О СТРУКТУРЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 512

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 36

О СТРУКТУРЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИОФАНТОВА УРАВНЕНИЯ

СатаровЖоомарт, д. ф.-м.н., профессор ЗулпукаровЖакшылык Алибаевич, к.ф.-м. н.

zulpukarov66@mail. ru Ошский технологический университет им. М. М. Адышева Кошокова Бактыгул Карыевна, магистрант Ошский государственный педагогический университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация. Теория решения подобных уравнений является классическим разделом математике. В ней не приходится писать сложные и громоздкие формулы, а необходимо проводить аккуратные рассуждения, базирующиеся на определенных понятиях теории чисел связанные в стройную логическую конструкцию. В рамках этой теории можно дать исчерпывающее решение рассматриваемого класса задач с четко описанным алгоритмом получения ответа. Именно этими чертами характеризуется хорошая математическая теория.

В заметке находятся решения линейного диофантова уравнения с n неизвестными. Строятся они конструктивно. Выявляется также структурное строение этих решений.

Ключевые слова: диофантово уравнение, наибольший общий делитель, линейные представления, множества решений, абелевой группа.

СЫЗЫКТУУ ДИОФАНТТЫК ТЕНДЕМЕНИН ЧЕЧИМДЕРИНИН СТРУКТУР АСЫ

же^ыде

Сатаров Жоомарт, ф.-м.и.д., профессор Зулпукаров Жакшылык Алибаевич, ф.-м. и.к.

zulpukarov66@mail. ru М. М. Адышев атындагы Ошский технологиялыкуниверситети Кошокова Бактыгул Карыевна, магистрант Ош мамлекеттик педагогикалык университети

Ош, Кыргызстан

Аннотация. Мындай тецдемелерди чечYY теориясы математиканын классикалык тармагы болуп саналат. Ал татаал жана тYйшYктYY формулаларды жазууга милдеттYY эмес, бирок ырааттуу логикалык конструкцияга байланышкан сандар теориясынын айрым тYШYHYктврYHYH негизинде так ой ЖYгYртYYHY жYргYЗYY зарыл. Бул теориянын чегинде жооп алуу YЧYH так CYрвттвлгвн алгоритм менен каралып жаткан маселелердин классына толук чечимди берYYгв болот. Булар жакшы математикалык теориянын взгвчвЛYктврY.

Эскертмеде n белгисиз сызыктуу диофанттык тецдеменин чечимдери камтылган. Алар конструктивдYY тYрдв курулган. Бул чечимдердин структуралык структурасы да ачылган.

Ачкыч свздвр: Диофанттык тецдеме, эц чоц жалпы бвЛYYЧY, сызыктуу кврYHYштвр, чечимдердин квптYгY, абелиялык топ.

ON THE STRUCTURE OF SOLUTIONS NO A LINEAR DIOPHANTINE EQUATION

Satarov Zhoomart Doctor of Ph. & Math. Sc., professor Zulpukarov Zhakshylyk Alibaevich Cаndidat of Ph. & Math. Sc.

zulpukarov66@mail. ru Osh Technological University named after M. M. Adysheva

Koshokova Baktygul Karyevna, graduate student Osh State Pedagogical University Osh, Kyrgyzstan

Abstract: The theory of solving such equations is a classical branch of mathematics. It does not have to write complex and cumbersome formulas, but it is necessary to carry out accurate reasoning based on certain concepts of number theory, connected into a coherent logical construction. Within the framework of this theory, it is possible to give an exhaustive solution to the considered class of problems with a clearly described algorithm for obtaining an answer. These are the characteristics of a good mathematical theory.

The note contains solutions to a linear Diophantine equation in n unknowns. They are built constructively. The structural structure of these solutions is also revealed.

Key words: Diophantine equation, greatest common divisor, linear combinations, sets, abelian group.

Рассматривается диофантово уравнение

a1x1 + a2x2 + a3x3 +... + anxn = a0, n > 2 , (ld)

где a. eZ, a}a2...an Ф0 (и неизвестные X. также ищутся в области Z ). Нашей целью в этой заметке является нахождение всех решений уравнения (ld). Здесь выявляется также структура найденных решений.

Обозначим через d = (a}, a2,..., an) наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов й1,а2,...,йп из (Id). Очевидно при a0:d заданное уравнение никакого решения не имеет. Поэтому всюду далее мы будем считать, что в (Id) a0':d. Положив dn = an , индуктивно вводим к рассмотрению следующие НОД

dk = (ak, dk+})> k = n - },...>} . С целью сохранения общности в рассуждениях, вводим еще одно число d0 = d} .

Здесь очевидны делимости d'.d} и dk: dk_} при всех рассмотренных выше значениях k .

Наш подход в заметке основывается на какую-нибудь (не важно какую!) систему линейных представлений НОД dk, к = n,...,} :

d = ха ,

n n n'

dn-} = Xn-}an-} + yn-1dn ,

.............................. (lp)

dk = xkak + ykdk+},

d = xfll+yd2 (здесь xk,yk E Z при всех k = n — 1,...,1 и xn = 1).

