О существовании решения задачи фильтрации с многозначным законом в неоднородной среде при наличии точечного источника Текст научной статьи по специальности «Математика»

Том 153, кн. 1

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

2011

УДК 517.957

О СУЩЕСТВОВАНИИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ С МНОГОЗНАЧНЫМ

ЗАКОНОМ В НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА

С.С. Алексеев, O.A. Задворпов

Аннотация

Сформулировала обобщенная задача фильтрации в неоднородной области при наличии точечного источника для жидкости, следующей многозначному закону с линейным ростом па бесконечности. При исследовании использовано аддитивное выделение особенности. связанной с сингулярностью правой части. Поле давления ищется в виде суммы известного решения некоторой линейной (ассоциированной с исходной) задачи с точечным источником в правой части и неизвестного «добавка». Относительно «добавка» задача сведена к вариационному неравенству второго рода в гильбертовом пространстве. Доказано существование решения.

Ключевые слова: нелинейная фильтрация, многозначный закон, неоднородная среда, точечный источник, вариационное неравенство.

Введение

Настоящая работа посвящена исследованию обобщенной задачи, возникающей при математическом моделировании нелинейной стационарной фильтрации несжимаемой жидкости, следующей многозначному закону фильтрации (см.. например. [1. 2]). в произвольной неоднородной ограниченной области при наличии точечного источника. Предполагается, что функция, определяющая закон фильтрации, имеет линейный рост на бесконечности. Неоднородность среды моделируется зависимостью физического закона от точек области фильтрации.

В работах [3 5] обобщенная задача фильтрации с разрывным законом формулируется в виде вариационного неравенства с оператором, действующим (в случае линейного роста закона на бесконечности) из соболевского пространства Ш^П) (П - область фильтрации) в сопряженное к нему. Доказано существование решения. когда функция, описывающая плотность внешних источников, определяет линейный непрерывный функционал над пространством Ш^ (П).

В настоящей работе проводится исследование с менее гладкой правой частью: в неодномерном случае дельта-функция Дирака, моделирующая точечный источник, не принадлежит пространству, сопряженному к Ш^ (П). Обобщенная задача формулируется в виде вариационного неравенства относительно неизвестного поля давления из пространства (П)

с дельта-функцией, и относительно неизвестного «добавка» задача сводится к вариационному неравенству второго рода в гильбертовом пространстве. Доказана теорема существования.

Отметим, что обобщенная задача фильтрации несжимаемой жидкости в однородной области при наличии точечного источника исследовалась в работах [6, 7]. В настоящей работе в части исследования, связанного с зависимостью физического закона от точек пространства, был использован подход, предложенный в [8].

1. Постановка задачи

Рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде. Фильтрация происходит в области О С М", п > 2, с липшиц-непрерывной границей Г, на которой давление считается известным, при наличии точечного источника интенсивности q в начале координат (считаем, что начало координат - внутренняя точка О).

Необходимо найти стационарные поля давления р и скорости у жидкости, удовлетворяющих уравнению неразрывности

ёгуу(х) = q3(x), х € О, 3 — дельта-функция Дирака, (1)

и граничному условию

р (х) = Ро(х), х € Г, (2)

в предположении, что жидкость следует многозначному закону фильтрации (см., например, [1 5])

-г,(х) € Цх, |Ур , х € П. (3)

|Ур (х)|

Считаем, что многозначная функция Н может быть представлена в виде:

н(х,е) = д(х,е) + ^(х) н(е — в(х)), х € о, е € м+,

где в : О ^ М+ = {е € М1 : е ^ 0} и $ : О ^ М+ - заданные функции из Ьто(0), Н : М1 ^ М1 - многозначная функция следующего вида

Г о, е < о, н(е) € |[о, 1], е = о, (4)

1л е> о.

