CC BY
3ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ FUNDAMENTAL RESEACHES
УДК 621.37/39:534
О существовании поперечных акустоэлектрических волн типа Стоунли и возможности их применения в акустонаноэлектронике
А.К. Мороча, А.С. Рожков
Национальный исследовательский университет «МИЭТ», г. Москва, Россия
On Existence of Transversal Acoustoelectric Waves of Stoneley Type and Possibility of their Application in Acoustonanoelectronics
A.K. Morocha, A.S. Rozhkov
National Research University of Electronic Technology, Moscow, Russia
Для пьезогетерослоев кристаллов кубической симметрии впервые найдено аналитическое решение задачи Стоунли. Новые типы акустоэлектрических волн в отличие от классических волн Стоунли плоско поляризованы в направлении, ортогональном сагиттальной плоскости. Электрическое поле волны в каждом из слоев эллиптически поляризовано в сагиттальной плоскости. Применение новых типов акустоэлектрических волн позволит существенно расширить функциональные возможности современных акустоэлектронных устройств и напрямую связано с переходом от акустоэлектроники к акустонаноэлектронике, соответствующей нанометровому интервалу длин волн с несущей частотой порядка сотен гигагерц.
Ключевые слова: волны Стоунли; акустоэлектрическая волна; фазовая скорость; параметры распространения; сагиттальная плоскость; эллиптическая поляризация; гетероструктура.
For the first time the Stoneley's problem has been analytically solved for cubic symmetry piezoheterolayers. The new types of acoustoelectrical waves, in contrast to the classical waves of Stoneley, are plane-polarized in direction, orthogonal to sagital plane. The electrical field of wave in each layer is elliptically polarized in sagital plane. An application of the new types of acoustoelectric waves will permit to broaden the functional abilities of modern acoustoelectric devices and, is directly connected with transition from acoustoelectronics to
© А.К. Мороча, А.С. Рожков, 2017
nano acoustoelectronics, corresponding to nanometer interval of wave length with a bearing frequency of about hundreds of gigahertz.
Key words: Stoneley waves, acoustoelectric wave, phase velocity, propagation parameter, sagital plane, elliptical polarization, heterostructure.
Введение. В настоящее время идея применения волн Стоунли в интегральной аку-стоэлектронике может быть успешно реализована на основе современной технологии выращивания совершенных гетероструктур. Внутренняя граница контактирующих слоев гетероструктур используется в качестве волновода, вдоль которого с минимальными потерями распространяется акустоэлектрическая волна типа Стоунли. Если толщина гетерослоя на порядок больше длины волны, то его внешняя граница не возмущается акустоэлектрическим полем волны и может использоваться для формирования параллельного канала. Легко реализуются два или более параллельных бездисперсионных каналов. Длине электромагнитной волны, равной 0,3 см, соответствует акустоэлектрическая волна с длиной порядка 10 нм, поэтому толщина гетерослоя должна быть не менее 100 нм. С помощью гетерослоев нанометровой толщины можно создавать пьезо-преобазователи поперечного типа для возбуждения акустоэлектрических волн нанометрового диапазона.
Интегральные устройства аналоговой обработки сигналов на поверхностных волнах [1, 2] реализуются и на волнах типа Стоунли. При этом существенно увеличиваются несущая частота, информационная емкость и надежность. Один из контактирующих пьезоэлектрических гетерослоев используется для возбуждения акусто-электрической волны, в пьезополупроводниковом гетерослое эта волна усиливается внешним электрическим полем и обрабатывается в реальном масштабе времени. Таким образом, функциональные возможности многослойных акустоэлектронных устройств на волнах типа Стоунли значительно расширяются. По существу, использование гетероструктур и акустоэлектрических волн, распространяющихся вдоль границы их контакта, связано с переходом от современной акустоэлектроники к акустонаноэлектронике, соответствующей нанометровому интервалу длин волн с несущей частотой порядка сотен гигагерц.
В настоящей работе рассматриваются кристаллы пьезоэлектриков. Для пьезополу-проводниковых кристаллов кубической симметрии задача о распространении новых типов поверхностных акустоэлектрических волн аналитически решена в работе [3]. Случаи контакта пьезоэлектриков ZnO и LiNbO3 на стеклянных подложках рассмотрены в работе [4]. Возможность использования в интегральной акустоэлектронике классических волн Стоунли рэлеевского типа исследована в работе [5].
Уравнения движения и граничные условия. Длины волн порядка десятков нанометров в сотни раз больше межатомных расстояний, поэтому для решения поставленной задачи используем фундаментальную систему уравнений электромеханической задачи для пьезокристаллов:
PU =V T,
Tij = CyklUkj + eyk Vk Ф, D, =-SqS j V j Ф + eVkUkj, V D, = 0, i, j = 1, 2, 3.
