CC BY
6PHILOSOPHICAL SCIENCES
ON THE SYNERGISTIC EFFECT IN INTEGRAL SYLLOGISTICS
Sidorenko O.
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, chief designer, Society with Limited Liability Scientific-production Enterprise «Anfas»,
Russia, Saratov,
О СИНЕРГЕТИЧЕСКОМ ЭФФЕКТЕ В ИНТЕГРАЛЬНЫХ СИЛЛОГИСТИКАХ
Сидоренко О.И.
Кандидат физико-математических наук, главный конструктор, Общество с ограниченной ответственностью научно-производственное предприятие «Анфас»,
Саратов, Россия,
Abstract
The causes of the synergistic effect of increasing the number of strong modes in the integral syllogistic the traditional type, the kinds of syllogistic that can be given effect, and detail the technology of creation of an integrated syllogistic method of calculation of the resulting relations on the example of the protological fragment from 56 basis of judgments without the third and fourth degree of uncertainty, in which a synergistic effect is most clearly.
Аннотация
Рассмотрены причины возникновения синергетического эффекта увеличения числа правильных сильных модусов в интегральных силлогистиках традиционного типа, определены разновидности силлогистик, в которых возможен данный эффект и подробно рассмотрена технология построения интегральных силлогистик методом вычисления результирующих отношений на примере построения протологического фрагмента из 56 базисных суждений без третьей и четвертой степени неопределенности, в котором синер-гетический эффект проявляется наиболее ярко.
Keywords: syllogism, integral syllogistic, resulting relations, solution of syllogisms, constructing syllogis-
tics.
Ключевые слова: силлогизм, интегральная силлогистика, результирующие отношения, решение силлогизмов, построение силлогистик.
Введение. Силлогистика как исторически первый раздел науки логики создана великим древнегреческим мыслителем Аристотелем более 2000 лет назад. В то время это была единственная силлогистическая система из четырех категорических суждений с логическими формами, получившими обозначения А, Е, I, О, c 19-ю сильными правильными модусами силлогизма, в которых заключение следует из истинных посылок с необходимостью при любых конкретных терминах [1]. В современной силлогистике сложилось представление, что имеют право на существование интегральные силлогистики с различной интерпретацией смыслов составляющих её суждений и с большим разнообразием и числом правильных модусов из них [2]. Впервые о синергетическом эффекте в интегральных силлогистиках упоминается в монографии автора [3] как об эффекте порождения новых правильных модусов в результате добавления к суждениям Аристотеля суждений Теофраста, У. Гамильтона, Дж. Венна, А. де Моргана и Н.А. Васильева с другой логической структурой. В данной статье синергетический эффект в силлогистике рассматривается в несколько другом аспекте как эффект увеличения числа пра-
вильных сильных модусов за счет возможной неоднозначности равноправных результатов при силлогистическом взаимодействии базисных суждений интегральной силлогистики.
Целью настоящей статьи является определение причины указанного синергетического эффекта в интегральных силлогистиках традиционного типа с ограничениями на термины в части непустоты и неуниверсальности, и типа силлогистик, в которых возможно проявление данного эффекта, а также подробное рассмотрение технологии построения интегральных силлогистик методом вычисления результирующих отношений на примере построения протологического фрагмента из 56 суждений традиционного типа ТИС-56 без суждений третьей и четвертой степени неопределенности, в котором рассмотренный эффект проявляется наиболее ярко. При этом считается, что увеличение числа правильных модусов в силлогистике является положительным результатом, поскольку в целом приводит к увеличению вероятности правильных дедуктивных выводов, осуществляемых человеком при рассуждениях, хотя неоднозначность результатов несколько усложняет этот процесс [4]. Отметим, что взаимодействие суждений может иногда приводить
и к прямо противоположному эффекту уменьшения числа правильных модусов за счет образования так называемых «силлогистических дыр». Проведенные автором исследования показали, что с этой точки зрения существуют силлогистики четырех типов: силлогистики только с положительным результатом синергетического эффекта, силлогистики только с отрицательным результатом этого эффекта, силлогистики одновременно с положительным и отрицательным результатами и силлогистики, в которых синергетический эффект полностью отсутствует. Примером силлогистики первого типа является силлогистика ТИС-56, построенная в настоящей статье. Примером силлогистики второго типа является общеизвестная традиционная силлогистика из четырех суждений Аристотеля, в которой встречаются нарушения силлогистической плотности результатов типа «силлогистическая дыра», когда заключением силлогизма при вычислениях результирующих отношений являются суждения, отсутствующие в силлогистике и истинные не на всех семи отношениях между терминами суждения (см. далее). Примером силлогистики третьего типа является силлогистика ТИС-24МР из 24 простых суждений с максимальной реализуемостью в протологической системе ТИС-126 [5]. Примерами силлогистик четвертого типа без синергетических эффектов являются совершенные силлогистические системы, рассмотренные в монографии автора [3].
