказанного вытекает равенство

Уд (q) = hg(q). Следовательно, если (1) верно, то неравенство

Уд(q) = hg(q) < h(q) = f'(xo, q) = y(q) (3)

также верно. Мы докажем обратное, а именно: неравенство (3) не верно.

Чтобы это доказать, аппроксимируем с любой наперед заданной точностью функцию у(-) п. о. многогранной функцией ут(-) : R2 ^ R, которая будет построена следующим образом.

Разделим равномерно круг В2(0) = {z G R2 | ||z|| < 1} с помощью векторов {qi},i G 1 : m, на m секторов. Построим в каждом секторе, определяемом векторами {qi, qi+i, 0}, линейную функцию, принимающую на векторах qi, qi+1,0 значения y(qi),y(qi+1),y(0) соответственно.

В результате получим п. о. многогранную функцию ут(-). Очевидно, что функции ут(-) аппроксимируют функцию у(-) в шаре Bl(0) равномерно по m. Нетрудно доказать, что функции ym(-) липшицевы равномерно по m, следовательно, почти всюду дифференцируемы в шаре В2(0). Кроме того, функции ут(-) могут быть построены таким образом, чтобы градиенты стремились при m ^ж к градиентам Vp(-)

во всех точках, где они существуют. Для этого надо, чтобы секторы стягивались при m ^ж к точкам, где существуют градиенты функции у(-). Доказательство вытекает из определения градиента и положительной однородности функции у(-). По определению положим

(Ут)д (u) = max _ (w,u), (f)

Cmg (<pm) = Dym (0) П Qg (v).

Если (3) верно для функции p(-), то неравенство

(Pm)g ) < Pm (q) (4)

будет также верно для достаточно больших т. Действительно, при т оо верны предельные соотношения

lim pm(q) ^ p(q),

тж

lim рн (Dpm (0),Dp(0)) = 0,

lim рн (Cmg (Pm ), Cg (Pm )) = 0,

m<x>

lim(Pm )g (q ) ^ Pg (q ),

m<x

где рн — метрика Хаусдорфа. Отсюда следует сделанное выше утверждение.

Обозначим на плоскости градиенты линейной функции, построенной выше. Соединим градиенты функций, построенных в соседних векторах, отрезком. В результате получим на плоскости ломаную линию lm.

Заметим, что произвольный отрезок, соединяющий градиенты a и b из соседних секторов с общим вектором qi, перпендикулярен qi. Действительно, поскольку (a,qi) = (b,qi), то (a — b,qi) = 0. Следовательно. вектора a — b и qi перпендикулярны. Отсюда вытекает, что векторы {qi}, i Е 1 : т, перпендикулярны отрезкам ломаной lm.

Перенумеруем векторы {qi}, i Е 1 : т, по часовой стрелке. В качестве примера рассмотрим некоторые частные случаи возможных расположений ломаной lm на плоскости. После этого доказательство теоремы будет проведено для общего случая.

Если pm(•) выпуклая, то ломаная lm ограничивает выпуклый многогранник, для которого неравенство (4) неверно для любых векторов g, q Е R2 .В действительности достаточно проверить (4) только для g,q из множества векторов {qi}, i Е 1 : т.

Функцию, график которой образован двумя плоскостями, являющимися графиками линейных функций, построенных по соседним секторам, назовем двугранным углом.

Если один из двугранных углов функции pm(•) — вогнутый, то два отрезка ломаной lm будут пересекаться, как показано на рис. 1.

Рис. 1. Случай одного вогнутого угла

Рис. 2. Случай двух вогнутых углов

Векторы ^}, г Е 1:7, на рис. 1 пронумерованы по часовой стрелке и перпендикулярны отрезкам, являющимися субдифференциалами (супердифференциалами) выпуклых (вогнутых) двугранных углов. Заметим, что стороны АВ и СО пересекаются друг с другом, поскольку многоугольник АКОЕЕО есть субдифференциал в нуле наибольшей выпуклой функции, не превосходящей функцию фт(■). Легко видеть, что неравенство (4) не может выполняться ни при каких д,д из множества векторов {дг}, г Е 1:7.

Рассмотрим случай, когда есть несколько вогнутых двугранных углов (рис. 2). Как и выше, многоугольник АКЬЕО— это субдифференциал в нуле выпуклой функции, которая является наибольшей выпуклой функцией, не превосходящей функцию фт(■). Неравенство (4) не может быть верно для вектора д, равного векторам }, }, и вектора д, совпадающего с одним из векторов }, г Е 1:7, поскольку точка О находится всегда ниже луча, на котором располагается отрезок ВС, а точка С находится ниже луча, на котором располагается отрезок ОЕ. По этой причине неравенство (4) не может выполняться ни при каких д,д из }, г Е 1:7.

