CC BY
29
УДК 519.65+519.644.2
О СУБТАНГЕНЦИАЛЬНОМ ПОДХОДЕ К АНАЛИЗУ ДИНАМИЧЕСКОИ МОДЕЛИ
КОНКУРЕНТНОГО РАВНОВЕСИЯ
Ю.Я. Агранович, В.Л. Хацкевич, А.С. Чернова
Метод минимизации подкасательной применяется к траектории, описывающей во времени отношение конкурирующих характеристик одной динамической модели
Ключевые слова: динамическая модель, субтангенциальный метод
Введение
Рассматривается среда с конечным числом конкурирующих процессов и естественным набором законов сохранения. При этом «конкурирование» связано с некоторым отношением предпочтения, которое определяется заданным конусом. В рассматриваемом нами случае этим конусом является положительный октант декартовой системы координат. Предполагается также, что скорости процессов в среде линейно зависят от разности конкурирующих факторов. Для моделирования процессов в таких средах удобно использовать математические модели рыночного равновесия.
Постановка задачи
В данной работе мы рассматриваем модель Эрроу-Дебрэ в качестве определяющих соотношений и закон сохранения в форме закона Вальраса. Так, например, для рынка из п различных товаров, на котором имеется т участников рынка, обозначим цену , -того товара через р.. Они образуют вектор цен
р = р, Р2 ,---,рп ). Пусть в начальный момент к -й
участник рынка обладает набором товаров
Ук = ( У1к, ^ ,..*"
желает
иметь
Хк =| xk,xk,...xk { 1 ' 2' *n
Модель Эрроу-Дебрэ
конкурентного рынка основывается на следующих предпо ложениях:
1) Предполагается, что рынок закрытого типа. Так что стоимость набора товаров у всякого участника рынка в любой момент времени сохраняется, то есть
(р,хк)=(р,ук) (к = 1,2,...т) , (1) где скобки (.) обозначают скалярное произведение в евклидовом пространстве К".
2) Считается, что к -й участник рынка при выборе желаемого набора товаров исходит из
Агранович Юрий Яковлевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, тел. (473) 267-04-52, e-mail: agyrya19591212@yandex.ru
Хацкевич Владимир Львович - ВГУ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: vlkhats@mail.ru
Чернова Александра Сергеевна - ОАО «Сбербанк России», ст. специалист, тел. 8(920)440-79-97, e-mail: alexsandra151@yandex.ru
соображений, связанных с максимизацией своей функции полезности ик (х). Она достигает максимума в точке хк при выполнении бюджетного ограничения (1) и условии хк > 0 (это неравенство понимается покоординатно).
Схема исследования и основные результаты Определим вектор избыточного спроса
m , m ,
Z = е Хк - е yk
(2)
к = 1 к = 1 Согласно (1) выполнен закон Вальраса (г р)=0. (3)
Следуя [1], будем предполагать, что скорость изменения рыночных цен пропорциональна избыточному спросу. Изменяя масштаб, можно
считать, что выполнено соотношение
ф
dt
= Z (p).
(4)
решения р (t) уравнения (4) имеем Е Pi^P- = 0.
В силу закона Вальраса (3) для любого
Ф,
Ж
,=1
Следовательно,
п п / \
]Гр2(,)=]Гр,2(0) > 0). (5)
,=1 ,=1
Система (4) - это динамическая модель конкурентного рынка. Предполагая, что не все цены в начальный момент равны нулю, из (5) получаем, что рассматриваемая динамическая модель определяет некоторую траекторию на сфере в п-мерном пространстве. Исследованию такой модели посвящено значительное число работ. При этом основное внимание уделялось установлению условий устойчивости равновесных состояний системы (4) (устойчивости рынка) при различных предположениях на функцию избыточного спроса 2(р) (см. [2]).
Одно из основных предположений состоит в том, что вектор-функция 2 положительно однородна нулевой степени, то есть
2(ер) = 2(р) V > 0). (6)
Это условие означает, что спрос зависит только от соотношения цен, но не от их абсолютных значений. Другие условия типа «валовой заменимости» в нашем исследовании не используются.
В настоящей работе рассмотрен вопрос, в какой момент времени соотношение цен в соответствии с моделью (4) изменяется наиболее быстро. Для решения такого типа задач естественно использовать субтангенциальный метод [6].