Суть метода вычисления результирующих отношений. Метод вычисления результирующих отношений был предложен автором в работе [6] и, по существу, является формализацией метода проверки правильности силлогизмов с помощью модельных схем со сведением доказательства правильности силлогизма к более простому процессу его решения. Метод основан на тезисе Альфреда Тарского о том, что понимать суждение означает
знать условия его истинности [7], в качестве которых принимаются теоретико-множественные отношения между терминами суждения со стороны их объемов. При ограничениях на термины в части непустоты и неуниверсальности, характерных для силлогистик традиционного типа, для зафиксированного универсума рассуждений таких отношений существует всего 7 (так называемые отношения Кейнса [8]). Семантика указанных отношений представлена в таблице 1, где каждому отношению присвоен номер в виде десятичного эквивалента двоичного числа, соответствующего столбцу значений в таблице истинности данного отношения. Отношения между терминами в посылках силлогизма порождают вполне определенные результирующие отношения в заключении (одно или несколько), которые можно вычислять аналитически по логическим формулам отношений в посылках, либо просто выписывать их из заранее подготовленной ключевой таблицы 2 правил порождения результирующих отношений в традиционных сил-логистиках подобно тому, как мы пользуемся таблицей умножения в арифметике. По аналогии с арифметикой такую таблицу целесообразно называть таблицей умножения отношений в силлогистике. Однако, в отличие от чисел, результаты умножения отношений не всегда являются однозначными и в общем случае зависят от порядка следования сомножителей, так как для них не выполняется коммутативное свойство умножения. Метод вычисления результирующих отношений сводит доказательство правильности силлогизма к более простому процессу его решения. В силлогистике решение силлогизмов обеспечивается благодаря её разрешимости, доказанной Леопольдом Лёвенгей-мом для теории одноместных предикатов [9]. В процессе решения мы получаем или результаты решения при их наличии, или явные признаки того, что никакого решения из данных посылок при данном базисном множестве суждений не существует.
Таблица 1
Семантика отношений Кейнса в традиционной силлогистике с фиксацией универсума рассуждений
S 0 0 1 1 Наименование Логическая формула отношения
P 0 1 0 1 отношения
6 0 1 1 0 Противоречивость Б'Р+БР'
И 7 0 1 1 1 Дополнительность Б+Р
в 9 1 0 0 1 Равнообъемность Б'Р'+БР
и н 11 1 0 1 1 Обратное включение Б+Р'
а (D 13 1 1 0 1 Прямое включение Б'+Р
S о к 14 1 1 1 0 Соподчинение Б'+Р'
15 1 1 1 1 Перекрещивание Б'Р'+Б'Р+БР'+БР = 1
Примечание. 0 - отсутствие свойства, соответствующего терминам, и запрещённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; 1 - наличие свойства, соответствующего терминам, и разрешённая комбинация свойств, соответствующих отношениям; «'» - отрицание, «• » - конъюнкция, «+» - дизъюнкция.
Таблица 2
Правила порождения результирующих отношений в традиционных силлогистиках
№ Посылки SM, MP Заключение SP № Посылки SM, MP Заключение SP
1 6, 6 9 26 11, 13 7,9,11,13,15
2 6, 7 13 27 11, 14 6,7,11,14,15
3 6, 9 6 28 11, 15 7,11,15
4 6, 11 14 29 13, 6 14
5 6, 13 7 30 13, 7 6,7,13,14,15
6 6, 14 11 31 13, 9 13
7 6, 15 15 32 13, 11 9,11,13,14,15
8 7, 6 11 33 13, 13 13
9 7, 7 7,9,11,13,15 34 13, 14 14
10 7, 9 7 35 13, 15 13,14,15
11 7, 11 6,7,11,14,15 36 14, 6 13
12 7, 13 7 37 14, 7 13
13 7, 14 11 38 14, 9 14
14 7, 15 7,11,15 39 14, 11 14
15 9, 6 6 40 14, 13 6,7,13,14,15
16 9, 7 7 41 14, 14 9,11,13,14,15
17 9, 9 9 42 14, 15 13,14,15
18 9, 11 11 43 15, 6 15
19 9, 13 13 44 15, 7 7,13,15
20 9, 14 14 45 15, 9 15
21 9, 15 15 46 15, 11 11,14,15
22 11, 6 7 47 15, 13 7,13,15
23 11, 7 7 48 15, 14 11,14,15
24 11, 9 11 49 15, 15 6,7,9,11,13,14,15
25 11,11 11
Базисное множество суждений силлогистики ТИС-56 представлено в таблице 3 с интерпретацией кванторных слов в явном виде, союз «или» в логических формах суждений понимается в разделительном смысле. В таблице 3 суждения обозначены семантическими номерами, представляющими собой десятичные эквиваленты семиразрядного двоичного кода, соответствующего логической структуре данного суждения, в котором разряды соответствуют теоретико-множественным отношениям между терминами и перечислены в лексикографи-
ческом порядке, начиная с отношения противоречивости 6 (старший разряд) и заканчивая отношением перекрещивания 15 (младший разряд). В отличие от логической формы логическая структура суждения обладает одним замечательным свойством - единственностью представления. Суждения с одной и той же логической структурой, но с разными логическими формами считаются эквивалентными. Отметим также, что суждение с конкретными терминами вместо букв в его логической форме истинно только на одном каком-то отношении.
