CC BY
31
Том 154, kii. 1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2012
УДК 517.957
О СВОЙСТВАХ ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ТОЧЕЧНОГО ИСТОЧНИКА
O.A. Задворпов, Г.О. Задворпова
Аннотация
Исследованы свойства решения нелинейной задачи фильтрации в неоднородной пористой среде при наличии точечного источника для жидкости, следующей закону с лилейным ростом па бесконечности. При формулировке обобщенной постановки задачи использовано аддитивное выделение особенности, связанной с сингулярностью правой части. Поле давления представлено в виде суммы известного решения некоторой линейной (ассоциированной с исходной) задачи с точечным источником в правой части и неизвестного «добавка». Установлена непрерывность по Гельдеру второго слагаемого.
Ключевые слова: нелинейная фильтрация, неоднородная среда, точечный источник, непрерывность по Гельдеру.
Введение
Настоящая работа посвящена исследованию свойств решения обобщенной задачи. возникающей при математическом моделировании установившегося процесса фильтрации несжимаемой жидкости в произвольной неоднородной ограниченной области при наличии точечного источника. Предполагается, что функция, определяющая закон фильтрации, имеет линейный рост на бесконечности. Неоднородность среды моделируется зависимостью функции от точек области фильтрации.
Из [1] следует, что решение рассматриваемой нелинейной задачи может быть представлено в виде суммы известного решения некоторой линейной (ассоциированной с исходной) задачи с точечным источником в правой части и неизвестного «добавка». Свойства первого слагаемого как решения эллиптического уравнения с дельта-функцией в правой части в значительной степени известны. В настоящей работе изучаются свойства гладкости второго слагаемого, являющегося решением нелинейной задачи с монотонным оператором. Мы устанавливаем, используя результаты о гладкости решения эллиптической краевой задачи, непрерывность по Гельдеру «добавка». Дополнительная гладкость этого слагаемого может быть использована в обосновании приближенных методов решения исходной задачи, в частности при исследовании сходимости ее конечномерной аппроксимации.
1. Постановка нелинейной задачи фильтрации при наличии точечного источника
Рассматривается краевая задача описывающая установившийся процесс фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде. Фильтрация происходит в области О С К", п ^ 2, с липшиц-непрерывной границей дО, на которой давление считается известным, при наличии точечного источника интенсивности д в начале
О СВОЙСТВАХ ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ.
163
координат (считаем. ио ограничивая общности, что начало координат внутренняя точка П):
-сИу у«,(ж)) = дд{х)7 х ео, (1)
ш(ж) = ш7(ж), ж € дП. (2)
Относительно функции д : П х М+ ^ М+ = (г € М1 : г ^ 0}, задающей связь между давлением и скоростью фильтрации, предполагаем, что выполнены условия Каратеодори [3. с. 196]:
(I) для почти всех ж € П функция г ^ д(ж,г) непрерывна при г € М+;
(II) для каждого г € М+ функция ж ^ д(ж, г) измерима на П;
д
к0 > 0 и функция 60 € ЬР(П), р ^ 2, такие, что
| д(ж,г) - к0 г | < Ь0(ж) Vг € М+, Vж € П. (3)
д
д(ж,г) > д(ж, в) V г>в > 0, V ж € П, (4)
и липшиц-непрерывна: существует постоянная Ь > 0 такая, что
|д(ж, г) - д(ж, в)| < Ь | в - г | Vг € М+, Vж € П. (5)
Предполагаем также, что существует функция ш(ж) € ^2(1)(П) со следом на дП, удовлетворяющим равенству
и>(ж) = ш7, ж € дП. (6)
Запишем вариационную формулировку задачи (1), (2):
найти ги € И^П) : / V«;, У?^ с1х = д^О) V»? €
ш(ж) = ш7, ж € дП.
Из работы [1] следует, что если 60 € Ь2(П) (60 - функция из условия (3)), то решение задачи (7) существует и может быть представлено в виде суммы ш = £+и. Здесь функция £ являете решением линейной краевой задачи (к0 — постоянная из неравенства (3))
(найти £ € ^/(П) : к0 / ( У£(ж), Уп(ж)) ¿ж = ^(0) Vп € С^(П), < п (8) [£(ж) = ш7, ж € дП,
о (1)
а функция и € ^ 2 (П) является решением следующей задачи:
9 (|^(1+;;)(;У)1) + ")(*) - ко Щ( ж), У??(ж)) с1х = 0 У^ет!^). (9) ^(£ + и)(ж)| )
п
Краевая задача (8) для уравнения Лапласа с точечным источником достаточно хорошо изучена и свойства ее решения известны (см., например, [2]).
