CC BY
8
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ПЕРИОДИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ АВТОНОМНЫХ
ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С
КОНЕЧНЫМ ПОСЛЕДСТВИЕМ 1 2 Алымбаев А.Т. , Бапа кызы А.
Email: [email protected]
'Алымбаев Асангул Темиркулович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и технологии ее обучения, факультет физико-математических образований и информационных технологий, Государственный университет им. И. Арабаева, г. Бишкек; 2Бапа кызы Айнура - магистр физико-математического образования, ст. преподаватель, кафедра высшей математики, технологии обучения математики и информатики, факультет физико-математический и естественно-технический, Иссык-Кульский государственный университет им. К. Тыныстанова, г. Каракол,
Кыргызская Республика
Аннотация: рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений с конечным последствием, обладающая свойством автономности. Методом Галеркина построено периодическое решение. Получена оценка точности между точными и приближенными решениями.
Ключевые слова: интегро-дифференциальная уравнение, Метод Галеркина, периодическое решение, оценка точности.
PERIODIC SOLUTION OF A SYSTEM OF AUTONOMOUS
INTEGRO-DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH A FINITE
CONSEQUENCE
12 Alymbaev А.Т. , Bapa kyzy A.
1Alymbaev Asangul Temirkulovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND TECHNOLOGY OF ITS TEACHING, FACULTY OF PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION AND INFORMATION TECHNOLOGIES, STATE UNIVERSITY NAMED AFTER I. ARABAEV, BISHKEK; 2Bapa kyzy Ainura - Master of Physics and Mathematics Education, Senior Lecturer, DEPARTMENT OF HIGHER MATHEMATICS, TEACHING TECHNOLOGIES FOR MATHEMATICS AND INFORMATICS, FACULTY OF PHYSICS, MATHEMATICS AND NATURAL
TECHNOLOGY,
ISSYK-KUL STATE UNIVERSITY NAMED AFTER K. TYNYSTANOV, KARAKOL, REPUBLIC OF KYRGYZSTAN
Abstract: a system of integro-differential equations with a finite consequence possessing the property of autonomy is considered. A periodic solution is constructed by the Galerkin method. An estimate of the accuracy between exact and approximate solutions is obtained. Keywords: integro-differential equation, Galerkin method, periodic solution, accuracy estimation.
MSC 45A05,45B05 DOI: 10.24411/2312-8089-2022-10103
1. Задача приводимости.
Рассмотрим систему интегро-дифференциальных уравнений вида: (х) + £/ (х,£+7ЪР (t-s,x (s) ds,£), (1.1)
где: х-п-мерный вектор, X,/, Р-п-мерные вектор-функции, - малый параметр, Го-фиксированное положительное число. Относительно вектор-функции предпологается:
(х) 6 СЖ2Ж( ),/(х, у,г) 6 х ! х Е),Р(1 — б,х) Е С хйх ),
где: -ограниченная выпуклая область евклидового пространства £„, е 6 [ 0 , е о]
!-шар в пространстве £„. Система (1.1) обладает свойством автономности. ЛЕММА 1. Если функция х = х 0 ( £) является решением системы (1.1), то х = х 0 (£ + с), где с-сош^ также является решением системы (1.1). Доказательство. Поставляя х = х0 ( £ + с) в систему (1.1) имеем:
= = (х0(с + с)) + е/(х0(с + с)> С+г0 р^ + с_51 хоШз> £) =
(х0(£ + с)) + е/(х0^ + С),£+Т°Р(1 - 5,х°(5 + с)^, е)
27Г
Предположим, что при е = 0 невозмущенная система системы (1.1) имеет —
ш0
периодическое решение х = х0 (о 0, £) . Введем в системе (1.1) замену переменных х = хо О ) + £ О ) й ,/г=(/г1,/г2 ,. . .,й„_ х) , (1.2) где: В ( ) -некоторая пх( п—1 ) -мерная матрица с непрерывно дифференцируемыми и периодическими по периода 2 7Г функциями. Тогда согласно [2], если