Таблица 3
Логическая
Семантический номер суждения структура суждения (условия истинности) Логическая форма суждения (одна из возможных)
64 6 Все суть все не Р
32 7 Все не 5 суть (не суть) только некоторые Р
16 9 Все 5 суть все Р
8 11 Только некоторые 5 суть (не суть) все Р
4 13 Все 5 суть (не суть) только некоторые Р
2 14 Все 5 суть (не суть) только некоторые не Р
1 15 Только некоторые 5 и не 5 суть (не суть) только некоторые Р
96 6,7 Всякие не 5 не суть не Р
80 6,9 Все 5 суть все Р или не Р
72 6,11 Все 5 суть все не Р или только некоторые 5 суть (не суть) все Р
Семантический номер суждения Логическая структура суждения (условия истинности) Логическая форма суждения (одна из возможных)
68 6,13 Все Б суть все не Р или все Б суть (не суть) только некоторые Р
66 6,14 Всякие Б не суть Р
65 6,15 Все Б суть все не Р или только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
48 7,9 Все не Б суть (не суть) только некоторые Р или все Б суть все Р
40 7,11 Все не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
36 7,13 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р
34 7,14 Все не Б суть (не суть) только некоторые Р или все Б суть (не суть) только некоторые не Р
33 7,15 Только некоторые Б суть (не суть) только некоторые Р
24 9,11 Всякие Р суть Б
20 9,13 Всякие Б суть Р
18 9,14 Всякие Б суть Р или все Б суть (не суть) только некоторые не Р
17 9,15 Всякие Б суть Р или только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
12 11,13 Только некоторые Б суть (не суть) все Р или все Б суть (не суть) только некоторые Р
10 11,14 Все Б или не Б суть (не суть) только некоторые не Р
9 11,15 Только некоторые Б суть (не суть) только некоторые не Р
6 13,14 Все Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
5 13,15 Только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые Р
3 14,15 Только некоторые не Б суть (не суть) только некоторые не Р
31 9,11,13,14,15 Неверно, что всякие не Б не суть не Р
47 7,11,13,14,15 Неверно, что все Б суть все Р или не Р
55 7,9,13,14,15 Неверно, что все Б суть все не Р или только некоторые Б суть (не суть) все Р
59 7,9,11,14,15 Неверно, что все Б суть все не Р или все Б суть (не суть) только некоторые Р
61 7,9,11,13,15 Неверно, что всякие Б не суть Р
62 7,9,11,13,14 Неверно, что все Б суть все не Р или только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
79 6,11,13,14,15 Неверно, что все не Б суть (не суть) только некоторые Р или все Б суть все Р
87 6,9,13,14,15 Неверно, что все не Б суть (не суть) только некоторые Р или не Р
91 6,9,11,14,15 Неверно, что все Б или не Б суть (не суть) только некоторые Р
93 6,9,11,13,15 Неверно, что все не Б суть (не суть) только некоторые Р или все Б суть (не суть) только некоторые не Р
94 6,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) только некоторые Р
103 6,7,13,14,15 Неверно, что всякие Р суть Б
107 6,7,11,14,15 Неверно, что всякие Б суть Р
109 6,7,11,13,15 Неверно, что всякие Б суть Р или все Б суть (не суть) только некоторые не Р
110 6,7,11,13,14 Неверно, что всякие Б суть Р или только некоторые Б и не Б суть (не суть) только некоторые Р
115 6,7,9,14,15 Неверно, что только некоторые Б суть (не суть) все Р или все Б суть (не суть) только некоторые Р
Семантический номер суждения Логическая структура суждения (условия истинности) Логическая форма суждения (одна из возможных)
117 6,7,9,13,15 Неверно, что все 5 или не 5 суть (не суть) только некоторые не Р
118 6,7,9,13,14 Неверно, что только некоторые 5 суть (не суть) только некоторые не Р
121 6,7,9,11,15 Неверно, что все 5 суть (не суть) только некоторые Р или не Р
122 6,7,9,11,14 Неверно, что только некоторые не 5 суть (не суть) только некоторые Р
124 6,7,9,11,13 Неверно, что только некоторые не 5 суть (не суть) только некоторые не Р
