CC BY
11PHILOSOPHICAL SCIENCES
ABOUT IMPOSSIBILITY OF EXISTENCE OF PERFECT FRAGMENTS OF 38 JUDGMENTS IN A
TRADITIONAL INTEGRAL SYLLOGISTICS
Sidorenko O.
Candidate of physical and mathematical sciences,
Chief designer, Society with Limited Liability Scientific-production enterprise «Anfas» Russia, Saratov
О НЕВОЗМОЖНОСТИ СУЩЕСТВОВАНИЯ СОВЕРШЕННЫХ ФРАГМЕНТОВ ИЗ 38 СУЖДЕНИЙ В ТРАДИЦИОННОЙ ИНТЕГРАЛЬНОЙ СИЛЛОГИСТИКЕ
Сидоренко О.И.
Кандидат физико-математических наук, Главный конструктор, Общество с ограниченной ответственностью Научно-производственное предприятие «Анфас»
Россия Саратов
Abstract
The article describes the process of finding all perfect fragments from 38 propositions in traditional integral syllogistics from 50 basic judgments with different semantics and identifying correct strong modes in them. In the research, the method of exhaustive search was used with a significant limitation of the number of options by taking into account the content and syllogistic completeness of judgments in perfect fragments, as well as the use of self-generating and mutually generating derivation rules that take into account the requirements of syllogistic density and unambiguity of the results. The indicated rules are obtained on the basis of the semantic method for solving syllogisms proposed by the author earlier by calculating the resulting relations..Algorithms are presented and specific examples of calculations are given, as a result of which it was found that the set of perfect fragments of 38 propositions in the traditional integral syllogistic is empty. The results of such calculations for a different number of judgments in perfect fragments and the prospects for further research are considered.
Аннотация
В статье описывается процесс нахождения всех совершенных фрагментов из 38 суждений в традиционной интегральной силлогистике из 50 базисных суждений с различной семантикой и выявления в них правильных сильных модусов. При исследованиях использован метод полного перебора с существенным ограничением числа вариантов путем учета содержательной и силлогистической полноты суждений в совершенных фрагментах, а также применения автопорождающих и взаимно порождающих правил вывода, учитывающих требования силлогистической плотности и однозначности результатов. Указанные правила получены на основе предложенного автором ранее семантического метода решения силлогизмов путем вычисления результирующих отношений. Представлены алгоритмы и приведены конкретные примеры вычислений, в результате которых выяснено, что множество совершенных фрагментов из 38 суждений в традиционной интегральной силлогистике является пустым. Рассмотрены результаты подобных вычислений для другого числа суждений в совершенных фрагментах и перспективы дальнейших исследований.
Keywords: syllogism, syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogistics.
Ключевые слова: силлогизм, силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.
Введение. Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения A, E, I, O с 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых истинное заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных терминах [1]. В современной же силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные
силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием правильных модусов из них [4]. Кроме того, в настоящее время разработан чрезвычайно эффективный формальный метод, который позволяет не только доказать правоту Аристотеля, но и построить традиционные силлогистики (то есть силлогистики с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности) с разным числом базисных суждений и различной семантикой [68,11,12]. Указанный метод основан на прямом обос-
новании силлогистики в смысле работы [2] без привлечения логики предикатов и назван автором методом вычисления результирующих отношений
[15]. В интегральных силлогистиках ярко проявляется синергетический эффект порождения новых правильных модусов от добавления к суждениям Аристотеля суждений с другой семантикой, к которым относятся суждения Теофраста,
У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана , Н.А. Васильева и другие [4].
Суть метода вычисления результирующих отношений. Согласно тезису Альфреда Тарского
[16] понимать суждение означает знать его условия истинности. Истинность суждения это свойство суждения соответствовать реальному положению дел, определяемому теоретико-множественными отношениями между терминами-понятиями суждения со стороны их объемов. В работе [14] логической структурой категорического суждения названы условия истинности его логической формы, выраженные через отношения между терминами суждения. Логическая структура суждения в отличие от его логической формы обладает одним замечательным свойством - единственностью
представления. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, таких отношений существует ровно семь (отношения Кейнса [3]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения.
