CC BY
6
УДК 517.927.4, 517.957, 517.958 doi:10.21685/2072-3040-2022-1-2
О существовании нелинейных связанных поверхностных ТЕ- и вытекающих ТМ-электромагнитных волн в круглом цилиндрическом волноводе
Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин
1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1 smirnovyug@mail.ru, 2e.g.smolkin@hotmail.com
Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - исследование процесса распространения связанных поверхностных ТЕ- и вытекающих ТМ-поляризованных электромагнитных волн в линии Губо (идеально проводящем цилиндре, покрытом концентрическим диэлектрическим слоем), заполненной неоднородной нелинейной средой. Материалы и методы. Для получения решения задачи применяется метод функций Грина. Результаты. Обнаружен эффект трансформации поверхностных ТЕ-и вытекающих ТМ-поляризованных электромагнитных волн в линии Губо. Выводы. Предложенный метод является эффективным способом анализа связанных поверхностных TE- и вытекающих TM-волн.
Ключевые слова: неоднородный волновод, линия Губо, уравнения Максвелла, поверхностные волны, вытекающие волны, связанные волны, нелинейная двухпарамет-рическая задача на собственные значения
Финансирование: работа поддержана грантом Российского научного фонда № 2011-20087.
Для цитирования: Смирнов Ю. Г., Смолькин Е. Ю. О существовании нелинейных связанных поверхностных ТЕ- и вытекающих ТМ-электромагнитных волн в круглом цилиндрическом волноводе // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2022. № 1. С. 13-27. doi:10.21685/2072-3040-2022-1-2
On the existence of nonlinear coupled surface TE- and leaky TM-electromagnetic waves in a circular cylindrical waveguide
Yu.G. Smirnov1, E.Yu. Smol'kin2
12Penza State University, Penza, Russia 1 smirnovyug@mail.ru, 2e.g.smolkin@hotmail.com
Abstract. Background. The purpose of this research is to study the process of propagation of coupled surface TE and leaky TM of polarized electromagnetic waves in the Goubau line (an ideally conducting cylinder covered with a concentric dielectric layer) filled with an in-homogeneous nonlinear medium. Materials and methods. To obtain a numerical solution to the problem, the method of Green function is used. Results. Transformation of coupled surface TE and leaky TM of polarized electromagnetic waves in the Goubau line is found. Conclusion. This method is an efficient way to analyze coupled surface TE and leaky TM waves.
Keywords: inhomogeneous waveguide, Goubau line, Maxwell's equations, surface waves, leaky waves, coupled waves, nonlinear two-parameter eigenvalue problem
© Смирнов Ю. Г., Смолькин Е. Ю., 2022. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
Acknowledgments: the work is supported by the grant No.20-11-20087 of the Russian Science Foundation.
For citation: Smirnov Yu.G., Smol'kin E.Yu. On the existence of nonlinear coupled surface TE and leaky TM electromagnetic waves in a circular cylindrical waveguide. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2022;(1):13-27. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2022-1-2
Введение
Теория распространения поляризованных электромагнитных волн в плоских и цилиндрических волноводах, заполненных линейной средой развита достаточно полно [1-3].
Работа посвящена проблеме распространения связанных поверхностной TE- и вытекающей TM-электромагнитных волн в линии Губо, заполненной нелинейной неоднородной средой. Диэлектрическая проницаемость внутри волновода зависит от интенсивности поля и радиальной координаты, причем функция зависимости от интенсивности произвольная. Связанная волна в волноводе представляет собой сумму двух поляризованных монохроматических волн; каждая из этих волн гармонически зависит от продольной координаты волновода. Цель данной статьи - исследование нелинейного взаимодействия двух типов таких волн, распространяющихся с разными частотами ю^ и •
Краткий обзор задач распространения волн в волноводах со средами с керровской и другими нелинейностями можно найти в [4-9]. В работах [812] проведено численное исследование распространения поверхностных волн в слоистых нелинейных диэлектрических и металло-диэлектрических волноводах. Численные результаты получены с помощью метода пристрелки по параметру (см., например, [12, 13]).
