Неявные функции по направлениям для недоопределенных негладких систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.3

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2008, вып. 1

Г. Е. Мурзабекова

НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ ПО НАПРАВЛЕНИЯМ

ДЛЯ НЕДООПРЕДЕЛЕННЫХ НЕГЛАДКИХ СИСТЕМ *>

1. Введение. Исследуются неявные функции по направлениям для недоопреде-ленных (когда число уравнений меньше числа неизвестных) негладких систем в терминах нового инструмента негладкого анализа - экзостеров, введенных В. Ф. Демьяновым [1]. Неявные функции для непрерывных недифференцируемых функций были изучены Дж. Варгой [2], для липшицевых функций - Ф. Кларком [3], В. Ф. Демьяновым [4], А. Д. Иоффе [5], для квазидифференцируемых функций - В. Ф. Демьяновым [4, 6]. Достаточные условия существования неявной функции, заданной с помощью липшицевых и квазидифференцируемых систем в недоопределенном случае, установлены в [6].

Понятие экзостеров тесно связано с исчерпывающими семействами верхних выпуклых и нижних вогнутых аппроксимаций, предложенных А. М. Рубиновым. Экзостеры существуют для любой дифференцируемой по направлениям функции, у которой производная по направлениям является непрерывной как функция направления, что позволяет обобщить многие известные результаты.

2. Верхние выпуклые и нижние вогнутые аппроксимации. Экзостеры. Пусть /С - конус, функция h : 1С —» К - положительно однородная (п.о.) первой степени,

h{Xg)=Xh{g) V А > 0, Уд £ 1С.

Б. Н. Пшеничный ввел понятия верхней выпуклой аппроксимации (в.в.а.) и нижней вогнутой аппроксимации (н.в.а.):

выпуклая положительно однородная функция h(g) : IRn —> К называется в.в.а. функции h на /С, если

Чд) h(g) Уд е /С,

вогнутая положительно однородная функция h(g) : К" —> К. называется н.в.а. функции h на /С, если

ШХНд) Уд £ /С.

А. М. Рубинов определил исчерпывающее семейство в.в.а. и н.в.а.:

множество Л* в.в.а. функции h называется исчерпывающим семейством в.в.а. функции h на /С, если

h(g) = jnf Цд) Уд € 1С, лел-

множество Л* н.в.а. функции h называется исчерпывающим семейством н.в.а. функции h на К, если

h{g) = sup h(g) Уд G /С.

Существование исчерпывающих семейств доказано в следующем утверждении.

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект X® 06-01-00276).

© Г. Е. Мурзабекова, 2008

Теорема 1. Пусть h : 1С —> En - п. о. функция, К. - замкнутый конус. Если функция h полунепрерывна сверху (п.н.св.) на К. и ограничена сверху на Вцс = {<? 6

£ I 1Ы1 < !}» т■ е-

sup h(g) < +00, geBiK

то существует исчерпывающее семейство в.в.а. функции h на К..

Поскольку каждая /г € Л* является выпуклой п.о. функцией, то существует единственное выпуклое компактное множество C(h) £ К" такое, что

h(g) = max (v, д) Уд £ R'1.

vec(h)

Следовательно, функцию h(g) можно представить как

Н9) = inf max(v,g) Уд £ К.,

С&Е' vEC

где Е* = {С С Е™ | С = C{h),h £ Л*}. Тогда семейство множеств Е* = E*(h) называется верхним экзостером функции h по отношению к конусу /С.

Поскольку каждая h £ Л* - вогнутая п.о. функция, то существует единственное компактное множество С (К) £ К" такое, что

h(g)= min (w,g) Уд £ К". we c(h)

Следовательно, функцию h(g) можно представить как

h(g) = sup min(w,<?) Уд £ /С, ceE.

где E, = {С С Mn | С = C(h),h £ Л*}. Тогда семейство множеств Е* = Et(h) называется нижним экзостером функции h по отношению к конусу 1С.

Если функция h п.о. и непрерывна на 1С, тогда она полунепрерывна сверху и снизу, поэтому для нее существуют и верхний экзостер E*(h), и нижний экзостер E*(h). Пара E(h) = [E*{h), Е* (/i)] называется биэкзостером функции h по отношению к конусу 1С. Отметим, что каждое из множеств E*(h) и E*(h) - семейство выпуклых компактных множеств.