В таблице 1 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «•» - конъюнкция, «+» -дизъюнкция. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько). Результирующие отношения можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из ключевой таблицы 2 [9] правил порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике.
Таблица 1
Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений
S 0 0 1 1 Наименование отношения Логическая формула отношения
P 0 1 0 1
6 0 1 1 0 Противоречивость Б'Р+БР'
§ 7 0 1 1 1 Дополнительность Б+Р
в 9 1 0 0 1 Равнообъемность Б'Р'+БР
и н о 11 1 0 1 1 Обратное включение Б+Р'
а (D S 13 1 1 0 1 Прямое включение Б'+Р
о X 14 1 1 1 0 Соподчинение Б'+Р'
15 1 1 1 1 Пересечение Б'Р'+Б'Р+БР'+БР = 1
Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгеймом для теории одноместных предикатов [5]. В процессе вычислений получаются или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок не существует (при данном базисном множестве суждений). При этом под базисным множеством суждений понимается множество логических форм суждений рассматриваемой силлогистики с отличными друг от друга условиями истинности (логическими структурами). Суждения с разными логическими формами, но одинаковыми структурами считаются эквивалентными.
Таблица 2
Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках
№ Посылки Заключение № Посылки Заключение
SM, MP SP SM, MP SP
1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13
12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13, 14,15
25 11, 11 11
Алгоритм вычисления результирующих отношений. Применительно к поставленной задаче построения фрагментов традиционной интегральной силлогистики, то есть выявления всех двухпо-сылочных законов в них, алгоритм вычисления результирующих отношений состоит в следующем:
1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений рассматриваемого фрагмента выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины и M, а во второй - M и P, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи.
2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений базисного множества подлежащего построению фрагмента силлогистики из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения, порождаемые посылками в конфигурации 5М-МР, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также чисто аналитически [13].
3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который
включают только разные отношения без повторений.
4. Из базисного множества суждений силлогистики рассматриваемого фрагмента выписывают те суждения, логическая структура которых покрывает полученные результирующие отношения (то есть включает их в себя).
5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, то есть меньшим числом отношений в логической структуре суждения.
6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок МР-5М, при необходимости переставляют посылки местами.
7. Для получения результатов вычислений в других фигурах силлогизма осуществляют взаимные замены отношений 11 ^ 13 в логической структуре посылок в соответствии с фигурой и производят вычисления, либо используют свойство силлогистической полноты базисного множества при его наличии. В последнем случае, не производя самих вычислений, осуществляют замену суждений (см. далее)Л^Л*, 0^0*, 1Л^Л1, (Л1)'^(1Л)', 10^01, 10*^01*, (10)^(01)', (10*)'^(01*)\ Л'11'^ЛЛЧ, ЛЛЧ'^Л11', (Л'11')'^(ЛЛ'1)', (ЛЛТ)'^(ЛИ')', 11'^1'1, (11'У^(1'1У (для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно) и выписывают результат вычислений для первой фигуры.
Свойства силлогистических систем. При построении различных силлогистик методом вычисления результирующих отношений были выявлены важные для практики дедуктивных выводов из категорических суждений свойства силлогистических систем: свойства содержательной и силлогистической полноты, а также свойства силлогистической плотности и однозначности результатов. Свойство содержательной полноты заключается в том, что для любого суждения в базисном множестве суждений силлогистики имеется его контрадикторное отрицание. Свойство силлогистической полноты заключается в том, что при наличии в базисном множестве суждений данной силлогистики суждения, истинного на отношении 13 (прямого включения между терминами), оно также содержит суждение с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 11 (обратного включения между терминами), и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма [10]. Свойство силлогистической плотности заключается в том, что в силлогистике не являются правильными только те модусы, которые порождают все 7 отношений, при этом для случаев наличия правильных модусов результирующие отношения полностью совпадают с логической структурой одного из суждений базис-
ного множества. Свойство однозначности результатов заключается в том, что сильным правильным заключением модуса при его наличии является единственное суждение из базисного множества суждений данной силлогистики. Это свойство вытекает из свойства силлогистической плотности, но обратное не верно. Силлогистики, обладающие одновременно всеми четырьмя свойствами названы в работе [11] совершенными. Отметим, что силлогистика Аристотеля не является совершенной, поскольку не обладает двумя свойствами из четырех, а именно: свойством силлогистической полноты и свойством силлогистической плотности результатов. Возникает естественный вопрос о числе совершенных силлогистик, содержащихся если не в универсальной силлогистике с предельно возможным числом суждений 128 (протологике), то хотя бы в интегральной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений, имеющих относительно простое выражение их смысла на естественном языке [11]. Однако решение данной задачи связано с перебором огромного количества вариантов.