Относительно функции д : О х М+ ^ М+ предполагаем, что выполнены условия Каратеодори [9, с. 196]:

(I) для почти всех х € О функция е ^ д(х, е) непрерывна при е € М+;

(II) для каждого е € М+ функция х ^ д(х, е) измерима на О,

функция также имеет линейный рост на бесконечности, то есть существуют постоянная > 0 и функция ¿1 € ¿2(О) такие, что

д(х, е) < к1е + ¿1(х) Vе € М+ дляп.в.х € О, (5)

и, кроме того, выполнено условие монотонности, неотрицательности

д(х,е) ^ д(х, С) V е>С ^ 0, д(х, 0) = 0 для п .в.х € О, (6)

и коэрцитивпости, то есть существуют постоянная к2 > 0 и функция ¿2 € ¿2(0) такие, что

д(х,е) > ^2 е+¿2(х), Vе € м+, Vх € о. (7)

Кроме того, считаем, что существуют функция ¿0 € ¿2(0), постоянные к0, а, удовлетворяющие условиям:

п — 2

ко >0, а > а* = —при п >2, (8)

д

I д(х,е) — ко е | < с | х |ае+¿о(х), Vе € м+, Vх € вг(0) с о. (9)

Здесь г, с — положительные постоянные, Br (y) = {x £ Rn : |x — y| < r}.

Считаем также, что для почти всех x £ П имеет конечное значение следующий предел:

lim (10)

Предполагаем, что функция p0 : Г ^ R1 имеет продолжение (используем для пего то же обозначение) в область П, удовлетворяющее условию

po е W21)(П). (и)

Перейдем теперь к построению вариационной формулировки задачи (1) (3). Пусть p и v - решения этой задачи. Соотношение (3) означает, что для почти всех x £ П выполнено равенство

v(x) = ~(д(х, IVp (х)|) + т(х))-^Ф1, т(х) £ г)(х) H(\Vp (х)| - /3(х)). (12)

|Vp(x)|

Из (1) очевидным образом получаем следующее вариационное равенство

— У (v(x), Vn(x)) dx = q J J(x) n(x) dx Vn £ C0°(П), (13)

n n

и с учетом (12) имеем, что

9»7(0) = - f(v(x),VV(x))äx= [ (д{х> т(ж) Vp (ж), dx =

J J \ |Vp(x)| у

n

(x)

. ' , (Vp(x), V(??(x) +p(x)) — Vp(x)) dx < |Vp (x)|

n

< /^^(Vp(x),V,?(x))dx + n

+ J m(x) [ |V(n(x)+ p (x))| — |Vp (x)| ] dx Vn £ C(14) n

Так как m(x) £ $(x) H(|Vp (x)| — e(x)), то для почти всех x £ Q получаем, что

m(x) [ |V(n(x) + p (x))| — |Vp (x)| ] =

= m(x) [ (|V(n(x) + p (x))| — e(x)) — (|Vp (x)| — e(x))] <

< 0(x) [/(|V(n(x) + p (x))|— e(x)) — /(|Vp (x)|— e(x))] . Здесь функция / : R1 ^ R1 имеет следующий вид

f 0, £< 0,

М0 = Г ' (15)

U, е > о,

и является субпотенциалом функции Н, то есть

Ж) - МО > £* (С - О Vг е н(£), Vс е м1. (16)

Следовательно, выполнено неравенство: J т(ж) [ |У(п(ж) + р (ж))| — |Ур (ж)| ] ¿ж ^

^ У 0(ж) [^(|У(п(ж)+ р(ж))| — в(ж)) — ^(|Ур(ж)| — в(ж))] ¿ж п

Vп е с0(п). (17)

Из неравенств (14) и (17) получаем, что если функции р, V удовлетворяют р

п

+ J #(ж) ^(|У(п(ж) + р(ж))| — в(ж)) ¿ж — п

— 10(ж) ^(|Ур(ж)| — в(ж)) ¿ж > 9п(0) Vп е с0(П), (18) п

В связи с этим под решением обобщенной стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей многозначному закону фильтрации, при наличии точечного источника интенсивности q будем понимать функцию (поле давления) р е Ш^^П), удовлетворяющую (2) (в смысле равенства следов функций) и вариационному неравенству (18).