63 7,9,11,13,14,15 Неверно, что все 5 суть все не Р
95 6,9,11,13,14,15 Неверно, что все не 5 суть (не суть) только некоторые Р
111 6,7,11,13,14,15 Неверно, что все 5 суть все Р
119 6,7,9,13,14,15 Неверно, что только некоторые 5 суть (не суть) все Р
123 6,7,9,11,14,15 Неверно, что все 5 суть (не суть) только некоторые Р
125 6,7,9,11,13,15 Неверно, что все 5 суть (не суть) только некоторые не Р
126 6,7,9,11,13,14 Неверно, что только некоторые 5 и не 5 суть (не суть) только некоторые Р
Представленное в таблице 3 базисное множество обладает свойством содержательной полноты, так как для любого суждения в базисном множестве имеется его контрадикторное отрицание. Кроме того, данное базисное множество обладает свойством силлогистической полноты, заключающимся в том, что при наличии в его составе суждения, истинного на отношении 11, оно содержит также суждение, с такой же логической структурой по остальным отношениям, истинное на отношении 13, и наоборот. Указанное свойство позволяет ограничиться вычислениями результирующих отношений только для первой фигуры силлогизма. Свойства содержательной и силлогистической полноты вместе с силлогистической плотностью и однозначностью результатов характерны для совершенных силлогистических систем [3], но является ли таковой силлогистика ТИС-56 ещё предстоит выяснить при её построении.
Алгоритм вычисления результирующих отношений применительно к поставленной задаче построения силлогистики ТИС-56, то есть выявления, как минимум, всех её двухпосылочных законов (сильных правильных модусов), состоит в следующем:
1. Для каждой упорядоченной пары суждений-посылок силлогизма из базисного множества суждений выписывают их обозначения и в скобках указывают логические структуры суждений в виде перечисления десятичных номеров отношений между терминами со стороны их объемов, при которых соответствующие посылкам суждения являются истинными. При этом в первой посылке субъектом и предикатом являются термины 5 и М, а во второй -М и Р, что соответствует первой фигуре силлогизма с переставленными посылками относительно общепринятой записи, где М - средний термин, а 5 и Р -крайние термины силлогизма.
2. Для декартова произведения отношений в посылках выбранной пары суждений из ключевой таблицы 2 выписывают результирующие отношения (одно или несколько), порождаемые посылками в конфигурации SM-MP, соответствующей первой фигуре силлогизма. Справедливость правил порождения результирующих отношений, представленных в таблице 2, доказана полным перебором всех модельных схем для трех терминов силлогизма, а также аналитически [10].
3. Для полученных по п. 2 результирующих отношений составляют перечень (Р.О.), в который включают только разные отношения без повторений.
4. Из базисного множества суждений выписывают те из них, условия истинности которых покрывают полученные результирующие отношения (т.е. включают их в себя).
5. Из нескольких возможных решений выбирают «самое сильное», обладающее наименьшей степенью неопределенности, т.е. меньшим числом отношений в логической структуре суждения.
6. Для представления результата в общепринятой форме, соответствующей конфигурации посылок MP-SM, при необходимости переставляют посылки местами.
7. Для получения результатов в других фигурах силлогизма, не производя самих вычислений, используют отмеченное выше свойство силлогистической полноты базисного множества суждений силлогистики ТИС-56, то есть осуществляют взаимную замену суждений 4 ^ 8, 68 ^ 72, 36 ^ 40, 20 ~ 24, 6 ~ 10, 3 ~ 9, 55 ~ 59, 87 ~ 91, 103 ~ 107, 117 ^121, 118 ~ 122, 53 ~ 54 для второй фигуры - во второй посылке, для третьей фигуры - в первой посылке, для четвертой фигуры - в обеих посылках одновременно и выписывают результат вычислений для первой фигуры.