Цель публикации. В данной статье поставлена и впервые решена более простая задача определения числа совершенных силлогистических систем из 38 суждений, содержащихся в интегральной совершенной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений с различной семантикой, представленным в таблице 3 [5].
Обозначение логической формы Логическая
№ структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
суждения
1 AA' 6 Все Б суть все не Р
2 A'I 7 Все не Б суть (не суть) только некоторые Р
3 AA 9 Все Б суть все Р
4 IA 11 Только некоторые Б суть (не суть) все Р
5 AI 13 Все Б суть (не суть) только некоторые Р
6 AI' 14 Все Б суть (не суть) только некоторые не Р
7 II'I 15 Только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
8 A 9, 13 Всякие Б суть Р
9 A* 9, 11 Всякие не Б суть не Р
10 E 6, 14 Всякие Б не суть Р
11 E* 6, 7 Всякие не Б не суть не Р
12 AAA' 6, 9 Все Б суть все Р или не Р
13 A'II' 7, 11 Все не 8 суть (не суть) только некоторые Р или не Р
14 AA'I 7, 13 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р
15 AA'I' 11, 14 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые не Р
16 AII' 13, 14 Все 8 суть (не суть) только некоторые Р или не Р
17 II 7, 15 Только некоторые Б суть (не суть) только некоторые Р
18 II' 11, 15 Только некоторые Б суть (не суть) только некоторые не Р
19 I'I 13, 15 Только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые Р
20 I'I' 14, 15 Только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые не Р
21 IO 7, 11, 15 Только некоторые Б суть (не суть) Р
22 IO* 13, 14, 15 Только некоторые не Б суть (не суть) Р
23 OI 7, 13, 15 Только некоторые Р суть (не суть) Б
24 OI* 11, 14, 15 Только некоторые не Р суть (не суть) Б
Таблица 3
Базисное множество суждений традиционной совершенной интегральной силлогистики из 50 суждений
Обозначение логической формы Логическая
№ структура суждения Логические формы суждения (одни из возможных)
суждения
25 (AA'II')' 6, 9, 15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
26 (IO)' 6,9,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) Р
27 (Ю*)' 6,7,9,11 Неверно, что только некоторые не Б суть (не суть) Р
28 (OIУ 6,9,11,14 Неверно, что только некоторые Р суть (не суть) Б
29 (OI*)' 6,7,9,13 Неверно, что только некоторые не Р суть (не суть) Б
30 AA'II' 7, 11, 13, 14 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
31 I=E' 7,9,11,13,15 Неверно, что всякие Б не суть Р (Некоторые или всякие Б суть Р)
32 I*=(E*)' 9,11,13,14,15 Неверно, что всякие не Б не суть не Р (Некоторые или всякие не Б суть не Р)
33 O=A' 6,7,11,14,15 Неверно, что всякие Б суть Р (Некоторые или всякие Б суть не Р)
34 O*=(A*)' 6,7,13,14,15 Неверно, что всякие не Б суть не Р (Некоторые или всякие не Б суть Р)
35 (AAA')' 7,11,13,14,15 Неверно, что все Б суть все Р или не Р
36 (A 'II')' 6,9,13,14,15 Неверно, что все не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
37 (AA'I)' 6,9,11,14,15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р
38 (AA'I')' 6,7,9,13,15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые не Р
39 (AII')' 6,7,9,11,15 Неверно, что все Б суть ( не суть) только некоторые Р или не Р
40 (II)' 6,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) только некоторые Р
41 (II')' 6,7,9,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) только некоторые не Р
