О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНЫМ ПОСЛЕДСТВИЕМ Текст научной статьи по специальности «Математика»

О СУЩЕСТВОВАНИИ ПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ АВТОНОМНЫХ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С КОНЕЧНЫМ ПОСЛЕДСТВИЕМ Бапа кызы А. Email: [email protected]

Бапа кызы Айнура - магистр физико-математического образования, старший преподаватель, кафедра высшей математики, технологии обучения математики и информатики, факультет физико-математический и естественно-технический, Иссык-Кульский государственный университет им. К. Тыныстанова, г. Каракол, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной статье рассматривается система автономных интегро-дифференциальных уравнений с конечным последствием, содержащим малый параметр. Изучено периодическое решение при условии, когда вырожденное уравнение допускает однопараметрическое семейство периодических решений. Доказано утверждение существования периодического решения невозмущенной системы, при условии, когда существует приближенное периодическое решение, построенное методом Галеркина. Получена оценка точности между точным и приближенным решениями.

Ключевые слова: метод Галеркина, система автономных интегро-дифференциальных уравнений, периодические решения, автономные системы, функция Грина.

PERIODIC SOLUTION OF A SYSTEM OF AUTONOMOUS INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH A FINITE

CONSEQUENCE Bapa kyzy А.

Bapa kyzy Ainura - Master of Physics and Mathematics Education, Senior Lecturer, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, TEACHING TECHNOLOGIES FOR MATHEMATICS AND INFORMATICS, FACULTY OF PHYSICS, MATHEMATICS AND NATURAL

TECHNOLOGY,

ISSYK-KUL STATE UNIVERSITY NAMED AFTER K. TYNYSTANOV, KARAKOL, REPUBLIC OF KYRGYZSTAN

Abstract: this article considers a system of autonomous integro-differential equations with a finite consequence containing a small parameter. A periodic solution is studied under the condition that the degenerate equation admits a one-parameter family of periodic solutions. Statements of the existence of a periodic solution of the unperturbed system are proved, provided that there is an approximate periodic solution constructed by the Galerkin method. An estimate of the accuracy between the exact and approximate solutions is obtained. Keywords: Galerkin method, system of autonomous integro-differential equations, periodic solutions, autonomous systems, Green's function.

УДК 517.928 DOI: 10.24411/2312-8089-2022-10104

Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида: (x) + ef (х,/;+ТР (t-s,x (s) ds, е) , (1) где x-n-мерный вектор, X,f,P-n-мерные вектор-функции, - малый параметр,

Т„-фиксированное положительное число. Относительно вектор-функции предполагается:

(х) 6 С2Ж( ),/(х, у, е) 6 х х х Е),Р(1 — б,х) Е С хйх ),

где: - ограниченная выпуклая область евклидового пространства Еп, е Е [ 0 ,е0] х-шар в пространстве Еп.

Предположим, что невозмущенная система йх

тг (2)

имеет - периодическое по решение

В окрестности периодического решения системы (2), вводим преобразования в системе (1) вида [1]

х (р ) = х„ (р ) + В (р ) к , ср = со „£,

где: В(р) -некоторая пх (п — 1 )-мерная матрица, к — (п — 1 )- мерный вектор функция. В переменных р> , к систему (1), приводим системе уравнений относительно углового и нормального переменного вида

<р+(О0Г0

<1<р 1 Г

— = Щ +Т1((р,И) + Д(<рЛ — Р^р.р^к^гШРг.е)

dt а)0 J

<р

<р + ш0Т0

— = в^р.Н) + д^р.к, I Р^р.р^Нр^р^е), (3)

а

где

: = Ф~ 1 (ср ,h) (х (х0 (ср )+В (ср ) h)-Х (х0 (ср ) ы 0) ,

<р+ш0Т0

( {Л = Ф- 1 (с,h) £f ( х о (р) + (р) л— [ Р Хо (cpi) + В (cpi) h (cpi)) dp>i),

\31/ ûj0 J со0

На основании сделанных относительно правой части системы (1) условий, из (3) можем образовывать периодической по р периода 2 п правой частью, систему уравнений