Метод возмущения, используемый в данной работе, был предложен и развит в [14, 15]. Альтернативный метод интегральных дисперсионных уравнений представлен в [16]. Связанные волны рассматривались в [17, 18].
В настоящей статье продолжаются исследования задачи, начатые в статьях [19, 20], в которых рассматривался случай нелинейности Керра. В данной статье рассматривается нелинейность общего вида. Доказано существование связанных поверхностных TE- и вытекающих TM- электромагнитных волн в линии Губо, заполненной нелинейной неоднородной средой с произвольной нелинейностью.
1. Постановка задачи
3
Рассмотрим трехмерное пространство Ш с цилиндрической системой
3
координат Oрфz . В Ш помещен волновод
X:={(р,ф,z):ro <р<r,0<ф<2п}
с образующей, параллельной оси Oz (ось симметрии волновода совпадает с осью Oz), и круговым поперечным сечением. Волновод неограниченно продолжается в направлении z .
Сечение волновода, перпендикулярное его оси, состоит из концентрического кольца с внутренним радиусом Гд и внешним радиусом г . Внутренняя часть представляет собой идеальный проводник. Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве имеет вид еде, где £д > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума,
е = |е(р) + ау(|Е|2), 0<р<г, 1, р>г,
а - вещественная положительная постоянная - коэффициент нелинейности среды; е(р)е С1 [г0,г] - непрерывно дифференцируемая функция,
тт е(р) > 1 и Е - комплексная амплитуда электрического поля. Функция
Ре[г0,г ]
> 0 описывает нелинейность и является непрерывно дифференцируемой при t > 0 . Пространство заполнено средой без источников; всюду Ц = Ц0 > 0 -магнитная проницаемость вакуума.
Будем считать, что электромагнитное поле есть сумма монохроматических ТЕ- и ТМ-волн, каждая из которых распространяется на своей частоте и гармонически зависит от г. Причем волны имеют разные, но связанные постоянные распространения. В нелинейной среде это приводит к новому типу волн, называемых связанными волнами.
Рассмотрим электромагнитное поле Е, Н :
Е = Е Ее-ЮЕ + Еме~™м,
Н = Н Ее~™Е + Нмв~1юм, (2)
где > 0, Юм > 0 - круговые частоты; Ее , Ем Не и Нм - комплексные амплитуды полей с индексами Е и м соответственно, имеющие вид
и
Ee = (0, £ф ,0)Т, EM = (Ер ,0, Ez )Т,
HE = (Нр,0, Hz )Т, HM = (0, Hф,0)Т,
Ер = Ер(р)е^, Еф = Еф(р)^, Ez = Ez (р)е*м,
(3)
-ф -^ф
Hp = Hp(p)eiYEZ, H ф = Иф(руЧ^, Hz = Hz (р)е^,
где Ye , Ym - неизвестные вещественные связанные постоянные распространения (спектральные параметры).
Запишем систему уравнений Максвелла в следующей форме:
rot (нЕе~'аЕ + HMe~iaMt) = -ieroEЕЕе-'ш^ - ieroMЕме"гЮмГ,
(4)
rot (e-iaEt + EMe"ifflMt ) = /|IqWe H Ее~™Е + ^q®m H ме
-i®Mt
Подставляя (2) и (3) в (4), имеем
УмЕр+Ум (Е ) -Юм цоёоёЕр,
< уееф -(Р-1 (реФ)) - ЮЕЦоёоёЕф, (5)
-УмР-1 (реР ) - Р-1 (р(Е)) - ЮмЦоёоё(Е)
где
НР - -уе (юецо )-1 еФ,Н - (/ЮЕцО )-1 Р-1 (реФ) , Нф - (/Юмцо )-1 (гУмЕр - Е) •
Введем обозначения: и (р):- Ер(р), и2 (р):= еф(р), из (р):- /Ег (р), где и/, вообще говоря, зависят и от , Ум • Система (5) принимает вид
Уми1 +Тми3 - кмёиЪ
<(р-1 (Ри2)) -уе^--кЕ^u2, (6)
Ум Р-1 (Ри1) + Р-1 (Ри3 ) - -кмёи3.