/йх0(а>) \
* ) Га
то система(1.1) преобразуется к системе интегро-дифференциальных уравнений
(<р + ш0Т0 \
(<Р + О>0Т0 \
ср,К I Р^ср.ср^кСср^йср^е I,
где: (£) = Ф_ 1 (<р,й) (х (х0(<р) + В(<р ) к) — X (х0(<р) ) — ^йо 0) ,
<Р+й)07о
( = Ф_ 1 (<М) е/ (х0 (?) + (?) ,й,— [ Р ("""~""~",х0 (^1) + В (<?1) й (^0)
<р
В окрестности точки й = 0 и е = 0 имеют место соотношения:
^ (<р,0) = С1 (?,0) = 0 и Д (?, й, 19, 0) = (?,й,9, 0 ) = 0 Наряду с системой (1.2) будем рассматривать систему интегро-дифференциальных уравнений с -периодической правой частью вида (¿й й)
й(Р +Т1(ср, й) + А й, ^ /;+й,оГо Рг (ср.ср,, Кернер,, а)
9г (<р. к ^ г^ рх о,^ йо^))^, е)
+---^-1---г- (1-3)
<и0 + ^ й) + А й,/^+й,оГо Рх(ср.ср,, Кср^йср,, е)
На основании сделанных предположений на гладкость функции и матрицы
В, систему (1.3) можно представить в виде
(¿Й _
(<р + ш0Т0 \
cp,h,^- J P1(cp,cp1,h(cp1)^dcp1,e J, (1.4)
£ +
где: С (p ) = T (p » = 0 ( | h | 2 ) ,
(<р + ш0Т0 \
<P.h,— J P^cp.cp^hicp^dcp^e^
G1 (cp, h) Д (<p,h±Ç+ЫоТ° Pi(<p,q>i, h(cp1))dcp1, О) /де (щ+Т^ср.к))2
di (<P. С+Ы°Т° h(9i))d(Pi.e)
+-7-s-- + 0(e2),
<и0 + (cp,h) + ^{cp, h, Ç+0'oTo P1 (cp, cp,, Kcp^dcp,, e)
при этом T (p , О ) = О , H (p , h, $, 0 ) = О
Если система (1.4) допускает 2 7Г-периодическое решение h = h (p , e) , то из первого уравнения (1.2) можем определить явную зависимость p = p ( t, e) и
27Г
следовательно, можем получить--периодическое решение h = h ( p ( t , e) , e)
ÎO
системы уравнений (1.4), где со = со (e) корень уравнения p (со (e) ,e) = 2 7 . Следовательно, в дальнейшем задача заключается в отыскании 2 7-периодического решения системы (1.4). Для нахождения периодического решения (1.4) применяем метод Галеркина [1].
2. Алгоритм отыскания периодических решений.
Обозначим через Сг (JxD х ^ хЕ) пространство непрерывно дифференцируемых относительно (p , h, u, e) 2 7-периодических функций / (p , h, u, e) , где
-мерное евклидово пространство, .
Для элементов пространства будем рассматривать нормы:
|/|r = max |Z)/|0 ,|/|0 = max ||/(<p,ft,u,e)||
0<ip<2n TXDXDi
1
I fI 0 = [¿/о'"I I fI I ] 2, где: Drf - частная производная по p , h, u порядка г функции , -евклидова норма.
Положим,
Snip (p ) = С0 + л/2 2 ™ 1 (cfccos/c<p + cZfcs in/cp ) , где:
ip (p ) = c0 + 1 (cfccos /cp + cZfcs in/cp ) .
Согласно [3] для функции ip (p ) справедливы оценки
I ip-Smp I o<c (m) | I (p ) | o, (2.1)
I I ip-5mp I I < (m) | | i (p ) | | o, (2.2)
где: сг (m) = //2[(m + 1) 2 + (m + 2 ) 2 + - • •. . ..] , ст2(m) < (m + 1) 2
, Л V2 , . тг —-<(т(ш)<—, сг(0) = —. m + 1 m V2
Приближенные решения системы (1.4) будем искать в виде
К
г(ср) = а0 + V2^\akcoskcp + bksinkcp) ,
п=1
определяя коэффициенты из системы уравнений
[iC(cp)hm(cp) + T(cp,hm(cp)) +
<р+О)0Г0
+Н((<р)кт(<р),-^- [ <^1, е)],
которая эквивалентна системе алгебраических уравнений
О та + ^т)(а) + (а,е) = 0 , где: а = (2 т + 1 ) х (п — 1 ) мерный вектор коэффициентов: а = (а0,а1(.. ..атА,...,¿„0 .
/О ■ БШО ?
О
D(m)=
О
О О
\0
/ 5т(соБ?) О
О О
БП1?
О
\f2coscp О
\
О О
т\[2 бш тер О
т\[2
соб тер/
vi5т(с(?) соб?)
(2.3)
О
л/25т(С(?) бш?) О
О О
соб т ?)
О
-\/25т(С(?) бш т?)/
7(ш)
(а)
¿п =±[
2п)
<р+О)0Г0
= 5т1н((р,кт((р),-^- J Р1(<р,<р1,кт(<р1))а<р1,е)а<р
О \ 0 у
Основная лемма. Дана система уравнений вида:
(а) + Р2 (а, е) = 0 , (2.4) где а1, /"1, /2- векторы одинаковой размерности и Р1,Р2 -непрерывно дифференцируемые функции, в области Д : (е Ю Ф 0 , е- малый параметр,
9*1(0) да
Ф 0.