<р+ш0Т0

dh 1 Г / л

— = C(cp)h + T(cp,h) +H(cp,h,— P1((p,(p1,h((p1))d(p1,£), (4) dcp cjùq J

где С (p)=-Ld-^Hl, y (cp,h) = 0 ( | h | 2 ),

<p + (O0T0

H(cp,h,— P1(<p,<p1,h(<PÙ)d<p1,E) = J

<p

Gi(cp, h) Д (<РЛ-^Ç+0'oT° Pi(cp.cpi, Hcp^dcp,, O) /de (a)0 +Тг(ср, h))2

+-7-s-- + 0(e2),

œ0+T1(cp,h)+f1^^J^0'oT°P1(cp,cp1,h(4>i))dcp1,£)

Если система (4) имеет 2п периодическое по р решение h = h (р, е), то из первого уравнения системы (3) можем определить р = р(t,e) и, следовательно, можем

2.7Т

получить — периодическое решение h = h(р( t,e),е) системы уравнений (4), где

со

корень уравнения

Докажем утверждение существования точного решения системы (4), в окрестности приближенного решения, найденного методом Галеркина.

Теорема. Предположим, что система (4) удовлетворяет следующим требованиям:

а) для некоторого целого т > т0 существует приближенное 2 ^-периодическое решение по Галеркину

т

кт(ср,е) = а0(е) + \р2 ^\ап{е)со5пср + Ьп(е)зтп(р) (йт(<р, 0) = 0);

п=1

б) Линейная система

йк{ср)

— = С(<РЖ<Р).

имеет функцию Грина С (< , т) , об ограниченных решениях удовлетворяющую неравенству

для , где -

положительные постоянные, при этом

Оср.т) \<р=т+0 - С(<р,т)|ф=7:_0 = /,

-единичная матрица.

в) Существует такая малая е0, а также достаточно большое т 0, что при е < е0 и

выполняются условии 2 М0

х = + \Hn\i + ТШМР^ < 1,

л0

---< о, о-бесконечно малая величина

Тогда система уравнений (1) в окрестности приближенного йт (< , е) имеет единственное -периодическое решение такое, что справедлива оценка

| й(< , е) - йт (< ,е)I о < 2м°^гхт(т), при "о 6 О, с С.

где

1

I ^ I о = [¿/о2 " I I / I I ] * , Т = [ °,2, Леос Я„ _ х , и 6 С-шар в С ,

множество точек области которая принадлежит со своей -области. Доказательство. С учетом условию б) из системы (4) получим систему интегральных урвнений

к{ср,е) ' С(р,т)[:р(т,/1(т,£)) +

+Н (т, й (т, е) , — / т+" ° 7 Рх (т, тх, й (тх, е) ) сСт^ е) ] сСт (5)

й)0 т

Решаем интегральную уравнению методом последовательных приближений, взявь

за нулевое приближение, приближение Галеркина(условие а)) с достаточно большим :

й о (< ^ = йт (< ^ ,

Ьк+1{(р,г) =

/_ С(<р,т) [^(т,й(т,е)) + +Я (т,йй(г,е),^-/тт+й,°7'р1(т,т1,йй(т1,е))сгт1,е)сгт1] ,

к=1,2,3.. . (6)

Согласно методу Галеркина функция удовлетворяет систему

йкт{(р,е) _ йср ~ "

С((р)Ьт((р, е) + кт{ср, е))

<р + ш0Т0

+ Н

(р,кт{(р,е),— [ Р1(<р,<р1,Ьт(<р1,е))а<р1,1

J

Представим эту систему в виде

аНта^'Е) = С((р)кт(ср,е) - {с{(р)кт{(р,е) - 5т(С(^)йт(^,е)) + Т((р,кт(ср,е)) {Т{(р,кт{(р,е)) - -5тТ{(р,кт{(р,е))) + Я (<р, кт(ср, е),+Ы°Т° Рх(<р, (р1: кт(ср1( е))^, е) -

- (н ((Р. Ьт((р, е),± +Ш°Т° Рг(ср, срг, кт{срг, е))й(р1, е) -

- 5тН ( < , йт (<, е), ^ " ° 7° Рх (<, < !, йт (< 1, е) ) сС< х , е ) ) (7) С учетом б) из (7) имеем

ЛтО.е) =

/_ С(<р,т)[Т(т, кт(т, е) + +Я (т, йт(т, е),^-/тт+й,оГР1(т, <р1( е))йср1( е) -

( С 00йт (т, е) - 5тС ф йт (т, е) ) - (^т - 5т^т) - (Нт - Нт 5т) ] (С^ (8)

Оценим разность й 1 (< , е) - й 0 (< , е) . Из (6), (8) получим равенство К (<р,г) ~ к(<р,е) =

т)[С(т)/гт(т,е) - 5тС(т)йт(т,г) + Tm - SmFm + Hm

~ HmSm]dT. Отсюда с учетом условию б) получим

|К(<р,£) - h0((p,e)| < М0 /_+ e-^olv-Tl [chm +Tm+Hm- sm(Chm + +Tm +

Ят) | 0 ] dr . (9)

Далее с учетом оценки

1 / -Sm/ 1 0 < < Ы) 1 d/ 1 d^o = <(етОЖ1, (10)

Из (9) получим

IftiO-e) - ^oO-OI

Г , , , 2М0 < МоО-СшЗ^/г + Г + Я!! e-A0liP-T|dT =Л|с/г +Г + Я|1(т(ш).

