CC BY
5main task of the social structure is to deter the actions prohibited in this structure and to facilitate the implementation of socially useful actions.
Social control, as one of the important functions of the management of society, the purpose of which is to maintain the established social and legal order, is based on a system of values that form the basis of social organization. Therefore, the analysis of the influence of factors on the formation of social relations in its relationship with the rule of law should be carried out through the prism of the basic values dominated in society, which are embodied in social principles and norms.
References
1. Condov K. Features of the genesis and development of the functionalist concept of social control. Topical problems of sociology, psychology, pedagogy. 2010. № 10. P. 58-67.
2. Crime in Ukraine: how the situation changed in 2013-2020 URL: https://www.slovoidilo.ua/2021/01/28/
3. Criminology/ed. F. Sheli - St. Petersburg: Peter, 2003.
4. Economic crimes and fraud: experience of Ukrainian organizations URL:
https://www.epravda.com.ua/columns/2020/12/17/669 308/
5. Kostovyat H., Serzhanov V. The current state of information and economic crimes in Ukraine. European scientific journal of Economic and Financial innovation № 2(6) 2020. URL: https ://j ournal. eae.com.ua/index.php/j ournal/article/vi ew/100
6. Kuntzman P. Philosophy/P. Kunzman, F-P. Burkar, F. Widman. Knowledge-Press, 2002. - C. 237.
7. Lersh F. Understanding the face in psychology/Philip Lersh//Humanistic psychology: anthology: textbook: in 3 vols. - T. 1. Pulsars, 2001. - 252 p.
8. Philosophical encyclopedic dictionary/editorial school: S.S. Averintsev, E.A. Arab-Ogly, L.F. Ilichev and others. Soviet Encyclopedia, 1989.
9. Shandra B. B. Philosophical and legal characterization of crime: socio-cultural realities: Monograph/M. M. Tsimbalyuk, B.B. Shandra. League Press, 2016. - 298 p.
10. State of crime in Ukraine in 2013-2018 URL: http://www.ukrstat.gov.ua/
11. The apostle Paul. First Epistle to the Corinthians/Apostle Paul//New Testament. Holy Assumption Pochaev Lavra, 2009. - P. 218-219.
О СУЩЕСТВОВАНИИ ТРАДИЦИОННЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СИЛЛОГИСТИК БЕЗ ПРАВИЛЬНЫХ МОДУСОВ И СИЛЛОГИСТИК С ТЕОРЕТИЧЕСКИ МАКСИМАЛЬНЫМ
ЧИСЛОМ ПРАВИЛЬНЫХ МОДУСОВ
Сидоренко О.И.
Кандидат физико-математических наук, главный конструктор, Общество с ограниченной ответственностью научно-производственное предприятие «Анфас»,
Саратов, Россия
ON THE EXISTENCE OF TRADITIONAL INTEGRAL SYLLOGISTICS WITHOUT CORRECT MODES AND SYLLOGISTICS WITH A THEORETICALLY MAXIMUM NUMBER OF CORRECT
MODES
Sidorenko O.
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, chief designer, Society with Limited Liability Scientific-production Enterprise «Anfas»,
Russia, Saratov
АННОТАЦИЯ
Путем приведения соответствующих примеров доказано, что существуют традиционные интегральные силлогистики, в которых никакие упорядоченные пары суждений из их базисных множеств не порождают правильный результат, и, наоборот, такие силлогистики, в которых правильный результат логически следует из любых упорядоченных пар суждений. При доказательстве использован предложенный автором ранее семантический метод вычисления результирующих отношений.
ABSTRACT
By giving relevant examples, it is proved that there are traditional integral syllogistics in which no ordered pairs of judgments from their basis sets generate a correct result, and, conversely, such syllogistics in which the correct result logically follows from any ordered pairs of judgments. The semantic method of calculating the resulting relations proposed by the author earlier is used in the proof.
Ключевые слова: силлогизм, интегральная силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.
Keywords: syllogism, integral syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogis-
tics.