Будем говорить, что семейство E*{h) выпуклых замкнутых множеств (необязательно ограниченных) является обобщенным верхним экзостером и.о. функции h по отношению к конусу 1С, если

= inf sup(v,g) Уд £ 1С, ceE*veC

и что семейство E*(h) вогнутых замкнутых множеств называется обобщенным нижним экзостером п.о. функции h по отношению к конусу 1С, если

Кя) = sup inf (го, Уд £ ¡С. ceE,

Очевидно, что каждый верхний (нижний) экзостер - обобщенный верхний (нижний) экзостер, но обратное неверно. Если существует и обобщенный верхний экзостер E*(h), и обобщенный нижний экзостер E*(h) п.о. функции h по отношению к конусу /С,

то пара E(h) = [E*(h),Em(h)} называется обобщенным биэкзостером функции h по отношению к конусу /С.

Замечание 1. В [7] показано, что существует семейство Л*, состоящее из п.о. выпуклых функций вида

Цд) = (о,0) + %||,

где a G К", Ъ > 0, \\д\\ - евклидова норма, и есть семейство Л, п.о. вогнутых функций вида

Ш = (а.0) + %11.

где а G М", b < 0.

Поскольку функция h(g) является выпуклой с субдифференциалом

<%(0П) = Вь(а) = {v € К" | ||v - о|| ^ Ь},

тогда верхний экзостер Е*, построенный в [7], является семейством шаров. Функция h(g) вогнутая с супердифференциалом

ЩОп) = В-ь(а) = {v € К" | ||v - «Ц ^ -Ь},

поэтому нижний экзостер Е« из [7] также есть семейство шаров.

Семейства Л* и Л» определяются неединственным образом. Можно построить семейства Л* и Л* п.о. выпуклых и п.о. вогнутых функций соответственно, которые необязательно будут указанного выше вида. А. М. Рубинов в [7] показал, например, что можно найти верхний и нижний экзостеры как семейства полиэдров.

3. Неявная функция по направлениям. Теорема о неявной функции по направлениям для недоопределенных систем. Пусть функции fi{x,y) (i G 1 : п) непрерывны по совокупности переменных на множестве S — Si х S2, где множества 51 С Мт, 5г С М" - открытые множества в соответствующих пространствах. Положим / = (/1,..., /п). Предположим, что хо G Si, yo G S? и

1(хо,Уо) = 0„.

Зафиксируем д G Жт, д ф 0ТО. Будем говорить, что существует неявная функция по направлению д, если существуют Qo > 0 и вектор-функция у(а), заданная на [0,qo], такие, что

Уо, f(x0 + ад,у(а)) = 0„ Va€[0,ao].

с* 4-0

Предположим, что все функции /¿(z) дифференцируемы в точке z0 = [2:0,2/0] по направлениям и производные по направлению hi(q) — f¡(zo,r¡), где r¡ = [g,q], q G К", непрерывны как функции q и ограничены сверху. Тогда имеет место следующее разложение:

fi(zo + сет}) = fi(z0) + ahi(r¡) + orrí(a), (1)

где

Ып) = min max(«,n), ^^ -> 0 V n G Km+", CteEr veCi a

E¡ = E¡(h) - верхний экзостер функции /i¿.

Рассмотрим недоопределенные системы негладких функций, т. е. системы, в которых число уравнений меньше числа неизвестных:

/¿(ж, у) =0 Vi G 1 : р, р < п.

Для выяснения вопроса о существовании и свойствах неявной функции по направлению д надо найти все решения системы вида

min тах[уцд + Vi^q] = О Vi £ 1 : р, р < п, (2)

с, ££-* vi (г с i

которую будем называть квазилинейной. Решение квазилинейных систем в явном виде, вообще говоря, не представляется возможным.

Если (Хо,уо) удовлетворяет системе (2), то теоремы о неявных функциях дают некоторые достаточные условия, при которых система уравнений (2) разрешима относительно у при всех х из некоторой окрестности точки xq-

В гладком случае, если матрица Л имеет полный ранг (равный р), то найдется набор ст = {ki,...,kp} такой, что 1 ^ к\ < ... < кр ^ п, а определитель матрицы, составленной из столбцов ki, ..., кр матрицы А, не равен нулю. Таких наборов ст может оказаться несколько. Пусть у0 = (ую,...., упо). Положим у = (уi,..., ур). Система

f(x, у) = Ор,

в которой у = (ух,... ,2/р), f(x,y) = f(x,y), у = (jji,..., уп),

Уг =

уго, если г f а, j/j, если г = kj S сг,

является «вполне определенной», т. е. фиксируются п — р координат ую для г ^ ст. Для системы }{х,у) — 0Р выполнено условие ф 0 (при п = р), поэтому существует