Для выявления всех правильных модусов в силлогистике с 56 базисными суждениями рассмотренным методом необходимо произвести 56*56 = 3136 вычислений. Если же следовать по пути отбраковки неправильных модусов или по пути доказательства правильности модусов аксиоматическим методом, то потребовалось бы в общем случае проанализировать 56*56*56 = 175616 модуса в каждой фигуре силлогизма, что вручную вряд ли возможно. Ниже приведены примеры вычислений для первой фигуры силлогизма для характерных случаев, отличающихся степенью неопределенности посылок и заключений в модусах силлогизма. Правильные сильные модусы выделены.
Вычисления
Правильные сильные модусы
1. 1, 1 ^ 1 (всего 32 случая).
64(6), 64(6) ^ 16(9);
6.6 ^ 9;
Р.О.: 9.
2. 1,1 ^ 5 (всего 8 случаев).
32(7), 32(7) ^ 61(7,9,11,13,15);
7.7 ^ 7,9,11,13,15;
P.O.: 7,9,11,13,15.
3. 1, 5 - неоднозначность результата (всего 8*6= 48 случаев).
32(7), 1(15) ^ 47(7,11,13,14,15); 59(7,9,11,14,15); 61(7,9,11,13,15);
107(6,7,11,14,15); 109(6,7,11,13,15);
121(6,7,9,11,15);
7,15 ^ 7,11,15;
P.O.: 7,11,15.
4. 1,2 ^ 1 (всего 9 случаев).
32(7), 66(6,14) ^ 8(11);
7,6 ^ 11; 7,14 ^ 11;
Р.О.: 11.
5. 2,1 ^ 1 (всего 9 случаев).
96(6,7), 4(13) ^ 32(7);
6,13 ^ 7; 7,13 ^ 7;
Р.О.: 7.
6. 1, 2 ^ 2 (всего 58 случаев).
64(6), 96(6,7) ^ 20(9,13);
6,6 ^ 9; 6,7 ^ 13;
Р.О.: 9,13.
7. 2, 1 ^ 2 (всего 58 случаев).
96(6,7), 16(9) ^ 96(6,7);
6,9 ^ 6; 7,9 ^ 7;
Р.О.: 6,7.
8. 1, 2 ^ 5 (всего 44 случая).
32(7), 96(6,7) ^ 61(7,9,11,13,15);
7.6 ^ 11; 7,7 ^ 7,9,11,13,15;
Р.О.: 7,9,11,13,15.
9. 2, 5 (всего 44 случая).
96(6,7), 32(7) ^ 61(7,9,11,13,15);
6.7 ^ 13; 7,7 ^ 7,9,11,13,15;
Р.О.: 7,9,11,13,15.
10. 1, 2^-5 - неоднозначность результата (всего 26*6=156 случаев).
32(7), 65(6,15) ^ 47(7,11,13,14,15); 59(7,9,11,14,15); 61(7,9,11,13,15);
107(6,7,11,14,15); 109(6,7,11,13,15);
121(6,7,9,11,15);
7,6 ^ 11; 7, 15 ^ 7,11,15;
Р.О.: 7,11,15.
11. 2, 1 ^5 - неоднозначность результата (всего 26*6=156 случаев)
96(6,7), 1 (15) ^ 47(7,11,13,14,15); 59(7,9,11,14,15); 61(7,9,11,13,15);
107(6,7,11,14,15); 109(6,7,11,13,15);
121(6,7,9,11,15);
6,15 ^ 15; 7,15 ^ 7,11,15; Р.О.: 7,11,15.
12. 1, 5 ^ 5 (всего 88 случаев).
64(6), 31(9,11,13,14,15) ^ 107(6,7,11,14,15); 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15;
Р.О.: 6,7,11,14,15.
13. 5, 1 ^ 5 (всего 88 случаев). 31(9,11,13,14,15), 64(6) ^ 103(6,7,13,14,15); 9,6 ^ 6; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14, 6 ^ 13; 15,6
^ 15;
Р.О.: 6,7,13,14,15.
14. 1, 5 ^5 - неоднозначность результата (всего 4*6=24 случая).
32(7), 87(6,9,13,14,15) ^ 47(7,11,13,14,15); 59(7,9,11,14,15); 61(7,9,11,13,15);
107(6,7,11,14,15); 109(6,7,11,13,15);
121(6,7,9,11,15);
7.6 ^ 11; 7, 9 ^ 7; 7,13 ^ 7; 7,14 ^ 11; 7,15 ^ 7,11,15;
Р.О.: 7,11,15.
15. 5, 1 ^5 - неоднозначность результата (всего 4*6=24 - случая).