,2 2 ,2 2 где кЕ :- ЮЕЦ0ё0 и км :- ЮмЦ0ё0 •
При р > г имеем линейную задачу при ё -1. Из (6) получаем систему
Уми1 +Уми3 - кмиъ ' (р-1 (Ри2 )) - УЕи2 --кЕu2, Ум Р-1 (Ри1 ) + Р-1 (Ри3 )--км и3.
Находим решение системы
и 1 (Р) --Ум Км (1См-К0 (Км Р) + ад (Км Р)), <и2 (р)-Се!1 (ке Р) + ад (КЕ Р), (7)
и3 (р)-СмК0 (КмР) + См70 (КмР)
где Км :-Ум - кМ, КЕ :-уе - кЕ; (Те , ¿м , СЕ и См - постоянные интегрирования; I и К - модифицированные функции Бесселя.
Классификация волн как поверхностных, так и вытекающих зависит от поведения в направлении р (см., например, [2, 3]). Волна называется поверхностной, если она такова, что и (р)^ 0, р^^. Волна называется вытекающей, если она такова, что и (р)^^, р ^ 0.
Мы будем рассматривать распространяющиеся поверхностные ТЕ- и вытекающие ТМ-волны. Решение СЕК (кер) определяет поверхностные ТЕ-поляризованные волны, убывающие на бесконечности, поскольку К1 (кер) —^ 0 при р — ^. Решение См1о (кмР) определяет вытекающие ТМ-поляризованные волны, возрастающие на бесконечности, поскольку 10 (Кмр) — ^ при р — го .
Ввиду так выбранных условий на бесконечности решения (7) принимают вид
и1(р) - -Ум КмСм10 (км р) - -Ум Км}См11 (км р),
и2 (р)- СЕК1 (КЕp), и3 (Р)- См10 (КмР).
/, , ,2 2 2 При Г) ^р^г имеем £-£ + ау(|и| ), где и -и1 + и2 +
(8)
2
u3 и
и - (и1,и2,и3) . Из (6) получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений:
yMu1 + YMu3 = kM (e + av(|uf)
(р-1 (pu2 )) -YEu2 = -kE (e + av(|u|2)) YMр-1 (Pui) + р-1 (Pu3) = -kM ( + aW|u|2)).
(9)
Из условия обращения в нуль касательных составляющих электрического поля на границе идеального проводника и непрерывности касательных составляющих на границе раздела сред имеем следующие граничные условия и условия сопряжения:
щ\ = 0, u3| = 0
21р=г0 ' 3 1р=г0
P=r0
(10)
]|р=г = 0, [U2 ]|р=г = [u2 ]|р=г = °,Ь ]|р=г = 0
'1р=г
р=г
'1р=г
(11)
где [ f ]Р-Г - 11т0 f (Р)- 11т0 f (Р).
Р-Г Р—г-0 Р—г+0
Получаем двухпараметрическую задачу на собственные значения: найти такие пары (е , Ум) - ((е , Ум), при которых существуют нетривиальные решения и, и2 и щ системы уравнений (9), удовлетворяющие граничным условиям (10) и условиям сопряжения (11), причем пара постоянных Се и См считается фиксированной.
Пару постоянных распространения (е , Ум) - ((е , Ум), являющихся решением задачи, будем называть связанными собственными значениями.
и
Каждая пара ((, Ум) отвечает распространяющейся связанной поверхностной ТЕ- и вытекающей ТМ-волне вида (2) при условиях (3), распространяющейся в волноводе X.
2. Теорема о существовании решения задачи
Пусть хЕ = кЕе - тЕ и Хм = км е - Ум . Для всех уе и ум, отличных от точек спектра операторов
Ье :=-
( - > ( 2 1 ^
V /
+р
Х Е
, Ьм :=
Ре
Хм- р
+ ре,
существуют функции Грина Ое и Ом краевых задач: ЬЕ0Е =-8(р-5 ),
Ое\ = дрОЕ =0, Е !р=Г) р Е 1р=г
Ьм0м =-8(р-5),
Ом |р=г0 = др0м |р=г =0,
Г0 < 5 < Г,
Г0 < 5 < Г.