Пусть k, q — произвольные номера, для которых 0 < k < q < n . Из коэффициентов

уравнения (ld) и разложений (lp) составим величины

( \ П y.- xq ,

^ k <i<q J

где для общности рассуждений при соседних k = q — } и q считается П y = 1.

k <i< q

^k = Ot

q dk

т—т

Умножив равенства (1р) с номерами г, I > Л, на-II у соответственно и

/Ч

Лк-1 к <кг

почленно складывая их, мы приходим к

а

-Т1 Лк +°иак+1 +... + акп-1ап (1р)

Лк-1

(т.е. к линейному представлению а-1 Л через коэффициенты ак,ак+1,...,ап, здесь

Лк-1 к

¿к-1 — при к — 1).

При к -1 равенство (1рь} дает нам

0,0, ,0 а — я° а + я° а +... + я а .

0 11 2 2 пп

Это означает, что вектор А0 — Я°,ст°,...,ст0) есть какое-то решение уравнения (/Щ). При к > 1 те же (р) показывают, что векторы

лк-1 _ I(л п Лк к-1 к-1\

А =0,...,О,- —— ,як „...,яп I

ак-1

(длины п, где случай отсутствия нулей также включается) являются решениями однородного (для (Щ) уравнения

а1 х1 + апх2 +... + апхп — 0. (Щ,)

Если обозначить через $ (Ш) и $(I) множества решений уравнений (Щ и (Щ) соответственно, то они будут связаны соотношением

$ {Ы) — А0 + $ (М0).

Это означает, что решения из $ (Ш) полностью определяются вторым слагаемым.

Слагаемое $ (М0), очевидно, образует абелеву группу (в частности, оно выдерживает умножения на целые числа).

Далее, для векторов х — ^х1,х2,...,хи) из $(1ё0) и номеров к, 2 < к < п, вводим (бинарное) отношение " >", положив

х ">" к о х1 — ... — хк-1 — 0 .

Теперь взяв произвольно вектор х — ^ х1, х2,..., хи ^ из $ (1ё 0), имеем импликации

• у 1 • • _.

а

а2х2 + ... + апхп — Л2 ~11 ))) > а2 (х2-1Я12) + ." + аП (хп - Я ) — 0

^ (х- 1А1)" > "2.

1

Принимая за х вектор х - ^ А1 и повторяя для него только что проведенные рассуждения при помощи (1рз), мы приходим к заключению (х - ^А1 - ?2А2)">"3 при

некотором Х2 £ ^ и т.д. Продолжая описанный процесс отщепления и далее, на (п - 1) -м шаге будем иметь

(Л - Х, А1 - Х 2 А2 -... - ХпА Ап-1)" >" п.

Поскольку для любого У £ £(М0 ) у">"п ^ у = 0 (ибо Z - область целостности), мы для рассматриваемого вектора имеем представление

х = ^Л1 +... + Хй1А°-1, (Щ

где Х1,...,Хи-1 £ Z. Целостность кольца Z влечет за собой также инъективность сюръекции

Zn-; ^ £(/а), (х,,...,X-) ^ А0 + Х1А1 +... + Хп_1Ап-1 (ЫЫг)

(здесь Z0 1 = Z х ...х Z - (п -1) -я прямая степень кольца Z ), т.е. биективность

указанного соответствия. Итак, установлено, что решения £ (/^0) представляются, причем

единственном образом, в виде линейной комбинации (Ш). Это означает, что £(/^0) не только является абелевой группой, но и как Ъ -модуль имеет ранг п-1.

Иногда, особенно при практических приложениях, решения из £(/^0) удобно представлять в параметрическом виде

0

*1 =а1-Х1~Г' а1

о 1 а3 Х2 = + Х1^2 - Х2 ' а2

0 1 2 , , . п-2 . ^ (р)

Хп-1 =°0-1 + Х1°п-1 + Х2°п-1 + ... + Хп-2°п- 1 -Хп-1

ап-1 '

х =&0 + Х,а\ + Х7о-2 +... + Хи 2 + Хп 1,

п п 1 п 2 п п-2 п п-1 п '

где Х15...,Хп-1 независимо друг от друга пробегают множество Z (напомним, что здесь

а п = а п ).

Далее, как показывает биективность отображения (Ыг), для мощности всех решений уравнения (Щ имеет место (цепочка)

£ (/а) = £ (Ч)| = = = Нп-1 = N

(см. по этому поводу [1], стр.85), т.е. она будет равна алеф-нулю. Как показывают проделанные выкладки, наша заметка в некотором перекрытии содержит в себе результат

из [2] (см. стр.121), где была показана лишь бесконечность множества решений £ (/а).

Литература

1. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. - 392 с.

2. Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел. М. «Просвещение», 1974 - 383 с.