Далее мы рассматриваем рынок, состоящий из двух товаров, и будем опираться на представленное в [3] изложение результатов из [4].
Согласно (6) функция избыточного спроса 2 зависит только от соотношения цен, поэтому введем новую переменную по формуле
Р2
Г = -
Р1
(7)
Тогда, в частности, вторая координата вектора 2 есть некоторая функция от Г , т.е. 22(р)= /(г). При этом на основании закона Вальраса (3) получим 21 (Р) = "Г/ (г ). Следовательно, в силу (7) справедливо
Лг_ _1
л р2 V *'1 л
с1р~ Лр, 21 Р1~1Г - Р2
л
(8)
= - (/ (г ) + Г >/ (г ))
Р1
Кроме того, на основании (5) Р\()+ Рг() = Р?(о) + Рг(о):= с . Таким образом, траектория динамической системы это дуга окружности, квадрат радиуса которой равен с. Величина г^) является тангенсом угла наклона радиуса-вектора точки на указанной дуге к оси абсцисс. Соотношения (7) и (8) определяют следующую задачу Коши:
ЛГ =1 (1 + Г2)3/2/(Г), Г(0) = ^ = г„ .
Р1
(0)
(9)
Рассмотрим график решения задачи (9) в координатах (/, г ). Обозначим правую часть уравнения (9) через g(г). Зафиксируем точку t и предположим, что касательная к графику траектории (9) в заданной точке t пересекает ось
времени в момент времени ^. Тогда уравнение касательной имеет вид
г(/ ) Г
^ - (=
Г'(0 g(r) '
(10)
Таким образом, интересующий нас вопрос сводится к минимизации правой части (10) по Г , а затем к отысканию искомого момента времени t.
При этом, если Г - точка минимума, то искомый момент времени ^ отыскивается по формуле
г
Лг
и = с
I
(1 + г 2 )3/2 / (г )
вытекающей из (9).
Поясним указанную схему на конкретном примере, рассмотренном в [4] для иллюстрации устойчивости рынка. Как и выше будем считать, что на рынке имеется два товара. Предположим, что
каждый участник рынка имеет логарифмическую функцию полезности вида
ик (Х1, х2 ) = ак 1п Х1 +(1 -ак )1п Х2,
(11)
где ак е (0,1). Отметим, что в этом случае кривая
безразличия задается уравнением ха • х^ ак = с .
Будем считать, что к -й участник рынка выбирает набор товаров Хк = (хк, х2к), максимизирующий (11) при ограничениях х ^ 0,
х2 > 0 и
Р1Х1 + Р2Х2 = Р1У1 + Р2У2 := М , (12) где ук = (у1, у2 ) - его начальный вклад.
Подставим в (11) вместо х2 величину
(Мк - р1 х1)/р2 , выраженную из (12). Находя максимум соответствующей функции одной переменной, получим функцию спроса для к -того участника рынка
х
к (Р ) =
(
а^Ык (1 — ак )Мк
v Р1
Следовательно,
Р2
к (Р)-ук =
—аку\ -(1 -ак)ук,Р(1 -акК -а4у2к Р1 Р1
(13)
Положим Г = Р2 / Рх и
п п
А = ^акук2 >0, В = ^(1 -акК > 0 . к=1 к=1 Тогда согласно (2), (13) функция обобщенного спроса в данном случае имеет вид В
2(Р)=\Аг - В,— - А I.
Таким образом, функция /(г), выражающая ранее связь (р) = /(г), в нашем примере задается
формулой /(г) =--А. Тогда уравнение (9)
с 1+г2 Г (— - 4
(14)
принимает вид
Лг
Л с ' ' V г Исследуем поведение траекторий уравнения
(14). Обратим внимание, что г0 =— - стационарное
А
соответствующее
решение уравнения (14), равновесному состоянию рынка.
Если начальное условие 0 < г(0) < —, то правая
А
часть (14) в начальный момент положительна. Тогда
Лг
> 0 и решение г() в начальный
момент
Л
возрастает. Более того, возрастает оно при всех t > 0, поскольку принять значение г0 оно не может в силу единственности решения задачи Коши.
г,
B
Если же в начальный момент гп > —, то
А
Лг
аналогично предыдущему — < 0 при всех t > 0 .
Л
Рассмотрим для определенности случай
0 < г(0) < —. Так как — - тангенс угла наклона А Л
Лг
касательной, а в случае — > 0 угол острый, то Л
1 ^ - Ч ) =
г
(1 + г2 )3'2| — - А
\3/2 ( — Г
> 0.