91(6,9,11,14,15), 32(7) ^ 47(7,11,13,14,15); 55(7,9,13,14,15); 61(7,9,11,13,15);
103(6,7,13,14,15); 109(6,7,11,13,15);
117(6,7,9,13,150;
6.7 ^ 13; 9,7 ^ 7; 11,7 ^ 7; 14,7 ^ 13; 15,7 ^ 7,13,15;
Р.О.: 7,13,15.
16. 1, 6 ^ 5 (всего 9 случаев).
32(7), 95(6,9,11,13,14,15) ^ 107(6,7,11,14,15);
7.6 ^ 11; 7,9 ^ 7; 7,11 ^ 6,7,11,14,15; 7,13 ^ 7; 7,14 ^ 11; 7,15 ^ 7,11,15;
Р.О.: 6,7,11,14,15.
17. 6, 1 ^ 5 (всего 9 случаев). 95(6,9,11,13,14,15), 32(7) ^ 103(6,7, 13,14,15);
6.7 ^ 13; 9,7 ^ 7; 11,7 ^ 7; 13,7 ^ 6,7,13,14,15; 14,7 ^ 13; 15,7^ 7,13,15;
Р.О.: 6,7,13,14,15.
18. 1, 6^ 6 (всего 14 случаев).
64(6), 63(7,9,11,13,14,15) ^
111(6,7,11,13,14,15);
6,7 ^ 13; 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15;
Р.О.: 6,7,11,13,14,15.
19. 6, 1 ^ 6 (всего 14 случаев). 63(7,9,11,13,14,15), 64(6) ^
111(6,7,11,13,14,15);
7,6 ^ 11; 9,6 ^ 6; 11,6^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15;
Р.О.: 6,7,11,13,14,15.
20. 2, 2 ^ 2 (всего 21 случай). 96(6,7), 66(6,14) ^ 24(9,11);
6,6 ^ 9; 6,14 ^ 11; 7,6 ^ 11; 7,14 ^ 11; Р.О.: 9,11.
21. 2, 2 ^ 5 (всего 141 случай). 96(6,7), 96(6,7) ^ 61(7,9,11,13,15);
6,6 ^ 9; 6,7 ^ 13; 7,6 ^ 11; 7,7 ^ 7,9,11,13,15; Р.О.: 7,9,11,13,15.
22. 2, 2^-5 - неоднозначность результата (всего 91^3=273 случая).
96(6,7), 80(6,9) ^ 121(6,7,9,11,15); 122(6,7,9,11,14); 124(6,7,9,11,13);
6,6 ^ 9; 6,9 ^ 6; 7,6 ^ 11; 7,9 ^ 7; Р.О.: 6,7,9,11.
23. 2, 2 ^ 5 - неоднозначность резуль-тата(всего 51*6=306 случаев).
96(6,7), 68(6,13) ^ 59(7,9,11,14,15); 61(7,9,11,13,15); 62(7,9,11, 121(6,7,9,11,15); 122(6,7,9,11,14); 124(6,7,9,11,13); 6,6 ^ 9; 6,13 ^ 7; 7,6 ^ 11; 7,13 ^ 7; Р.О.: 7,9,11.
24. 2, 2 ^ 6 (всего 51 случай). 96(6,7), 72(6,11) ^ 123(6,7,9,11,14,15);
6,6 ^ 9; 6,11 ^ 14; 7,6^ 11; 7,11 ^ 6,7,11,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,14,15.
25. 2, 5 ^ 5 (всего 21 случай).
96(6,7), 31(9,11,13,14,15) ^ 107(6,7,11,14,15); 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; 7,9 ^ 7; 7,11 ^ 6,7,11,14,15;
7,13 ^ 7; 7,14 ^ 11; 7,15 ^ 7,11,15; Р.О.: 6,7,11,14,15.
26. 5, 2 ^ 5 (всего 21 случай). 31(9,11,13,14,15), 96(6,7) ^ 103(6,7,13,14,15);
9.6 ^ 6; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; 9,7 ^ 7; 11,7 ^ 7;
13,7 ^ 6,7,13,14,15; 14,7 ^ 13; 15,7 ^ 7,13,15; Р.О.: 6,7,13,14,15.
27. 2, 5 ^ 6 (всего 70 случаев).
96(6,7), 55(7,9,13,14,15) ^ 125(6,7,9,11,13,15);
6.7 ^ 13; 6,9 ^ 6; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; 7,7 ^ 7,9,11,13,15; 7,9 ^ 7;
7,13 ^ 7; 7,14 ^ 11; 7,15 ^ 7,11,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,15.
