К ТЕОРИИ ВОЛН ЛЯВА В ГЕТЕРОСТРУКТУРАХ С ГЕКСАГОНАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

УДК 621.382

К теории волн Лява в гетероструктурах с гексагональной

симметрией

А.К.Мороча

Московский государственный институт электронной техники (технический университет)

Найдено аналитическое решение задачи о распространении продольных акустоэлектрических волн в многослойных ЛЮаМОаК-гетероструктурах. Если толщины гетерослоев значительно меньше длины волны, точное дисперсионное уравнение, полученное для двух слоев, переходит в уравнение для волны Лява, содержащее акустоэлектрические параметры подложки и только одного контактирующего с ней гетерослоя. Полученные результаты легко обобщаются для многослойных гетероструктур. Если толщина каждого из слоев намного меньше длины волны, то ее фазовая скорость и параметры распространения будут зависеть от пьезоэлектрических параметров подложки и непосредственно контактирующего с ней ге-терослоя.

Исследования уникальных свойств гетерослоев ОаЫ и ЛЮаЫ, выращенных на пьезоэлектрических подложках, являются весьма актуальными для создания интегральных акустоэлектронных устройств гигагерцового диапазона [1]. Измерения акустоэлектрических параметров гетероструктур (модулей упругости, пьезомодулей и коэффициентов электромеханической связи) трудно однозначно связать с определенным типом волновых мод, наблюдаемых в условиях эксперимента, если для этого использовать только численные решения сложной электромеханической задачи [2].

При распространении поверхностной акустоэлектрической волны (ПАВ) в параллельных монокристаллических слоях гетероструктуры реализуется случай, когда длина волны намного больше толщин нанослоев. В этом случае можно найти аналитическое решение, существенно упрощающее как проблему измерения акустоэлектрических параметров гетерослоев, так и задачу расчета и проектирования мощных высокотемпературных и радиационно-стойких функциональных приборов гигагерцового диапазона, которые могут быть созданы на основе указанных широкозонных гетероструктур [3].

Цель настоящей работы - показать, что в многослойной гетроструктуре в отличие от ПАВ релеевского типа может распространяться чисто продольная акусто-электрическая волна Лява. В работе получено аналитическое решение электромеханической задачи для волны Лява нового типа, распространяющейся в плоскости симметрии, ортогональной оси 6-го порядка

В кристаллографической системе координат внутри каждого из слоев фундаментальная система уравнений для продольного вектора смещения и[и(х1, х3; ^);0;0] и

© А.К.Мороча, 2010

двухмерного электрического потенциала ф(х1з x3 ;t) волны имеет вид

р щ =А T,

T1 j = C1 jll Aiu\ + ek1 j А k Ф>

Di ="SoSj-A ] ф + eMAkUb

A D = 0.

(1)

Здесь р - плотность слоя пьезоэлектрика; щ = и(х^ х3; ^) - единственная отличная от нуля компонента вектора смещения, направленного вдоль оси х1; V = 3 / сХ^; Т^ и С1]к1 - тензоры напряжений и модулей упругости; в1]к - тензор пьезомодулей;

- /-я компонента вектора индукции электрического поля с потенциалом ф. При суммировании индексы г,у, к, I принимают только два значения 1 и 3.

В кристаллографической системе координат в кристаллах класса 6тт тензоры модулей упругости и пьезомодулей имеют вид

(Cn C12 Cj3 0 0 C12 Cu C13 0 0

C13 C13 C33 0 0

0 0 0 C44 0

0 0 0 0 C

44

0 0 0 0 0

\

и

(0 0 0 0 e15 0 ^ 0 0 0 e15 0 0

e31 e31 e33 0 0 0

(2)

0 0 0 0 0 (С11 -С12)/2

С помощью матриц (2) выпишем отличные от нуля компоненты тензора напряжений для рассматриваемой продольной волны:

(3)

T11 = C11V1U + ез^зФ,

T13 = C44^3u +

Для отличных от нуля компонент вектора электрической индукции D(D ,0, D3)

получим

D1 = -se 0 У1ф + e31 V3u, D3 = -ss 0У3ф + e15V1u.

(4)

Используя выражения (4) в последнем из уравнений системы (1), получим дифференциальное уравнение, связывающее механическое смещение и с пьезопотенциалом ф :

SS 0АФ-(е15 + e31 )V1V3U = 0 >

(5)

2 / 2 2 / 2

где А = 3 / 3х1 + 3 / 3х3 - двухмерный оператор Лапласа.