Ниже будет доказано существование решения этого вариационного неравенства, а также будет установлено существование поля скорости V, удовлетворяющего вариационному равенству (13) и связанного с решением задачи (2), (18) соотношением (3).

2. Существование решения

о (1)

Решение задачи (18) будем искать в виде р = ф + и, где функция и е Ш 2 (П) является неизвестной, а функция ф является решением следующей задачи:

найти ф е Ш 11)(П) : ф (ж) = р0 (ж), ж е Г,

ко У (Уф(ж), Уп(ж)) ¿ж = qn(0) Vп е со(п). п

Учитывая (11), из (19) (см., например, [8]) имеем, что

Сп \х\

и выполнены включения

(19)

I ^Ф(х) I < -ПГТтЬт' ж е п > 2' °п > 0, (20)

ф е Ш1(1)(п), ф е Ш2(1)(п\ве(0)) Vе> 0, п > 2. (21)

С учетом равенства (19) задача (18) сводится к следующей:

найти и еШ 2 )(П) :

|У(ф + и) (ж)

(У(ф + и)(ж), Уп(ж)) ¿ж +

+ J #(ж) ^(|У(п + ф + и)(ж)| — в(ж)) ¿ж — п

-/„IV,ф + и„ж)| — Я.)) * > п

> к^(Vф(ж), Vn(ж)) ¿ж V п е (П). (22) п

Далее покажем, что эта задача сводится к вариационному неравенству в гильбертовом пространстве с монотонным коэрцитивным оператором, и поэтому разрешима.

о (1)

Пусть V =Ш 2 (П) - гильбертово пространство со скалярным произведением и соответствующей ему нормой, задаваемыми по формулам:

1/2

(и, т)у = У^и, Vw) ¿ж, ||и||у = J V'

' ¿ж

п

и, т е V.

(23)

Определим форму а : V х V ^ М1 следующим образом: 'д(ж, |V(ф + и)(ж)|)

л(и, V) = У

|V(ф + и) (ж)

V(ф + и)(ж) — k0Vф(ж), Vv(ж) ¿ж, (24)

где ф е Ш<11)(П) - решение задачи (19).

Для проверки корректности этого определения так же. как и в [8]. введем в рассмотрение и исследуем функцию С : П х Мп ^ Мп,

С(х, А) = д(х, |Уф{х) + А|) ^^ + * - к0Уф(х), ж € П, А € М". (25)

|Vф(ж) + А|

Поскольку функция д удовлетворяет условиям Каратеодори (1), (11), (5) и условию (10), а функция ф принадлежит пространству Ш^(П), то выполнены условия

С

(I) для почти всех ж е П функция А ^ С(ж, А) непрерывна при А е Мп

(II) для каждого А е Мп функция ж ^ С(ж, А) измерима на П. Далее, пользуясь неравенствами (9), (20), получаем:

|С(х, А)| = (д(х, |Щ(х) + А|) - к0\Щ(х) + А|) ^'¡^ + к0Х

|Vф(ж) + А|

^ д(ж, |Vф(ж) + А|) — kо|Vф(ж)+ А| + ко |А| < < с | ж |а^ф(ж) + А| + ¿о(ж)+ ко |А| < с Сп

<

<

|ж|

п— 1 — а

+ ¿о(ж) + (с | ж |а + ко) |А| <

< ¿(ж) + (с |г|а + ко) |А| V А е Мп, Vж е Вг(0). (26)