(12)
(13)
Задача может быть сведена к исследованию разрешимости следующей системы интегральных уравнений:
где
\СЕ9е (уЕ ) = аЯЕ (уЕ,Ум ) 1См9м (Ум ) = аЯм (уе,Ум )
9Е (Уе ) = (1 + гд5ОЕ (г,Г))(ЕгК0 (КЕГ) + К1 (КЕГ)),
Г
^Е (уе,Ум) = -аг|кЕрэ5Ое (г)(|и|2)Ы2 (р)-Р,
(14)
и
Г 2е2 (Г) Хм (Г)
9м (м) = 2 ■ ■ (кмг10 (кмг) -(кмг))Ом (гг)--— (кмр),
Хм (г) Кт
„ ( ) ( )Г д250м (р,Г) /| |2
QE (Уе,Ум ) = аУме(г)| 2 , ч ~
Г Хм (р)
рШ и ) М1-р +
+ае
(г)|д50м (р,г)ру(|и|2)из-р.
0
0
Полагая а = 0 в (14), мы получаем два соотношения для случая линейной среды внутри волновода:
ge (ye ) =
(15)
дм (ym ) =0 •
(16)
Уравнения (15) и (16) соответствуют линейным процессам распространения поверхностных ТЕ- и вытекающих ТМ-волн; их корни определяют соответствующие константы распространения. Эти процессы независимы, что видно из полученных соотношений.
Рассмотрим две краевые задачи:
' f 2 1
(ршЕ ) +р kEе--;
Л
We =Р^E wE,
wE\ = wE I = 0
E lp=r0 E lp=r
(17)
f ' V
f wM ^
Ре
+ kM w = ^M wM
+—wM =-
Ре
(18)
w,
M p=
P=ro
= w
M p=
p=r
= 0,
где г0 < р < г .
Задача (17) получена из (5) для = Еф и Xе = YE ; задача (18) получена из (5) для юм = рЯф и Хм = Ум .
- системы всех собственных
Пусть Ш4И}Г и ш,»МТ I- ¡„=11 ¡т=1
значений и собственных функций, ортонормированных в пространствах ¿2 (го,г;р) и ¿2 (,г;р-1£-1) краевых задач (17) и (18) соответственно. Как
известно, все собственные значения обеих задач являются действительными и простыми (кратности 1). В этом случае каждая задача имеет только конечное число (или не имеет) положительных собственных значений и бесконечное число отрицательных.
Следующие утверждения дают критерии разрешимости сформулированных выше линейных задач [17].
Лемма 1. Предположим, что существует („ +1) собственных значений
хЕ),. ., хЕ„+1) краевой задачи (17) таких, что
kE <•••
(«+1)
Е
<k
Е min е;
p£[r0,r ]
и
и
тогда можно выбрать радиус г > 0 таким образом, чтобы уравнение (15) имело как минимум п простых (кратности 1) корней уЕ^,...,тЕ^ таких, что
дй? <у( ^ Г', *=1, п.
Лемма 2. Предположим, что существует (т +1) собственных значений м,...,^(т+1) краевой задачи (18) таких, что
2
(+1) * = т
12 1 (1) 1 (т+1) , 2
км <Цм <...<хм <км min е;
м
рФ
тогда можно выбрать радиус г > 0 таким образом, чтобы уравнение (16) име-
, 1Ч „ „(1) _(т)
ло как минимум т простых (кратности 1) корней ум,...,Ум таких, что
<"у^ 1), *=1 т.
Пусть {д(и {
(; )1 м
Ч=1
т+1 }=
некоторые множества положительных
чисел такие, что интервалы
г() := гЕ :=
I = 1, п,
(19)
и
г(;) := гм :=
Ш+д(;) л+1)
А/Лм +дм Км
-Д'
м
, ; = 1, т,
(20)
не содержат полюсов функций Грина Ое и Ом для всех допустимых * и ;
У() е Г() У(() е Г()
'Е е1Е , Тм е1м •
Другими словами, Д() и Д^ выбраны таким образом, чтобы отойти от полюсов функций Грина Ое и Ом без потери решений линейных задач (для а = 0).