(15)
В силу (10) отыскание момента времени t, минимизирующего длину подкасательной t - ^, сводится к отысканию минимума выражения по г , стоящего в правой части последнего уравнения.
Производная дроби, стоящей в правой части (15), равна
„з В 2 „В
2г3--г 2 - г + 2-
А
А
(1 + г2 )3 ( В - А
(16)
Приравнивая производную к нулю, получим кубическое уравнение относительно г вида
- 3 В 2 , - В п
2г--г - г + 2— = 0.
(17)
Таким образом, точка минимума определяется
В
отношением —.
А
Нас интересует положительный корень уравнения (17), гарантирующий точку минимума. Заметим, что согласно теореме Виета этот случай не реализуется при наличии одного вещественного и двух комплексно сопряженных корней уравнения (17), так как в этом случае вещественный корень отрицателен. Кроме того, он не реализуется и в случае кратных вещественных корней. Действительно, по теореме Виета возможен только случай кратного положительного корня. При этом еще один корень - отрицательный. А при переходе через кратный корень знак выражения (16) не меняется. Таким образом, необходимым условием существования решения нашей задачи является вещественность и однократность всех корней уравнения (17), иными словами, дискриминант этого кубического уравнения должен быть отрицательным.
Напомним, что уравнение
3 2 Ь
ах + Ьх + сх + Л = 0 заменой х = у--
3а
приводится к виду у3 + 3 Ру + 2д = 0 [5], где
3 Р = -
3ас - Ь
2
2Ь
Ьс Л
3а
2
2<? =-г--т- + —
-< з - 2
27а3 3а
а
При этом дискриминант Б = ? 2 + р 3.
В случае уравнения (17), полагая V = —
получим
? =
24
.2 Л
11 --
р = -_! (б+V2).
36у '
(18)
Тогда условие Б < 0 принимает вид
2 11_ 2 I —Г (б + 2)3 < 0, где 2 = V2 . Преобразуя
2Г 1
9J 92
это неравенство, получим 822 - 2592 + 8 > 0. Корни соответствующего уравнения имеют вид
259 + 45>/33
2+ = -
16
. Следовательно,
(В| е(0,2-)и (2 +,+») (а^/Г" )и (¡2+,+»).
е(0,
(19)
Отметим, что приближенно 2+ «32,36; 2- « 0,03 .
Итак, в случае выполнения (1 9) имеется три различных вещественных корня г < г2 < Г уравнения (17). Согласно теореме Виета г1 < 0 и 0 < г2 < г. В силу представления
„ 3 В 2 в ! V V \
2г--г - г + 2— = 2(г - г )г - ^ )г - г^) нетрудно
видеть, что при переходе через корень г данное выражение меняет знак с «+» на «-». Следовательно, Г - точка максимума. При переходе через точку г3
знак меняется с «-» на «+». Следовательно, г -точка минимума, т.е. искомый корень.
Если начальное условие г (0) > В , то — < 0
А Л
(уt > 0) и решение уравнения (14) монотонно
В „
убывает, оставаясь больше — . В этом случае ^ > t
и для определения минимума подкасательной имеет место равенство
- (tl -t ) = -
3/2 ( В
(1 + г 2 )3'2|В - а
> 0.
(20)
Тогда отыскивая производную правой части,
3 В 2 „В приходим к выражению - 2г +— г + г - 2 —,
А А
стоящему в числителе (в знаменателе положительное число). Поэтому в случае Б < 0 корни будут те же самые г1 < г2 < г3. Однако минимум достигается в точке г .
Пусть г - решение уравнения (1 7), дающее минимум функции (15) или (20). Тогда необходимый момент времени 4 определяется формулой
г
Лг
и = с
, (1+г2 Г (В - А
(21)
V
9
2
г
3
вытекающей из (14).
Выпишем формулы для корней с помощью вспомогательных величин [5]. Положим
= + 17677" 6
Р = Ч\ Р
знаком q . Пусть
где знак р совпадает со
COsV = q. Заметим.
р3
что
выполнении (18) соотношение
q
р
при
<1 обеспечено
предположением D < 0. В наших условиях q v(99 - v2 )
P (б + v2 ) D < 0, то
/2
. Тогда, поскольку p < 0 и
1 B О /-5
r1 =----2pcos^3 .