(1)
Здесь р - плотность пьезоэлектрика; и " ^ -я компонента вектора смещения единицы объема пьезоэлектрика; икк - тензор деформаций:
Г ди, ди, ^
и^ =■
Уд хк
д х
I У
Уг. =д/дхг.; Т, Суы - соответственно тензоры напряжений и модулей упругости; е^ - тензор пьезомодулей; Di - ия компонента вектора индукции электрического поля с потенциалом ф.
Систему уравнений (1) перепишем в виде замкнутой системы четырех уравнений для нахождения трех компонент вектора смещения ^г) и потенциала ф (г) :
д 2и
р _ 1 С1 11т ~ ~ еп1 1 ~ ~
д г д х д хт д х дх
д 2и,
д2 ф
д V
д х,д хп
1 ~ т
"5 0 5 1}
' 1 п
(2)
д2ф
дх дх
1 1
= 0.
Тензор модулей упругости СШт симметричен как по каждой паре индексов
Са1т = Скш1, так и по каждой из пар индексов Ск1т = С1шк . Поэтому принято каждую
пару индексов заменять одним и записывать компоненты тензора в виде матрицы 6 х 6. Для кристаллов кубической симметрии имеем
С
¡к1т I
( С С С 0 0 0 1
С С„ С 0 0 0
С С С„ 0 0 0
0 0 0 С С44 0 0
0 0 0 0 С С44 0
V 0 0 0 0 0 С С44 У
(3)
Аналогично после такой замены матрица тензора пьезомодулей имеет вид
гИ
(0 0 0 е14 0 0 1 0 0 0 0 е14 0
0 0 0 0 0 г
(4)
14 У
Матрица тензора диэлектрической проницаемости в кристаллах кубической симметрии имеет диагональный вид:
Ы = 5§;к =
(5 0 01 0 5 0 005
(5)
У
Найдем решение системы (2) в каждом из контактирующих кристаллов, соответствующее плоской поверхностной акустоэлектрической волне, распространяющейся в
е
I тп
произвольном направлении в базисной плоскости (100) [1]. Для верхнего кристалла, заполняющего верхнее полупространство ( х3 ^ 0 ), ищем решения вида
где
и(г, ^ = и(щ (г, I), и2 (г, I), 0),
щ (г; t) = щ ехр / [(^х1 +к2х2) - ш t]ехр (-акх3), / = 1,2, ф(г;^) = фехр/[(А:1х1 +к2х2) -ш^ехр(-/£хз).
(6)
Здесь I - параметр распространения, Яе I > 0; х3 - ось, направленная вдоль внешней нормали к плоскости (100), в которой волна (6) распространяется в направлении волнового вектора к( кщ, кщ ); щ, щ - направляющие косинусы волнового вектора.
Если подставить щ (г; t) и ф(г; t) в систему (2) и использовать свойства симметрии матриц (3)-(5), то получим систему трех линейных уравнений для нахождения комплексных амплитуд щ, щ и ф :
[( С11 -С44) щ2 + С44(1 -12) -ру2]г/1 + (С12 + С44) щ п2~2 -¡1 п2е14~ = 0, (С12 + С44) п2щщ + [(С11 - С44)п2 + С44(1 - 12) -ру2]~2 -¡1 ще14ф = 0, - И щ2е14щ - ¡¡щ 1 е14~2 + ее0(1 -12)ф = 0.
(7)
Фазовая скорость акустоэлектрической волны определяется из условия равенства нулю определителя этой системы, который в направлении [100] (п1 = 1, п2 = 0) существенно упрощается:
(С „- С444 ) + С444 (1 - I 2) - р V2 0
0
С44 (1 - I 2) - р V2
- ¡1 ей
0
- ¡1 е14 ее0(1 - 12)
= 0
(8)
0
При фиксированном I уравнение (8) равносильно двум линейным уравнениям относительно V2. Первое уравнение соответствует продольной волне и (щ(г, {), 0, 0), которая не является пьезоэлектрической:
(С п - С44) + С44 (1 -12) - р v2= 0.