неявная функция у{х) = {щ (х),..., ур(х)): /{х,у(х)) - 0Р. Тогда функция у(х) = (у1(х),...,уп{х)), где

ум, если г ^ ст, у2, если г = к^ £ сг,

1li(x) =

является неявной функцией для системы f(x,y) = 0Р. Пусть задана (п х р)-матрица Q:

... dip •'' dnpj

Набор элементов dk1i, dk22, • • dkpP этой матрицы называется квазидиагональным, если к\ < /сг < • • • < кр. Матрица Q называется квазиединичной, если все ее элементы равны нулю, кроме одного квазидиагонального набора, каждый из элементов которого равен единице.

Положим / = (Л,..., /„), h - (hi,..., hn), Щ = (д, q0). Пусть решение

системы (2), т. е.

h{T]0)=0 Vi £ 1 : п. (3)

Поскольку функции hi положительно однородны, непрерывны по д и ограничены сверху, то они липшицевы. Тогда по теореме о среднем для липшицевых функций [2] для а,: 6 Ci{q0 + ъ(ч){ч ~ 9о)), lM) £ (0,1)

hi{q) = hi(q0) + (ai(q),q - q0). (4)

Из (1), (3) и (4)

/¿(г0 +ад) = /¿(г0) + (а,(д),д- ад) + п(а,д) + о>(<7 - ад). (5)

Через обозначим множество векторов аг, удовлетворяющих (4), (5). В точке т)о = [д, до] положим

Щг,0) = Е*(Н(г10)). (6)

Из (3) и (6)

/(а,9)=а(д)(д-<7о) + 7(а.0), (7)

где 7(с*,<?) = (гх(а,д) + о^д - ад),... ,гр(а,д) + ор(д - ад)), / = (/ь ..., /р), р < п. Отображение 21 полунепрерывно сверху и выпуклозначно. Введем множество матриц

£(<?о) = с! со < [Ч к«1,;) a¿ € Си С< е ЕД/ц), У г е 1 : р, р<п > . (8)

В (8) £^(/1;) - верхний экзостер функции /ц, Т - знак транспонирования.

Теорема 2. Если найдется квазиединичная (п х р)-матрица <3 такая, что

\detAQ\Zl3yO У Ае£(ад), (9)

то для любого е > 0 существуют ао > 0 и д(а) £ К" такие, что

Ыа) - ад|| < е, /(ж0 + аз,2/о + ад(а)) = 0Р Уае[0,ао], р < п. (10)

Доказательство. Пусть ¿4,1, ¿422, • • с111Рр - квазидиагональный набор матрицы <2, все элементы которого равны единице. Положим а = {к\,... ,кр}. Рассмотрим систему

}{х,у) = 0Р,

в которой у = (У1,...,УР), 1(х,у) = }(х,у), у = (т,...,Ур),

{у 10, если г $ а,

• г е Уз, если г = к] £ <т.

Полученная система является вполне определенной. Обозначим через А = Из полунепрерывности сверху отображения 21 и соотношения (7) следует существование такого £1 > 0, что £1 ^ е:

| си*Л| > ^ УА е 21(9), V? е 52с(ад). (11)

Положим 9 = ? — ад,

Ф«($) = -21_1(9)7(а,9) = -21"х(ад +д)7(а,ад +?)■ (12)

Из (8), (10) и (11), а также из непрерывности 7 и соотношения (12) вытекает, что найдутся £2 > 0 и а0 > 0 такие, что £2 ^ £1 ^ £, |М| ^ £2 Уг> € Фа(<7) Уа € [0,£*0] V? е 5и2 = {<? £ М" |1|9|| ^ £2}.

Для отображения Ф„, заданного (12), выполнены все условия обобщенной теоремы Какутани (см. [4]), т. е. существует д(а) Е такое, что д(а) 6 Фа(д(а)). Значит, существует такое А € 21 (г/о = г](а))> Для которого

д(а) = -А-^а, д0+ д(а)). (13)

Положим д(а) = до + д(а)- Тогда из (13) имеем д(а) - до = -А~1-у(а,д(а)), т. е. А(д(а) - д0) +7(«,?(")) = 0„. Отсюда и из (13) /(а,д(а)) = 0Р Уа 6 [0,ао], р < п, ||д(а) - до\\ ^ е. Из определения

/(®0 + «5,у + ад(а)) = 0Р Уа € [0,ао], р < п,

что и требовалось доказать.

