CC BY
10
УДК 517.958; 519.63; 621.372.8 doi:10.21685/2072-3040-2021-2-5
Численный метод решения задачи о ТЕ-волнах в линии Губо Е. Ю. Смолькин1, В. Ю. Мартынова2
^Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1е^^то1кш@^ШаЛ.сот, 279273698109@уа.ги
Аннотация. Актуальность и цели. Задачи распространения электромагнитных волн в открытых металлодиэлектрических структурах имеют большое значение при исследовании волноводов. Целью данной работы является численное исследование задачи распространения вытекающих и поверхностных ТЕ-электромагнитных волн в линии Губо. Материалы и методы. Предложенный численный метод основан на методе пристрелки по спектральному параметру. Результаты. Разработан численный метод решения задачи о распространении вытекающих и поверхностных ТЕ-поляризованных волн в линии Губо. С помощью данного метода проведен ряд вычислительных экспериментов. Выводы. Полученные результаты могут быть применены для классификации существующих в линии Губо электромагнитных ТЕ-поляризованных волн.
Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, ТЕ-волны, уравнение Максвелла, дифференциальные уравнения, линия Губо, метод пристрелки Финансирование: работа поддержана РФФИ (грант № № 20-31-70010). Для цитирования: Смолькин Е. Ю., Мартынова В. Ю. Численный метод решения задачи о ТЕ-волнах в линии Губо // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2021. № 2. С. 63-76. doi:10.21685/2072-3040-2021-2-5
Numerical method for solving the problem of TE-waves in the Goubau line
E.Yu. Smol'kin1, V.Yu. Martynova2
1,2Penza State University, Penza, Russia 1e.g.smolkin@hotmail.com, 279273698109@ya.ru
Abstract. Background. The problems of electromagnetic wave propagation in open metal-dielectric structures are important in the study of waveguides. The purpose of the article is to numerically study a problem of the leaky and surface TE-electromagnetic wave propagation in the Goubau line. Material and methods: A numerical method for solving the problem is based on a version of the parameter shooting method. Results: A numerical method for solving the propagation problem of the leaky and surface TE-electromagnetic waves in the Goubau line was developed and implemented, and several numerical experiments were carried out. Conclusions: The developed method allows one to classify electromagnetic TE-waves in the Goubau line.
Keywords: propagation problem of electromagnetic waves, TE-waves, Maxwell's equation, differential equations, Goubau line, shooting method Acknowledgments: the research is supported by RFBR (grant No. 20-31-70010).
For citation: Smol'kin E.Yu., Martynova V.Yu. Numerical method for solving the problem of TE-waves in the Goubau line. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy re-
© Смолькин Е. Ю., Мартынова В. Ю., 2021. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.
gion. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2021;2:63-76. (In Russ.). doi:10.21685/2072-3040-2021-2-5
Введение
В данной работе исследуется распространение электромагнитных ТЕ-волн в цилиндрическом волноводе, покрытом концентрическим диэлектрическим слоем. Линия Губо - это простейший тип открытых металло-диэлектрических волноводных структур. Спектр симметричных поверхностных мод исследовался в работах [1-3].
Комплексные волны в линии Губо в последнее время являются объектом интенсивных исследований [4-9]. Результаты [6-8], направленные на обоснование наличия комплексных волн в линии Губо, в большей степени основаны на теоретической модели [4], включающей строгое доказательство существования комплексных волн. Подход, изложенный в [4] и подробно описанный в [5], использует анализ функции нескольких комплексных переменных, входящих в дисперсионное уравнение для комплексных волновых спектров, с использованием теоремы Руша. В работе [8] подтверждается существование комплексных волн линии Губо и рассчитывается спектр поверхностных комплексных волн. В методике используется численное решение задачи Коши, полученное методом дифференцирования параметров. В работе [9] продемонстрировано существование сложных волн в линии Губо с покровным слоем из метаматериала.