причем
Предположим также, что система (2.4) имеет приближенное решение а = а (е) такое, что а ( 0 ) = 0 и существуют постоянные 5 > 0 ,77 > 0, е > 0 и 0 < х < 1 такое, что
1. 5= {а :| | а —а | | < 5} с Д.
2. , V
I + I
да да II М
3. -2-<5,
1-Х
где: тогда система (2.4) имеет единственное решение
такое, что а (0) = 0 в области 5 и | | а (е) — а (е) | | <
Решение а = а ( е) находим согласно алгоритму
ак+1 = — + а0 = а{е), к = 0,1,2,...
Лемма 2. Предположим, что линейная система
йк (<р) й<р
= С((р)к(ср)
имеет функцию Грина С ( ? , т) от ограниченных решений в интервале обладающую свойствами
+
+
С (т + 0 ,т) — С (т — 0 ,т) = Е -единичная матрица, | | С («,т) | | « М0е-Я° 1 1 , « .те?! , « Ф т ,
где А0, М0-положительные постоянные. Тогда (¿е ££>(т) Ф 0 при больших т. Доказательство. Поскольку система алгебраических уравнений £>(т)а = 0 равносильно системе = 5т (С (« ) Йт (« ) ) , на основании функции Грина
записываем эквивалентную ему систему интегральных уравнений Йт О ) = /_ С («¡о ,т) [5т — /] С (х) Йт 00 (т,
где 1-тождественный оператор, с учетом (2.2) получим неравенство
Рш0Р)11о < —у— ^(т)[|С(<;р)|о1111о + |С(<р)|0Рт||0] . (2.5)
л0
Так как при то из неравенства следует
I I Йт (« ) | | — 0 при т — , следовательно, а — 0.
Это возможно в случае обратимости матрицы £>(т) т.е. если ( е Ш(т) Ф 0 при т — . Лемма доказана.
Теорема. Пусть система интегро-дифференциальных уравнений (1.4) такова, что выполняются условия:
(¿! > Готах,, ^^ | Рх О,«!,/!(«1))| = 70| Рх | о;
б) существует 2 7Г - периодическое решение й = й ( « , е) принадлежащее в области Ду с Д, где множество точек, которые принадлежат D вместе своей 5 -окрестностью;
в) система = С (« ) Й (« ) имеет функцию Грина С (« ,т) .
Тогда можно указать такое достаточно большое , что при всех существуют приближения Галеркина равномерно сходящиеся при
к точному периодичекому решению и удовлетворяет неравенству
I Йт (« ,е) — й (« ,е) | 0 «< М (е)2^ + I СЙ + У + Н | о <г (т) .
Доказательство. Полагая получаем равенство
аКт(.<р,е) .
■5т (с((р)Я(ср, е)+Т (ср, Й((р, е)) + +Я (срМ<Р,£)А!*+0>оТо Р1(<Р,<Р1, Кернер!, е)с1ср) = 5т(С(<р)йт +Ят) + +5т (С (« ) (й — йт) ) + 5т (У—^т) + 5т (Н—Ят), (2.6)
где
<Р + й)07о
Н = Н(ср
,Н(р,е), -7- [ Р± {<р, (р±, К(рг, е))йср^е),
<р
<р+ш0Т0
Нщ = Нгп((Р
<р
Равенство (2.6) эквивалентно следующему алгебраическому уравнению
Дт) а + ^(т) (а)+К,(т) (а, е) = — (р(т) + р(т) + р(т) (е) ) (2.7)
где: р(т) ,р(т) ,р(т))(е) - векторы коэффициентов Фурье, функции
5т (С (« ) (Й — йт) ) , 5т (У—^т) , 5т (Н—Ят) . (2.8) Применяя к функциям (2.8) неравенство Шварца, оценки (2.2) и представлений
У (« , й) — У (« , Йт) = /0! (й — йт) ( 0,
<Р + О)0г0 (P+COqTQ
H(cp,h,— I P^cp.cpi.fydcpi.e)-) H(cp,hm,— P^cp.cp^h^dcp^e) =
OJ0 J W0 J
<p <p
I 9Я (cp, ftm + 0 (ft-ftm), -LPi(<р,<ръ tPjdcp,, e) = J -^-X 0 - hm)de
0
1 _ <P+°'0T0 1 ( - f— — \\
dH{(p,hm,vm + ei{v-vm),e 1 Г [ dP1[<p,<p1,hm +9{h-hm))
+ J dv [<o0 J J 9ft X
о <p о
x (ft - ftm)d0ci?1]ci61,
получим оценки
I I p{m) I I < I I С I I о I Cft+T+H I off! (m), (2.9) I | p(m) | | < I T| ! | Cft+T+H | o^ (m) , (2.10) J I p(m) I I < | H | ! [ l + Го | P | !] | | Cft+T+H | o^ (m) | . (2.11) Принимая а за приближенное решение уравнения (2.3) , (2.7) можно представить в виде