Второе уравнение, связывающее эти величины, - волновое уравнение, которое получается подстановкой компонент тензора напряжений (3) в первое из уравнений фундаментальной системы (1):

р и = СцУ^м + С44У2м + (е15 + е31)У1У3ф. (6)

Покажем, что уравнениям (5) и (6) удовлетворяет частное решение, соответствующее чисто продольной акустоэлектрической волне в подложке:

и(х1, х3; г) = ф ехр акх, 1

Ф > • ехр ¡к(х1 - у(), (х3 < 0), (7)

ф(х1зх3;г) = ~ехр акх \

где и и ф - комплексные амплитуды смещения и электрического потенциала; а -действительный параметр распространения; к - волновое число; V - фазовая скорость волны. Ось х3 направлена в глубь полупространства вдоль оси 6-го порядка, ось х1 - в

направлении распространения волны в базисной плоскости.

Подстановка выражений (7) в уравнения (5) и (6) приводит к двум однородным уравнениям для комплексных амплитуд и и ф:

-С11 + а2С44]ф + ¡а(е15 + е31)ф = 0,

~ 2 ~ (8) ¡а(е15 + е13)и +880(1 -а = 0.

Система (8) имеет решение, если фазовая скорость волны связана с параметром распространения следующей зависимостью:

2 Ч2 + кэ2 ^

V л 2 — = 1 -а

V

22 VV 1 -а У

(9)

где скорости продольной и поперечной волн в направлении оси х равны

V = л/ Сц/р и V =у1 С44/р,

а квадрат коэффициента электромеханической связи равен

,Л_ (е15 + е13)2

88 С

К = ч~15/;13У . (10)

•0С11

На свободной поверхности акустоэлектрическая волна должна удовлетворять следующим граничным условиям.

1. Равенство нулю акустоэлектрического напряжения:

Т!з(х1,0; г) = 0 .

2. Непрерывность механических смещений и акустоэлектрических напряжений на внутренних границах каждого слоя.

3. Непрерывность электрического потенциала и индукции на границе верхнего слоя

Ф = ФВ, А(хь0; г) = Бзв(х1,0; г),

где фв - амплитуда «медленной» волны электрического потенциала, распространяющейся со скоростью звука в вакууме над пьезоэлектриком:

фв = фв ехр(-кхз) • ехр ¡к (х1 - vг), (х3 > 0).

4. Непрерывность электрического потенциала и индукции на внутренних границах каждого из слоев.

5. Нижний из пьезослоев - подложку будем считать полубесконечной, для нее должны быть выполнены еще два граничных условия:

и( х1, хз; *) ]

ф( х1, хз; * )1

^ о.

Х3 ^-ге

Решим сначала задачу для одного слоя на полубесконечной подложке (рис.1).

Покажем, что уравнениям (5) и (6) удовлетворяет частное решение, соответствующее чисто продольной акустоэлектрической волне в слое:

Рис.1. Полубесконечня подложка с тонким слоем толщиной И\

и(х1, х3; *) = и ехр гакх ф( х1, х3; *) = ф ехр гакх3

■ • ехр гк(х1 - V), (х3 < 0),

(11)

где и и ф - комплексные амплитуды смещения и электрического потенциала; а - действительный параметр распространения; к - волновое число; V - фазовая скорость волны.

Подстановка выражений (7) в уравнения (5) и (6) приводит к двум однородным уравнениям для комплексных амплитуд и и ф:

-С11 -а2С44]и -а(е15 + е31)ф = 0,

(12)

-а(е15 + е13)и +880(1 + а )ф = 0.

Система (8) имеет решение, если фазовая скорость волны связана с параметром распространения следующей зависимостью:

VI 2

— =1 + а2

2

• + ■

к

2

V VI 1 + а2 ,

(13)

где скорости продольной и поперечной волн в слое имеют вид

л/с1(!7 Р1 и ^ =4 с44)/ Р1.

v/l=•

При расчете фазовой скорости акустоэлектрической волны Лява можно не учитывать пьезоэффект. Тогда из формулы (13) следует

а1 =±[(С1(17С44))(У7V2 -1)]12 .

(14)

Фазовая скорость волны внутри слоя должна быть больше фазовой скорости продольной объемной волны в материале слоя.

В отличие от решения (11), акустоэлектрическая волна в подложке имеет вид

и0 (х1, х3; *) = и0 ехр а0кх3 ф0(х1з х3; *) = ф0 ехр а0кх3

■ • ехр гк(х1 - V*), (х3 < 0).

(15)

Если подставить решение (15) в уравнения (5) и (6), то для действительного параметра распространения а0 > 0 получим

ао = [(с107 с40))(1 - у2^2, (16)

откуда следует, что скорость волны Лява должна быть меньше скорости продольной объемной волны в подложке.