Из неравенства (8) имеем, что 2(1 + а — n) > —n, следовательно, функция x ^ |x|1+a-n принадлежит L2 (Br(0)), а значит, и функция d = |x|1+a-n + d0 принадлежит пространству L2(Br (0)). Пользуясь условием (5), получаем:

|G(x,A)| = |(g(x, |Уф(х)+ А|)| + ko|V0(x)| < ki|V^(x)+ A| + di(x) + ko|V#x)| < < k1 |A| + (k1 + k0)|V^(x)| + d1(x) = k1 |A| + d(x), VА e Rn, Vx e 0\Br(0),

где функция d(x) = (k1 + k0)|V^(x)| + d1(x) принадлежит L2(Q\Br(0)). Таким образом, имеем (здесь к = max{(c |r|a + k0), k1}) :

Wu-v)|=U(G(xVu(x)),Vv(x)) dxl ^|G(x'Vu(x))| |Vv(x)| dx <

^ J (Ф0+ к |Уи(х)|) |^(х)| ¿ж < (^^(п) + к ||и||у] |М|у. (27) п

Форма (24) по второму аргументу линейна и в силу неравенства (27) ограничена, а следовательно, непрерывна. Поэтому в силу теоремы Рисса Фишера эта форма порождает оператор А : V ^ V,

(Аи^)у = а(и, V) Vи, V € V. (28)

Свойства этого оператора содержит следующая

Лемма 1. Пусть функция д удовлетворяет, условиям Каратеодори (1), (11) и

А

рывным, ограниченным,, монотонным, и коэрцитивным, а именно выполнено неравенство:

(Аи, и - V V > К |М|2 - М (Ну|М|у + |М|у + 1), Vи, V € V. (29) где положительные постоянные К, М не зависят, от и, V. Доказательство. Определение (28) с учетом (25) имеет вид

(Аи^)у = J (С(ж, Уи(ж)), Vv(ж)) ¿ж Vи, V € V. (30)

п

Поскольку функция С удовлетворяет условиям Каратеодори (I) и (II), оператор А : V ^ V является непрерывным (см. [9, с. 213]). Далее из (27), (28) получаем оценку:

||Аи||у < Йксп) + к|Мк. А

Ад (Аи — Av, и — v)у = а(и, и — V) — а^, и — V) =

9(х, \У{Ф + '")!) + +У(</> + у), У(</> + и)-У(ф + с1х^

|V(^ + u)| У |V(^ + v)

> | (g(x, |V(^ + u)|) — g(x, |V(^ + v)|)) (|V(^ + u)| — |V(^ + v)|) dx > 0.

Докажем теперь неравенство (29). На множестве Вг (0), пользуясь неравенствами (9). (20). получаем:

(С(х, А), А) = ^(х, |Уф{х) + А|) - к0\Чф{х) + А| ] ^^ + * + к0А, а) >

^ -

g(x, |V^(x) + А|) - ко|Уф(х)+ А| |А| + ko |А|2 >

> -[c | x |a|W(x) + А| + do(x)] |А| + ko |А|2 >

> (| ж | n-i-a + М^ |А| + (ко - с | х Г) |А|2 V A G М".

Выберем е > 0 так, чтобы выполнялось пер авенство ko — c | x |а ^k > 0 при x G Be(0); тогда

(G(x, А), А) > k | А |2 + dk\(x) | А | Vx G B6(0), А G Rn, (31)

где функция ¿i(x) = cCn | x | !+a-n + do(x) принадлежит пространству L2(B (0)). Далее, пользуясь условиями (5) и (7), получаем

(G(x, А), А) = (д(х, |Уф{х) + А|) - к0Щ(х), А + Уф{х) - Уф(х)) >

V |V^(x)+А| )

> g(x, |V^(x)+ А|) |V^(x) + А| — g(x, |V^(x) + А|) |V0(x)| - ko(V^(x), А) > > k2|Vф(x)+А|2 +d2(x) ^ФИ+АН^^фф+А^(x))|V^(x)|-ko(W(x), А) > > k21А|2 - [|d2(x)| + |V^(x)| (k2 + ki + ko)] |А| -- [(k2 + ki) |V^(x)| + |d2(x)| + ki|di(x)| ] |V^(x)| =

= k2 | А | 2 + dki(x) | А | + d^x), V А G Rn, Vx G П\Вб(0), (32)

где функция di принадлежит простр анству L2(Q\Be(0)), а функция d2 - пространству Li(Q\Be(0)).