Исследуемую электромагнитную задачу можно свести к задаче на собственные значения, в которой спектральным параметром является постоянная распространения ТЕ-волн. Для решения данной задачи предлагается численный метод, который основан на решении вспомогательной задачи Коши. Похожая методика использовалась для исследования симметричных гибридных электромагнитных волн, распространяющихся в нелинейных волноводных структурах [10].
Важной задачей в теории волноводов является правильная классификация волн в линии Губо. Разработанный метод позволяет классифицировать электромагнитные TE-волны в линии Губо и выделять вытекающие и поверхностные (в зависимости от состояния на бесконечности), распространяющиеся, затухающие и комплексные волны (в зависимости от характера постоянной распространения) [11-13]. Кроме того, разработанная методика позволяет рассчитывать волны в волноводной структуре, заполненной диэлектриками различных типов (с постоянной вещественной положительной диэлектрической проницаемостью волновода, неоднородными средами и средами с потерями, а также метаматериалами).
1. Постановка задачи
Рассмотрим идеально проводящий цилиндр, покрытый концентрическим диэлектрическим слоем (рис. 1). Волновод в цилиндрической системе координат Орфг
Е = {(р,ф,z):r0 <р<r,0<ф<2п,zе Ш}
является линией Губо. Здесь r) - радиус внутреннего идеально проводящего цилиндра; r — r 0 - ширина диэлектрического слоя, причем r > r 0 > 0. Про-
странство заполнено анизотропной немагнитной средой, всюду ц = Цд, где Цо > 0 - магнитная проницаемость вакуума.
Рис. 1. Поперечное сечение волновода Е
Рассмотрим TE-волны (E, H )e ifflt, распространяющиеся вдоль линии
3
Губо Е с образующей, параллельной оси Oz в Ш , где ю> 0 - круговая частота; E = (0,Бф(р),0)eiYz , H = ((р(р),0,Hz(р))eiYz - комплексные амплитуды; у - спектральный параметр (постоянная распространения волны). Уравнения Максвелла имеют вид
rot H = —iroe0eE, rot E = iro^0H , (1)
где £0 > 0 - диэлектрическая проницаемость вакуума и
ё = |£(р) r0 <р<r,
1£с, р> r,
£(р)е С[r0,r].
Таким образом, E, H удовлетворяют уравнениям (1), граничному условию для касательной составляющей электрического поля на идеально проводящем экране
Еф (р)| р = 0
и условиям непрерывности касательных составляющих полей на границе раздела сред (р = r):
[еф (р)]|р=г = [hz (р)]1=г = 0,
где
[ f I х- х = Ип10 f (х)- 11т0 f (x).
1х— х0 х^х0 +0 х^ х0 -0
Условия излучения на бесконечности будут описаны ниже. Таким образом, задача о волнах является задачей на собственные значения для уравнений Максвелла со спектральным параметром у, который соответствует постоянной распространения волны.
Все компоненты поля можно выразить, используя касательную составляющую электрического поля £ф(р). Следовательно задача сводится
к нахождению одной скалярной функции и:— £ф(р). Заметим, что всюду
ниже (•) означает дифференцирование по р .
Принята следующая классификация волн [12-14].
Определение 1. Распространяющаяся волна характеризуется вещественным параметром у (1т (у) — 0).
Определение 2. Затухающая волна характеризуется мнимым параметром у ^е (у) — 0).
Определение 3. Комплексная волна характеризуется параметром у таким, что Re (у)1т (у)^ 0.
Заметим, что постоянная распространения у характеризует поведение волны (распространяющейся, затухающей или комплексной) в г -направлении.
Определение 4. Поверхностная волна удовлетворяет условию:
и (р)^ 0 при р^га. (2)
Определение 5. Вытекающая волна удовлетворяет условию:
и (р)^^ при р^га. (3)
Из определений 4, 5 следует, что классификация волн как поверхностных, так и вытекающих зависит от поведения волны на бесконечности в р -направлении.