Следующая теорема устанавливает условие существования решения нелинейной задачи на собственные значения (доказательство аналогично
[19, 20]).
Теорема 1. Предположим, что существует пит простых корней ~(1) ~(п) _(1) ~(т) „ ,, ,ч
УЕ ,. ., УЕ и ум,. ., Ум уравнений (15) и (16) соответственно, удовлетворя-
ющих условиям
, (1) (п+1) , . г
кЕ <УЕ <... <тЕ < кЕ т1^ !^е
ре[г0,г ]
и 20
, (1) (т+1) , . Г
кМ <!м <...<Ум < кМ т1п л/е.
ре[г0,г ]
Тогда существует такое число ао > 0 , что для любого 0 <а<ао задача
на собственные значения имеет не менее „ х т связанных собственных зна-
) &)
чений ((Е', УМ' |, где I = 1, „ и ] = 1, т . В этом случае для всех возможных I и ]
() y(j))еГ()ХГ ye ,ym Je ГЕ ХГ
(j) м •
Из приведенной теоремы следует, что при сформулированных выше условиях существуют связанные поверхностные ТЕ- и вытекающие ТМ-волны, распространяющиеся без затухания в неоднородной линии Губо с немагнитной изотропной средой с произвольной нелинейностью.
3. Численный метод
Связанные собственные значения (уе ,Ум) являются корнями системы
дисперсионных уравнений, которая будет представлена ниже. Связанные собственные значения определяются численно с любой заданной точностью, используя модификацию метода пристрелки по параметру.
Пусть М4 = и2+ р-1^2, тогда система (9) может быть записана в следующем виде:
е' + 2а((И4-p lu2 — Ymu1u3 )
=-1-~—
е + а(2и2 + y( |u
p 1u1 + Ymu3 + 2akMlMLu\u3 (( + а¥(|u|2 е + а(2и12 + ш lu
(21)
/ -1 «2 = и4 -р ^2,
из =-Умм1 + УмкМ (е + а^(И2))
и4 = уЕ«2 - кЕ (е + ау(\а\2 ))и2.
Используя решения (8) и условия (11), получаем начальные условия: и (г) = х,
и2 (г) = СЕК1 (кЕг),
<
из (г ) = СмЧ (кмг),
и4 (г) = -СЕК0 (кЕг), где х - единственный действительный корень кубического уравнения
(22)
ах3 + (e(r) + а(Я? (кЕг) + С2М10 (кмг)))х - умк^ад (кмг) = 0. (23)
Предполагаем, что решение задачи Коши (21)-(22) существует, единственно, определено глобально на отрезке [ro, r ] для заданных значений ro,r и зависит непрерывно от параметров Ye и Ym • Поскольку правые части в (21) являются гладкими по всем аргументам, а начальные данные (22) гладко зависят от параметров и 'м , то локальное существование и единственность решения задачи, а также его непрерывная зависимость от параметров - результат из теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Важным предположением является существование непрерывного решения, определенного глобально на отрезке.
Используя граничные условия (10), получаем систему уравнений
|u2 (( Ye , Ym ) = 0 1"з (( Ye , Ym ) = 0
где значения U2 (ro) и щ (щ) получены из решения задачи Коши.
Система (24) является системой дисперсионных уравнений. Пары постоянных распространения Ye , Ym = ((e , Ym ), которые удовлетворяют (24),
являются связанными собственными значениями задачи. Чтобы определить связанные постоянные распространения, будем численно решать систему уравнений (24). Решением каждого уравнения в (24) является кривая в плоскости O'eYm . Помещая обе кривые на одной плоскости, определим точки пересечения кривых. Эти точки являются связанными собственными значениями.