42 (II)' 6,7,9,11,14 Неверно, что только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые Р
43 (I'I')' 6,7,9,11,13 Неверно, что только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые не Р
44 (AA)' 6,7,11,13,14,15 Неверно, что все Б суть все Р
45 (AI)' 6,7,9,11,14,15 Неверно, что все Б суть (не суть) только некоторые Р
46 (IA)' 6,7,9,13,14,15 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) все Р
47 (AA)' 7,9,11,13,14,15 Неверно, что все Б суть все не Р
48 (A'I)' 6,9,11,13,14,15 Неверно, что все не Б суть (не суть) только некоторые Р
49 (AI')' 6,7,9,11,13,15 Неверно, что все Б суть (не суть) только некоторые не Р
50 my 6,7,9,11,13, 14 Неверно, что только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
Ограничение перебора вариантов. Можно показать, что при решении задачи полным перебором для фрагментов из 38 суждений требуется проанализировать более 2,5^10 11 случаев (число сочетаний из 50 по 38). Попытаемся ограничить перебор. Очевидно, что для удовлетворения свойству содержательной полноты число базисных суждений в силлогистике должно быть четным. Существует 25 представленных в таблице 4 содержательно полных пар базисных суждений для рассматриваемой силлогистики из 50 суждений, 11 из которых, а именно: 1, 2, 3, 6, 7, 10, 11, 12, 17, 20, 25, являются силлогистически полными, в то время как остальные силлогистически полны только в соответствующих парах: 4,5; 8,9; 13,14; 15,16; 18,19; 21,23; 22,24. Для построения всех совершенных фрагментов из 38 суждений целесообразно вначале отобрать среди них те группы из 19 содержательно полных пар суждений, в которых соблюдается требование силлогистической полноты. Можно показать, что их число равно 3962, при этом указанные группы делятся на 4 типа: 1) группы содержательно
полных пар суждений с четырьмя силлогистически полными парами (их число равно С74 х Си11 = 35), 2) группы содержательно полных пар суждений с пятью силлогистически полными парами (их число равно С75 х С119 = 1155), 3) группы с шестью силлогистически полными парами (их число равно С76 х Сц7 = 2310) и 4) группы с семью силлогистически полными парами (их число равно С77х Си5 = 462). Для каждой из 3962 силлогистик из 38 суждений в общем случае необходимо произвести 1444 вычислений (каждый с каждым), что в целом составит 5721128. Однако это число можно значительно сократить, если предварительно исключить из этого числа те группы, которые заведомо не удовлетворяют свойству силлогистической плотности результатов. Для этого предлагается вначале отфильтровать 3962 случая с помощью автопорождающих правил вывода, которые требуется вычислить для каждой из 25 перечисленных в таблице 4 пар суждений. Например, для пары №2 из таблицы 4 необходимо произвести следующие вычисления (правильные модусы выделены):
A 4(7), A 4(7) ^ E'(7,9,11,13,15)- №10;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; P. O.:7,9,11,13,15.
A 4(7), (A 'I) '(6,9,11,13,14,15) ^ A'(6,7,11,14,15)- №8;
7.6 ^ 11; 7,9 ^ 7; 7,11 ^ 6,7,11,14,15; 7,13 ^ 7; 7,14 ^ 11; 7,15 ^ 7,11,15; P.O.:6,7,11,14,15.
(A'I)'(6,9,11,13,14,15), A'I(7) ^ (A*)'(6,7,13,14,15)-№9;
6.7 ^ 13; 9,7 ^ 7; 11,7 ^ 7; 13,7 ^ 6,7,13,14,15; 14,7 ^ 13; 15,7 ^ 7,13,15; P.O.:6,7,13,14,15.
(A'l) '(6,9,11,13,14,15), (A'I)'(6,9,11,13,14,15) ^ 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15. Результат: 2 ^ 8,9,10.