Пусть к0 — ю2Ц0е0 • Задача распространения сводится к следующей задаче на собственные значения для функции и : найти уе С такое, что существуют нетривиальные решения дифференциального уравнения
и" + р-1и'-р-2и + ( -У2 )и — 0, (4)
удовлетворяющие граничным условиям
и — 0, (5)
1р— Г) ' 4 7
и условиям сопряжения
[и ]|р—г — ^ И|р—г — (6)
Для р > г имеем ё = ёс , тогда уравнение (1) можно записать в виде
и" + р-У - р-2и - к2 и = 0 .
В соответствии с условием на бесконечности (2) и (3) выберем решение последнего уравнения для поверхностных волн в виде
и = С& (кр), р> г, (7)
и для вытекающих волн в виде
и = С2/1 (кр), р> г, (8)
где
к = ^/у2 -к1ёс и Re(к)>0,
С1, С2 - постоянные, а К1 и /1 - функции Макдональда и Инфельда [15] соответственно.
Для Г0 < р < г имеем ё = е(р), тогда из (1) получаем уравнение
и"+р-1и'-р-2и + (ю2ц0е0е-у2 )и = 0 . (9)
Определение 6. Параметр уе С - постоянная распространения задачи, если существует нетривиальная функция и, которая при Г) ^ р ^ г является решением уравнения (9), при р > г удовлетворяет условиям (5), (6), уравнению (7) для поверхностных волн и (8) для вытекающих волн.
2. Численный метод
Рассмотрим задачу Коши для уравнения (9) с начальными условиями
и(0) = 0, и'(0) = А , (10)
где А - известная постоянная.
Предполагаем, что решение задачи Коши (6), (7) существует, единственно, глобально определено на отрезке [гь г ] при заданных значениях г0, г и непрерывно зависит от у . Из условий сопряжения на границе р = г (6) получаем дисперсионное уравнение для поверхностных
Д1 (у) = К1 (кг)и'(г) + (кК0 (кг) + г"1К1 (кг))и(г) = 0 и для вытекающих волн
Д2(у)= /1 (кг)и (г)-(к/0(кг)-г_1/1 (кг))и(г) = 0,
где и (г) и и (г) - решения задачи Коши (9), (10).
Пусть а = Re(у), а в = 1т(у). Учитывая, что Дк (у) = 0, тогда и только тогда, когда равны нулю вещественная и мнимая части от Дк (у), получим следующую систему для определения а и в:
Г Дк1 (а, в):— Re А к (у) — 0, [Лк 2 (а, в):— 1т А к (у) — 0,
здесь и всюду ниже к —1,2.
Используя метод пристрелки по параметру, приближенно определим пару (а,в) как численное решение системы (11). Решением каждого уравнения системы (11) является кривая на плоскости Оав. Точки пересечения данных кривых являются приближенными собственными значениями изучаемой задачи.
Введем сетку
{(), в( ])): а(/) — а + /Та, в( ]) — Ь + Утр, / — 0П,
а2 - а1 . -— Ь2 - Ь1 — —-] — 0, т, Тр—^ 1
]
с шагами та > 0, Тр > 0 , где а1, а2 , й^, ¿2 - действительные фиксированные постоянные такие, что а2 > а1, ¿2 > Уменьшая шаги сетки та и Тр, мы
можем получить сколь угодно точные решения изучаемой задачи.
Решая задачу Коши (9), (10) для каждого узла сетки, вычисляем величины и (г; а(/), в(')) и и'(г; а(/), р(')), / — 0, п, ] — 0, т . Из того что функция
и (г;а(/),в(')) непрерывно зависит от параметров а и р, следует, что если
Ак1 (), р( ]) )Д к1 (), р( ]+1) )< 0,
то существует точка (а(/),р) в плоскости Оар, где ре р(]),р(]+1) такая, что
Ак1 (а(/), р) — 0.
Аналогично, если
Ак1 (), р( ]) )Д к1 (а(/+1), р( ]) )< 0,
то существует точка (а,р(])) в плоскости Оар, где ае что
А к1 (а, р( ])) — 0.
Действуя таким образом, можно определить набор пар (а(р), р(р)), где
а(/), а(/+1)
такая,
р — 0, N, N - количество найденных точек. Этот набор представлен в виде кривой на плоскости Оар (черная кривая на рис. 2).