Второе уравнение перепишем в виде
V2 = V,2 (1 -12 )[1 + п212 / (1 -12)2 ]. (9)
Уравнение (9) соответствует чистопоперечной акустоэлектрической волне с вектором смещения и (0, и(х1, х3; Г), 0), где
ы(хх,х3; 0 = ~ехр¡к ^ - vt) • ехр (-¡кх3), (10)
и потенциалом
ф(х1, х3; t) = фехр ¡к(х1 - vt)• ехр (-1 кх3 ). (11)
Выражения (10) и (11) относятся к верхнему полупространству ( х3 > 0 ), для нижнего полупространства ( х3 < 0 ) знак перед параметром распространения должен быть положительным. Далее все акустоэлектрические параметры нижнего полупространства будут обозначаться штрихом. Так, из определителя (8), записанного для нижнего полупространства, следует
V2 = у2(1 -1,2)[1 + П21 '2 / (1 -1 '2)21. (12)
Акустоэлектрические волны типа Стоунли в каждом из полупространств распространяются с одинаковой фазовой скоростью, поэтому
у2(1 - /2)[1+п212 / (1 - /2)2] = У2(1 - /,2)[1+ц'2/'2/(1 -1'2)2]. (13)
Условие непрерывности акустоэлектрических напряжений Г23 = Г2'3 с уче-
IХ3 —^+0 IХ3 —^—0
том условия непрерывности механических смещений вдоль границы контакта и п = и'I п = и дает
1х3 —+0 1х3 0
(1С 44 -1 'С44)ф - /е14ф+¡е[4ф> ' = 0. (14)
Условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрической индукции Ш = Ш равносильно уравнению
—^+0 IХ3 —^—0
'(е14 - е|4)ф + /в08ф +/'в08 'ф ' = 0. (15)
Из условия непрерывности механических смещений следует уравнение связи между комплексными амплитудами потенциалов ~ и ф ':
/ 'е;48(1 - / 2)ф + /е14 8 ' (1 - /' 2)ф ' = 0, (16)
из которого можно найти скачок акустоэлектрического потенциала Дф = ф - ф' на внутренней границе гетероструктуры. Система однородных линейных уравнений (14) - (16) определяет комплексные амплитуды акустоэлектрической волны типа Стоунли. Из равенства нулю определителя этой системы
(/С44 / С44) '^14 '^14
'(е14 е14) /808 / 808
0 / ЗД1 - //е148' (1 - / '2)
= 0
можно найти связь между параметрами распространения контактирующих кристаллов.
Раскрыв определитель, можно пренебречь слагаемыми, пропорциональными . Тогда
/2е14(1 - /'2) - /' 2е[4(1 - /2) = 0. (17)
В этом приближении из равенства (13) следует
у2(1 - /2) - У2'(1 - п = 0. (18)
Из системы уравнений (17) и (18) получаем простые формулы для параметров распространения:
= е е -1, 1 = е' /е -1. (19)
е14/ е14 1 е14/ е14 1
Подставив эти величины в выражение (9) или (12), получим одинаковые формулы для фазовой скорости волны:
,2 21 - (е14 /e14)(Ví2/Ví2)
1 ем/ е14
(20)
Из уравнений (15) и (16), учитывая равенство (17), выразим комплексные амплитуды ф и ф' через комплексную амплитуду вектора смещения и :
— .8 1 (1С44 -1 С44)и —, ,
— = --77Г4—, 44 , ф = -¡(84 8 I )ф .
8 1 е14 + ¡8е14
В сагиттальной плоскости электрическое поле волны Е(Ех ,0, Е ) эллиптически поляризовано:
Ех = -¡'(ш/V)—, Еу = -I(ш / V)—, х > 0,
— (21)
Е'х = -/(ш/V)—' , Еу = I'(ш /v)ф ', х < 0.
Из (21) видно, что векторы электрического поля верхнего и нижнего полупространств когерентно вращаются в противофазе.
Критерии подбора пар контактирующих пьезокристаллов. Из формулы (20) для фазовой скорости легко установить критерий подбора пар контактирующих пьезокристаллов, допускающих существование обобщенных волн типа Стоунли. Формула (20) имеет физический смысл, если выражение дроби в правой части положительная величина. Эта дробь - функция двух безразмерных переменных: х = V2 /V2 и у = е'14 /е14. Если х > 1, то дробь положительная при выполнении двух систем неравенств: 0 < у < 1, ху < 1 и у > 1, ху > 1.
Из первой системы неравенств получаем действительные положительные значения параметров распространения (19), которым соответствует чистопоперечная акустоэлек-трическая волна типа Стоунли.
Для второй системы оба параметра распространения - чисто мнимые величины, которым соответствует волна нового типа. Эта волна в каждом из полупространств является объемной с модулированной амплитудой.
В случае когда у < 0 (один из пьезомодулей отрицательный), положительной величине фазовой скорости, вычисленной по формуле (20), соответствует еще одна волна нового типа. Эта волна в одном из полупространств распространяется как поверхностная, а в другом - как объемная с модулированной амплитудой. В одной из сред параметр распространения у этой волны действительный, а в другой - чисто мнимый.