Для того чтобы удовлетворить граничным условиям в том же приближении (отсутствие пьезоэффекта), в котором получены выражения (14) и (16), запишем общее решение в виде

и1 = ^собка1х3, (0 < х3 < к1

_ }>• ехр ¡к(х* - у1). (17)

и0 = и0ехр[-ка0(х3 - к*)] (х3 > к^

Форма записи выражения (17) соответствует равенству нулю напряжения Т13 на

внешней поверхности слоя 1. Удовлетворяя граничным условиям 1 и 2, получим известное дисперсионное уравнение для волны Лява в однослойной структуре:

(а2С42)/а0С0)Мка2к2) = 1. (18)

В случае, когда кщкх << 1 (толщина верхнего слоя много меньше длины волны), из выражения (14) следует

а0

кк= (С07 с42)) %

44 / 44 / 2 а12

Если в правой части этого выражения использовать формулы (14) и (16) для параметров распространения а0 и щ и обозначить через Ъ отношение

/-(0)^(0)/Г(1)2 с44 С11 / С11 = Ъ ,

то получим выражение для закона дисперсии в неявном виде:

(1 - У7УЮ) _,Ли2Ы2

(у2/ У/2, -1)2

к 2к2/ Ъ2. (19)

Для «тонкого» слоя ( к2к2/Ъ2 << 1) отсюда следует

У(к) = У0У/\ (1 + к2к2/2Ъ2). (20)

22 1у/0 + У/1

Для того чтобы удовлетворить электрическим граничным условиям 3-5, запишем общее решение для волны электрического потенциала в виде

ФвС*!,Хз; 0 = ~в ехр кхз ( Х3 < 0)

ф^х1, х3; 1) = ф1 ехр ¡а1кх3 + ~2 ехр(-¡а1кх3) (0 < х3 < к1)

Ф0 (х1, х3; 1) = ~0 ехр [-ка0 (х3 - к1)] (х3 > к1)

• ехр ¡к(х1 - у1). (21)

Здесь неизвестные комплексные амплитуды ф0, ф1, ~2 и ~в должны быть найдены из условий непрерывности электрического потенциала и нормальной составляющей вектора электрической индукции на границах х3 = 0 и х3 = кх. Из них при условии

кх3к << 1 следует

ф1 + ф2 - фв = 0

ф1 -ф2 - О'/81) фв =фА, ф1 + ф2 - ф0 = 0, - ф1 +ф2 - (8«а^881а1)ф0 =фС,

(22)

где комплексные амплитуды, пропорциональные амплитуде продольного смещения и , вычисленной без учета пьезоэффекта, равны:

фа = (е1(5)/8081)и и Фс = [(е10)+е1(5)V8081а1]и.

Решение системы (22) можно записать в виде

ф1 = 1[ф А + (г/ 81 + 1)ф0],

ф2 = 1[-фА - О'/81 - 1)ф0], Ф /81(ф А с)~ ~ ~

(23)

1 + 8„а0/ а1

Объединяя решения (11), (22) и (23) запишем общее решение для акустоэлектриче-ской волны Лява в виде

фв(х1,х3;*) = ф0ехр кх3 ( х3 < 0)

щ (х, х; 0 = ф соб кщх (0 < х < И)

ф1 (х1, х3; I) = ф0 соб ка1х3 (0 < х3 < И1)

щ (х, х; *) = и ехр [-ка0 (х - И)] (х > И) ф0 (х1, хз; *) = ф0 ехр [-ка0 (хз - И1)] (хз > И1)

• ехр 1к (х1 - V*). (24)

ео> Фв

Ухз

А

>х1

¿2

Все комплексные амплитуды пропорциональны комплексной амплитуде продольного смещения иф, вычисленной без учета пьезоэффекта.

Выясним, как изменится решение, если поверх первого слоя толщиной Ьх нанесен второй «тонкий» слой толщиной Ьг (рис.2).

Как и для однослойной структуры, не будем учитывать пьезоэффект при вычислении фазовой скорости волны и запишем общее решение для поля продольных механических смещений внутри каждого из

Рис.2. Полубесконечная подложка с двумя слоями слоев: толщиной к1 и к2

>

0

И

1

u2 = A2 coska2x3, (0 < x3 < h2)

u1 = Al exp[/'ka1(x3 - h2)] + B1 expt-zka^x, - h2)], (h1 < x3 < h2) u0 = A0 exp[-ka0(x3 -H)], (x3 > H = h1 + h2)

exp ik (x1 - vt). (25)

Граничные условия непрерывности смещений и механических напряжений на внутренних границах слоев и равенство нулю механических напряжений на внешней границе второго слоя приводят к следующей системе линейных однородных уравнений