0.90
0.85
P 0.80
P
0.75
0.70-
0.72 0.74 0.76 Й. 0.80 0.82 0.84 0.86 0.88 0.90 a
Рис. 2. Численное решение системы (11): черная кривая - решение первого уравнения системы (11); серая кривая - решение второго уравнения системы (11);
точка пересечения кривых - приближенное решение системы (11)
Применяя тот же подход ко второму уравнению системы (11), получаем другую кривую на плоскости Оав (серая кривая на рис. 2). Эта кривая является приближенным решением уравнения Дк2 (а,в) = 0 в плоскости Оав. Точка пересечения кривых (а,в) (черная точка на рис. 2) является приближенным решением системы (11). Это означает, что у = а + /(3 - постоянная распространения поверхностной ТЕ-волны при к = 1 и вытекающей ТЕ-волны при к = 2 . При этом, если а = 0 и в ^ 0, то найденное значение является постоянной распространения затухающей волны (в соответствии с определением 2) и будет располагаться строго на оси Ов; если а ^ 0 и в = 0, то найденное собственное значение соответствует распространяющейся волне (в соответствии с определением 1) и будет располагаться строго на оси Оа . В случае а в ^ 0 постоянная распространения у соответствует комплексной волне (в соответствии с определением 3).
На рис. 3-10 представлены результаты расчета приближенных постоянных распространения для задачи о распространении ТЕ-поляризованных волн в линии Губо. Численные эксперименты проведены для четырех выбранных типов диэлектриков, которыми заполнен волновод X : диэлектрик с постоянной диэлектрической проницаемостью, неоднородный диэлектрик, диэлектрик с потерями и метаматериал. Численно обнаружены распростра-
3. Численные результаты
няющиеся, затухающие, комплексные поверхностные ТЕ-волны и распространяющиеся, затухающие, комплексные вытекающие ТЕ-волны.
В расчетах используются следующие значения параметров: = 1, £0 = 1, £с = 2, ю = 1, А = 1, г0 = 1, г = 5, =-3, ®2 = 3, Ь = -3, = 3, та = 0,03, тр = 0,03.
На рис. 3-6 представлено решение задачи о распространении поверхностных ТЕ-волн в волноводе 2 при различных значениях диэлектрической проницаемости волновода.
Рис. 3. Поверхностные волны в линии Губо, заполненной диэлектриком с £ = 5 .
Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся поверхностным ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим поверхностным ТЕ-волнам
Черные и серые кривые - решения первого и второго уравнений (11) при к = 1 соответственно. Точки пересечения кривых являются приближенными решениями системы (11) при к = 1. Черные точки пересечения кривых, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся поверхностным ТЕ-волнам, точки пересечения кривых, обозначенные черными ромбами, -затухающим поверхностным ТЕ-волнам, круглые черные точки - комплексным поверхностным ТЕ-волнам. Заметим, что при заданных параметрах постоянные распространения, соответствующие комплексным поверхностным ТЕ-волнам, обнаружены только в случае, представленном на рис. 5, когда линия Губо заполнена средой с потерями, т.е. £ = 5 + 0,5ш . На рис. 3-6 черные и серые кривые имеют пересечения только на осях Оа и Ов .
На рис. 7-10 представлено решение задачи о распространении вытекающих ТЕ-волн в линии Губо при различных значениях диэлектрической проницаемости волновода. Черные и серые кривые - решения первого и второго уравнений (11) при к = 2 соответственно.