ä + [£)(т)]_1[^(т) (а) + F2(m) («,£)] = -[D^]'1^ + р^ + р^т)) Отсюда на основании неравенств (2.9) -(2.11) получим | | й + [D (m) ] " 1 [^(т)(й)+F1(m)(ä,e)] | | <М* | С ft + T + H | „^ (m) = 77 (е) , при m > mo м еб[ 0,ео] где | [D(m) ] 1 | < М,
* = I I С I I „+| T | i + | H | 1 [1 + Г„ | P | J . Определяем, область Am вида
л f и -и ^о-|СЬ + У + Я|0<Т!(жУ|
Дт= а:||а-а|| <--- , (2.12)
( V2m+1 J
и составим частичную сумму ряда ft = ft (? , е) = ао + V2 2 m= 1 (ßfcCosn? + ftfcs inn? ) , для aeAm Тогда, учитывая, что I I h — ftm I I = I I a — ä I I ,
I ftm — hm I 0 < V 2 m + 1 I I a —ä I I м | ft — hm | <| Cft+T+H | ff1 (m) с учетом (2.12) имеем
| ft — ftm | < V2 m + 1 I I a — <h I I + | Cft + T + H | off1 (m) < <So. Отсюда следует ft (? , е) 6 D для всех ? 6 71 м е 6 [ 0 , е o ] . Обозначим через множество точек , для которых .
Заметим, что для этого достаточно положить
S0-\Ch + T + Н\0аг{т)
т -у, , .- ■
V2 m + 1
Теперь выбираем м достаточно малым и достаточно
большим, чтобы при , выполнялись неравенства
M^|Cft + Г + Я|0(Т1(пг) <50 - \Ch + Г + Я|0(Т1(пг)
1-Х < V2m +1 ' (2'13)
9F1(m)(a) 9F2(m)(a,e)
■ +
9a 9a
4- (2-l4)
Такой выбор возможен, ибо ^ 2 1 0 при т В качестве 5т, можно взять выражение
80-\С11 + Т + Н\0о^т) ^(е) ~ . „
5т =- -> ---для т > т1 . (2 . 1 5 )
_ л/2т + 1 _ 1 _
Поскольку и , то из этого следует, что
а = а (е) и а (0) = 0 . Так как —= 0 , то —^— = 0.
Таким образом, при т > т 1 и 0 < е < е0 из неравенств (2.13) - (2.15) следует, что уравнение
удовлетворяет всем требованиям основной леммы, а следовательно, имеет только одно решение в области , для которого справедливо неравенство
| | а0 (е) — а(е) | | < 5т .Следовательно, существует приближение Галеркина высокого порядка. Так как
I | й —йт I | 0 = | | « — а0 | | , I йт — Йт| 0 < V 2 т + 1 | | а —а0 | | и
\h~hm\o < \Ch+T + Н\0а1(т),
то из этих неравенств следует
К(ср. г) - Цср, е)\о « + \°h + * + Н^(гп).
Введя обозначения
^ ,) = МУ| Ch+У+И I о
1-х "
получим оценки погрешности теоремы.
Так как а0 = а0 (е) и а0 (0) = 0 , то отсюда следует - 0) = 0. Теорема доказана.
Список литературы /References
1. Урабе М. Метод Галеркина для нелинейных периодических систем. Механика, 1966. 97. № 3. С. 3-34.
2. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. М.: Наука, 1987. 304 с.
3. Алымбаев А.Т., Нуржанов О.А. Численно-аналитический метод исследований автономных систем интегро-дифференциальных уравнений // Укр. мат. журн., 1979. Т. 31. №5. С. 540-547.
4. Митропольский Ю.А. Системы эволюционных уравнений с периодическими и условно-периодическими коэффициентами / Ю.А. Митропольский, А.М. Самойленко, Д.И. Мартынюк. Киев: Наукова Думка, 1984. 16 с.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ФИЗИКА Филатов А.И. Email: [email protected]
Филатов Анатолий Иванович - пенсионер, г. Алматы, Республика Казахстан
Аннотация: в статье анализируются результаты физических опытов, в которых были определены числовые значения физических постоянных. Результатом анализа явился вывод формул для вычисления энергии физических явлений и формул для вычисления значений физических постоянных - гравитации, электрической, магнитной, Планка, Больцмана, Стефана Больцмана, а также показателей адиабаты, удельных теплоёмкостей.