Введение. Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения А, Е, I, О, c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных терминах [1]. В традиционной силлогистике из четырех суждений Аристотеля с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности далеко не всякая пара суждений-посылок порождает правильное заключение. В связи с этим возникает два связанных между собой вопроса: 1) существуют ли традиционные силлогистики, в которых отсутствуют правильные модусы? и 2) существуют ли силлогистики, в которых любая упорядоченная пара суждений порождает правильный результат? В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием правильных модусов из них [2]. Оказывается, что в интегральных силлоги-стиках на оба эти вопроса можно дать положительный ответ.
Целью настоящей статьи является строгое обоснование указанного ответа на поставленные выше вопросы и построение традиционных интегральных силлогистик ТИС-4 БПМ (без правильных модусов) и ТИС-3 МПМ (максимум правильных модусов), соответствующих обоим указанным случаям, предложенным автором ранее семантическим методом вычисления результирующих отношений [3].
Суть метода вычисления результирующих отношений. Метод вычисления результирующих
отношений, по существу, является формализацией метода проверки правильности силлогизмов с помощью модельных схем со сведением доказательства правильности силлогизма к более простому процессу его решения. Метод основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает знать условия его истинности [4], в качестве которых принимаются теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, для зафиксированного универсума рассуждений таких отношений существует всего 7 (так называемые отношения Кейнса [5]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько), которые можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из заранее подготовленной ключевой таблицы 2 правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике. По аналогии с арифметикой такую таблицу целесообразно называть таблицей умножения отношений в силлогистике. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [6]. В процессе решения мы получаем или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок при данном базисном множестве суждений не существует.
Таблица 1
Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений
£ 0 0 1 1 Наименование отношения Логическая формула отношения
Р 0 1 0 1
6 0 1 1 0 Противоречивость 5"- P+S• Р'
7 0 1 1 1 Дополнительность Б+Р
9 1 0 0 1 Равнообъемность Р
11 1 0 1 1 Обратное включение Б+Р'
13 1 1 0 1 Прямое включение Б'+Р
14 1 1 1 0 Соподчинение Б'+Р'
15 1 1 1 1 Перекрещивание Р+5^ Р = 1
н
е ше
о н т
о р
е м о
К
Примечание. 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 -наличие свойства, соответствующего терминам, и
разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «• » - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.
Таблица 2
Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках
№ Посылки БМ, МР Заключение БР № Посылки БМ, МР Заключение БР
1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13
12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15
25 11,11 11
Базисные множества суждений обеих силло-гистик представлены соответственно в таблице 3 и в таблице 4 в виде логических структур и логических форм, в которых интерпретация кванторных слов указана в явном виде. В отличие от логической формы логическая структура суждения обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. Суждения с одной и той же логической структурой, но с разными логическими формами считаются эквивалентными. Отметим также, что суждение с конкретными терминами вместо букв в его логической форме истинно только на одном каком-то отношении. В индифферентных суждениях с кванторными словами "только некоторые" логическое ударение падает на слово "некоторые", а не на субъект или
предикат, и союз или трактуется в разделительном смысле. Логическая структура индифферентных суждений не зависит от замены утвердительной связки суждения на отрицательную и отрицательной на утвердительную, при этом внимание переключается на другую часть субъекта или предиката суждения. Оба базисных множества, представленных в таблицах 3 и 4, обладают свойством силлогистической полноты, заключающимся в том, что при наличии в их составе суждения, истинного на отношении 11, они содержат также суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 13, и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма.
Таблица 3
Базисное множество суждений силлогистик ТИС-4БПМ
№ Обозначение и логическая структура суждения (условия истинности) Логические формы суждения (одни из возможных)
1 Е= /'(6,14) Неверно, что некоторые или всякие Б суть Р; Всякие Б не суть Р
2 АА или А/'(9,14) Все Б суть все Р или все Б суть (не суть) только некоторые не Р
3 /=Е'(7,9,11,13,15) Неверно, что всякие Б не суть Р ; Некоторые или всякие Б суть Р
4 (АА или А/') '(6,7,11,13,15) Неверно, что все Б суть все Р или все Б суть (не суть) только некоторые не Р
Таблица 4
Базисное множество суждений силлогистик ТИС-3МПМ_
№ Обозначение и логическая структура суждения (условия истинности) Логические формы суждения (одни из возможных)
1 AA'(6) Все Б суть все не Р
2 AA(9) Все Б суть все Р
3 AAA'(6,9) Все Б суть все Р или не Р .
Алгоритм вычисления результирующих отношений применительно к поставленной задаче построения силлогистики без правильных модусов ТИС-4БПМ и силлогистики с максимальным числом правильных модусов ТИС-3МПМ, то есть выявления, как минимум, всех двухпосылочных законов (сильных правильных модусов) обеих силлогистик, состоит в следующем:
1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений данной силлогистики выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины S и M, а во второй - M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи, где M - средний термин, а S и P - крайние термины силлогизма.