В плоскости переменных Ye , Ym определим сетку, состоящую из узлов у(), 'М), которые будем использовать в методе пристрелки. Решая задачу
Коши (21)-(22) для каждого узла сетки, вычисляем величины u(j )(ro). Будем предполагать, что существуют соседние узлы
Y() Y(j) и Y() J/+1)
YE , YM и YE , YM , для которых выполняется условие
u(J )(ro )X u( j41)(ro )< 0.
В силу непрерывной зависимости решения U2 (, Ye , Ym ) от парамет-
/ () -(j)
ров 'e и YМ получаем, что существует точка 'Е , Ym в плоскости О'e Ym , где 'м) лежит внутри интервала ('М^ 'М+^), такая, что U2((),'М)) = 0• Повторив эту процедуру для всей сетки, мы получим
набор пар (М , Тм ), образующих кривую, являющуюся приближенным
решением уравнения и2 (0 ) = 0 в плоскости Оу^Ум .
Применяя ту же процедуру к уравнению из (, Уе , Ум) = 0 , мы получаем еще одну кривую в плоскости О^е Ум, которая является приближенным решением уравнения. Очевидно, точки пересечения расчетных кривых являются приближенными решениями задачи на собственные значения. Если сделать сетку более плотной, то эти решения могут быть сколь угодно точными.
4. Численные результаты
На рис. 1 показаны зависимости Уе (Ум) (кривые 1) и Ум (Уе ) (кривые 2). Серые линии соответствуют линейным ТЕ (вертикальные линии) и ТМ (горизонтальные линии) волнам. Значения параметров, использованные в расчетах, указаны в подписях к рисунку.
электрическая постоянная распространения
Рис. 1. Дисперсионные кривые. Значения параметров использованных при вычислениях: а = 1 mmV_1, е = ес + p; ес = 11,7 (кремний); r = 2,2 mm
I Р
и r = 4,5 mm ; CE, CM = 1; юЕ = 30 GHz , юм = 40 GHz, y(|u|2) =-^--
V ' 1 + 0,01 |u|2
При достаточно малом коэффициенте нелинейности а связанные собственные значения находятся вблизи точек пересечения вертикальных и го-
ризонтальных линий («чисто» линейных распространяющихся ТЕ- и вытекающих ТМ-волн). Если коэффициент нелинейности меньше некоторого критического значения существует не менее 4 пар собственных значений. Из рис. 1 видно, что при большем значении коэффициента нелинейности а существует 6 пар связанных собственных значений; причем 4 пары (точки «▲») близки к решению линейных задач, а другие 2 пары (точки «•») являются «чисто нелинейными» связанными собственными значениями, которые не имеют связи с решением линейных задач. Они описывают эффект трансформации поверхностных волн в вытекающие волны, поскольку в линейном случае поверхностные и вытекающие волны существуют независимо друг от друга. Возникает возможность получения вытекающей волны с помощью возбуждения поверхностной волны при увеличении коэффициента нелинейности.
Заключение
Рассмотрена задача о распространении связанных поверхностных ТЕ- и вытекающих ТМ-поляризованных электромагнитных волн в линии Губо (идеально проводящем цилиндре, покрытом концентрическим диэлектрическим слоем), заполненной неоднородной нелинейной средой. Приведены условия разрешимости поставленной задачи на собственные значения. Найдены связанные поверхностные TE- и вытекающие TM-волны, распространяющиеся в цилиндрическом нелинейном неоднородном волноводе с произвольной нелинейностью.
Список литературы
1. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М. : Радио и связь, 1988. 440 с.
2. Снайдер А., Лав Дж. Теория оптических волноводов. М. : Радио и связь, 1987.
3. Адамс М. Введение в теорию оптических волноводов. М. : Мир, 1984.
4. Smimov Yu., Smolkin E. On the existence of non-polarized azimuthal-symmetric electromagnetic waves in circular dielectric waveguide filled with nonlinear isotropic homogeneous medium // Wave Motion. 2018. Vol. 77. P. 77-90.
5. Smolkin E., Shestopalov Yu. Nonlinear Goubau line: analytical-numerical approaches and new propagation regimes // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. 2017. Vol. 31 (8). P. 781-797.