Рассмотрим случай, когда существуют несколько смежных вогнутых двугранных углов, как показано на рис. 3, субдифференциалы которых образуют ломаную, являющуюся частью границы выпуклого многоугольника. Векторы }, г = 1, 2, 8, перпендикулярны отрезкам ОС, ^О, ВС соответственно и направлены во внутрь выпуклой области, часть границы которой — ломаная ЕОСВ.

Рис. 3. Случай двух соседних углов

Когда вектор д - один из векторов , то для функции фт(■), построенной

по множеству Стд(фт), ни для какого д из множества ,...,д8 неравенство (4) не может выполняться. Это верно в связи со свойствами ломаной ЕОСВ, как части границы выпуклого множества, и со свойствами нормалей к ее отрезкам. Если д — один из векторов , или , и так как точка Е принадлежит множествам Стдз (фт), Стд4 (фт), Стдъ (фт), то опять приходим к выводу, что неравенство (4) не может выполняться ни для какого д из множества ,...,д8.

Рассмотрим также случай, когда существуют вогнутые двугранные углы с супердифференциалами СВ и АН, которые, как отрезки, пересекаются, а отрезок АВ — субдифференциал выпуклого двугранного угла (рис. 4). Поскольку нормали к отрезкам СВ, АН так же, как и раньше, направлены во внутрь некоторого выпуклого множества, то для д, равным q2 или , справедливы выводы, сделанные раньше. Так как точка В располагается ниже отрезка ОН, а точка А — ниже отрезка СБ, то для д, равным qз или , неравенство (4) также не может выполняться ни при каком q из множества q1 ,д2, . Остался последний случай, когда д = q1 .В связи со свойствами нормалей q2, q8 и расположением точек А, В можно также в этом случае сделать вывод, что неравенство (4) не может выполняться ни при каком q из множества q1, q2, . .

Р 45

Рис. 4- Случай чередования выпуклых и вогнутых углов

Мы рассмотрели несколько случаев и показали, что неравенство (4) не может выполняться ни при каком р, q. Дадим теперь строгое доказательство теоремы для общего случая.

Как и ранее, для доказательства неравенства (1) разбиваем круг на т секторов, строим п. о. функцию (•) и переходим от доказательства неравенства (3) к доказательству (4). Строим на плоскости ломаную 1т, отрезками которой будут субдифференциалы или супердифференциалы выпуклых или вогнутых двугранных углов. Нормалями к отрезкам ломаной 1т будут векторы qi, г Е 1 : т, разбивающие круг В?(0) = {у Е М2 ||| у ||< 1} на секторы.

Пронумеруем эти векторы по часовой стрелке. Пусть для некоторых д^ из множества векторов ^}, г Е 1 : т, справедливо неравенство (4). Это означает, что отрезок ломаной 1т, на котором достигается максимум скалярного произведения на вектор q, не принадлежит множеству Стд (фт). Рассмотрим расположение отрезков ломаной 1т, на которых достигается максимум скалярного произведения на векторы д и q, которые обозначим соответственно а и Ь.

Если прямая, на которой располагается отрезок а, пересекается с отрезком Ь, то неравенство (4) не может выполняться. Пусть для определенности вектор д направлен

вертикально вверх, а отрезок Ь находится выше отрезка а, как показано на рис. 5. Для ситуации, изображенной на рис. 5, неравенство (4) будет выполняться, так как прямая, которой принадлежит отрезок а, не пересекает отрезок Ь.

Покажем, что расположение векторов а и Ь на рис. 5, невозможно. Воспользуемся тем, что нормали к отрезкам ломаной 1т не повторяются и, согласно обозначениям, поворачиваются по часовой стрелке при изменении индексов от 1 до т. Пусть АВ — отрезок Ь, а СО — отрезок а. Если построена ломаная 1т\, соединяющая точки В и О и расположенная, как показано на рис. 5, то обязательно будет отрезок ломаной 1т\ с нормалью д и отличный от СО. Но уже есть отрезок СБ с нормалью д. Поэтому ломаной 1т\, соединяющей точки В и О, не существует.

Рис. 6. Способы соединения точек А, В с С, Б

Пусть точки В и Б соединяются ломаной 1т2, как показано на рис. 6. Тогда точка А соединяется с точкой С ломаной 1тз или 1т4. У ломаной 1тз обязательно будет отрезок с нормалью д. Получаем, что есть два отрезка с нормалью д, чего быть не может.