2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также аналитически [7].
3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.
4. Из базисного множества суждений выписывают те из них, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (т.е. включают их в себя).
5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, т.е. меньшим числом отношений в логической структуре суждения.
6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.
7. Для получения результатов в других фигурах силлогизма, не производя самих вычислений, используют отмеченное выше свойство силлогистической полноты базисных множеств суждений
рассматриваемых силлогистик, в данном случае просто выписывают результат вычислений для первой фигуры без замены суждений.
Ниже приведены вычисления для первой фигуры силлогизма в обеих силлогистиках для всех возможных случаев, правильные сильные модусы выделены.
Вычисления
Силлогистика ТИС-4БПМ.
1. £(6,14), £(6,14) — -;
6,6 — 9; 6,14 — 11; 14,6 — 13; 14,14 — 9,11,13,14,15;
Р.О.: 9,11,13,14,15.
2. £(6,14), AA или AI'(9,14) —-;
6,9 — 6; 6,14 — 11; 14,9— 14; 14,14 — 9,11,13,14,15;
P.O.: 6,9,11,13,14,15.
3. £(6,14), /(7,9,11,13,15) — -
6,7— 13; 6,9 — 6; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,15— 15; 14,7 — 13; 14,9 — 14;
14,11 — 14; 14,13 — 6,7,13,14,15; 14,15 — 13,14,15;
P.O.: 6,7,13,14,15.
4. £(6,14), (AA илиАГ)'6,7,11,13,15) — -;
6,6 — 9; 6,7 — 13; 6,11 — 14; 6,13 — 7; 6,15—^ 15; 14,6 — 13; 14,7 — 13;
14,11 — 14; 14,13 — 6,7,13,14,15; 14,15 — 13,14,15;
Р.О.: 6,7,9,13,14,15.
5. AA или AI'(9,14), £(6,14) — -;
9.6 — 6; 9,14— 14; 14,6 — 13; 14,14 — 9,11,13,14,15;
Р.О.: 6,9,11,13,14,15.
6. AA или AI' (9,14), AA или AI'(9,14) — -;
9,9 — 9; 9,14 — 14; 14,9 — 14; 14,14 — 9,11,13,14,15
Р.О.: 9,11,13,14,15.
7. AA или AI'(9,14), /(7,9,11,13,15) — -;
9.7 — 7; 9,9 — 9; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,15
— 15; 14,7— 13; 14,9 — 14;
14,11 — 14; 14,113 — 6,7,13,14,15; 14,15 — 13,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
8. AA или AI'(9,14), (AA или AI')'6,7,11,13,15)
— -;
'9,6 — 6; 9,7 — 7; 9,11 — 11; 9,13 — 13; 9,15— 15; 14,6 — 13;
14,7 — 13; 14,11 — 14; 14,13 — 6,7,13,14,15; 14,15 — 13,14,15;
Р.О.: 6,7,11,13,14,15.
9. /(7,9,11,13,15), £(6,14) — -;
7,6 — 11; 9,6 — 6; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 15,6
— 15; 7,14— 11; 9,14 — 14;
11,14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14; 15,14 — 11,14,15;
Р.О.: 6,7,11,14,15.
10. /(7,9,11,15,15), AA или AI'(9,14) — -;
7,9 — 7; 9,9 — 9; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 15,9
— 15; 7,14 — 11; 9,14 — 14;
11.14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14; 15,14 — 11,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
11. /(7,9,11,13,15), /(7,9,11,13,15) — -;
15.15 — 6,7,9,11,13,14,15. Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
12. /(7,9,11,13,15), (AA или AI7(6,7,11,13,15)
— -;
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
13. (AA или AI1)'(6,7,11,13,15), £ (6,14) — -; 6,6 — 9; 7,6— 11; 11,6 — 7; 13,6 — 14; 15,6
— 15; 6,14 — 11; 7,14 — 11;
11,14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14; 15,14 — 11,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,14,15.