Оценим разность

+ НI r,hk(r,

ш0

т+и>0Т

-Н\т,Кк_1( 1

''->0

\hk+1(p,£)~hk(p,£)\ =

= I С(<р,т)[Т(т,/1к(т,е))-Т(т,/1к_1(т,е)) +

т+ш0Т \

г, е),— I Pi(t, т1( hk(rlt e))dr1( е

i /

Т + й)0Г \

L(r,e),— I Pi(t, T1,hk_1(T, e))dT1(£ dr i /

= J G((p,T)i^F(T,hk_1 + 9(hk - h^))^ - h^de

l

Г 9

+ I -ö^H(T,hk-i + eQik-hk_1),u,e)Qik-hk_1)de

о

l

Г 9

о

Т + й)0Г 1

■ | J^I (-r.<Pi.hk-i + в (hk- /1к_!))(/1к

TO !

— ftfc_1)d0d<p1]d61 > dr.

С учетом условию б) и в) имеем

2 М0

IhiC^e) - /!„(?>.Ol < -T^tl^hli + l^hli + mji ■ IPihlJIhfc - ft^lo < к = 1,2,....

Отсюда по индукции получим

|ftfc+i -ftfclo ^ Iftfc - ftfc-ilo <Z2|ftfc-i -ftfc-2lo ^ - ftolo

, 2 M0

Л0

Оценим разность | hk+n-hk+n_ 1 + hk+n_ 1-hk+n _ 2 + - ■ - + hk+1-h k \ 0<

l^fc+n — ^fc+n-llo + l^fc+n-1 — ^k+n—2 10 +----1" l^fc+1 — fycl ^

,2 M0

2 xkM0

Отсюда имеем

к

\ hk+n-hk \ Ch + T + H \ 0a (m) при n- .

Следовательно, при к = 0 , имеет место оценка \ h(р,£)-hk(ср,£)\Ch + T + H\0а(m) при m- .

Далее, пусть функции h(р,£) и h(р,£) являются решениями системы (1). Представляя разность в виде

h-h = s_Gto, r) [si (ft - k)de + _ +

/о ——-¿ ■ t £ —^-i1 О - wedcp^de] dr.

С учетом условии в)

I ft-ft| o<Z| ft-ft| o<- • I ft-ft| o.

Отсюда при к — имеем I ft (<p , e) — ft (<p , e) I = 0 т.е. ft (<p,e) = ft (<p , e) Теорема доказана.

Список литературы /References

1. Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических систем. Механика, 1966. 97. № 3. С. 3-34.

2. Алымбаев А.Т., Бапа К.А. Периодическое решение системы автономных интегро-дифференциальных уравнений с конечным последствием // Вестник науки и образования. № 1 (121), 2022. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://scientificjournal.ru/images/PDF/2022/121/periodicheskoe-reshenie-.pdf/ (дата обращения: 02.02.2022).

3. Алымбаев А.Т., Нуржанов О.А. Численно-аналитический метод исследований автономных систем интегро-дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн., 1979. Т. 31. № 5. С. 540-547.

4. Митропольский Ю.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами/ Ю.А Митропольский, А.М. Самойленко, Д.И. Мартынюк. Киев: Наукова Думка, 1984. 216 с.

5. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1987. 304 с.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЫШЕЧНОГО СОКРАЩЕНИЯ

Петрова М.А. Email: [email protected]

Петрова Мария Алексеевна - магистрант, кафедра акустики,

Национальный исследовательский Нижегородский государственный университет им.

Н.И. Лобачевского, г. Нижний Новгород

Аннотация: в работе рассмотрены наиболее популярные модели мышечного сокращения. Представлены их математические и физические модели. Ключевые слова: биомеханика, саркомер, скелетные мышцы, демпфер, математическая модель, Дещеревский, Хаксли, Хилл.