Из (31), (32) следует существование функций с^ G L2(Q), d2 G Li(O) таких, что (здесь d = min{k, k2})

(G(x, А), А) > d | А |2 + d^x) | А | + d^x) Vx G О, А G Rn. (33)

Используя (33) и £-неравенство, имеем:

(A»,»)v ilv-WI2 + iM |Vu(i) | + iw * >

Q

£2\ f , 1

[ d--j I I V'u(x) |2 dx — J di(x) dx — f ci2(x)

2

dx.

Q Q Q

£>0

(A«,« - v)v = a(u, u) - a(u, v) > (d - —^j \\u\\^ - ^ INi |||2(П) ~ II d2 Ць^п) -l2(q) + 1Й1 wq) |M|v) ||vHV > K ||иПч2 - M (Ну||vHv + ||vHу + 1).

Далее определим функционал Г : V ^ М1 по формуле:

ГМ = / + ф)(х)|-в(х)) ¿х V. е К (34,

п

Пользуясь (15) и (21). получаем следующую оценку:

|Г(«)| < 1М|Ьте(п) + Ф)Уы(п) V. е V,

следовательно, эффективной областью определения функционала Г является все пространство V.

Установим теперь свойства введенного функционала.

Лемма 2. Функционал Г : V ^ М1, определенный в (34) является выпуклым и липшиц-непрерывным, а именно выполнено неравенство:

| Г(и) - Г(.) | < Ь ||и - «Ну, V«,. е V где Ь = (шев^)1/2 |М|^(п). (35)

Доказательство. Функция определенная в (15), является выпуклой и неубывающей, и поэтому для любого р е [0,1] и любых векторов х, у, г е Мп справедливо неравенство

м(| рх + (1 - р) у + г | - в) < Мр I х + ^ | + (1 - р) |у + г | - рв - (1 - р) в) <

< рМ(| х + г | - в) + (1 - р) м(|у + г | - в),

из которого при х = V« у = V., г = Vф следует, что

Г(ри + (1 - р).) = / ОД ММри + (1 - р)« + ф)(х)| - в(х)) * <

п

^ I ^(х)[рМ(^(и + ф)(х)| - в(х)) + (1 - р) + ф)(х)| - в(х))] ¿х =

п

= рГ(«) + (1 -р)Г(«), Vр е [0,1], Vи,« е V.

Для произвольных £ выполнено неравенство |^(£) - м(С)| < |£ - С К а значит,

|Г(и) - Г(«)| ^ У 0(х) |м(^(и + ф)(х)| - в(х)) - + ф)(х)| - в(х))| ¿х <

п

< / 11 ^+ф)(х) | -| +ф)(х) 11 * < / | ^ - «)(х) их <

пп

< 1Н1ьте(п) (шевП)1/2 Ни - «Ну,

то есть функционал является липшиц-непрерывным. □

Основным результатом данного параграфа является следующая

Теорема 1. Пусть выполнены условия (1), (11), (5) (10). Тогда: 1)

2) Если р - решение задачи (18), то р = ф + и, где функция и является некоторым решением задачи (22), о ф - решение задачи (19).

Доказательство. Очевидным образом устанавливается эквивалентность задачи (22) следующей вариационной задаче:

найти и е V : (Аи, V — и)у + ^(«) - ^(и) > 0 V V е V. (36)

Из леммы 1 следует выпуклость и слабая полунепрерывность снизу функционал ^ : V ^ М1 (см. [10]). По лемме 2 оператор А : V ^ V - монотонный, непрерывный н коэрцитивный. Поэтому существование решения вариационного неравенства (36), выпуклость и замкнутость множества его решений, а следовательно, и задачи (22), устанавливается стандартным образом (см., например, [10, 11]).