Таблица 4
Содержательно полные пары суждений в традиционной совершенной _интегральной силлогистике из 50 суждений_
№ Логические структуры суждений Силлогистическая полнота № Логические структуры суждений Силлогистическая полнота
1 ЛЛ'(6), (ЛЛ')'(7,9,11,13,14,15) Есть 14 ЛЛ'1(7,13), (ЛЛ'1)'(6,9,11,14,15) Нет
2 Л '1(7), (Л'1)'(6,9,11,13,14,15) Есть 15 ЛЛ'1'(11,14), (ЛЛ'1')'(6,7,9,13,15) Нет
3 ЛЛ(9), (ЛЛ)'(6,7,11,13,14,15) Есть 16 Л11'(13,14), (Л11')'(6,7,9,11,15) Нет
4 1Л(11), (1Л)'(6,7,9,13,14,15) Нет 17 11(7,15), (11)'(6,9,11,13,14) Есть
5 Л1(13), (Л1)'(6,7,9,11,14,15) Нет 18 11'(11,15), (11') '(6,7,9,13,14) Нет
6 Л1'(14), (Л1')'(6,7,9,11,13,15) Есть 19 14(13,15), (1'1)'(6,7,9,11,14) Нет
7 114(15), (11'1)'(6,7,9,11,13,14) Есть 20 1'1'(14,15), (14') '(6,7,9,11,13) Есть
8 Л(9,13), Л'(6,7,11,14,15) Нет 21 10(7,11,15), (10)'(6,9,13,14) Нет
9 Л *(9,11), (Л *) '(6,7,13,14,15) Нет 22 10*(13,14,15), (10*)'6,7,9,11) Нет
10 Е(6,14), Е'(7,9,11,13,15) Есть 23 01(7,13,15), (01)'(6,9,11,14) Нет
11 Е*(6,7), (Е*) '(9,11,13,14,15) Есть 24 01*(11,14,15), (01*)'(6,7,9,13) Нет
12 ЛЛЛ'(6,9), (ЛЛЛ') '(7,11,13,14,15) Есть 25 (ЛЛ'11')'(6,9,15), ЛЛ'11'(7,11,13,14) Есть
13 Л'11'(7,11), (Л '11') '(6,9,13,14,15) Нет
Представленные выше вычисления означают, что если в группе содержательно полных пар суждений имеется пара с номером 2, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности результатов в ней также должны содержаться пары с номерами 8, 9 и 10 (см. таблицу 4). Аналогично можно показать, что из наличия пары №26 должно следовать наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары .№10 - наличие пар с номерами 8,9,11, из наличия пары №11 - наличие пар с номерами 8,9,10, из наличия пары №1 -наличие пары №3, из наличия пары №7 - наличие пары №12, из наличия пары №25 - наличие пары №12, из наличия пары №17 - наличие пары №3, из наличия пары №20 - наличие пары №3. Нетривиальные правила такого сокращения более компактно можно представить в виде следующих четырех правил [7]: 1) 1,17,20 ^ 3; 2) 2,11 ^ 8,9,10; 3) 6,10 ^ 8,9,11; 4) 7,25 ^ 12.
Для получения всех автопорождающих правил требуется произвести С25: х 4 = 100 вычислений результирующих отношений. Предложенный подход позволяет сократить общее число подлежащих рассмотрению случаев до 620, однако оно все еще остается слишком большим. Для дальнейшего сокращения перебора приходится использовать взаимно порождающие правила, вычисленные для каждой возможной пары содержательно полных пар суждений из таблицы 4. Например, для пары 1,2 необходимо произвести следующие 8 вычислений (правильные модусы выделены): 1. АА '(6), А '1(7) ^ А1(13) - №5;
6,7 ^ 13; Р.О.: 13.
2. A 4(7), AA '(6) ^ IA(11) - №4;
7.6 ^11; P.O.: 11.
3. (AA')'(7,9,11,13,14,15), A'I(7) ^ —;
7.7 ^ 7,9,11,13,15; 13,7 ^ 6,7,13,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
4. A'I(7), (AA')'(7,9,11,13,14,15) ^ —; 7,7 ^ 7,9,11,13,15;
7,11 ^ 6,7,11,14,15; P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
5. AA'(6), (A'I)'(6,9,11,13,14,15) ^ (AI)'(6,7,9,11,14,15) -№5;
6,6 ^ 9; 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; P.O.: 6,7,9,11,14,15.