б A 1 B
Г =----+ 2pcos| —-W 3
б A I 3
1 B
+ 2pcosl — + ф/3 I.
г3 = ■ , ,
3 6 А ^ 3
При этом знак р , совпадающий со знаком q в
с соответствии с (18), (19), определяется так: р > 0,
если — е (0, )и ^/27,зТп) и р < 0, если А
в
B e(Wn,+x>).
Как известно, темпом роста
дифференцируемой функции г(^) в момент ? называют значение логарифмической производной
функции в этой точке, а именно, (1п г(/)) = .
г (/ )
Таким образом, в силу (10) мы установили, что в точке и, определяемой формулой (21), наблюдается наибольший темп роста отношения цен нашей модели рынка. Заключение
Близкие по тематике задачи исследованы в работах [6], [7]. Так в [6] обсуждается субтангенциальный подход в модели Самуэльсона-Хикса. В [7] методами функционального анализа исследованы вопросы существования
положительных решений модели Эрроу-Дебрэ с многозначной функцией избыточного спроса, а также устойчивость рыночного равновесия. Субтангенциальный метод может быть также
использован при изучении двумерной модели Рамсея-Солоу. Необходимый вспомогательный материал для этого имеется в [8].
Отметим, что в целом субтангенциальный метод позволяет получать количественные результаты, конкретизирующие абстрактные методы функционального анализа и теории полуупорядоченных банаховых пространств. Более того, при определенных обстоятельствах (см.[6]), субтангенциальный метод приводит к появлению арифметической прогрессии, позволяющей применить метод многоугольных чисел (см. [9]) для построения сглаживающего фильтра,
соответствующего рассматриваемой системе.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ), проект №14-01-00253-а.
Литература
1. Самуэльсон, П. Основания экономического анализа [Текст]: пер с англ. / П. Самуэльсон. - СПб.: Экономическая школа, 2002. - 604 с.
2. Никайдо, Х. Выпуклые структуры и математическая экономика [Текст]: пер с англ. / Х. Никайдо. - М.: Мир, 1972. - 544 с.
3. Кемини, Дж. Кибернетическое
моделирование. Некоторые приложения [Текст]: пер с англ. / Дж Кемини, Дж Снелл. - М.: Советское радио, 1972. - 192 с.
4. Arrow, K.J. On the Stability of the Competitive Equilibrium I. [Text] / K.J. Arrow, L. Hurwitz // Econometrica. - 1958. - Vol. 26 - P. 522-552.
5. Агранович, Ю.Я. Краткий конспект лекций по дисциплине «Вычислительная математика» [Текст] / Ю.Я. Агранович, Е.В. Ефанова, М.Л. Лапшина. - Воронеж: ВГТУ, 2005. - 106 с.
6. Агранович Ю.Я. Субтангенциальный анализ модели Самуэльсона-Хикса [Текст] / Ю.Я. Агранович, Н.В. Концевая // Системы управления и информационные технологии. - 2014. - Т. 57. - № 3.1. - С. 195-196.
7. Хацкевич В.Л. Об устойчивости конкурентного рыночного равновесия [Текст] / В.Л. Хацкевич // Экономика и математические методы. - 2005. - Т. 41. -№ 4. - С. 103-107.
8. Хацкевич В.Л. Об устойчивости модифицированной модели Рамсея-Солоу, учитывающей запаздывание при вводе фондов [Текст] / В.Л. Хацкевич // Экономика и математические методы. - 2010. - Т. 46. -№ 4. - С. 137-143.
9. Yu. Ya. Agranovich, N. V. Kontsevaya, S. L. Podvalny, V. L. Khatskevich, A synthesis of statistical and deterministic methods in problem of smoothing for time series [Текст]/ Automation and Remote Control, May 2014, Volume 75, Issue 5, pp 971-976.
Воронежский государственный технический университет Воронежский государственный университет ОАО «Сбербанк России», г. Воронеж
ABOUT SUBTANGENTIAL METHOD FOR ANALYSIS AT THE DYNAMIC MODEL
OF A COMPETETIVE EQUILIBRIUM Yu.Ya. Agranovich, V.L. Khatskevich, A.S. Chernova
The method of subtangential minimizing is applied to the trajectory describing the time-the ratio of the contention characteristics of a dynamic model
Key words: competitive equilibrium, dynamic models , subtangential method