Пусть р - решение задачи (18), ф - решение задачи (19). Положив и = р — ф, получаем, что и является решением задачи (22). □

3. Существование поля скоростей фильтрации

Определим функционал у : М п ^ М1 по формуле у (у) = $ м(Ы — 3) > гДе Функция ^ задается соотношением (15), а Д - неотрицательные константы. Так же, как и при доказательстве леммы 2, устанавливается, что функционал у является выпуклым и липшиц-непрерывным, следовательно, субднфференцнруемым. Докажем, что

у(у + г) — у(у) > (у*, г) Vу, г е Мп, (37)

где у* е Мп удовлетворяет соотношению

|у| У* е 3Н(|у| — Д) у, (38)

которое определяет субдифференциал ду(у) функционала у в точке у.

Справедливость (38) при 3 = 0 следует непосредственно из вида субдифференциала нормы (см. [12, с. 58]). Пусть 3 > 0. Положим

¿(у) =

|у| — |у| >

|у| < /5.

Заметим, что функционал £ : Мп ^ М1 дифференцируем по Фреше, в частности ¿'(у) = у/|у| при |у|

Ясно, что у(у) = $^(¿(у)). В силу предложения 1 [12, с. 221] и теоремы 2 [12, с. 223] имеем равенство

ду(у) = 3 [¿'(у)]* дМ*(у))

и с учетом (16) получаем ду(у) = $ Н(|у| — ,5) у/|у|, то есть (38).

р

функция V : [^]п ^ М1 (поле скоростей), принадлежащая пространству [Ь1(П)]п, такая, что выполнено включение (3) и вариационное равенство (13).

Доказательство. Введем функционал Ф: У = [ Ь1(П)]п ^ М1 по формуле

Ф(х) = У $(х) м(|х(ж)| — в(х)) ¿ж, х е У. п

Очевидно, что функционал Ф является выпуклым, непрерывным, следовательно, субдифференцируемым, и ёошФ = Y. Пусть х* G дФ(х) С Y*(=

= [ L TO(Q)]n):

У^(х)[м(|(х + ^)(x)| - в(х)) - М№(*)|- в(х))] dx ^(х*,ф) dx Vф G Y. (39) n n

Последнее неравенство выполняется тогда и только тогда, когда для произвольной функции ф G Y

$(x) [М1(х + Ф)(х)| — в(х)) — ^(|ф(х)| — в(х))] > (х*, ф) почти всюду на П. (40)

Действительно, пусть найдутся функция фо G Y и множество По, mes По > 0 такие, что

$(x) [м(|(х + Ф)(х)| - в(х)) - м(|Ф(х)| - в(х))] < (х*,Фо) почти всюду па По. Положим

ф(х) iфо(х), x G Q0,

V \o, x G Q \ По.

Тогда

У $(x)[м(|(х + ф)(х)| - e(x)) - м(|ф(х)|- e(x))] - (х*(х),ф(х)) dx =

= J $(x) [М(|(х + ф)И| - e(x)) - м(|ФИ| - e(x)) ] - (x*(x), ф(x)) dx < 0,

По

что противоречит (39).

Зафиксируем некоторою точку x G Q, для которой выполнено неравенство (40), положим $ = $(x), в = e(x), y = x(x) • Тогда из (40) следует, что имеет место неравенство (37), где y* = X*(x). Следовательно, в силу (38) найдется такое число m = m (x) G H (|x(x)| - в)) чт0 выполнено равенство:

|x(x)| X* (x) = $(x) fn(x) x(x). (41)

x

цию m : Q ^ R1, удовлетворяющую равенству (41) почти всюду па Q и, очевидно, принадлежащую пространству Lœ(Q).