6. (A 'I) '(6,9,11,13,14,15), AA'(6) ^ (IA) '(6,7,9,13,14,15) - № 4;
6,6 ^ 9; 9,6 ^ 6;11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; P.O.: 6,7,9,13,14,15.
7. (AA')'(7,9,11,13,14,15), (A'I)'(6,9,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15.
8. (A'I)'(6,9,11,13,14,15), (AA')'(7,9,11,13,14,15) ^ —; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;
P.O.: 6,7,9,11,13,14,15. Результат: 1,2^4,5.
Представленные в примере вычисления означают, что если в группе содержательно полных пар суждений имеется пара с номерами 1 и 2, то для удовлетворения требованиям силлогистической плотности и однозначности результатов в ней также должны содержаться содержательно полные пары суждений с номерами 4 и 5. Для получения всех взаимно порождающих правил требуется произвести С252 х 8 = 2400 вычислений результирующих отношений. Всего существует 116 нетривиальных правил указанного вида, представленных в таблице 5.
Таблица 5
Взаимно порождающие правила в традиционной интегральной силлогистике_
№ Посылки Заключение № Посылки Заключение
1 1,13; 22,25 16 59 4,16;4,17 8,11,21
2 1,14; 24,25 15 60 5,10; 5,11 2,6,9
3 1,15; 23,25 14 61 5,13; 5,20 9,10,22
4 1,16; 21,25 13 62 5,15; 5,17 9,11,23
5 1,21 22 63 5,21 9,10,16
6 1,22 21 64 5,24 9,11,14
7 1,23 24 65 6,14; 6,24 9,11,15
8 1,24 23 66 6,15; 6,19; 6,23 9,11,24
9 7,17; 7,18; 7,19; 7,20; 7,25 12 67 6,16; 6,18; 6,21 8,11,22
10 12,13; 12,14; 12,15; 12,16 25 68 6,20 8,9,11
11 12,21; 12,22; 12,23; 12,24 7 69 6,13; 6,22 8,11,16
12 13,17; 13,19; 14,17; 14,18; 17,22; 17,24; 18,24; 10 70 8,17 2,9,23
19,22
13 15,19; 15,20; 16,18; 16,20; 18,21; 19,23; 20,21; 11 71 8,18 4,10,11
20,23
14 17,18; 17,19; 18,20; 19,20 1 72 8,20 6,9,22
15 18,19 3 73 10,22 5,11,21
16 1,2; 1,6; 2,6; 2,10; 6,11 4,5 74 9,17 2,8,21
17 1,4; 1,5 2,6 75 9,19 5,10,11
18 1,8; 1,9; 4,8; 5,9;8,9 10,11 76 9,20 6,8,24
19 1,10; 1,11; 10,11 8,9 77 10,13 2,8,16
20 1,17; 1,20 18,19 78 10,14 2,9,15
21 1,18; 1,19 17,20 79 10,15 4,11,14
22 2,7; 2,20; 2,25; 7,11; 10,12; 11,20 21,23 80 10,16 5,11,13
23 2,8; 5,16; 5,22; 8,11 9,10 81 10,18; 10,21 2,8,22
24 2,9; 4,15; 4,24;9,11 8,10 82 10,19; 10,23 2,9,24
25 2,12; 10,25 13,14 83 10,20 4,5,11
26 4,7; 4,18; 4,25; 7,9; 8,12; 9,18 21,24 84 10,24 4,11,23
27 4,13; 4,21; 6,9;9,10 8,11 85 11,13 4,10,16
28 4,12; 8,25 13,15 86 11,14 5,10,15
29 5,7; 5,19; 5,25; 7,8; 8,19; 9,12 22,23 87 11,15 6,8,14
30 5,12; 9,25 14,16 88 11,16 6,9,13
31 5,14; 5,23; 6,8; 8,10 9,11 89 11,17 4,5,10
32 6,7; 6,25; 6,17; 7,10; 10,17; 11,12 22,24 90 11,18 6,8,23