Hg> <3ь
__
-1-1-1-1-■- -1-1-1-1-1-
а
Рис. 4. Поверхностные волны в линии Губо, заполненной неоднородным диэлектриком с е(р) = 5 + ~~ ■ Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют
распространяющимся поверхностным ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим поверхностным ТЕ-волнам
а
Рис. 5. Поверхностные волны в линии Губо, заполненной диэлектриком с потерями £ = 5 + 0,5 ш/ . Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся поверхностным ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим поверхностным ТЕ-волнам
а
Рис. 6. Поверхностные волны в линии Губо, заполненной метаматериалом с £ = — 5 . Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся поверхностным ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим поверхностным ТЕ-волнам
а
Рис. 7. Вытекающие волны в линии Губо, заполненной диэлектриком с £ = 5 . Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся вытекающим ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим вытекающим ТЕ-волнам, круглые черные точки - комплексным вытекающим ТЕ-волнам
а
Рис. 8. Вытекающие волны в линии Губо, заполненной неоднородным диэлектриком с £(р) = 5 + т-т • Черные точки, обозначенные квадратами,
соответствуют распространяющимся вытекающим ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим вытекающим ТЕ-волнам, круглые черные точки - комплексным вытекающим ТЕ-волнам
а
Рис. 9. Вытекающие волны в линии Губо, заполненной диэлектриком с потерями
е = 5 + 0,5 ш . Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся вытекающим ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим вытекающим ТЕ-волнам, круглые черные точки - комплексным вытекающим ТЕ-волнам
а
Рис. 10. Вытекающие волны в линии Губо, заполненной метаматериалом с £ = — 5 . Черные точки, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся вытекающим ТЕ-волнам, точки пересечения, обозначенные черными ромбами, соответствуют затухающим вытекающим ТЕ-волнам, круглые черные точки - комплексным вытекающим ТЕ-волнам
Точки пересечения кривых являются приближенными решениями системы (11) при k = 2. Черные точки пересечения кривых, обозначенные квадратами, соответствуют распространяющимся вытекающим ТЕ-волнам, точки пересечения кривых, обозначенные черными ромбами, - затухающим вытекающим ТЕ-волнам, круглые черные точки - комплексным вытекающим ТЕ-волнам.
Заключение
Численный метод, представленный в этом исследовании, дополняет доступные методы аналитического определения и расчета спектров распространяющихся, затухающих и комплексных волн в линии Губо. Предлагаемый подход позволяет, в частности, определять несколько различных типов волн в линии Губо с использованием одного и того же численного алгоритма, что является важным результатом для различных приложений. Разработанный метод может быть обобщен на случаи, когда волновод Z заполнен изотропной средой и на многослойные диэлектрические покрытия.
Список литературы
1. Goubau G. Surface waves and their application to transmission lines // Journal of Applied Physics. 1950. Vol. 21, № 11. P. 1119-1128.
2. Harms F. Elektromagnetische wellen an einem draht mit isolierender zylindrischer hülle // Annalen der Physik. 1907. Vol. 328, № 6. P. 44-60.
3. Sommerfeld A. Über die Fortpflanzung elektrodynamischer wellen langs eines Drahtes // Annalen der Physik. 1899. Vol. 303, № 2. P. 233-290.
4. Shestopalov Y. Complex waves in a dielectric waveguide // Wave Motion. 2018. Vol. 82. P. 16-19.
5. Shestopalov Y., Kuzmina E. On a Rigorous Proof of the Existence of Complex Waves in a Dielectric Waveguide of Circular Cross Section // Progress In Electromagnetics Research B. 2018. Vol. 82. P. 137-164.
6. Shestopalov Y., Kuzmina E. Waves in a Lossy Goubau Line // Proc. 2016 10th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP). 2016. P. 1107-1111.
7. Kuzmina E. A., Shestopalov Y. V. Complex Waves in Multi-Layered Metal-Dielectric Waveguides // Proc. 2018 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA). 2018. P. 122-125.
8. Kuzmina E. A., Shestopalov Y. V. Symmetric surface complex waves in Goubau Line // Cogent Engineering. 2018. Vol. 5, № 1. P. 1-16.
9. Kuzmina E. A., Shestopalov Y. V. Symmetric surface waves along a metamaterial dielectric waveguide and a perfectly conducting cylinder covered by a metamaterial layer // Advanced Electromagnetics. 2018. Vol. 7, № 2. P. 91-98.