28. 5, 2 ^ 6 (всего 70 случаев). 55(7,9,13,14,15), 68(6,13) ^ 111(6,7,
11,13,14,15);
7,6 ^ 11; 9,6 ^ 6; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; 7,13 ^ 7; 9,13 ^ 13;
13,13 ^ 13; 14,13 ^ 6,7,13,14,15; 15,13 ^ 7,13,15;
Р.О.: 6,7,11,13,14,15.
29. 2, 6 ^ 6 (всего 9 случаев).
96(6,7), 95(6,9,11,13,14,15) ^
123(6,7,9,11,14,15);
6,6 ^ 9; 6,9 ^ 6; 6,11 ^ 14; 6,13 ^ 7; 6,14 ^ 11; 6,15 ^ 15; 7,6 ^ 11; 7,9 ^ 7;
7,11 ^ 6,7,11,14,15; 7,13 ^ 7; 7,14 ^ 11; 7,15 ^ 7,11,15;
Р.О. 6,7,9,11,14,15.
30. 6, 2 ^ 6 (всего 9 случаев). 95(6,9,11,13,14,15), 96(6,7) ^
119(6,7,9,13,14,15);
6,6 ^ 9; 9,6 ^ 6; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; 6,7 ^ 13; 9,7 ^ 7;
11,7 ^ 7; 13,7 ^ 6,7,13,14,15; 14,7 ^ 13; 15,7 ^ 7,13,15;
Р.О.: 6,7,9,13,14,15. Неправильные модусы
1. 1, 1 ^ - (всего 1 случай). 1(15), 1(15) ^ -;
15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
2. 1, 2 ^ - (всего 10 случаев). 11(11,14,15), 2(14) ^ -;
11.14 ^ 6,7,11,14,15; 14,14 ^ 9,11,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
3. 2, 1 ^ - (всего 10 случаев). 65(6,15), 1(15) ^ -;
15.15 ^ 6,7,9,11,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
4. 1, 5 ^ - (всего 55 случаев). 32(7), 47(7,11,13,14,15) ^ -;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7,11, 14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
5. 5, 1 ^ - (всего 55 случаев). 31(9,11,13,14,15), 4(13) ^ -;
11,13 ^ 7,9,11,13, 15; 14,13 ^ 6,7,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
6. 1, 6 ^ - (всего 26 случаев). 32(7), 63(7,9,11,13,14,15) ^ -;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7,11, 14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
7. 6, 1 ^ - (всего 26 случаев). 63(7,9,11,13,14,15), 32(7) ^ -;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; 13,7 ^ 6,7,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
8. 2,2 ^ - (всего 86 случаев). 96(6,7), 40(7,11) ^ -;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7,11,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
9. 2, 5 ^ - (всего 350 случаев). 96(6,7), 47(7,11,13,14,15) ^ -;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7, 11,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
10. 5, 2 ^ - (всего 350 случаев). 31(9,11,13,14,15), 80(6,9) ^ -;
9.6 ^ 6; 11,6 ^ 7; 13,6 ^ 14; 14,6 ^ 13; 15,6 ^ 15; 9,9 ^ 9; 11,9 ^ 11; 13,9 ^ 13;
14,9 ^ 14; 15,9 ^ 15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
11. 2, 6^ - (всего 138 случаев). 96(6,7), 63(7,9,11,13,14,15) ^ -;
7.7 ^ 7,9,11,13,15; 7,11 ^ 6,7,11,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
12. 6, 2 ^ - (всего 138 случаев). 63(7,9,11,13,14,15), 96(6,7) ^ -;
7,7 ^ 7,9,11,13,15; 13,7 ^ 6,7,13,14,15; Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
13. 5, 5 ^ - (всего 441 случай). 31(9,11,13,14,15), 31(9,11,13,14,15) ^ -; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
14. 5, 6 ^ - (всего 147 случаев). 31(9,11,13,14,15), 63(7,9,11,13,14,15) ^ -; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
15. 6, 5 ^ - (всего 147 случаев). 63(7,9,11,13,14,15), 31(9,11,13,14,15) ^ -; 15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
16. 6, 6 ^ - (всего 49 случаев).
63(7,9,11,13,14,15), 63(7,9,11,13,14,15) ^ -;
15,15 ^ 6,7,9,11,13,14,15;
Р.О.: 6,7,9,11,13,14,15.