Ломаные 1т2 и 1т4 обязательно имеют отрезки с одинаковыми нормалями (на рис. 6 это нормаль р). Следовательно, точка В не может соединяться с точкой О ломаной

1т2.

Пусть точка В соединяется с точкой С ломаной (рис. 7), а точка А — с точкой О ломаной 1т6. Тогда обязательно у ломаных 1т5 и 1т6 будут отрезки с одинаковой нормалью р (рис. 7), чего быть не может. Если точки А и О соединяются ломаной 1т7, как показано на рис. 7, то опять у ломаной 1т7 будет отрезок с нормалью д, чего также быть не может, так как отрезок а имеет ту же нормаль д.

Рис. 7. Способы соединения точек A,B,C,D

Мы изучили все случаи и показали, что нет ломаных, соединяющих точки A, B с точками C, D, чтобы нормали к отрезкам ломаных не повторялись. Итак, доказано, что отрезки с нормалями g и q, расположенные, как показано на рис. 5, существовать не могут. Другие случаи расположения отрезков a и b сводятся к рассмотренному. Теорема доказана. □

Следствие 1. Из теоремы 1 имеем

h(g) = min max(v,g) = max (v,g),

СeE*(f) veC vecg(f)

где множество Cg (f) определено выше. Здесь мы записали min вместо inf, так как min достигается.

Следующий шаг — это построение исчерпывающего множества в. в. а. для функции

f (•).

Из равенства

f (x) = f(x) — L\\x — xo II

имеем

h(g) = h(g) + L min (v,g), Bf (0) = {z e Rn \\\z\\ < 1}.

veBn (o)

Отсюда и из следствия 1 получим

h(g) = min max(v,g) = max (v,g)

ceE*(h) veC veCg(f)

h(g) = min max(v, g) + L min (v,g)= max (v,g) + L min (w,g) =

ceE*(h) vEC veßn(0) vecgf) web^(0)

= min max (v,g)= max min (w,g) =

weLBn(0) ve[w + Cg(f )] veCg(f) we[v+LBn(0)]

= min min max (v,g)= min max(v,g).

CeE*(h) weLBn(0) vE[w + C] CE_[E*(h)+w\wELBY(0)] vEC

Итак, доказана следующая теорема:

Теорема 2. Верхний экзостер E*(f) функции f (•) определяется равенством

E*(f) = {w + C | w e LBn(0), C e E*(f)},

где E*(f) — верхний экзостер функции f (•) в точке x0, который можно построить согласно теореме 1.

Теперь построим нижний экзостер функции f (•). Определим функцию h(-) : Rn ^ R

h(g) = h(g) — L\\g\\.

Обозначим через E*(—h) верхний экзостер функции —h(-). Уже известно, что

—h(g) = min max(v, g)

CEE*(-h) vEC

или

h(g) = — min max(v, g) = ma^ [— max(v,g)]

CEE*(-h) vEC CEE*(-h) vEC

= max min (v,g).

CEE*(-h) vE(-C)

Имеем

h(g) = h(g) + max (v, g) = max min (v,g) + max (w, g) =

vELB?(0) CEE*(-h) vE(-C) wELB^(Q)

= max [ max min (v,g)]= max min(v, g).

CEE*(-h) wELBn(0) vEw + (-C) CE_[-E*(-h)+w\wE_LB^(0)] vEC

Отсюда получаем следующую теорему:

Теорема 3. Нижний экзостер E*(f) функции f (•) в точке x0 есть множество

E*(f) = {w + C | w e LB™(0), C e —E*(—h)},

где E*(—h) — верхний экзостер функции —h() в нуле, который можно построить согласно теореме 1.

Следствие 2. Биэкзостер функции f (•) в точке x0 есть пара [A, B] множеств A, B, где

A = {w + C I w e LBn(0), C e E*(h)}, B = {w + C | w e LB?(0),C e —E*(—h)}.

и

Было показано [11, 12], что если функция ] достигает минимума на Нп в точке х* и известен верхний экзостер Е* функции ] в точке х*, то выполнено необходимое условие безусловного минимума:

0пе С УСеЕ*.

Если найдется такое S > 0, что

B5 с С УС е E *,

(5)

где В § = {х Е Яп | || х У <5}, то х* — точка строгого локального минимума функции /. Условие (5) является достаточным условием строгого локального минимума функции /.

Аналогичные условия можно записать для точки максимума при известном нижнем экзостере Е*.