Замечание 2. Функция у(а) = уо + ад(а) является неявной функцией (по направлению д), причем установлено не только ее существование, но и ее дифференцируемость справа в точке ащ:

'/ПА Г У(а)~УО у+( 0 = кш-= д0.

^ «4-0 а

Единственность такого д(х), близкого к до, не гарантирована.

Если условие (9) не выполняется, т. е. для любой квазиедшшчной (п хр)-матрицы С5 найдется такая матрица А € £{до), что сМ АС} = 0, то вводится неособое преобразование.

Пусть Т - неособая (тг х п)-матрица. Положим и = Т~ху. Система

^(®,и)=0р> (14)

в которой Р(х,и) = /(х,Ти), имеет матрицу Якоби В — АТ. Как и для матрицы А, размерность матрицы В равна р х п. Точка [хо,ио], где Щ = Т~1уо, является решением системы (14): Е(хо,щ) = 0р.

Поскольку умножение на неособую матрицу Т не меняет ранга матрицы А, то и для системы (14) существует неявная функция и(х) = (щ(х),... ,ип(х)), а тогда функция у(х) = Ти(х) является неявной функцией для системы /(х,у) = 0р.

Теорема 3. Если отображение £(до) ограничено на 5 и полунепрерывно сверху (по совокупности переменных) в окрестности точки [жо,уо] и существуют неособая (п х п)-матрица Т и квазиединичная (п х р)-матрица <5 такие, что

\detATQ] ^ /3 > 0 УЛе£(<?0), (15)

то для любого г > 0 найдутся с*о > 0 и непрерывная на [0,ао] вектор-функция д(а) 6 К'г такие, что

Ыа) ~9о1К е> Кхо + ад,у0 + ад(а)) = 0Р, р < п Уае[0,ао]. (16)

Доказательство. Положим и = Т~1у. Система

Е(х,и) = О р,

где Р(х,и) = /(х,Ти), удовлетворяет условиям теоремы 2 в точке [жо,ыо] = [хо,Т~1уо]. Действительно, если А € Е* - верхний экзостер функции Л,»(ту), то множество

А(х,и,Т]) = | = Т*СЦ, О; € А(х,у,Г])} ,

является верхним экзостером функции ^ в точке [х, Т~1у] (см. [1]), и поэтому отображение С (</о)_ полунепрерывно сверху в точке [хо,мо], где и0 = Т~ху$. Тогда А(х,и) = Т*А(х,у,т]),

£(х,и) =

Г

\а = :

1

сц G Ä(x, у, г,) = Т*А(х, у, Tj) Vi G 1 : р } = £(q0)T.

Для системы F(x,u) = 0Р условие (15) эквивалентно (9), поскольку его можно переписать в виде

| det ÄQI ^ ßc > 0 Vi G C(q0)T = C(q0,u0).

Таким образом, все условия теоремы 2 выполнены, а значит, имеет место соотношение (16) и тем самым справедлива теорема 3.

Замечание 3. Отметим, что преобразование пространства с помощью неособой матрицы Т в гладком случае может дать новую неявную функцию, но не меняет качественно факта существования неявной функции: если в исходной системе матрица Якоби имеет полный ранг (равный р), то после неособого преобразования матрица Якоби преобразованной системы тоже имеет полный ранг, поэтому выполнено достаточное условие существования неявной функции. Если же ранг матрицы Якоби исходной системы меньше р, то и после любого неособого преобразования ранг матрицы Якоби преобразованной системы будет тоже меньше р, и условия теорем, гарантирующие существование неявной функции для соответствующих вполне определенных систем, не выполняются.

В негладком случае ситуация другая: иногда в результате некоторого преобразования пространства можно добиться того, что достаточные условия, сформулированные в теореме 3, для преобразованной системы выполняются, в то время как для исходной системы нет.

4. Задача нахождения общего вида преобразования пространства. В

общем случае для выяснения вопроса о существовании неявной функции в случае не-доопределенных систем следует установить, существуют ли неособое преобразование Т и квазиединичная матрица Q, удовлетворяющие условиям теоремы 3. Для этого рассмотрим задачу:

maxmax min I det ATQ\ А £ £(о0), q т ag£ '

C(qо) = cl со < А =

G Си Ci € E*{hi), Mi € 1 : р, р<п

.