Рассмотрим предельные случаи применения формулы (20). Пусть vt = vf, е14 = е'4,
т.е. кристаллы идентичны, тогда формула дает очевидный результат для фазовой скорости сдвиговой объемной волны в направлении [ 100]. Допустим, что нижний кристалл
является слабым пьезоэлектриком (e'4 ^ 0), тогда l ^ 0, а l' ^ (1 — v, / v^) . Поэтому акустоэлектрическая волна с фазовой скоростью v = у в верхнем полупространстве будет распространяться как объемная, а в нижнем - как поверхностная.
Заключение. Представленные аналитические результаты являются теоретическим обоснованием возможности использования акустоэлектрических волн типа Стоунли в современной интегральной акустоэлектронике. Впервые найдены аналитические решения для таких волн.
Действительные части волновых решений (10) и (11) имеют вид:
- чистопоперечные волны типа Стоунли:
u( x1, x3 ;t) = u cos k (x1 — vt) • exp (—lkx3),
~ x3 > 0,
ф(x1 ,x3 ;t) = ~cos k(x1 — vt)• exp (—lkx3 ),
u' (x1 ,x3 ;t) = ~ ' cos k (x1 — vt) • exp (lkx3),
~ x3 < 0,
ф' (x1 ,x3;t) = ф ' cosk(x1 — vt)• exp (l ' kx3),
где l и l' - действительные и положительные величины;
- волны нового типа - чистопоперечные объемные волны, модулированные по амплитуде в каждой из сред:
u(x1 ,x3;t) = ucos(|l \kx,)• cosk(x1 — vt), ф^,x3;t) = фcos(l |kx3)• cosk(x1 — vt),
u'(x1,x3;t) = u'cos( l' \kx,) • cosk(x1 — vt), ф' (x1,x3; t) = ~ ' cos( l' \kx) • cosk(x1 — vt),
x3 > 0,
где l и l - чисто мнимые величины;
- волны нового типа, которые в одной из сред распространяются как чистопопереч-ные объемные волны с модулированной амплитудой, а в другой - как чистопоперечные поверхностные волны:
u(x1 ,x3;t) = ~cos( l \kx.)• cosk(x1 — vt)), ф^,x3;t) = фcos(| l \kx3)• cosk(x1 — vt), 3 '
u' (x1, x3; t) = u ' exp (l ' kx3) • cos k(x1 — vt),
~ x3 < 0,
ф '(x1, x3; t) = ф ' exp (l ' kx3) • cos k(x1 — vt),
где l — чисто мнимая величина; l' - действительная и положительная величина.
Литература
1. Каринский С. С. Устройства обработки сигналов на ультразвуковых поверхностных волнах. -М.: Советское радио, 1975. - С. 98-114.
2. Кайно Г. Акустические волны: Устройства, визуализация и аналоговая обработка сигналов: пер. с англ. - М.: Мир, 1990. - 656 с.
3. Morocha А.К. New types of Surface Acoustoelectric Waves and Acoustic Charge Transport in GaAs Crystals // Semiconductors. - 2014. - Vol.48. - N. 13. - P. 1689 - 1696.
4. Shimizu Y., Tosio I. Stonelay waves propagation along an Interface between Piezoelectric Material and Glass // Japanese Journal of Applied Physic. - 1983. - Vol. 22. - Supplment 22-3. - P. 145 -147.
5. Мороча А.К., Рожков А.С. О новых типах волн Стоунли и возможности их использования в интегральной акустоэлектронике // Изв. вузов. Электроника. - 2016. - Т. 21. - №6. - С. 493-502.
Статья поступила 16 мая 2016 г.
Мороча Арнольд Климентьевич - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ, г. Москва, Россия. Область научных интересов: магнитная радиоспектроскопия; квантовая электроника; поверхностные акустические волны; акустический перенос зарядов; акустонаноэлек-троника. E-mail: Arnold.36@mail.ru
Рожков Александр Сергеевич - аспирант кафедры квантовой физики и наноэлек-троники МИЭТ, г. Москва, Россия. Область научных интересов: квантовая физика, интегральная электроника, акустоэлектроника.
Информация для читателей журнала «Известия высших учебных заведений. Электроника»
Вы можете оформить подписку на 2017 г. в редакции с любого номера. Стоимость одного номера - 1000 руб. (с учетом всех налогов и почтовых расходов).
Адрес редакции: 124498, г. Москва, г. Зеленоград, пл. Шокина, д. 1, МИЭТ, комн. 7231.
Тел.: 8-499-734-62-05. E-mail: magazine@miee.ru http://www.miet.ru