6. Smolkin E., Valovik D. Guided electromagnetic waves propagating in a two-layer cylindrical dielectric waveguide with inhomogeneous nonlinear permittivity // Advances in Mathematical Physics. 2015. P. 614976.
7. Smirnov Yu., Smolkin E., Kurseeva V. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide // Applicable Analysis. 2019. Vol. 98 (3). P. 483-498.
8. Smolkin E. Goubau line filled with nonlinear medium: Numerical study of TM-polarized waves // Proceedings of the 2015 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA. 2015. Vol. 2015. P. 1-4.
9. Smolkin E., Valovik D. Numerical solution of the problem of propagation of TMpolar-ized electromagnetic waves in a nonlinear two-layered dielectric cylindrical waveguide // MMET'2012 Proceeding. 2012. P. 68-71.
10. Smolkin E. The azimuthal symmetric hybrid waves in nonlinear cylindrical waveguide // Progress in Electromagnetics Research Symposium PIERS 2017 Proceeding. 2017. P. 348-353.
11. Smimov Yu., Smolkin E., Valovik D. Nonlinear Double-Layer Bragg Waveguide: Analytical and Numerical Approaches to Investigate Waveguiding Problem // Advances in Numerical Analysis. 2014. Vol. 2014. P. 1-11.
12. Smolkin E., Valovik D. Calculation of the propagation constants of inhomogeneous nonlinear double-layer circular cylindrical waveguide by means of the Cauchy problem method // Journal of Communications Technology and Electronics. 2013. Vol. 58 (8). P. 762-769.
13. Smolkin E. Y. On the Problem of Propagation of Nonlinear Coupled TE-TM Waves in a Double-Layer Nonlinear Inhomogeneous Cylindrical Waveguide // Proceedings of the International Conference Days on Diffraction. St. Petersburg, 2015. P. 318-322.
14. Schurmann H. W., Smirnov, Y., Shestopalov Y. Propagation of TE waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2005. Vol. 71 (1). P. 016614.
15. Smirnov Yu., Schurmann H. W., Shestopalov Y. Integral equation approach for the propagation of te-waves in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2004. Vol. 11 (2). P. 256-268.
16. Smirnov Yu., Valovik D. Nonlinear effects of electromagnetic TM wave propagation in anisotropic layer with Kerr nonlinearity // Advances in Mathematical Physics. 2012. P. 609765.
17. Smirnov Yu., Valovik D. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr nonlinearity // Journal of Mathematical Physics. 2012. Vol. 53 (12). P. 123530.
18. Smirnov Yu., Valovik D. Coupled electromagnetic transverse-electric-transverse magnetic wave propagation in a cylindrical waveguide with Kerr nonlinearity // Journal of Mathematical Physics. 2013. Vol. 54 (4). P. 043506.
19. Smirnov Yu., Smolkin E. Nonlinear propagation of coupled surface TE and leaky TM electromagnetic waves // Applicable Analysis. 2021. Vol. 100 (14). P. 3050-3064.
20. Смирнов Ю. Г., Смолькин Е. Ю., Снегур М. О. Численное исследование распространения нелинейных связанных поверхностных и вытекающих электромагнитных волн в круглом цилиндрическом металлодиэлектрическом волноводе // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2021. Т. 61, № 8. С. 1378-1389.
References
1. Vaynshteyn L.A. Elektromagnitnye volny = Electromagnetic waves. Moscow: Radio i svyaz', 1988:440. (In Russ.)
2. Snayder A., Lav Dzh. Teoriya opticheskikh volnovodov = Theory of optical waveguides. Moscow: Radio i svyaz', 1987. (In Russ.)
3. Adams M. Vvedenie v teoriyu opticheskikh volnovodov = Introduction to the theory of optical waveguides. Moscow: Mir, 1984. (In Russ.)
4. Smirnov Yu., Smolkin E. On the existence of non-polarized azimuthal-symmetric electromagnetic waves in circular dielectric waveguide filled with nonlinear isotropic homogeneous medium. Wave Motion. 2018;77:77-90.