33 6,12; 11,25 15,16 91 11,19; 11,22 6,9,21
34 7,13; 7,22; 13,25 12,21 92 11,21 4,10,22
35 7,14; 7,24; 14,25 12,23 93 11,23 5,10,24
36 7,15; 7,23; 15,25 12,24 94 12,17 7,21,23
37 7,16; 7,21; 16,25 12,22 95 12,18 7,21,24
38 8,13; 8,21 4,10 96 12,19 7,22,23
39 8,14; 8,23 2,9 97 12,20 7,22,24
40 8,15; 8,24 4,11 98 4,5 8,9,10,11
41 8,16; 8,22 6,9 99 13,14 8,9,10,12
42 9,13; 9,21 2,8 100 13,15 8,10,11,25
43 9,14; 9,23 5,10 101 13,23 2,8,10,25
44 9,15; 9,24 6,8 102 13,24 4,8,10,12
45 9,22 5,11 103 14,16 9,10,11,25
46 13,18; 13,20; 15,17; 15,18; 17,23; 18,22; 18,23; 20,22 8,12 104 14,21 2,9,10,25
47 14,19; 14,20; 16,17; 16,19; 17,21; 19,21; 19,24; 20,24 9,12 105 14,22 5,9,10,12
48 2,4; 4,6; 4,19 8,10,11 106 15,16 8,9,11,12
49 2,5; 5,6; 5,18 9,10,11 107 15,21 4,8,11,12
50 2,13; 2,19; 2,22 9,10,21 108 15,22 6,8,11,25
51 2,14; 2,18; 2,24 8,10,23 109 16,23 5,9,11,12
52 2,15; 2,23 8,10,14 110 16,24 6,9,11,25
53 2,16; 2,21 9,10,13 111 21,23 2,8,9,12
54 2,17 8,9,10 112 21,24 4,7,10,11
55 4,14; 4,20 8,10,24 113 22,23 5,7,10,11
56 4,22 8,11,13 114 22,24 6,8,9,12
57 4,23 8,10,15 115 2,11 4,5,8,9,10
58 4,10; 4,11 2,6,8 116 6,10 4,5,8,9,11
Для облегчения отбора совершенных фрагментов по отсутствующим в группе суждениям представим перечисленные выше правила в виде перечня правил вывода для каждой содержательно полной пары суждений из таблицы 4:
1. 14;
2. 17,39,42,58,60,70,74,77,78,81,82,101,104,111;
3. 15;
4. 16,38,40,71,79,83,84,85,89,92,102,108,112,115,116;
5. 16,43,45,73,75,80,83,86,89,93,105,109,113,115,116;
6. 17,41,44,58,60,72,76,87,88,90,91,108,110,114;
7. 11,94,95,96,97,112,113;
8.19,24,27,42,44,46,48,51,52,54,55,56,57,58,59,67,68,69,74,76,77,81,87,90,98,99,100,101, 102,106,107,108,111,114,115,116;
9.19,23,31,39,41,47,49,50,53,54,60,61,62,63,64,65,66,68,70,72,78,82,88,91,98,99,103,104,105,106,109,11 0,111,114,115, 116;
10.12,18,23,24,38,43,48,49,50,51,52,53,54,55,57,61,63,71,75,85,86,89,92,93,98,99,100, 101,102,103,104,105,112,113,115;
11.13,18,27,31,40,45,48,49,56,59,62,64,65,66,67,68,69,71,73,75,79,80,83,84,98,100,103, 106,107,108,109,110,112,113,116;
12. 9,34,35,36,37,46,47,99,102,105,106,107,109,111,114;
13. 4,25,28,53,56,80,88;
14. 3,25,30,52,64,79,87;
15. 2,28,33,58,65,78,86;
16. 1,30,33,63,69,77,85;
17. 21;
44
18. 20;
19. 20;
20. 21;
21. 6,22,26,34,50,59,73,74,91,94,95;
22. 5,29,32,37,61,67,72,81,92,96,97;
23. 8,22,29,35,51,62,70,84,90,94,96;
24. 7,26,32,36,55,67,76,82,93,95,97;
25. 10,100,101,103,104,108,110.