Результаты вычислений в традиционной интегральной силлогистике ТИС-56 сведены в таблицу 4, в которой представлено число модусов данной силлогистики в зависимости от степени неопределенности суждений в посылках и заключении модуса. При вычислениях обнаружены случаи нарушения силлогистической плотности ре-
зультатов типа неоднозначность», которые представлены выше в зависимости от степени неопределенности суждений. При нарушении типа «неоднозначность результата» заключениями являются несколько равноправных суждений, имеющихся в базисном множестве данной силлогистики, но истинные не только на вычисленных результирующих отношениях. Именно в этом проявляется си-нергетический эффект от взаимодействия терминов суждений в силлогистике со стороны их объемов. Число сильных правильных модусов, возникающее благодаря синергетическому эффекту, указано в соответствующих графах таблицы 5 после знака «+».
Таблица 4
Результаты вычислений в традиционной интегральной силлогистике ТИС-56
№ Степень неопре-делён- ности посылок Число правильных сильных модусов в зависимости от степени неопределенности заключения Общее число правильных сильных модусов Число непра- виль-ных модусов при вычислениях Общее число модусов
1 2 5 6
1 1,1 32 - 8+48 - 40+48 1 49
2 1,2+2,1 18 116 88+312 - 222+312 20 294
3 1,5+5,1 - - 176+48 - 176+48 110 294
4 1,6+6,1 - - 18 28 46 52 98
5 2,2 - 21 141+579 51 213+579 86 441
6 2,5+5,2 - - 42 140 182 700 882
7 2,6+6,2 - - - 18 18 276 294
8 5, 5 - - - - - 441 441
9 5,6+6,5 - - - - - 294 294
10 6,6 - - - - - 49 49
11 Е 50 137 473 237 897+987 2029 3136
Выводы
1. Построенный традиционный протологиче-ский фрагмент ТИС-56 содержит 1884 правильных сильных модусов в каждой фигуре силлогизма 30 типов в зависимости от степени неопределенности суждений и значности результата, из которых 897 модусов имеют однозначный результат и 987 -неоднозначный двух типов: с тремя и с шестью равноправными заключениями . По дедуктивным возможностям он значительно превышает известные силлогистики и может служить им хорошей альтернативой. Его показатель дедуктивной продуктивности, понимаемый как отношение числа всех сильных правильных модусов в четырех фигурах силлогизма к числу базисных суждений, равен 134,6 в то время как, например, в традиционной силлогистике из четырех суждений Аристотеля этот показатель составляет 4,75, в обобщенной силлогистике Венна из семи суждений - 18,3 [2], в силлогистике ТИС-24МР из 24 простых суждений -40,7 [5].
2. В процессе вычислений при построении силлогистики ТИС-56 выявлены случаи нарушения силлогистической плотности результатов типа неоднозначности равноправных заключений семи разновидностей (см. вычисления), что свидетельствует о том, что данная силлогистическая система не является совершенной, несмотря на то, что она
обладает свойствами содержательной и силлогистической полноты. Возникающее при этом фактическое удвоение числа правильных сильных модусов можно трактовать как действие синергетиче-ского эффекта взаимодействия терминов суждений данной силлогистики со стороны их объемов.
3. В статье на конкретном и интересном для дедуктивной практики примере продемонстрировано применение пока ещё мало известного, к сожалению, семантического метода решения силлогизмов путем вычисления результирующих отношений, чрезвычайно эффективного по сравнению с альтернативным аксиоматическим методом также для верификации, реконструкции и построения новых силлогистических систем и с учетом [11] весьма привлекательного для реализации в системах искусственного интеллекта.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1. Аристотель. Аналитики. Перевод с греческого Б.А. Фохта. Мн.: Современное слово, 1998. 448 с.
2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Силлогистические теории. М.: Прогресс-Традиция, 2010. 336 с.
3. Сидоренко О.И. Логические исследования в интегральных силлогистиках: Монография. Саратов: Издательский Центр "Наука", 2020. 360 с.
4. Сидоренко О.И. О многозначности в силлогистике // Университет им. В.И. Вернадского. Вопросы современной науки и практики. №4 (54), 2014. С. 53-62.
5. Sidorenko O. On the construction of traditional integral syllogistics from 24 simple judgments with maximum realizability in the protological system // German International Journal of Modern Science. №5, 2021. P. 58-66.
6. Сидоренко О.И. Тайна силлогизма. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000. 68 с.
7. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М.: Изд-во Иностранной литературы, 1948. 326 с.
8. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная логика. М.: Изд-во МГУ, 1984. 136 с.
9. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. 400 с.
10. Сидоренко О.И. Введение в аналитическую силлогистику: Монография. Саратов: Издательский Центр «Наука», 2016. 230 с.
11. Патент РФ №39722. Силлогистический процессор / Сидоренко О.И. Заявлено 15.03.2004. Опубликовано 10.05.2004. Бюллетень №22. С 20.