Поскольку число квазиединичных матриц Q конечно, то придется решать конечное число следующих задач:

шах min I det ATQI.

т лес[ 1

Взяв произвольное Ао Е С, избавимся от модуля:

max min {det ATQ, det A0TQ}.

Найдем сначала минимум. Положим f(A) = det ATQ, A = (ai,..., ap)T, aj = (an,..., ain), где a« € 21,, Oj G IF, i G 1 : p. Функция f(A) p - линейна no ai для Vi. Поэтому минимум достигается на границах и достаточно взять вершины. Имеем

(х,Ау) = F{x,y), хЕХ, у £ Y,

^ = [х,у], F(z) = F(x,y) —> inin,

F\z) = (AY,A'X). По необходимому условию минимума

mm(F'{z*),z - z") = О,

zez

ттрГ-Х'.АУ*) - (Y -Y*,A'X*)} = 0,

min(:r — x*,Ay*) + min(i/ — y* ,A'x*) = 0. xex yeY

Строчки линейно независимы, поэтому

min(a; — х* ,Ау*) = 0,

х£Х

min(y — у*, А'х*) = 0.

y€Y

Для нахождения ближайшей к нулю точки воспользуемся методом условного градиента:

Х0 е С, ф(Х) = nän(f(X*),X-X').

X €£

Если гр(Хо) = 0, то условие выполнено. В противном случае

гр(Хо) = min(/'(X0) До - Х0) =-а < 0, Х0 6 С. Найдем min f(Xоа) = /(A'oQo)- Положим

orS [0,1]

Х\ = Хоао ^ С. В результате имеем последовательность

{Хк} : f(Xk+о < f(Xk), хк е с.

Теорема 4. Если последовательность {Ад,.} конечна, то последняя полученная точка по построению является стационарной. Если последовательность бесконечна, то всякая предельная точка последовательности - стационарная.

Рассмотрим преобразование Т. Поставим вместо первого вектора направление g, в котором функция возрастает. Сделаем преобразование ортогональным.

Процессом ортогонализации системы векторов а\, аг,..., ап называется переход от этой системы к новой системе векторов b\,b2, ■.. ,Ьп, построенной следующим образом:

b\ ~ öi, k-1

bk = ак- ^Cibi {к 6 2: s),

¿=1

где с, = i^'f*') (г £ 1 : (к — 1)), если bi ф 0; и а - любое число, если bi = 0. (yi>"i)

Обратим матрицу Т и умножим на нормированный вектор д. Возьмем полученный вектор за орт первой оси координат:

Л\

о

\0/

Замечание 4- В гладком случае, когда одна из координат принимает нулевое значение, фиксирование любых координат не даст ничего нового. А в негладком случае можно найти направление, по которому можно фиксировать координаты и находить неявные функции (если они существуют).

Проблема отыскания минимума по всем квазиединичным матрицам порядка (п хр) сводится к перебору по этим матрицам, поскольку их конечное число. Так, для случая п = 2 существуют две квазиединичные матрицы, для тг = 3 - восемь и т. д.

Пример 1. Пусть задана функция

Проверим выполнение условия существования неявной функции. Множество £(ад) в данном случае равно

/(х,у) = \х\ + тах{Зг/1 - у2, ~У\ + 3у2).

А<7о) = со{(3, —1), (-1,3)}.

Положим

Очевидно, что | (1е1 А(}\ < 0.

Введем преобразование Т следующим образом:

1 1

2/1 = 2 2/1 + 2 2/2

1 1

2/2 = ^2/1- 2 3/2-

2

Выразим отсюда ух,у2-

2/1=2/1+ 2/2

2/2 = 2/1 - 2/2-

Подставив эти значения в функцию, имеем

1(х,у) = /(я, ¡/) = /(ж; у! + 2/2,2/1 ~ 2/2) =

= |х| + тах{3у! + 3у2 - у\ +у2, ~Уг - Уч + Зг/1 - 3у2) = = \х\ + тах{2г/1 + 4у2)2у, - 4у2}.

Рассмотрим случай х > 0:

£Ы = со{(2,4),(2,-4)},

лт<21={ 2}, atq2 = со{4,-4}. Матрица не подходит, так как интервал (—4,4) содержит 0:

/(ж, 2/1,0) = х + тах{2|/1, 2у\} = х + 2ух = 0, ж + 2у1 = 0 при ух = -^х, у2 = 0,

откуда имеем

1 1

2/1 = 2/2 =

I 1 1 \

Проведя аналогичные вычисления для случая х < 0, получим другую неявную функцию

/ 1 1 \

^ 2Х' 2

Таким образом, для х > 0 и х < 0 получили разные неявные функции. Пример 2. Пусть задана функция

/(х,у) = х + тах{3у! - у2, ~у\ + Зг/2,3у1 + 3у2).