5. Smolkin E., Shestopalov Yu. Nonlinear Goubau line: analytical-numerical approaches and new propagation regimes. Journal of Electromagnetic Waves and Applications 2017;31(8):781-797.
6. Smolkin E., Valovik D. Guided electromagnetic waves propagating in a two-layer cylindrical dielectric waveguide with inhomogeneous nonlinear permittivity. Advances in Mathematical Physics. 2015:614976.
7. Smirnov Yu., Smolkin E., Kurseeva V. The new type of non-polarized symmetric electromagnetic waves in planar nonlinear waveguide. Applicable Analysis. 2019;98(3):483-498.
8. Smolkin E. Goubau line filled with nonlinear medium: Numerical study of TM-polarized waves. Proceedings of the 2015 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications, ICEAA. 2015;2015:1-4.
9. Smolkin E., Valovik D. Numerical solution of the problem of propagation of TMpolar-ized electromagnetic waves in a nonlinear two-layered dielectric cylindrical waveguide. MMET'2012 Proceeding. 2012:68-71.
10. Smolkin E. The azimuthal symmetric hybrid waves in nonlinear cylindrical waveguide. Progress in Electromagnetics Research Symposium PIERS 2017 Proceeding. 2017:348-353.
11. Smirnov Yu., Smolkin E., Valovik D. Nonlinear Double-Layer Bragg Waveguide: Analytical and Numerical Approaches to Investigate Waveguiding Problem. Advances in Numerical Analysis. 2014;2014:1-11.
12. Smolkin E., Valovik D. Calculation of the propagation constants of inhomogeneous nonlinear double-layer circular cylindrical waveguide by means of the Cauchy problem method. Journal of Communications Technology and Electronics. 2013;58(8):762-769.
13. Smolkin E.Y. On the Problem of Propagation of Nonlinear Coupled TE-TM Waves in a Double-Layer Nonlinear Inhomogeneous Cylindrical Waveguide. Proceedings of the International Conference Days on Diffraction. St. Petersburg, 2015:318-322.
14. Schurmann H. W., Smirnov, Y., Shestopalov Y. Propagation of TE waves in cylindrical nonlinear dielectric waveguides. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics. 2005;71(1):016614.
15. Smirnov Yu., Schurmann H.W., Shestopalov Y. Integral equation approach for the propagation of te-waves in a nonlinear dielectric cylindrical waveguide. Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2004;11(2):256-268.
16. Smirnov Yu., Valovik D. Nonlinear effects of electromagnetic TM wave propagation in anisotropic layer with Kerr nonlinearity. Advances in Mathematical Physics. 2012:609765.
17. Smirnov Yu., Valovik D. Coupled electromagnetic TE-TM wave propagation in a layer with Kerr nonlinearity. Journal of Mathematical Physics. 2012;53(12):123530.
18. Smirnov Yu., Valovik D. Coupled electromagnetic transverse-electric-transverse magnetic wave propagation in a cylindrical waveguide with Kerr nonlinearity. Journal of MathematicalPhysics. 2013;54(4):043506.
19. Smirnov Yu., Smolkin E. Nonlinear propagation of coupled surface TE and leaky TM electromagnetic waves. Applicable Analysis. 2021;100(14):3050-3064.
20. Smirnov Yu.G., Smol'kin E.Yu., Snegur M.O. Numerical Study of the propagation of nonlinear coupled surface and leaky electromagnetic waves in a round cylindrical metal-dielectric waveguide. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki = Journal of computational mathematics and mathematical physics. 2021;61(8):1378-1389. (In Russ.)
Информация об авторах / Information about the authors
Юрий Геннадьевич Смирнов
доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Yuriy G. Smirnov
Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
E-mail: smirnovyug@mail.ru
Евгений Юрьевич Смолькин
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: e.g.smolkin@hotmail.com
Evgeniy Yu. Smol'kin
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor
of the sub-department of mathematics
and supercomputer modeling, Penza
State University (40 Krasnaya
street, Penza, Russia)
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию / Received 13 12.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 12.01.2022 Принята к публикации / Accepted 2001.2022