Пример. Определим функцию / : М2 — М следующим образом. Нарисуем на плоскости две кривые г\(а) = аеу — и г2(сО = &еу + где ех = (1,0), еу = (0,1) — единичные орты осей 0X, 0У соответственно (рис. 8). Ось 0Z направлена на нас. Меньшую область по включению, которую ограничивают кривые т\(•) и г2(•), назовем областью 1. В ней / (•) = 0. Выше плоскости X0У расположена часть графика функции /(•), пересекающая плоскость X0У вдоль кривой г2(•). Эта часть графика функции переходит в плоскость г — х = 0, когда у — 0, и V /(х,у) — (1, 0), когда (х,у) — (х, 0) для (х,у) из области 2. Ниже плоскости X0У находится часть графика функции /(•), пересекающая плоскость X0У вдоль кривой т\(•). Она переходит в плоскость г — х = 0, когда у — 0, и V/(х, у) — (1, 0), когда (х, у) — (х, 0) для (х, у) из области 2.

Рис. 8. Иллюстрация к примеру

Аналитически функцию г = /(х,у) можно задать следующим образом. Для (х, у) из области 1 г = /(х, у) = 0.

Для (х, у) из области 2, где х > 0, у > 0, значения г = /(х, у) > 0 и

* = f (x,y) = x -

2

Для (x, y) из области 2, где x < 0, y > 0, значения * = f (x, y) < 0 и

* = f(x,y) = ж + у.

Нетрудно проверить, что график функции f (•) пересекает плоскость X0Y для y > 0 вдоль кривых т\(•) и r2(•).

Для (x, y) из области 2, где y < 0, верно равенство * = f (x, y) = x. Легко видно, что при y — 0 градиент V f (x, y) — (1, 0) при y — 0.

2

y

2

Можно посчитать, что

Df (0) = dcLf (0) = co{0, ex}.

Вычислим биэкзостер построенной функции. После несложных вычислений получим явный вид верхнего и нижнего биэкзостеров. Нижний экзостер равен

E*(h) = {w + С I w e B?(0), С = B?(0) + ex}.

Для рассматриваемого случая верхний экзостер совпадает с нижним, что нетрудно проверить.

Поскольку существуют множества С С E*(h), для которых

max(v, -ex) < 0,

v^C

то точка (0, 0) не есть точка минимума функции f (•), хотя она является стационарной точкой Кларка, так как 0 e dCLf (0).

Вывод, который можно сделать из примера, заключается в том, что необходимые (а иногда и достаточные) условия оптимальности, полученные с помощью экзостеров, более точные по сравнению с необходимыми условиями оптимальности, сформулированными в терминах субдифференциала Кларка.

З. Заключение. Одним из методов нахождения направления наискорейшего убывания (возрастания) функции в негладком анализе является построение исчерпывающего множества верхних (нижних) выпуклых аппроксимаций. В статье показано, как построить такое множество. Строится биэкзостер - исчерпывающее семейство верхних и нижних выпуклых аппроксимаций. При построении используются предельные векторы усредненных интегралов от функции вдоль кривых из определяемого семейства, вдоль которых почти всюду существуют градиенты функции.

Литература

1. Пшеничный Б. Н., Данилин Ю. М. Численные методы и экстремальные задачи. М.: Наука, 1975. 319 с.

2. Nocedal J., Wright S. J. Numerical optimization. New York: Springer, 1999. 634 p.

3. Clarke F. Generalized gradients and applications // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. Vol. 205, N 2. P. 247-262.

4. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. 320 с.

5. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Элементы квазидифференциального исчисления. Негладкие задачи теории оптимизации и управления. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1982. 322 c.

6. Демьянов В. Ф., Рощина В. А. Обобщенные субдифференциалы и экзостеры // Владикавказ. матем. журн. 2006. Т. 8, вып. 4. С. 19-31.

7. Castellani M. A Dual Representation for Proper Positively Homogeneous Functions // J. of Global Opt. 2000. Vol. 16. P. 393-400.

8. Proudnikov I. M. New constructions for local approximation of Lipschitz functions. I // Nonlinear analysis. 2003. Vol. 53, N 3. P. 373-390.

9. Proudnikov I. M. New constructions for local approximation of Lipschitz functions. II // Nonlinear analysis. 2007. Vol. 70, N 2. P. 1443-1453.

10. Прудников И. М. Правила построения нижних выпуклых аппроксимаций // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 2003. T. 43, № 7. С. 939-950.

11. Demyanov V. F. Exhausters of a positively homomegeneous function // Optimization. 1999. Vol. 45. P. 13-29.

12. Демьянов В. Ф. Условные производные и экзостеры в негладком анализе // Докл. РАН. 1999. Т. 338, № 6. С. 730-733.

Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым. Статья принята к печати 25 октября 2012 г.