Пусть (хо,уо) = (0,0). Проверим выполнение достаточных условий существования неявной функции

|с!е1,Ад| ^ /3 > 0.

Функция /(х,у) является квазидифференцируемой. Для квазидифференцируе-мых функций (см. [1]) экзостеры могут быть вычислены по формулам

£Г(Л) = {с = IV + д/(х) | и е а/(х)}, Я. (Л) = {С = « + 0/(а;)|и е0/(а;)}.

Вычислим квазидифференциал функции / (см. [4])

ТЭ/(хо,уо) = [дЛх0,у0),д/(х0,уо)],

где уо = (2/10,2/20) • Пусть /1 = 3ух - у2, /2 = -3/1 + Зу2, /з З2/1 + Зу2, тогда 2/1(^0,2/0) = (3,-1), д/2(х0,у0) = (-1,3), д/з(хо,уо) = (3,3), д/1(х0,у0) = {0},

3/2(^0,2/0) = {0}, д/з(х0,у0) = {0},

Цх0,у0) = д/{х0, уо) + <9/(^0, 2/0) = со{(3, -1), (-1,3), (3,3)}. Имеем две квазиединичные матрицы (Зь

(¿1=$, = со{3, -1,3} = со{3, -1},

<Э2=(У), = со{-1,3,3} = со{—1,3}.

Оба отрезка содержат 0. Это говорит о том, что достаточные условия существования неявной функции не выполнены.

Введем преобразование т следующим образом:

1 1

2/1 = 2 2/1 + 2У2'

1 1

2/2 = 22/1 + 2У2'

Выразим отсюда у\, У'У-

2/1=2/1+ 2/2, 2/2=2/1+2/2-

Подставим эти значения в функцию

Р(х,у) = ж + тах{2у! + 4у2,2?/1 — 4у2, бух}. Тогда множество С(хо,Уо) примет вид

С(хо,уо) = со{(2,4),(2,-4),(6,0)},

(¡1 = , АТ(^ = со{2,2,6} = со{2,6}, АТС}2 = со{4, —4,0}.

Матрица (¿о не подходит, поскольку для нее не выполнено условие существования неявной функции. Для С}1 имеем

/(ж, 2/1,0) = х + тах{2у!, бух} = х + 62/1 =0, а: + 6у: = 0 при ?/] = ^ж, у2 = 0,

откуда

1 1

2/1 = -т^-, 2/2 = -2Ж,

т.

\ е. неявная функция существует:

/ 1 1 \ {"о*. -тх,}.

Summary

Murzabekova G. E. Directional implicit functions for underdetermined nonsmooth systems.

Directional implicit functions for underdetermined nonsmooth systems in terms of the new tool of nonsmooth analysis - exhausters - are considered. An implicit function theorem in terms of exhausters is formulated and proved, sufficient conditions for the existence of an implicit function

for underdetermined systems of nonsmooth functions are proved. A method for finding an implicit function for underdetermined nonsmooth systems is suggested.

Литература

1. Demyanov V. F. Exhausters and convexificators - New tools in nonsmooth analysis // Quasidifferentiability and related topics / Eds.: V. Demyanov, A. Rubinov. Dordrecht: Kluwer Academic Publ., 2000. P. 85-137.

2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями / Пер. с англ.; Под ред. Р. В. Гамкрелидзе. М.: Наука, 1977. 624 с.

3. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ / Пер. с англ. Ю. С. Ледяева; Под ред. В. И. Благодатских. М.: Наука, 1988. 280 с.

4. Демьянов В. Ф. Теорема о неподвижной точке в негладком анализе и ее применение: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 136 с.

5. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 479 с.

6. Демьянов В. Ф., Мурзабекова Г. Е. Конвексификаторы и неявные функции в негладких системах // Журн. вычисл. математики и матем. физики. 1999. Т. 39, № 2. С. 222-234.

7. Демьянов В. Ф., Рубинов А. М. Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука, 1990. 431 с.

Статья рекомендована к печати проф. В. Ф. Демьяновым.

Статья принята к печати 11 ноября 2007 г.