Пусть теперь u - решение задачи (22), а значит, удовлетворяет вариационному неравенству (36). Таким образом, выполнено включение

-Au G dF(u). (42)

Введем функцию ф = Уф G Y. Тогда F (u) = Ф(ф + Ли), где Л = V : V ^ Y -линейный непрерывный оператор. Имеем (см. [10])

dF (u) =Л*дФ(ф + Лu).

Таким образом, соотношение u* G dF(u) означает существование такой функции m G Lœ(Q), m(x) G H(^(x) + Vu(x)| - e(x)) для п.в. x G Q, что

f (Vu*(x), V?y(x)) ¿x = [ (ê(x) т(х)-^Р^ЩгУф)] dx V ?? G Y. (43) J J \ |ф(x) + Vu(x)| y

n n

Из этого соотношения и (42) следует, что

J (д{х, \У{Ф + '»-)WD ^ - к0Уф(х), dx+

n

+ J (-&(x) iTi(x) ^ ц)(г')| ' V'?(X)) = ° (M)

n

Отсюда с учетом (19) получаем вариационное равенство (13), где

Vp(x) |VP(x)|

Пользуясь неравенством (5), получаем оценку

|v(x)| ^ k(x)|V(^ + u)(x)| + di(x) + |$(x) m(x)| для п.в. x £ П, следовательно, v G [Li(i}) ]" . □

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Х- 09-01-97015, 10-01-00728).

Summary

S.S. Alekseev, О.А. Zadvurnuv. Existence of Solutions of Filtration Problems with MultiValued Law in Nonliomogeneous Media in the Presence of a Point Source.

We formulate a generalized problem of filtration of incompressible fluid governed by a multivalued law with a linear growth at infinity in nouhomogeueous media in the presence of a point source. We used an additive selection of a feature associated with the singularity of the right side. The solution is represented in the form of the sum of the known solution of a certain linear problem with a point source in the right side, and the unknown term. As for the unknown term, the problem is reduced to the solution of mixed variational inequality in Hilbert. space. The existence theorem is proved.

Key words: nonlinear filtration, multi-valued law, nouhomogeueous media, point source, variational inequality.

Литература

1. Алигиаеа М.Г. О стационарной фильтрации с начальным градиентом // Теория и практика добычи нефти. М.: Недра, 1968. С. 202 211.

2. Берна,uduuep М.Г., Ентоа В.М. Гидродинамическая теория аномальных жидкостей. М.: Наука, 1975. 199 с.

3. Карчеаский М.М., Badpv.ee И.Б. Нелинейные задачи теории фильтрации с разрывными монотонными операторами // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: Изд-во ИТПМ СО АН СССР, 1979. Т. 10, Л» 5. С. 63 78.

4. Лапин, А.В. Об исследовании некоторых нелинейных задач теории фильтрации // Жури, вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19, Л' 3. С. 689 700.

5. Ляшко А.Д., Eadpuea И.Б., Карчеаский М.М. О вариационном методе для уравнений с разрывными монотонными операторами // Изв. вузов. Матем. 1978. Л' 11. С. 63 69.

6. Задиориои O.A. Исследование нелинейной стационарной задачи фильтрации при наличии точечного источника// Изв. вузов. Матом. 2005. Л' 1. С. 58 63.

7. Бадриеи И.Б., Задиориои O.A. Исследование стационарной задачи фильтрации с многозначным законом при наличии точечного источника // Дифферепц. уравнения. 2005. Т. 41, Л» 7. С. 874 880.

8. Задиориои O.A. Существование решения квазилинейной эллиптической краевой задачи при наличии точечных источников // Учен. зап. Казап. уп-та. Сор. Физ.-матом, пауки. 2010. Т. 125, кп. 1. С. 155 163.

9. Вайиберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.

10. Эклаид И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

11. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

12. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

Поступила в редакцию 20.12.10

Алексеев Сергей Сергеевич аспирант кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: SAlekseyQksu.ru

Задворнов Олег Анатольевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Oley.ZadvornovQksu.ru