для комплексных амплитуд А, А, А и В :

A2 coska2h2 - A1 - B1 = 0,

sin ka h - i'a1C414) B1 = 0,

- A + A exp (ikah)+ Bl exp (-ikaxhx) = 0,

- a0C40) A + iaC A1 exp(ika1h1) - ia1C44) B1 exp(-ika1h1) = 0

(26)

Из условия равенства нулю определителя системы (26)

cos ka2h2

-1

-1

0

a 2C42) sin ka2h2

0

=0

ia1C44) ia1C44

0 exp(ika1h1) exp(-ika1h1) -1

0 ia1C4f14) exp(ika1h1) - ia1C44)exp(-i'ka1h1) -a0C40)

следует дисперсионное уравнение для волны Лява в двухслойной структуре, в которой пьезоэффект отсутствует:

a1C44)[1 - (a1C44V a0C44))tgka1h1] = a2C44}tgka2h2 • tgka1h1:

x [1 + (a1C44V a0C44} )ctgka1h1 ].

(27)

Для «тонких слоев» при условии kaxhx << 1 и ka2h << 1 (толщины слоев много меньше длины волны) из выражения (27) следует закон дисперсии (20) - фазовая скорость волны зависит от модулей упругости подложки и соответствующих модулей упругости только одного непосредственно контактирующего с ней гетерослоя. Для таких слоев система (26) имеет простое решение:

A = A1, A2 = B2 = Al2 ,

и решение (25), удовлетворяющее граничным условиям, можно записать в виде u1(x1,x3;t) = u coska2x3, (0 < x3 < h2)

u2(x1, x3;t) = wcos[ka1(x3 - h2)], (h2 < x3 < h1 + h2) >• exp ik (x1 - vt). (28)

u0(xj,x3;t) = wexp[-ka0(x3 -H)], (x3 >H = hx + h)

<

Если суммарная толщина двух слоев гетероструктуры намного меньше длины волны, то не имеет смысла учитывать изменение комплексной амплитуды пьезопотенциа-ла поперек каждого из слоев. При этом напряженность электрического поля равна нулю и тривиально выполняется условие непрерывности нормальной составляющей вектора электрической индукции. Из условий непрерывности пьезопотенциала на границе контакта гетерослоев следует решение, полученное для одного гетерослоя, которое практически не изменится при эпитаксиальном наращивании следующего «тонкого» (по сравнению с длиной волны) гетерослоя:

ф2(х1зx3;t) « ф1(х1,x3;t) « const.

Очевидно, решение, найденное для двух гетерослоев, легко обобщить и для многослойной гетероструктуры, если сумма толщин нескольких гетерослоев остается намного меньше длины волны. Для слоев нанометровой толщины комплексные амплитуды механического смещения и электрического потенциала волны внутри каждого слоя можно считать равными их величинам на границе контакта с подложкой. Электрическое поле волны (24), распространяющееся со скоростью звука, эллиптически поляризовано в каждом из гетерослоев. В подложке электрическое поле имеет круговую поляризацию. Энергия акустоэлектрического поля волны локализована внутри подложки в приповерхностном слое толщиной порядка длины волны.

Литература

1. Guided propagation of surface acoustic waves in AlN and GaN films grown on 4-H-SiC(0001) substrates. / Y. Takaki, R. V.Santos, E. Wiebicke et al. // Phys. Rev. 2002. - B66. - P. 155439-1 - 155439-7.

2. Surface Acoustic Wave Velocity and Electromechanical Coupling Coefficient of GaN on (0001) Supphire by Metal-Organic-Vapour Phase Epitaxy. / CHEN Zhen, LU Da-Chen, WANG Xiao-Hui et al. // CHIN. PHYS.LETT. - 2001. - Vol.18, N 10. - P. 1418-1419.

3. Данилин В.Н., Докучаев Ю.П., Жукова Е.А., Комаров М.А.. Мощные высокотемпературные и радиационно-стойкие СВЧ приборы нового поколения на широкозонных гетеропереходных структурах AlGaN/GaN // СВЧ Техника. Сер. 1. - 2001.

Статья поступила 26 октября 2009 г.

Мороча Арнольд Климентьевич - кандидат физико-математических наук, профессор кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ. Область научных интересов: магнитная радиоспектроскопия, квантовая электроника, поверхностные акустоэлектрические волны, акустоэлектрический перенос зарядов, акустонаноэлектроника. E-mail: Arnold.36@mail.ru

Информация для читателей журнала «Известия вузов. Электроника»

Подписаться на печатную версию журнала можно по прямой подписке в Агентстве «Роспечать» (см. купон на с. 94).