14 (AA или AI7(6,7,11,13,15), AA или AI'(9,14)
— -;
' 6,9 — 6; 7,9 — 7; 11,9 — 11; 13,9 — 13; 15,9
— 15; 6,14 — 11; 7,14 — 11;
11.14 — 6,7,11,14,15; 13,14 — 14; 15,14 — 11,14,15;
Р.О.: 6,7,11,13,14,15.
15. (AA или AI1)'(6,7,11,13,15), /(7,9,11,13,15)
— -;
15.15 — 6,7,9,11,13,14,15 Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
16 (AA или AI1) '(6,7,11,13,15), (AA или AI')' (6,7,11,13,15) — -;
15,15 — 6,7,9,11,13,14,15;
Выводы
1. На примерах построенных в статье силло-гистик показано, что среди традиционных интегральных силлогистик существуют силлогистики, в которых правильные модусы полностью отсутствуют (ТИС-4БПМ) и силлогистики, в которых число правильных модусов является максимально возможным и равным п2, где п- число базисных суждений (ТИС-3МПМ). Существуют ли подоб-
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15. Силлогистика ТИС-3МПМ
1. AA'(6), AA' (6) ^ AA(9);
6,6 — 9; Р.О.: 9.
2. AA'(6), AA(9) ^ AA '(6);
6,9 — 6; Р.О.: 6
3. AA'(6), AAA '(6,9) ^ (AAA'(6,9);
6,6 — 9; 6,9 — 6; Р.О.: 6, 9.
4. AA(9), AA'(6) ^ AA'(6);
9,6 — 6; Р.О.: 6.
5. AA(9), AA (9) ^ AA(9);
9,9 — 9; Р.О.: 9.
6. AA (9), AAA'(6,9) ^ AAA'(6,9);
9,6 — 6; 9,9 — 9; Р.О.: 6,9.
7. AAA'(6,9), AA'(6) — AAA '(6,9);
6,6— 9; 9,6 — 6; Р.О.: 6,9.
8. AAA'(6,9), AA(9) ^ AAA '(6,9);
6,9 — 6; 9,9 — 9; Р.О.: 6,9.
9. AAA'(6,9), AAA '(6,9) ^ AAA '(6,9);
6,6— 9; 6,9 — 6; 9,6 — 6; 9,9 —9; Р.О.: 6,9.
Результаты вычислений сведены в таблицы 5 и 6. В таблице 5 на пересечении любых столбцов и строк стоят прочерки, свидетельствующие о том, что силлогистика из четырех суждений ТИС-4БПМ не имеет ни одного правильного модуса. В таблице 5 все клетки заполнены конкретными результатами, что говорит о том, что любая комбинация посылок в силлогистике из трех суждений ТИС-3МПМ порождает правильное заключение.
ные силлогистики с большим числом базисных суждений еще предстоит выяснить в дальнейшем.
2. В статье на конкретных и интересных для дедуктивной практики примерах продемонстрировано применение пока ещё мало известного семантического метода решения силлогизмов путем вычисления результирующих отношений, чрезвычайно эффективного по сравнению с альтернативным аксиоматическим методом также
Таблица 5
Правильные сильные модусы традиционной интегральной силлогистики ТИС-4БПМ
£ AA или AI' / (AA или AI')'
£ - - - -
AA или AI' - - - -
/ - - - -
(AA или AI')' - - - -
Таблица 6
Правильные сильные модусы традиционной интегральной силлогистики ТИС-3МПМ_
AA' AA AAA'
AA' AA AA' AAA'
AA AA' AA AAA'
AAA' AAA' AAA' AAA'
для верификации, реконструкции и построения новых силлогистических систем и с учетом [8] весьма привлекательного для реализации в системах искусственного интеллекта.
Литература
1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное слово, 1998. 448 с.
2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.
3. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.
4. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1948. 326 с.
5. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.
6. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.
7. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.
8. Патент РФ №39722. Силлогистический процессор / Сидоренко О.И. Заявлено 15.03.2004. Опубликовано 10.05.2004. Бюллетень №22. С 20.