Фильтрацию вариантов перебора целесообразно проводить до нахождения первого же бракующего группу правила вывода, при этом правило является бракующим группу, если из суждений группы с помощью данного правила можно получить отсутствующие в группе суждения. Группа суждений, для которой не находится ни одного бракующего автопорождающего или взаимно порождающего правила, является результатом фильтрации.
Рассмотрим характерные примеры применения автопорождающих и взаимно порождающих правил при фильтрации групп суждений. Для удобства группы суждений представим в инверсном виде, то есть перечислением отсутствующих в них содержательно полных пар суждений из таблицы 4. Пусть, например, требуется отфильтровать группу из 38 суждений, в которой отсутствуют содержательно полные пары 4,5,6,8,9,11. Данную группу бракует автопорождающее правило №2: 2 ^ 8, поскольку его посылка - пара №2, не входит в состав группы, а заключение №8 входит. Рассмотрим другой пример. Пусть дана группа суждений 1,2,15,16,17,20. Поскольку в качестве заключений в автопорождающих правилах могут служить только пары №3,8,9,10,11 и 12, которые отсутствуют в инверсной форме группы, то никакие из автопорожда-ющих правил к ней неприменимы. Пара №2 из группы порождается, например, взаимно порождающим правилом №39 8,14 ^ 2, все посылки которого входят в отсутствующую часть группы. Примера, для которого неприменимо ни одно из авто и взаимно порождающих правил, найти не удается. Таким образом, фильтрация массива из 620 силло-гистик с помощью взаимно порождающих правил не дает никаких групп суждений, для которых требуется произвести построение силлогистик, то есть выявить все их двухпосылочные законы. Иными словами, множество совершенных фрагментов из 38 суждений в традиционной интегральной силлогистике является пустым.
Выводы: совершенные фрагменты из 38 суждений в традиционной интегральной силлогистике с базисным множеством из 50 суждений отсутствуют, то есть их существование не возможно. В то же время известно, что для числа суждений от 2 до 12 включительно, а также для 42 суждений совершенные фрагменты существуют [6-8,11].
Заключение. Анализ результатов вычислений показывает, что совершенная интегральная силлогистика традиционного типа из 50 базисных суждений не содержит совершенных фрагментов из 38 суждений, что свидетельствует об исключительной
уникальности совершенных силлогистических систем. Существуют ли другие подобные случаи, ещё предстоит выяснить в дальнейшем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное слово, 1998. 448 с.
2. Антаков С.М. Основные идеи и задачи классической логики: Учебное пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та, 2013. 175 с.
3. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.
4. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.
5. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.:Наука, 1973. 400 с.
6. Sidorenko O. On the number of prefect fragments of the eight judgments in the traditional integrated quаsi-universal syllogistic //European multi science journal №24, 2019. С. 40-51.
7. Сидоренко О.И. О числе совершенных фрагментов из десяти суждений в традиционной интегрированной квазиуниверсальной силлогистике / "Lingvo-science" №22, 2019. С.14-27.
8. Sidorenko O. Is there a perfect traditional integrated syllogistic with a number of basic judgments between 20 and 50? // Scientific journal "Fundamental scientiam" №25. Vol. 1, 2018. C. 51-63.
9. Сидоренко О.И. Дедукция в традиционных силлогистиках: Сборник статей. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2018. 256 с.
10. Сидоренко О.И. О причине неравномерного распределения сильных правильных модусов Аристотеля по фигурам силлогизма // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-31. Сб. тр. междунар. науч. конф. Т. 2. СПб: Изд-во По-литехн. ун-та, 2018. С. 120-129.
11. Сидоренко О.И. О построении совершенной квазиуниверсальной силлогистики // Современные инновации №4 (18), 2017. С. 41-53.
12. Сидоренко О.И. О протологике силлогистических систем // Современные инновации. №12 (14), 2016. С. 72-83.
13. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.
14. Сидоренко О.И. Основы универсальной силлогистики. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007. 192 с.
15. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.
16. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во иностранной литературы, 1948. 326 с.