10. Martynova V. Yu., Valovik D. V. Electromagnetic Symmetric Hybrid Wave Propagation Problem in a Medium with Arbitrary Nonlinear Saturation // 2019 Photonics and Electromagnetics Research Symposium - Fall. 2019. Dec. P. 2571-2578. doi:10.1109/PIERS-Fall48861.2019.9021426
11. Снегур М. О., Мартынова В. Ю. Гибридные волны экранированного волновода с нелинейным неоднородным заполнением // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2019. № 4 (52). С. 95104.
12. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М. : Радио и связь. 1988. 581 с.
13. Collin R. E. Field Theory of Guided Waves. Wiley-IEEE Press, 1990. 864 р.
14. Felsen L. B., Marcuvitz N. Radiation and Scattering of Waves. Wiley-IEEE Press, 1994. 924 p.
15. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. Washington, D.C., 1972.
References
1. Goubau G. Surface waves and their application to transmission lines. Journal of Applied Physics. 1950;21(11):1119-1128. (In Russ.)
2. Harms F. Elektromagnetische wellen an einem draht mit isolierender zylindrischer hülle. Annalen der Physik. 1907;328(6):44-60.
3. Sommerfeld A. Über die Fortpflanzung elektrodynamischer wellen langs eines Drahtes. Annalen der Physik. 1899;303(2):233-290.
4. Shestopalov Y. Complex waves in a dielectric waveguide. Wave Motion. 2018;82:16-19.
5. Shestopalov Y., Kuzmina E. On a Rigorous Proof of the Existence of Complex Waves in a Dielectric Waveguide of Circular Cross Section. Progress In Electromagnetics Research B. 2018;82:137-164.
6. Shestopalov Y., Kuzmina E. Waves in a Lossy Goubau Line. Proc. 201610th European Conference on Antennas and Propagation (EuCAP). 2016:1107-1111.
7. Kuzmina E.A., Shestopalov Y.V. Complex Waves in Multi-Layered Metal-Dielectric Waveguides. Proc. 2018 International Conference on Electromagnetics in Advanced Applications (ICEAA). 2018:122-125.
8. Kuzmina E.A., Shestopalov Y.V. Symmetric surface complex waves in Goubau Line. Cogent Engineering. 2018;5(1):1-16.
9. Kuzmina E.A., Shestopalov Y.V. Symmetric surface waves along a metamaterial dielectric waveguide and a perfectly conducting cylinder covered by a metamaterial layer. AdvancedElectromagnetics. 2018;7(2):91-98.
10. Martynova V.Yu., Valovik D.V. Electromagnetic Symmetric Hybrid Wave Propagation Problem in a Medium with Arbitrary Nonlinear Saturation. 2019 Photonics and Elec-
tromagnetics Research Symposium - Fall. 2019:2571-2578. doi:10.1109/PIERS-Fall48861.2019.9021426
11. Snegur M.O., Martynova V.Yu. Hybrid waves of a shielded waveguide with nonlinear inhomogeneous filling. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2019;4(52):95-104. (In Russ.)
12. Vaynshteyn L.A. Elektromagnitnye volny = Electromagnetic waves. Moscow: Radio i svyaz', 1988:581.
13. Collin R.E. Field Theory of Guided Waves. Wiley-IEEE Press, 1990:864.
14. Felsen L.B., Marcuvitz N. Radiation and Scattering of Waves. Wiley-IEEE Press, 1994:924.
15. Abramowitz M., Stegun I.A. Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards. Washington, D.C., 1972.
Информация об авторах / Information about the authors
Евгений Юрьевич Смолькин
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
Evgeniy Yu. Smol'kin
Candidate of physical and mathematical
sciences, associate professor
of the sub-department of mathematics
and supercomputer modeling, Penza
State University (40 Krasnaya
street, Penza, Russia)
E-mail: e.g.smolkin@hotmail.com
Валерия Юрьевна Мартынова
старший преподаватель, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)
E-mail: 79273698109@ya.ru
Valeriya Yu. Martynova Senior lecturer, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)
Поступила в редакцию / Received 10.03.2021
Поступила после рецензирования и доработки / Revised 20.03.2021 Принята к публикации / Accepted 05.04.2021