164
О.А. ЗАДВОРНОВ, Г.О. ЗАДВОРНОВА
2. Исследование задачи фильтрации
Цолыо настоящей работы является изучение свойств гладкости решения задачи (9). Далее рассмотрим задачу, частным случаем которой является (9). Пусть вектор-функция У = (у1? у2, • • •, Уп) локально-интегрируема на множестве О
|У| е Ь1,юс(О). (10)
о (1)
Будем изучать задачу поиска функции п е Ш 2 (О) такой, что выполнено вариационное тождество
'д{х,\¥{х)+Уи{х)\)
|У(х) + У«(х)| (1 п
- коУ(х), Уп(х)) ¿ж = 0 Vп е Ш°21)(О). (11) Основным результатом настоящей работы является следующая
Теорема 1. Пусть д удовлетворяет условиям (1)-(Ш), (4), (5), функция У -условию (10), тогда задача (11) имеет решение.
Если дополнительно выполнено неравенство р > и, то это решение будет
непрерывно по Гельдеру в любой подобласти области О с показателем, зависящим р
Доказательство. Вначале установим справедливость второй части теоремы. Преобразуем вариационное равенство (9) к виду
I (к0 V«, V??) ¿,х = I (ко (У + V«) - (У + V«), V»?) сЬ. (12)
п п
п
ВД = (У(х) + Уи(.г-)) - + е (13)
Из неравенства (3) вытекает оценка
|^и(х)| = |ко |У(х)+ Уп(х)|- д (х, |У(х) + Уп(х)|)| < Ьо(х), Vх е О. (14)
п
Дирихле
< о (1)
найти п е Ш 2 )(О) : к0Дп(х) = ^„(х), х е О,
(15)
кп(х) =0, х е дО
с правой частью, удовлетворяющей условию |^„| е ЬР(О), р ^ 2. Теперь, пользуясь известными свойствами решения краевой задачи (15) (см., например, [4, с. 250]), р > и п
Существование решения доказывается так же, как и в [1], путем сведения задачи
о (1)
(11) к уравнению с монотонным и коэрцитивным оператором. Пусть V =Ш2 (О) — гильбертово пространство со скалярным произведением и соответствующей ему нормой, задаваемыми по формулам:
(п, = / (Уп, Уш) ¿х, ||п||у
| Уп |2 ¿х
1/2
п, V е V. (16)
пп
О СВОЙСТВАХ ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЯ.
165
Определим оператор A : V ^ V следующей формой:
'д (x, |Y + Vu|)
(Au,v)v = J
(Y + Vu) - koY, V^di u, v e V. (17)
|Y + Vu| о
Корректность определения (17) следует из (I) (III). (10) и неравенства д (x, |Y(x) + А|)
|Y (x) + А|
(Y(x) + А) - koY(x)
д (x, |Y(x) + А|)
(Y(x) + А) - ko (Y(x) + А) + ko А
<
|Y (x) + А|
|д (x, |Y(x) + А|) (Y(x) + А) - ko (Y(x) + А)|
<
|Y (x) + А|
ko |А| <
< bo(x)+ ko|А| VА e Rn, Vx e
Монотонность оператора А следует из условия (4), а коэрцитнвность является следствием следующего неравенства (е - произвольная положительная постоянная):
(Au, u)v
д (x, |Y + Vu|)
|Y + Vu|
(Y + Vu) - koY, V^ dx
д (x, |Y + Vu|)
(Y + Vu) - ko(Y + Vu), V^ dx + ko J |Vu|2 dx >
|Y + Vu|
> - J Ьо(ж)|У«| dx + k0 J |V«|2 dx :::г (k0 - ^ \\ufy -
\\bo\\l2 2s
Пользуясь теорией монотонных операторов [5, с. 95], получаем существование решения операторного уравнения Аи = 0, а следовательно, и задачи (11). □
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты Д*1' 10-01-00728, 12-01-97022, 12-01-31515).
Summary
O.A. Zatlvornov, G.O. Zadvornova. On the Smoothness Properties of the Solution of a Nonlinear Filtration Problem in the Presence of a Point Source.
The properties of the solution of a nonlinear filtration problem in inhomogeneous porous media in the presence of a point source for a fluid obeying a law with a linear growth at infinity are studied. Additive selection of the feature connected with the singularity of the right-hand side is used. The pressure field is represented as the sum of the known solution of some linear (associated with the original) problem with a point source on the right-hand side and the unknown "additive term". Holder continuity of the second term is established.
Key words: nonlinear filtration, inhomogeueous medium, point source. Holder continuity.
166
O.A. ЗАДВОРНОВ, Г.О. ЗАДВОРНОВА
Литература
1. Задиориои O.A. Существование решения квазилинейной эллиптической краевой задачи при наличии точечных источников // Учен. зап. Казан, ун-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2010. Т. 125, кп. 1. С. 155 163.
2. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 348 с.
3. Вайиберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.
4. Ладыженская O.A., Уральцеиа H.H. Липейпые и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.
5. Гаевский X., Греаер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.
Поступила в редакцию 06.02.12
Задворнов Олег Анатольевич доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: Oley.ZadvornovQksu.ru
Задворнова Галина Олеговна студент кафедры вычислительной математики Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: ozadvornQksu.ru
